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    在《判别分析概述》中,我们提到Fisher判别一般用于指标为定量资料的两类判别,Bayes判别多用于指标为定量资料的多类判别;最大似然判别Bayes公式判别适用于指标为定性资料的两类或多类判别。

    本期我们要学习的是Bayes公式判别,在此之前我们需要一起回顾一下Fisher判别和最大似然判别的基本原理:

    Fisher判别是寻找一个合适的投影方向(线性组合)使样本投影在该方向时,投影(综合指标)类内变异极小化,类间变异极大化;

    最大似然判别是以概率为依据,以独立事件的概率乘法定理得到判别对象归属于某类的概率。

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    Bayes公式判别

    Bayes公式判别进行判别分析与最大似然判别的原理相似,都是以概率为依据,最大似然法的基础上引入了先验概率(prior probability),计算所判别的后验概率,即:

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    其中P(Yk)即为第k类出现的概率,或称为先验概率。

    按柠檬精的理解,上面这条公式中分子就是在计算最大似然概率(具体小伙伴可移步SPSS学堂上期内容,在此不作赘述)是再乘上某一类出现的概率(先验概率),分母则是所有类别出现的概率总和而已。

    Bayes公式判别的规则与最大似然法相同,都是判别为最大概率的类。

    【扩展】 贝叶斯框架下的概率理论与我们平时接触的概率论完全不同,它认为概率是个人的主观概念,表明人对某个事物发生的相信程度,它解决的是来自外部的信息与大脑内部信念的交互关系。贝叶斯分析是对于由证据的积累来推测一个事物发生的概率,当我们要预测一个事物,需要根据历史资料或主观判断确定一个先验概率(大脑内部信念),然后在新证据不断积累(外部信息)的情况下调整修正获得后验概率(外部信息与大脑内部信念交互),整个通过积累证据来得到一个事件发生概率的过程便称为贝叶斯分析。

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    接下来,我们再看一下上期对4种类型的阑尾炎作鉴别诊断的例子,补充这5668例阑尾炎病人4种类型的构成比作为先验概率估计(也就是大脑内部信念):卡他性阑尾炎20%,蜂窝织炎型阑尾炎 50%,坏疽型阑尾炎 25%,腹膜型阑尾炎 5%(根据历史资料,我们确定4种类型的阑尾炎发生概率由大到小分别是:蜂窝织炎型、坏疽型、卡他性和腹膜型)。

    表1 5668例不同型阑尾炎病例的症状发生频率(%)

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    如某病例昨晚开始出现右下腹疼痛、呕吐的症状,大便正常。经检查,右下腹压痛,肌性防御(+),反跳痛(+),体温36.6℃,白细胞23700。

    我们依次计算待判病例属于的第一类卡塔型阑尾炎后验概率式中的分子:

    P(Y1)·P(X1(S1)|Y1)P(X2(S2)|Y1)…P(X7(S7)|Y1) = 0.2×0.57×0.11×0.72×0.95×0.08×0.61×0.08 = 0.000033

    同理可得,其余三类后验概率式中的分子0.000900,0.001175,0.000075,分母则是这四个分子的总和0.002183。

    最后,根据Bayes公式判别计算出待判病例属于四类阑尾炎的后验概率分别为0.015,0.412,0.538,0.034;其中最大后验概率为0.538,即病例诊断为第3类坏疽型阑尾炎。

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    小结

    Bayes公式判别是在最大似然法的基础上,将先验概率(大脑主观判断或历史资料确定)加以考虑,计算后验概率,可用于指标为定性资料的两类或多类判别。

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  • 最大似然判别法 Bayes公式判别法 转载于:https://www.cnblogs.com/gispathfinder/p/5813444.html

    最大似然判别法

    image

     

     

     

    Bayes公式判别法

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    转载于:https://www.cnblogs.com/gispathfinder/p/5813444.html

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  • LDA 线性判别分析公式推导 学习 LDA 其实我也没觉得它有什么很重要的应用,甚至我还听到了一种说法,觉得 LDA 是一个比较鸡肋的算法(这一点恐怕要打一个大大的问号),但是在学习 LDA 的过程中,可以巩固我们对...

    占位。

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  • 定量描述 LDA 的核心思想 类标在 LDA 算法执行过程中就发挥了重要作用: LDA 公式推导 1、我们将原始的数据矩阵记为 ,对应的类标向量记为 。 2、根据类标 和 将矩阵 和分为两个部分。 对应的均值向量为 , 对应的...

    学习 LDA 其实我也没觉得它有什么很重要的应用,甚至我还听到了一种说法,觉得 LDA 是一个比较鸡肋的算法(这一点恐怕要打一个大大的问号),但是在学习 LDA 的过程中,可以巩固我们对常见数学工具的应用,因为其中用到的拉格朗日乘子法,定义的协方差矩阵、投影到向量的思想是常见而且基础的。

    LDA 的思想

    与 PCA 不同,LDA 需要利用类标信息进行降维,是一种监督学习降维技术。

    训练时:给定训练样例集,设法将样例投影到一条直线上,使得:

    1、同类样本的投影点尽可能地接近;

    2、异类样本的投影点尽可能地远离。

    要学习的就是这样一条直线:投影到一条直线上,直线是一维的,所以待求的参数是一个向量(特指列向量);那么降维体现在哪里呢?我们求出了这个直线向量

    以后,可以归一化,得到一个单位向量,然后去掉这个单位向量中分量比较小的量,只保留比较大的分量,这样就达到了降维的目的。

    预测时:将待预测的样本投影到学习到的直线上,根据它的投影点的位置来判断它的类别。

    LDA 的核心思想

    LDA 的核心思想:投影变换后:

    1、类间距离最大;

    2、类内方差最小。

    定量描述 LDA 的核心思想

    类标在 LDA 算法执行过程中就发挥了重要作用:

    LDA 公式推导

    1、我们将原始的数据矩阵记为

    ,对应的类标向量记为

    2、根据类标

    将矩阵

    和分为两个部分。

    对应的均值向量为

    对应的均值向量为

    (这里均值向量是每个行向量加起来以后除以向量的个数);

    3、投影以后类间距离最大:即不同类标的均值向量投影以后落在直线上的点间的距离最大。

    类标为

    的点的均值向量投影到直线上得到的实数:

    (

    维,

    维,因此

    是一个实数);类标为

    的点的均值向量投影到直线上得到的实数:

    。它们之间的距离,即为“投影到直线以后的类内间距”:

    。整理一下:

    4、“投影以后组内的方差之和尽量小”(这里的方差没有除以倍数)用数学表达出来就是:

    类标为

    的点投影到直线上的方差是:

    类标为

    的点投影到直线上的方差是:

    它们的和是:

    写成这样以后,才能够很清晰地看到书上定义的协方差矩阵。

    参考资料

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