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  • 判断可逆矩阵的方法
    2021-04-23 17:07:06

    最好使用Sage或其他合适的工具。在

    以下只是简单的非专家尝试,但是旋转高斯消去法应该给出可逆性的确切结果:import random

    from scipy.linalg import toeplitz

    import numpy as np

    def is_invertible_F2(a):

    """

    Determine invertibility by Gaussian elimination

    """

    a = np.array(a, dtype=np.bool_)

    n = a.shape[0]

    for i in range(n):

    pivots = np.where(a[i:,i])[0]

    if len(pivots) == 0:

    return False

    # swap pivot

    piv = i + pivots[0]

    row = a[piv,i:].copy()

    a[piv,i:] = a[i,i:]

    a[i,i:] = row

    # eliminate

    a[i+1:,i:] -= a[i+1:,i,None]*row[None,:]

    return True

    n = 10

    column = [random.choice([0,1]) for x in xrange(n)]

    row = [column[0]]+[random.choice([0,1]) for x in xrange(n-1)]

    matrix = toeplitz(column, row)

    print(is_invertible_F2(matrix))

    print(int(np.round(np.linalg.det(matrix))) % 2)

    请注意,np.bool_仅在有限的意义上与F_2相似——Fୱ2中的二进制运算+是bool的-,一元运算-是{}。不过,乘法是一样的。在

    ^{pr2}$

    上面的高斯消去法只使用这些运算,所以它是有效的。在

    更多相关内容
  • 之前介绍了如何将一个矩阵化成上三角矩阵,并且提到了矩阵的秩可以通过上三角矩阵轻松得出,秩就是上三角矩阵中非零行的个数,不知道怎么将一个矩阵通过初等行变换的伙伴们可以参考我的上一篇文章 ...

    前言:

    之前介绍了如何将一个矩阵化成上三角矩阵,不知道怎么将一个矩阵通过初等行变换化成上三角矩阵的伙伴们可以参考我的上一篇文章线性代数代码实现(二)上三角矩阵(C++)_qq_54434938的博客-CSDN博客

    之前在这里写到矩阵的秩就是上三角矩阵中非零行的个数,这个结论是错误的

    这篇文章中我们主要探讨矩阵的秩和可逆矩阵相关知识以及代码实现判断可逆矩阵,话不多说现在切入正题!

    一、线性代数知识回顾:

    1.   根据线性代数知识,将矩阵通过初等行变换化成这样的矩阵:

    对于矩阵每行的第一个非零元素,记为a_{ij},若存在下一行,则:

    a_{kj}=0,\,k=1,2,\cdots,i+1

    矩阵的秩就等于变换后的矩阵中非零行的数目。

    之前在这里写到矩阵的秩就是上三角矩阵中非零行的个数,这个结论是错误的

    2.  单位矩阵:主对角线元素为 1 ,其余元素为 0 的方阵(行数和列数相等的矩阵),记为EE_{n}E_{n} 指行数与列数为 n 的单位矩阵)或者 I 、I_{n}

    3.  可逆矩阵:A=(a_{ij})_{n\times n}是一个方阵,如果存在另外一个方阵B=(b_{ij})_{n\times n},使得AB=E,则称A 为可逆矩阵,称 B 为 A 的逆,记A^{-1}=B

    矩阵的秩是很好求的。关键是如何判断一个矩阵是否可逆呢?如果根据可逆矩阵的定义,我们几乎无法求解一个矩阵是否可逆,因为另外一个方阵B 的可能取值有无数个,我们总不可能遍历所有B 吧!其实,根据线性代数知识,我在这里介绍一种定理(这种定理的证明我就不在这里叙述了,有兴趣的同学可以翻看资料):

            n 阶矩阵可逆的充要条件是这个矩阵的秩为 n(满秩)

    二、代码实现:

    类的设计:

    class Mat
    {
    public:
    	int m = 1, n = 1; //行数和列数
    	double mat[N][N] = { 0 };  //矩阵开始的元素
    
    	Mat() {}
    	Mat(int mm, int nn)
    	{
    		m = mm; n = nn;
    	}
    	
    	void create();//创建矩阵
    	void Print();//输出矩阵
    
    	int rank();//求矩阵的秩
    	bool judgeinv();//判断矩阵是否可逆
    	void copy(Mat &a);//复制函数
    };

    这里我们先写出一个复制函数:

    void Mat::copy(Mat& a)//复制函数
    {
    	a.m = m; a.n = n;
    	for (int i = 1; i <= m; i++)
    	{
    		for (int j = 1; j <= n; j++)
    		{
    			a.mat[i][j] = mat[i][j];
    		}
    	}
    }

    rank()函数求解矩阵的秩:

    int Mat::rank()//求矩阵的秩
    {
    	Mat a(m, n);//重新复制一个,不破坏原有数据
    	copy(a);
    	int amount = 0;  //非零行的数目
    	for (int i = 1; i <= m; i++)
    	{
    		//寻找第 i 行和第 i 行以下的行中,列下标最小的不为 0 的元素
    		int row, col; //不为 0 的元素的行下标 row 和列下标 col
    		for (col = i; col <= n; col++)
    		{
    			bool flag = false;
    			for (row = i; row <= m; row++)
    			{
    				if (fabs(mat[row][col]) > 1e-10) //满足这个条件时,认为这个元素不为 0
    				{
    					flag = true;
    					break;
    				}
    			}
    			if (flag) break;
    		}
    		if (row <= m && col <= n)//找到不为 0 的元素
    		{
    			for (int j = col; j <= n; j++)//从第 col 个元素交换即可,因为前面的元素都为0
    			{//使用mat[0][j]作为中间变量交换元素
    				mat[0][j] = mat[i][j]; mat[i][j] = mat[row][j]; mat[row][j] = mat[0][j];
    			}
    			double a;//倍数
    			for (int j = i + 1; j <= m; j++)
    			{
    				a = -mat[j][col] / mat[i][col];
    				for (int k = col; k <= n; k++)
    				{//第 i 行 a 倍加到第 j 行,每行从第col个数开始,因为前面的数都是0
    					mat[j][k] += a * mat[i][k];
    				}
    			}
    			amount++; //每进行一次,就说明第i行元素已经固定并且不全为0,秩加1
    		}
    		else //没有找到不为 0 的元素,退出循环即可,因为秩数不必继续增加了
    		{
    			break;
    		}
    	}
    	return amount;
    }

    judgeinv()函数判断是否可逆:

    bool Mat::judgeinv()
    {
    	if (m != n)//不是方阵,不可逆
    		return false;
    	if (rank() == n)
    		return true;
    	else
    		return false;
    }

    有空试试吧!附上完整代码:

    #include<iostream>
    #include <cmath>
    using namespace std;
    #define N 10
    class Mat
    {
    public:
    	int m = 1, n = 1; //行数和列数
    	double mat[N][N] = { 0 };  //矩阵开始的元素
    
    	Mat() {}
    	Mat(int mm, int nn)
    	{
    		m = mm; n = nn;
    	}
    
    	void create();//创建矩阵
    	void Print();//输出矩阵
    
    	int rank();//求矩阵的秩
    	bool judgeinv();//判断矩阵是否可逆
    	void copy(Mat& a);//复制函数
    };
    
    void Mat::create()
    {
    	for (int i = 1; i <= m; i++)
    	{
    		for (int j = 1; j <= n; j++)
    		{
    			cin >> mat[i][j];
    		}
    	}
    }
    void Mat::Print()
    {
    	for (int i = 1; i <= m; i++)
    	{
    		for (int j = 1; j <= n; j++)
    		{
    			cout << mat[i][j] << "\t";
    		}
    		cout << endl;
    	}
    }
    void Mat::copy(Mat& a)//复制函数
    {
    	a.m = m; a.n = n;
    	for (int i = 1; i <= m; i++)
    	{
    		for (int j = 1; j <= n; j++)
    		{
    			a.mat[i][j] = mat[i][j];
    		}
    	}
    }
    
    int Mat::rank()//求矩阵的秩
    {
    	Mat a(m, n);//重新复制一个,不破坏原有数据
    	copy(a);
    	int amount = 0;  //非零行的数目
    	for (int i = 1; i <= m; i++)
    	{
    		//寻找第 i 行和第 i 行以下的行中,列下标最小的不为 0 的元素
    		int row, col; //不为 0 的元素的行下标 row 和列下标 col
    		for (col = i; col <= n; col++)
    		{
    			bool flag = false;
    			for (row = i; row <= m; row++)
    			{
    				if (fabs(mat[row][col]) > 1e-10) //满足这个条件时,认为这个元素不为 0
    				{
    					flag = true;
    					break;
    				}
    			}
    			if (flag) break;
    		}
    		if (row <= m && col <= n)//找到不为 0 的元素
    		{
    			for (int j = col; j <= n; j++)//从第 col 个元素交换即可,因为前面的元素都为0
    			{//使用mat[0][j]作为中间变量交换元素
    				mat[0][j] = mat[i][j]; mat[i][j] = mat[row][j]; mat[row][j] = mat[0][j];
    			}
    			double a;//倍数
    			for (int j = i + 1; j <= m; j++)
    			{
    				a = -mat[j][col] / mat[i][col];
    				for (int k = col; k <= n; k++)
    				{//第 i 行 a 倍加到第 j 行,每行从第col个数开始,因为前面的数都是0
    					mat[j][k] += a * mat[i][k];
    				}
    			}
    			amount++; //每进行一次,就说明第i行元素已经固定并且不全为0,秩加1
    		}
    		else //没有找到不为 0 的元素,退出循环即可,因为秩数不必继续增加了
    		{
    			break;
    		}
    	}
    	return amount;
    }
    bool Mat::judgeinv()
    {
    	if (m != n)//不是方阵,不可逆
    		return false;
    	if (rank() == n)
    		return true;
    	else
    		return false;
    }
    
    int main()
    {
    	Mat a(3, 3), b(4, 4);
    	cout << "请输入 " << a.m << "*" << a.n << " 的矩阵:" << endl;
    	a.create();
    	if (a.judgeinv())
    		cout << "可逆!" << endl;
    	else
    		cout << "不可逆!" << endl;
    	cout << "请输入 " << b.m << "*" << b.n << " 的矩阵:" << endl;
    	b.create();
    	if (b.judgeinv())
    		cout << "可逆!" << endl;
    	else
    		cout << "不可逆!" << endl;
    	return 0;
    }

    下一次博客我会给大家介绍另外一种判断矩阵是否可逆的方法

    若有不足之处,欢迎大家指正!

    展开全文
  • 主要介绍了C#判断一个矩阵是否为对称矩阵及反称矩阵方法,涉及C#矩阵遍历及检查等相关运算技巧,具有一定参考借鉴价值,需要的朋友可以参考下
  • 在讨论今天的主题之前,我们先给出三类矩阵的定义,分别是相似矩阵、可逆矩阵、对角矩阵。相似矩阵:在线性代数中,相似矩阵指的是存在相似关系的矩阵,设A、B为n阶矩阵,如果有n阶可逆矩阵P存在,使得P^(-1)AP=B。...

    在讨论今天的主题之前,我们先给出三类矩阵的定义,分别是相似矩阵、可逆矩阵、对角矩阵。

    相似矩阵:在线性代数中,相似矩阵指的是存在相似关系的矩阵,设A、B为n阶矩阵,如果有n阶可逆矩阵P存在,使得P^(-1)AP=B。

    可逆矩阵:存在n阶矩阵A和n阶矩阵B,使得矩阵A、B的乘积为单位矩阵,则称A为可逆矩阵,B为A的逆矩阵。

    对角矩阵:一个主对角线之外的元素都为0的矩阵。

    根据我的主题,大家也能够想到今天要谈的,便是关于相似矩阵中的可逆矩阵P能否对角化。

    相似矩阵不用多说,大家也清楚,证明两个矩阵相似,便是存在n阶可逆矩阵P,满足上面的定义。

    那么对于判断矩阵A与对角矩阵相似呢,我直接给出定理,这也是书本上提到的。

    n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是矩阵A有n个线性无关的特征向量。

    话不多说,接下来就给出一道实际的例题,来让大家详细了解一下:

    如图所示,这道例题便是告诉我们两个矩阵相似,其中各个矩阵之中都有未知数,让我们通过相似矩阵的性质来求出未知数的值。

    这里笔者当时在做的时候,有个点没有注意到,那便是相似矩阵两者的迹数相等,也就是主对角线上所有元素之和相等,导致我没有列出第一个式子,至于第二个式子,大家也都知道,就是行列式的值相等。

    这是第二小题的做法,它的目的是让我们求出可逆矩阵P,满足P^(-1)AP是对角矩阵,对于这类题型而言,正如图中所说,是有如下步骤的:

    1、求出全部的特征值,这里因为矩阵A和矩阵B相似,所以求矩阵B的特征值更好求,得到1,1,5。

    2、然后对每一个特征值求特征向量,写出基础解系。

    3、然后代入到可逆矩阵P中,算出答案。

    最后总结一下,对于求相似矩阵包含的未知数而言,最基本最重要的就是记住相似矩阵的性质,而对于求可逆矩阵P而言,最重要的就是知道解题步骤,清楚特征值特征向量该如何使用。

    展开全文
  • fprintf('该矩阵可逆\n'); else fprintf('该矩阵可逆\n'); end   result a = 1 2 3 2 1 0 3 0 1 该矩阵可逆 >>   resource [文档] ww2.mathworks.cn/help/matlab [文档] ww2....

         matlab : R2018a 64bit
          OS : Windows 10 x64
    typesetting : Markdown
           blog : my.oschina.net/zhichengjiu
          gitee : gitee.com/zhichengjiu

    code

    clear
    clc
    
    % 输入需要判定的矩阵
     
    a=[1 2 3;2 1 0;3 0 1]
     
    % 矩阵的行列式是否为0是判定的标准
     
    if(det(a)==0)
        fprintf('该矩阵不可逆\n');
    else
        fprintf('该矩阵可逆\n');
    end
    
    

    result

    
    a =
    
         1     2     3
         2     1     0
         3     0     1
    
    该矩阵可逆
    >> 
    

    resource

    • [文档] ww2.mathworks.cn/help/matlab
    • [文档] ww2.mathworks.cn/help/simulink
    • [平台] www.oschina.net
    • [平台] gitee.com


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    matlab优秀,值得学习。基础知识 + 专业知识 + matlab = ?
    Simulink,用于仿真和基于模型的设计,值得学习。
    该博文仅可用于测试与参考。

    转载于:https://my.oschina.net/zhichengjiu/blog/3013241

    展开全文
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