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  • 可逆矩阵

    2019-11-13 18:27:08
    满秩⇒可逆 方阵满秩时,可以使用初等行变换,化成单位矩阵(相当于使用...例:判断矩阵AAA是否行满秩 [123240121] \left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \e...

    满秩⇒可逆

    方阵满秩时,可以使用初等行变换,化成单位矩阵(相当于使用一系列初等矩阵左乘矩阵,得到单位矩阵),从而可逆
    行满秩矩阵就是行向量线性无关,列满秩矩阵就是列向量线性无关
    例:判断矩阵 A A A是否行满秩
    [ 1 2 3 2 4 0 1 2 1 ] \left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{matrix} \right] 121242301
    解:
    【法一】
    进行行化简:
    = [ 1 2 3 0 0 − 6 0 0 0 ] = [ 1 2 0 0 0 1 0 0 0 ] = \left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & -6 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right] =100200360=100200010

    第三行为0,则说明原矩阵第三行是其他行的线性组合。
    即:
    r o w 1 = [ 1 2 1 ] ,   r o w 2 = [ 2 4 2 ] ,   r o w 3 = [ 3 0 1 ] row_1= \left[ \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} \right],\ row_2= \left[ \begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 2 \end{matrix} \right],\ row_3= \left[ \begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right] row1=121, row2=242, row3=301
    检验是否线性相关:
    [ 1 2 1 2 4 2 3 0 1 ] = [ 1 2 1 0 0 0 3 0 1 ] \left[ \begin{matrix} 1&2&1 \\ 2&4&2 \\ 3&0&1 \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} 1&2&1 \\ 0&0&0 \\ 3&0&1 \end{matrix} \right] 123240121=103200101
    【法二】画图
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  • 可逆矩阵定理 可逆线性变换 可逆矩阵定理 定理8(可逆矩阵定理) 设A\boldsymbol{A}A为n×nn \times nn×n矩阵,则下列命题是等价的,即对某一特定的A\boldsymbol{A}A,它们同时为真或同时为假。 a.&...

    小结

    1. 可逆矩阵定理
    2. 可逆线性变换

    可逆矩阵定理

    定理8(可逆矩阵定理)
    A \boldsymbol{A} A n × n n \times n n×n矩阵,则下列命题是等价的,即对某一特定的 A \boldsymbol{A} A,它们同时为真或同时为假。
    a .    A a.\;\boldsymbol{A} a.A是可逆矩阵。
    b .    A b.\;\boldsymbol{A} b.A行等价于 n × n n \times n n×n单位矩阵。
    b .    A b.\;\boldsymbol{A} b.A n n n个主元位置。
    d .    d.\; d.方程 A x = 0 \boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{0} Ax=0仅有平凡解。
    e .    A e.\;\boldsymbol{A} e.A的各列线性无关。
    f .    f.\; f.线性变换 x ↦ A x \boldsymbol{x}\mapsto\boldsymbol{Ax} xAx是一对一的。
    g .    g.\; g. R n \mathbb{R}^{n} Rn中任意 b \boldsymbol{b} b,方程 A x = b \boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b} Ax=b至少有一个解。
    h .    A h.\;\boldsymbol{A} h.A的各列生成 R n \mathbb{R}^{n} Rn
    i .    i.\; i.线性变换 x ↦ A x \boldsymbol{x}\mapsto\boldsymbol{Ax} xAx R n \mathbb{R}^{n} Rn映上到 R n \mathbb{R}^{n} Rn
    j .    j.\; j.存在 n × n n \times n n×n矩阵 C \boldsymbol{C} C使 C A = I \boldsymbol{CA}=\boldsymbol{I} CA=I
    k .    k.\; k.存在 n × n n \times n n×n矩阵 D \boldsymbol{D} D使 A D = I \boldsymbol{AD}=\boldsymbol{I} AD=I
    l .    A T l.\;\boldsymbol{A}^{T} l.AT是可逆矩阵。

    应用可逆矩阵定理来判断 A \boldsymbol{A} A是否可逆: A = [ 1 0 − 2 3 1 − 2 − 5 − 1 9 ] \boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1 & 0 & -2 \\ 3 & 1 & -2 \\ -5 & -1 & 9\end{bmatrix} A=135011229
    解: A \boldsymbol{A} A [ 1 0 − 2 0 1 4 0 − 1 − 1 ] \begin{bmatrix}1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & -1 & -1\end{bmatrix} 100011241 [ 1 0 − 2 0 1 4 0 0 3 ] \begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix} 100010243
    所以 A \boldsymbol{A} A有3个主元位置, A \boldsymbol{A} A是可逆的。

    可逆线性变换

    线性变换 T : R n → R n \boldsymbol{T}:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{n} T:RnRn称为可逆的,若存在变换 S : R n → R n \boldsymbol{S}:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{n} S:RnRn使得
    a .    a.\; a.对所有的 R n \mathbb{R}^{n} Rn中的 x \boldsymbol{x} x S ( T ( x ) ) = x \boldsymbol{S}(\boldsymbol{T}(\boldsymbol{x}))=\boldsymbol{x} S(T(x))=x
    b .    b.\; b.对所有的 R n \mathbb{R}^{n} Rn中的 x \boldsymbol{x} x T ( S ( x ) ) = x \boldsymbol{T}(\boldsymbol{S}(\boldsymbol{x}))=\boldsymbol{x} T(S(x))=x
    我们称 S \boldsymbol{S} S T \boldsymbol{T} T的逆,把它写成 T − 1 \boldsymbol{T}^{-1} T1

    T : R n → R n \boldsymbol{T}:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{n} T:RnRn为线性变换, A \boldsymbol{A} A T \boldsymbol{T} T的标准矩阵。则 T \boldsymbol{T} T可逆当且仅当 A \boldsymbol{A} A是可逆矩阵。这时由 S ( x ) = A − 1 \boldsymbol{S}(x)=\boldsymbol{A}^{-1} S(x)=A1定义的线性变换S就是 T \boldsymbol{T} T的逆。

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  • 文章目录矩阵与复数逆矩阵的定义可逆矩阵的逆矩阵的求法可逆矩阵的性质克拉默法则的另一种推导法矩阵乘积的秩的性质参考 矩阵与复数 复数可以用二维有序数组来表示,如复数 a+bia+b \mathrm{i}a+bi 可表示为 (a,b),...


    矩阵线性代数笔记整理汇总,超全面

    1. 02矩阵01 ——概念、运算和基本矩阵、对角矩阵、方幂、数量矩阵、转置矩阵、对称矩阵、逆矩阵、奇异矩阵、三角矩阵、矩阵乘积的行列式与秩
    2. 03矩阵02——初等变换与高斯消元法、行阶梯形矩阵、行简化阶梯形矩阵、行阶梯形状与方程组解的关系、相抵
    3. 04矩阵03——逆矩阵、逆矩阵的求解、可逆矩阵的判别、伴随矩阵、以及性质、可逆矩阵的等价条件、克拉默法则的另一种推导法、矩阵乘积的秩的性质
    4. 05矩阵04——分块矩阵、分块矩阵的运算、分块矩阵的初等变换、分块初等矩阵的性质、按行分块、按列分块

    矩阵与复数

    复数可以用二维有序数组来表示,如复数 a + b i a+b \mathrm{i} a+bi 可表示为 ( a , b ) , (a, b), (a,b),因此,从结构上看复数是矩阵的特殊情形.我们看到,矩阵与复数相仿,有加法、减法、乘法三种运算. 我们知道,复数的乘法运算有逆运算,那么矩阵的乘法运算是否也有逆运算呢?如果有的话,这种运算如何定义,如何计算呢?这就是本节所要讨论的问题.

    这一节讨论的矩阵,如不特别说明,都是 n × n n \times n n×n 矩阵. 我们知道,对于任意的 n n n 级方阵 A A A 都有
    A E = E A = A A E=E A=A AE=EA=A
    这里 E E E n n n 级单位矩阵. 因此,从乘法的角度来看 n n n 级单位矩阵.在 n n n 级方阵中的地位类似于 1 在复数中的地位.

    一个复数 a ≠ 0 a \neq 0 a=0 的倒数 a − 1 a^{-1} a1 可以用等式
    a a − 1 = 1 { a } a^{-1}=1 aa1=1
    来刻画,相仿地,我们引入逆矩阵的概念.

    逆矩阵的定义

    1. 可逆的定义

    定 义 1 \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定义1} }} 1 n \quad n n 级方阵 A A A 称为为可逆矩阵,如果有n级方阵 B , B, B, 使得
    A B = B A = E  ,  (1) A B=B A=E \text { , } \tag{1} AB=BA=E , (1)
    这里 E E E n n n 级单位矩阵. 简称A可逆.

    定 义 2 \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定义2} }} 2 如果矩阵 B B B 满足 ( 1 ) , (1), (1), 那么就称为 A A A 逆 矩 阵 \large\color{red}{\boxed{\color{green}{ 逆矩阵 }}} ,记为 A − 1 = B A^{-1}=B A1=B.

    问 题 1 \Large\color{violet}{问题1} 1 任意非零矩阵都有逆矩阵吗 ?

    例1 单位阵是可逆矩阵.

    例2 由于 ( 0 0 1 1 ) ( a b c d ) = ( 0 0 a + c b + d ) ≠ ( 1 0 0 1 ) \left(\begin{array}{cc}0 & 0 \\ 1 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}a & b \\ c & d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0 & 0 \\ a+c & b+d\end{array}\right) \neq\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right) (0101)(acbd)=(0a+c0b+d)=(1001)

    因此 ( 0 0 1 1 ) \left(\begin{array}{ll}\mathbf{0} & \mathbf{0} \\ \mathbf{1} & \mathbf{1}\end{array}\right) (0101) 不可逆.

    答:并非任一非零矩阵都有逆矩阵.

    问 题 2 \Large\color{violet}{问题2} 2 若n阶方阵A可逆,则逆矩阵唯一吗 ?

    事实上,若B、C 均为 A A A 的逆矩阵,则
    A B = B A = E n , A C = C A = E n A B=B A=E_{n,} A C=C A=E_{n} AB=BA=En,AC=CA=En
    从而 B = B E n = B ( A C ) = ( B A ) C = E n C = C . B=B E_{n}=B(A C)=(B A) C=E_{n} C=C . B=BEn=B(AC)=(BA)C=EnC=C.

    答: 若 n n n 阶方阵 A A A 可逆,则逆矩阵唯一.

    注 \Large\color{violet}{注 } 由于可逆矩阵 A A A 的逆矩阵是唯一确定的,故可用确定的符号记之为 A − 1 A^{-1} A1.

    例 1 \Large\color{violet}{例1 } 1 设方阵 A A A 满足 A 2 − A − 2 E = O A^{2}-A-2 E=O \quad A2A2E=O 证明 A A A A + 2 E A+2 E A+2E都可逆, 并求 A − 1 A^{-1} A1 ( A + 2 E ) − 1 . (A+2 E)^{-1} . (A+2E)1.

    【解】 \quad 变形所给的等式,得
    A 2 − A − 2 E = O A^{2}-A-2 E=O A2A2E=O
    移项 得
    A 2 − A = 2 E A^{2}-A=2 E A2A=2E
    分解因式 得
    A ( A − E ) = 2 E A(A-E)=2 E A(AE)=2E
    两边取行列式得
    ∣ A ( A − E ) ∣ = ∣ 2 E ∣ = 2 n ≠ 0 |A(A-E)|=|2 E|=2^{n} \neq 0 A(AE)=2E=2n=0
    由方阵的行列式的性质得
    ∣ A ∣ ∣ A − E ∣ = ∣ A ( A − E ) ∣ = 2 n ≠ 0 |A||A-E|=|A(A-E)|=2^{n} \neq 0 AAE=A(AE)=2n=0
    所以 ∣ A ∣ ≠ 0 , |A| \neq 0, \quad A=0, A A A 可逆.又因为
    A ( A − E ) = 2 E A(A-E)=2 E A(AE)=2E
    变形, 得 A ⋅ A − E 2 = E , \quad A \cdot \frac{A-E}{2}=E, A2AE=E, 由逆矩阵的定义知 A − 1 = A − E 2 A^{-1}=\frac{A-E}{2} A1=2AE.

    现再证 A + 2 E A+2 E A+2E 可逆.
    A 2 − A − 2 E = O A^{2}-A-2 E=O A2A2E=O
    移项, 得 A + 2 E = A 2 , \quad A+2 E=A^{2}, A+2E=A2, 两边取行列式得 ∣ A + 2 E ∣ = ∣ A 2 ∣ = ∣ A ∣ 2 ≠ 0 , |A+2 E|=|A^{2}|= |A|^{2} \neq 0, A+2E=A2=A2=0,所以 A + 2 E \quad A+2 E \quad A+2E 可逆.

    在等式 A + 2 E = A 2 \quad A+2 E=A^{2} \quad A+2E=A2 两边左乘 A − 2 A^{-2} A2
    A − 2 ( A + 2 E ) = A − 2 A 2 = E A^{-2}(A+2 E)=A^{-2} A^{2}=E A2(A+2E)=A2A2=E
    再两边右乘 ( A + 2 E ) − 1 (A+2 E)^{-1} (A+2E)1
    ( A + 2 E ) − 1 = A − 2 = ( A − 1 ) 2 = ( A − E 2 ) 2 = 3 E − A 4 (A+2 E)^{-1}=A^{-2}=\left(A^{-1}\right)^{2}=\left(\frac{A-E}{2}\right)^{2}=\frac{3 E-A}{4} (A+2E)1=A2=(A1)2=(2AE)2=43EA

    逆矩阵的求解

    定 义 3 \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定义3} }} 3 若方阵 A A A满足 d e t A ≠ 0 detA≠0 detA=0 ,则称 A A A为非奇异矩阵或非退化矩阵;否则称 A A A为奇异矩阵或退化矩阵.

    定 义 4 \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定义4} }} 4 A i j A_{i j} Aij 是n阶方阵
    A = [ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ] A=\left[\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right] A=a11a21an1a12a22an2a1na2nann
    中元素 a i j a_{i j} aij 的代数余子式,则 A i j A_{i j} Aij 按转置排列成的矩阵
    adj ⁡ A = [ A i j ] T = [ A 11 A 21 ⋯ A n 1 A 12 A 22 ⋯ A n 2 ⋮ ⋮ ⋮ A 1 n A 2 n ⋯ A n n ] \operatorname{adj} A=\left[A_{i j}\right]^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{cccc} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n 1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n 2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ A_{1 n} & A_{2 n} & \cdots & A_{n n} \end{array}\right] adjA=[Aij]T=A11A12A1nA21A22A2nAn1An2Ann
    称为矩阵 A A A 伴 随 矩 阵 \large\color{#70f3ff}{\boxed{\color{green}{伴随矩阵}}} , 习惯记为 A ∗ A^{*} A.

    由代数余子式组合定理
    A A ∗ = A ∗ A = [  det  A 0 ⋯ 0 0  det  A ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯  det  A ] = ( det ⁡ A ) E AA^*=A^* A=\left[\begin{array}{cccc} \text { det } A & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \text { det } A & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \text { det } A \end{array}\right]=(\operatorname{det} A) E AA=AA= det A000 det A000 det A=(detA)E
    det ⁡ A ≠ 0 \operatorname{det} A \neq 0 detA=0,上式两端除以非零数 det ⁡ A \operatorname{det} A detA,得
    A ( A ∗ det ⁡ A ) = ( A ∗ det ⁡ A ) A = E A\left(\frac{A^*}{\operatorname{det} A}\right)=\left(\frac{A^*}{\operatorname{det} A}\right) A=E A(detAA)=(detAA)A=E

    A − 1 = A ∗ det ⁡ A A^{-1}=\frac{A^*}{\operatorname{det} A} A1=detAA

    特殊矩阵的逆

    单位阵 I : I − 1 = I I: \quad I^{-1}=I I:I1=I

    对角阵: D = ( d 1 ⋱ d n ) , ( d 1 , … , d n ≠ 0 ) \quad D=\left(\begin{array}{lll}d_{1} & & \\ & \ddots & \\ & & d_{n}\end{array}\right),\left(d_{1}, \ldots, d_{n} \neq 0\right) D=d1dn,(d1,,dn=0)
    ( d 1 ⋱ d n ) ( 1 d 1 ⋱ 1 d n ) = ( 1 ⋱ 1 ) = I ⇒ D − 1 = ( 1 d 1 ⋱ 1 d n ) \left(\begin{array}{ccccc}d_{1} & & \\ & \ddots & \\ & & \boldsymbol{d}_{n}\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}\frac{1}{d_{1}} & & \\ & \ddots & \\ & & \frac{1}{d_{n}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1 & & \\ & \ddots & \\ & & 1\end{array}\right)=\boldsymbol{I} \Rightarrow D^{-1}=\left(\begin{array}{lll}\frac{1}{d_{1}} & & \\ & \ddots & \\ & & \frac{1}{d_{n}}\end{array}\right) d1dnd11dn1=11=ID1=d11dn1

    数量阵: ( k I ) − 1 = 1 k I , ( k ≠ 0 ) \quad(k I)^{-1}=\frac{1}{k} I,(k \neq 0) (kI)1=k1I,(k=0)

    可逆矩阵的判别

    定 理 1 \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定理 1} }} 1 (逆矩阵的存在定理)

    矩阵 A A A 可逆的充要条件是 A A A 非退化的,而
    A − 1 = 1 det ⁡ A A ∗ ( d = ∣ A ∣ ≠ 0 ) (2) A^{-1}=\frac{1}{\operatorname{det} A} A^{*} \quad(d=|A| \neq 0)\tag{2} A1=detA1A(d=A=0)(2)
    根据定理 1 容易看出,对于 n n n 级方阵 A , B A, B A,B ,如果
    A B = E (3) A B=E \tag{3} AB=E(3)
    那么 A , B A, B A,B 就都是可逆的并且它们互为逆矩阵.

    定理 1 不但给出了一矩阵可逆的条件,同时也给出了求逆矩阵的公式(2). 按这个公式来求逆矩阵,计算量一般是非常大的.在以后我们将给出另一种求法.

    例 1 \Large\color{violet}{例1 } 1
    A = [ 1 2 3 2 2 1 3 4 3 ] A=\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 1 \\ 3 & 4 & 3 \end{array}\right] A=123224313
    A − 1 A^{-1} A1.

    【解】: ∣ A ∣ = 2 ≠ 0 |A|=2 \neq 0 A=2=0, 因而 A − 1 A^{-1} A1 存在. \quad 计算得
    A 11 = 2 , A 12 = − 3 , A 13 = 2 A 21 = 6 , A 22 = − 6 , A 23 = 2 , A 31 = − 4 , A 32 = 5 , A 33 = − 2 A ∗ = [ 2 6 − 4 − 3 − 6 5 2 2 − 2 ] \begin{array}{l}A_{11}=2, \quad A_{12}=-3, \quad A_{13}=2 \\ A_{21}=6, \quad A_{22}=-6, \quad A_{23}=2, \\ A_{31}=-4, \quad A_{32}=5, \quad A_{33}=-2\end{array} \quad A^{*}=\left[\begin{array}{ccc}2 & 6 & -4 \\ -3 & -6 & 5 \\ 2 & 2 & -2\end{array}\right] A11=2,A12=3,A13=2A21=6,A22=6,A23=2,A31=4,A32=5,A33=2A=232662452

     所以  A − 1 = A ∗ det ⁡ A = 1 2 [ 2 6 − 4 − 3 − 6 5 2 2 − 2 ] = [ 1 3 − 2 − 3 2 − 3 5 2 1 1 − 1 ] \text { 所以 } A^{-1}=\frac{A^{*}}{\operatorname{det} A}=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{ccc} 2 & 6 & -4 \\ -3 & -6 & 5 \\ 2 & 2 & -2 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 3 & -2 \\ -\frac{3}{2} & -3 & \frac{5}{2} \\ 1 & 1 & -1 \end{array}\right]  所以 A1=detAA=21232662452=12313312251

    可逆矩阵的性质

    A , B , A i ( i = 1 , 2 , … , m ) A, B, A_{i}(i=1,2, \ldots, m) A,B,Ai(i=1,2,,m) n n n 级可逆方阵, k k k 为非零常数,则
    A − 1 , k A , A B , A 1 A 2 … A m , A T A^{-1}, k A, A B, A_{1} A_{2} \ldots A_{m}, A^{\mathrm{T}} A1,kA,AB,A1A2Am,AT
    也都是可逆矩阵,且

    (1) ( A − 1 ) − 1 = A \left(A^{-1}\right)^{-1}=A (A1)1=A;

    (2) ( k A ) − 1 = 1 k A − 1 (k A)^{-1}=\frac{1}{k} A^{-1} (kA)1=k1A1;

    (3) ( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 (A B)^{-1}=B^{-1} A^{-1} (AB)1=B1A1 ; ( A 1 A 2 … A m ) − 1 = A m − 1 … A 2 − 1 A 1 − 1 \left(A_{1} A_{2} \ldots A_{m}\right)^{-1}=A_{m}^{-1} \ldots A_{2}^{-1} A_{1}^{-1} (A1A2Am)1=Am1A21A11

    (4) ( A T ) − 1 = ( A − 1 ) T \left(A^{\mathrm{T}}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{\mathrm{T}} (AT)1=(A1)T

    (5) ∣ A − 1 ∣ = 1 ∣ A ∣ \left|A^{-1}\right|=\frac{1}{|A|} A1=A1

    (6) ( A m ) − 1 = ( A − 1 ) m , m \left(A^{m}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{m}, m (Am)1=(A1)m,m 为正整数.

    【证明】 \quad 我们只证(3) 和 (4).

    (3) ( A B ) ( B − 1 A − 1 ) = A ( B B − 1 ) A − 1 = A E A − 1 = A A − 1 = E (A B)\left(B^{-1} A^{-1}\right)=A\left(B B^{-1}\right) A^{-1}=A E A^{-1}=A A^{-1}=E (AB)(B1A1)=A(BB1)A1=AEA1=AA1=E.

    (4) A T ( A − 1 ) T = ( A − 1 A ) T = ( E ) T = E , A^{\mathrm{T}}\left(A^{-1}\right)^{\mathrm{T}}=\left(A^{-1} A\right)^{\mathrm{T}}=(E)^{\mathrm{T}}=E, \quad AT(A1)T=(A1A)T=(E)T=E, 证毕

    说明 若矩阵 A , B , C A ,B ,C A,B,C满足 A B = A C AB=AC AB=AC,且 A A A可逆,则
    A B = A C ⇒ A − 1 A B = A − 1 A C ⇒ E B = E C ⇒ B = C \begin{array}{rl} A B=A C \Rightarrow & A^{-1} A B=A^{-1} A C \\ \Rightarrow & E B=E C \\ \Rightarrow & B=C \end{array} AB=ACA1AB=A1ACEB=ECB=C
    可逆矩阵相乘有消去律.

    例 2 \Large\color{violet}{例2 } 2
    A = ( 4 2 3 1 1 0 − 1 2 3 ) , A B = A + 2 B ,  求  B . A=\left(\begin{array}{ccc} 4 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 3 \end{array}\right), \quad A B=A+2 B, \quad \text { 求 } B . A=411212303,AB=A+2B,  B.
    【解 】 \quad 已知方程变形 \quad A B − 2 B = A , \quad A B-2 B=A, AB2B=A,分解因式 得 ( A − 2 E ) B = A , (A-2 E) B=A, (A2E)B=A,两边左乘 ( A − 2 E ) − 1 (A-2 E)^{-1} (A2E)1 ,得
    B = ( A − 2 E ) − 1 A = ( A − 2 E ) − 1 ( A − 2 E + 2 E ) = E + 2 ( A − 2 E ) − 1 而  A − 2 E = ( 2 2 3 1 − 1 0 − 1 2 1 ) \begin{aligned} B &=(A-2 E)^{-1} A \\ =(&A-2 E)^{-1}(A-2 E+2 E) \\ =& E+2(A-2 E)^{-1} \\ \text {而 } \\ & A-2 E=\left(\begin{array}{ccc} 2 & 2 & 3 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \end{array}\right) \end{aligned} B=(= =(A2E)1AA2E)1(A2E+2E)E+2(A2E)1A2E=211212301
    用伴随矩阵法求逆, 得
    ( A − 2 E ) − 1 = ( 1 − 4 − 3 1 − 5 − 3 − 1 6 4 ) (A-2 E)^{-1}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -4 & -3 \\ 1 & -5 & -3 \\ -1 & 6 & 4 \end{array}\right) (A2E)1=111456334
    所以
    B = E + 2 ( A − 2 E ) − 1 = ( 3 − 8 − 6 2 − 9 − 6 − 2 12 9 ) B=E+2(A-2 E)^{-1}=\left(\begin{array}{ccc} 3 & -8 & -6 \\ 2 & -9 & -6 \\ -2 & 12 & 9 \end{array}\right) B=E+2(A2E)1=3228912669

    例 3 \Large\color{violet}{例3 } 3 解下列矩阵方程 A X B = C , A X B=C, AXB=C, 其中
    A = ( 0 1 0 1 0 0 0 0 1 ) , B = ( 1 0 0 0 0 1 0 1 0 ) , C = ( 1 − 4 3 2 0 − 1 1 − 2 0 ) A=\left(\begin{array}{lll} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right), B=\left(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right), C=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -4 & 3 \\ 2 & 0 & -1 \\ 1 & -2 & 0 \end{array}\right) A=010100001,B=100001010,C=121402310
    \quad 由已知易得 X = A − 1 C B − 1 \quad X=A^{-1} C B^{-1} X=A1CB1 ,下面求 A A A B B B 的逆阵.
    A − 1 = ( 0 1 0 1 0 0 0 0 1 ) , B − 1 = ( 1 0 0 0 0 1 0 1 0 ) A^{-1}=\left(\begin{array}{lll} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right), \quad B^{-1}=\left(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right) A1=010100001,B1=100001010
     所以  X = ( 0 1 0 1 0 0 0 0 1 ) ( 1 − 4 3 2 0 − 1 1 − 2 0 ) ( 1 0 0 0 0 1 0 1 0 ) = ( 2 0 − 1 1 − 4 3 1 − 2 0 ) ( 1 0 0 0 0 1 0 1 0 ) = ( 2 − 1 0 1 3 − 4 1 0 − 2 ) \begin{aligned} \text { 所以 } X &=\left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1 & -4 & 3 \\ 2 & 0 & -1 \\ 1 & -2 & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right) \\ &=\left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & -1 \\ 1 & -4 & 3 \\ 1 & -2 & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right) \\ &=\left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & 0 \\ 1 & 3 & -4 \\ 1 & 0 & -2\end{array}\right) \end{aligned}  所以 X=010100001121402310100001010=211042130100001010=211130042

    例 4 \Large\color{violet}{例4 } 4 n n n 级矩阵 A , B , A + B A, B, A+B A,B,A+B 均可逆, 证明
    ( A − 1 + B − 1 ) − 1 = A ( A + B ) − 1 B = B ( B + A ) − 1 A \left(A^{-1}+B^{-1}\right)^{-1}=A(A+B)^{-1} B=B(B+A)^{-1} A (A1+B1)1=A(A+B)1B=B(B+A)1A
    【证】 将 A − 1 + B − 1 A^{-1}+B^{-1} A1+B1 表示成已知的可逆矩阵的乘积:
    A − 1 + B − 1 = A − 1 ( E + A B − 1 ) = A − 1 ( B B − 1 + A B − 1 ) = A − 1 ( B + A ) B − 1 \begin{aligned} A^{-1}+B^{-1} &=A^{-1}\left(E+A B^{-1}\right)=A^{-1}\left(B B^{-1}+A B^{-1}\right) \\ &=A^{-1}(B+A) B^{-1} \end{aligned} A1+B1=A1(E+AB1)=A1(BB1+AB1)=A1(B+A)B1
    由可逆矩阵的性质可知
    ( A − 1 + B − 1 ) − 1 = [ A − 1 ( A + B ) B − 1 ] − 1 = B ( B + A ) − 1 A \left(A^{-1}+B^{-1}\right)^{-1}=\left[A^{-1}(A+B) B^{-1}\right]^{-1}=B(B+A)^{-1} A (A1+B1)1=[A1(A+B)B1]1=B(B+A)1A
    同理可证另一个等式也成立.

    例 5 \Large\color{violet}{例5 } 5 A 3 = 0 , A^{3}=0, A3=0, 求证 E − A E-A EA 可逆, 且
    ( E − A ) − 1 = A 2 + A + E \begin{array}{l} (E-A)^{-1}=A^{2}+A+E \\ \end{array} (EA)1=A2+A+E
    解:
    ( E − A ) ( A 2 + A + E ) = A 2 + A + E − A 3 − A 2 − A = E − A 3 + O = E − A 3 \begin{array}{l} (E-A)\left(A^{2}+A+E\right) \\ =A^{2}+A+E-A^{3}-A^{2}-A \\ =E-A^{3}+O=E-A^{3} \end{array} (EA)(A2+A+E)=A2+A+EA3A2A=EA3+O=EA3
    A 3 = O A^{3}=O A3=O ,所以由上式得
    ( E − A ) ( A 2 + A + E ) = E (E-A)\left(A^{2}+A+E\right)=E (EA)(A2+A+E)=E
    所以 E − A E-A EA 可逆, 且
    ( E − A ) − 1 = A 2 + A + E (E-A)^{-1}=A^{2}+A+E (EA)1=A2+A+E

    例 6 \Large\color{violet}{例6 } 6 A A A n n n 级方阵 ( n ≥ 2 ) (n \geq 2) (n2),证明
    ∣ A ∗ ∣ = ∣ A ∣ n − 1 \left|A^{*}\right|=|A|^{n-1} A=An1
    【证 】 \quad 由于 A A ∗ = A ∗ A = ∣ A ∣ E , A A^{*}=A^{*} A=|A| E, AA=AA=AE, 所以
    ∣ A ∣ ∣ A ∗ ∣ = ∣ A ∣ n (4) |A|\left|A^{*}\right|=|A|^{n}\tag{4} AA=An(4)
    下面分三种情形讨论:

    (1) ∣ A ∣ ≠ 0 , |A| \neq 0, A=0, A A A 可逆, (4) 式两端除以 ∣ A ∣ |A| A 即得 ∣ A ∗ ∣ = ∣ A ∣ n − 1 . \left|A^{*}\right|=|A|^{n-1} . A=An1.

    (2) ∣ A ∣ = 0 , |A|=0, A=0, A = O , A=O, A=O, A ∗ = O , A^{*}=O, A=O, 结论显然成立.

    (3) ∣ A ∣ = 0 , |A|=0, A=0, A ≠ O , A \neq O, A=O, 反设 ∣ A ∗ ∣ ≠ 0 , \left|A^{*}\right| \neq 0, A=0, A ∗ A^{*} A 可逆,因而 A = ( A A ∗ ) ( A ∗ ) − 1 = ( ∣ A ∣ E ) ( A ∗ ) − 1 = ∣ A ∣ ( A ∗ ) − 1 = O \quad A=\left(A A^{*}\right)\left(A^{*}\right)^{-1}=(|A| E)\left(A^{*}\right)^{-1}=|A|\left(A^{*}\right)^{-1}=O A=(AA)(A)1=(AE)(A)1=A(A)1=O,故 A = O , A=O, A=O, A ≠ O A \neq O A=O 矛盾, 所以, ∣ A ∗ ∣ = 0 = ∣ A ∣ n − 1 \left|A^{*}\right|=0=|A|^{n-1} A=0=An1.

    可逆矩阵的等价条件

    A A A 可逆, 则 \quad (1) A X = b A X=b AX=b 有唯一解 X = A − 1 b . X=A^{-1} b . \quad X=A1b. (2) A X = 0 A X=0 AX=0 只有零解 X = 0. X=0 . X=0.

    技巧: (1) 矩阵等式两端同左乘某矩阵.

    (2) 使用逆矩阵时先判断矩阵的可逆性.

    初等矩阵可逆否? 如果求逆?

    初等矩阵理解为变换, 逆矩阵相当于逆变换

    P i j ⋅ P i j ⋅ I = P_{i j} \cdot P_{i j} \cdot I= PijPijI= I I I 连续做两次 i , j i, j i,j 行互换的变换 = I =I =I
    P i j − 1 = P i j P_{i j}^{-1}=P_{i j} Pij1=Pij
    P i ( 1 c ) ⋅ P i ( c ) ⋅ I =  对  I 的 i 行 × c ,  再对第  i 行 × 1 c = I P_{i}\left(\frac{1}{c}\right) \cdot P_{i}(c) \cdot I=\text { 对 } I { 的 } i { 行\times } c, \text { 再对第 } i { 行\times } \frac{1}{c}=I Pi(c1)Pi(c)I=  Ii×c, 再对第 i×c1=I
    P i − 1 ( c ) = P i ( 1 c ) , c ≠ 0 ; \begin{array}{l} P_{i}^{-1}(c)=P_{i}\left(\frac{1}{c}\right), c \neq 0 ;\\ \end{array} Pi1(c)=Pi(c1),c=0;

    P i j − 1 ( c ) = P i j ( − c ) P_{i j}^{-1}(c)=P_{i j}(-c) Pij1(c)=Pij(c)

    Q Q Q 可逆, 存在初等矩阵 P 1 , … , P s P_{1}, \ldots, P_{s} P1,,Ps 使得 Q = P 1 ⋯ P s ⇒ A Q = A P 1 ⋯ P s Q=P_{1} \cdots P_{s} \Rightarrow A Q=A P_{1} \cdots P_{s} Q=P1PsAQ=AP1Ps

    定 理 2 \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定理 2} }} 2 A A A n n n 阶矩阵,则如下命题等价:
    ( 1 ) A ​ 是 可 逆 的 ; ( 2 ) A X = ​ O 只 有 零 解 ; ( 3 ) A 与 I 行 相 抵 ; ( 4 ) A 可 表 为 有 限 个 初 等 矩 阵 的 乘 积 . \begin{array}{ll} &(1) A​ 是可逆的; & (2) A X=​ O只有零解; \\ &(3) A 与I 行相抵;& (4) A 可表为有限个初等矩阵的乘积. \\ \end{array} (1)A;(3)AI;(2)AX=O;(4)A.
    证明: **(1)→(2) **显然. (2)→(3) A ⟶  系列初等行变换  B ( A \stackrel{\text { 系列初等行变换 }}{\longrightarrow} B( A 系列初等行变换 B( 行简化阶梯形 ) ) )

    ⇒ A X = 0  与  B X = 0  同解   题设  : A X = 0  只有零解  } ⇒ B X = 0 \left.\begin{array}{r}\Rightarrow A X=0 \text { 与 } B X=0 \text { 同解 } \\ \text { 题设 }: A X=0 \text { 只有零解 }\end{array}\right\} \Rightarrow B X=0 AX=0  BX=0 同解  题设 :AX=0 只有零解 }BX=0 只有零解 ⇒ B X = 0 \Rightarrow B X=0 BX=0受约束变元数 = n =n =n

    • ⇒ B \Rightarrow B B 的最后一行不是全 0 行 ⇒ B \Rightarrow B B 的竖直方向总阶梯数为 n n n
    • B B B 的水平方向总阶梯数为 n n n, 水平方向每次阶梯数>=坚直方向

    ⇒ B \Rightarrow B B 水平方向每次阶梯数为 1 ⇒ B ( 1 \Rightarrow B( 1B( 行简化 ) ) ) 每行第一个非零元 1 恰在对角线上 ⇒ B = I \Rightarrow B=I B=I

    (3) → ( 4 ) \rightarrow(4) (4) 由题设, A A A 可经行初等变换得 I \mathbf{I} I.

    故存在初等矩阵 E 1 , ⋯   , E k E_{1}, \cdots, E_{k} E1,,Ek 使得 E k ⋯ E 1 A = I . E_{k} \cdots E_{1} A=I . EkE1A=I.
    ⇒ A = E 1 − 1 ⋯ E k − 1 I = E 1 − 1 ⋯ E k − 1 \Rightarrow A=E_{1}^{-1} \cdots E_{k}^{-1} I=E_{1}^{-1} \cdots E_{k}^{-1} A=E11Ek1I=E11Ek1
    由初等矩阵的逆 E i − 1 E_{i}^{-1} Ei1 仍为初等矩阵即得!

    ( 4 ) → ( 1 ) (\mathbf{4}) \rightarrow(\mathbf{1}) (4)(1) 由初等矩阵均可逆,以及可逆矩阵的乘积可逆即 得!

    推 论 \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{推论} }} A A A n n n 阶矩阵, 则 A X = b A X=b AX=b 有唯一解 ⇔ A \Leftrightarrow A A 可逆.

    **证明:**充分性 即 " ⇐ " A " \Leftarrow " \quad A ""A 可逆,则 A X = b A X=b AX=b 有唯一解 X = A − 1 b X=A^{-1} b X=A1b.

    必要性 即 " ⇒ " \quad " \Rightarrow " \quad "" 反证.

    A X = b A X=b AX=b 有唯一解 X 0 X_{0} X0, 但 A A A 不可逆.

    A A A 不可逆 ⇒ A X = 0 \Rightarrow A X=0 AX=0 有非零解 Z : A Z = 0. Z: A Z=\mathbf{0} . Z:AZ=0.

    Y = X 0 + Z ⇒ A Y = A ( X 0 + Z ) = A X 0 + A Z = b Y=X_{0}+Z \Rightarrow A Y=A\left(X_{0}+Z\right)=A X_{0}+A Z=b Y=X0+ZAY=A(X0+Z)=AX0+AZ=b

    Y Y Y A X = b A X=b AX=b 的解,与 A X = b A X=b AX=b 有唯一解 X 0 X_{0} X0 矛盾!

    克拉默法则的另一种推导法

    利用矩阵的逆,可以给出克拉默法则的另一种推导法.线性方程组
    { a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 n x n = b 2 … … … … … … … a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + ⋯ + a n n x n = b n \left\{\begin{array}{c} a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=b_{1} \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=b_{2} \\ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\ a_{n 1} x_{1}+a_{n 2} x_{2}+\cdots+a_{n n} x_{n}=b_{n} \end{array}\right. a11x1+a12x2++a1nxn=b1a21x1+a22x2++a2nxn=b2an1x1+an2x2++annxn=bn
    可以写成
    A X = B (5) A X=B\tag{5} AX=B(5)
    如果 ∣ A ∣ ≠ 0 , |A| \neq 0, A=0, 那么 A A A 可逆.用
    X = A − 1 B X=A^{-1} B X=A1B
    代入(5),得恒等式 A ( A − 1 B ) = B , A\left(A^{-1} B\right)=B, A(A1B)=B, 这就是说 A − 1 B A^{-1} B A1B 是一个解.如果
    X = C X=C X=C
    是(5)的一个解,那么由
    A C = B A C=B AC=B

    A − 1 ( A C ) = A − 1 B A^{-1}(A C)=A^{-1} B A1(AC)=A1B

    C = A − 1 B C=A^{-1} B C=A1B
    这就是说,解 X = A − 1 B X=A^{-1} B X=A1B 是唯一的.用 A − 1 A^{-1} A1 的公式(2)代入,乘出来就是克拉默法则中给出的公式.

    矩阵乘积的秩的性质

    定 理 2 \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定理 2} }} 2 A A A 是一个 s × n s \times n s×n 矩阵,如果 P P P s × s s \times s s×s 可逆矩阵, Q Q Q n × n n \times n n×n 可逆矩阵,那么
    秩 ( A ) = 秩 ( P A ) = 秩 ( A Q ) . 秩 (A)= 秩 (P A)= 秩 (A Q). (A)=(PA)=(AQ).
    【证明】 \quad B = P A \quad B=P A B=PA, 由 秩 ( A B ) ≤ min ⁡ [ (A B) \leq \min [ (AB)min[ ( A ) , (A), (A), ( B ) ] (B)] (B)].得到
    秩 ( B ) ≤ 秩 ( A ) ; 秩 (B) \leq 秩 (A) ; \quad (B)(A);
    但是由
    A = P − 1 B A=P^{-1} B A=P1B
    又有秩 ( A ) ≤ (A) \leq (A) ( B ) (B) (B).所以,秩 ( A ) = (A)= (A)= ( B ) = (B)= (B)= ( P A ) (P A) (PA).另一个式子可以同样地证明.

    参考

    北京大学数学系几何与代数教研室代数小组,《高等代数》(第四版)

    高等代数,林亚南,高等教育出版社

    高等代数学习辅导,林亚南,林鹭,杜妮,陈清华,高等教育出版社

    高等代数 电子科技大学

    高等代数_安阳师范学院

    《高等代数》(第五版)

    展开全文
  • 矩阵的逆的定义:一个n×nn\times nn×n的矩阵AAA是可逆的,如果存在一个n×nn\times nn×n的矩阵CCC使得: ...不可逆矩阵有时也叫奇异矩阵,可逆矩阵有时也成为非奇异矩阵。 求矩阵逆的方法: 把n×nn\

    矩阵的逆的定义:一个 n × n n\times n n×n的矩阵 A A A是可逆的,如果存在一个 n × n n\times n n×n的矩阵 C C C使得:
    C A = I , 且 A C = I CA=I, 且 AC=I CA=I,AC=I
    其中 I = I n I=I_n I=In n × n n\times n n×n的单位矩阵,此时矩阵 C C C就是矩阵 A A A的逆,矩阵 A A A的逆记为矩阵 A − 1 A^{-1} A1。若矩阵 A A A可逆,那么它的逆是唯一的。

    奇异矩阵与非奇异矩阵:
    不可逆矩阵有时也叫奇异矩阵,可逆矩阵有时也成为非奇异矩阵。

    求矩阵逆的方法:
    n × n n\times n n×n的方阵 A A A与同样是 n × n n\times n n×n的单位矩阵 I I I排在一起,构成增广矩阵 [ A I ] [A \qquad I] [AI],对此增广矩阵进行初等行变换,直到化简为 [ I A − 1 ] [I \qquad A^{-1}] [IA1],这样矩阵 A A A的逆 A − 1 A^{-1} A1就出现在增广矩阵右边。如果不能做如上化简,则表明矩阵 A A A没有逆。

    可逆矩阵定理

      假设矩阵 A A A n × n n\times n n×n的方阵,以下命题是等价的,即它们同时为真或同时为假:

    1. A A A是可逆矩阵;
    2. A A A行等价于 n n n阶单位阵(即 A A A经过若干次初等行变换可以变成 n n n阶的 I I I);
    3. A有 n n n个主元位置;
    4. 方程 A x = 0 Ax=0 Ax=0仅有平凡解;
    5. A A A的各列线性无关;
    6. 线性变换 x ∣ → A x x|\rightarrow Ax xAx是一对一的;
    7. R n R^n Rn中任意 b b b,方程 A x = b Ax=b Ax=b至少有一个解;
    8. A A A的各列生成 R n R^n Rn
    9. 线性变换 x ∣ → A x x|\rightarrow Ax xAx R n R^n Rn映射到 R n R^n Rn
    10. 存在 n × n n\times n n×n矩阵 C C C使得 C A = I CA=I CA=I
    11. 存在 n × n n\times n n×n矩阵 D D D使得 A D = I AD=I AD=I
    12. A T A^T AT是可逆矩阵;
    13. A A A的列向量构成 R n R^n Rn的一个基;
    14. C o l   A = R n Col\space A=R^n Col A=Rn
    15. d i m C o l   A = n dimCol\space A=n dimCol A=n
    16. r a n k A = n rankA=n rankA=n
    17. N u l A = { 0 } NulA=\{0\} NulA={0}
    18. d i m N u l   A = 0 dimNul\space A=0 dimNul A=0

    判断矩阵可逆的方法:
    判断矩阵可逆的方法有很多,例如:

    1. 行列式判别法:若一个矩阵行列式不为零,则可逆;若行列式等于零,则不可逆。
    2. n × n n\times n n×n的矩阵 A A A是可逆的,则对每一 R n R^n Rn中的 b b b,方程 A x = b Ax=b Ax=b有唯一解 x = A − 1 b x=A^{-1}b x=A1b

    解方程 A x = b Ax=b Ax=b三种方法:

    1. 如果 n × n n\times n n×n的矩阵 A A A是可逆的,那么可以用MATLAB中的反斜杠求解: x = A \ b x=A \backslash b x=A\b
    A =
         1     2
         4     7
    
    >> [n,n] = size(A)
    n =
         2
    n =
         2
    
    >> b = rand(n,1)
    b =
        0.5469
        0.9575
        
    >> x1= A\b     //MATLAB中使用反斜杠“\”法直接求x
    x1 =
       -1.9132
        1.2300
    
    1. (此方法通用性好)不论矩阵 A A A是否可逆的,可以先把矩阵 A A A和矩阵 b b b构成增广矩阵 [ A b ] [A \qquad b] [Ab],再把此增广矩阵化简为简化阶梯阵即可。
    >> C = [A b]
    C =
        1.0000    2.0000    0.5469
        4.0000    7.0000    0.9575
        
    >> rref(C)   // MATLAB中rref函数将矩阵化简为简化阶梯阵。
    ans =
        1.0000         0   -1.9132
             0    1.0000    1.2300
    

    可见,化简得到的简化阶梯阵最后一列 [ − 1.9132 1.2300 ] \begin{bmatrix}-1.9132\\1.2300\end{bmatrix} [1.91321.2300]即为方程的解,与方法1结果相同。

    1. 如果 n × n n\times n n×n的矩阵 A A A是可逆的,可以求矩阵 A A A的逆 A − 1 A^{-1} A1,则方程的解为: x = A − 1 b x=A^{-1}b x=A1b
    A =
         1     2
         4     7
         
    >> Ai = inv(A)    //函数inv求矩阵A的逆
    Ai =
        -7     2
         4    -1
         
    >> x2 = Ai * b
    x2 =
       -1.9132
        1.2300
    

      可见解得的结果与上面两种方法相同。

    关于Hilbert矩阵及其逆的求法:
      该矩阵为方阵,中任意元素表示为 A i j = 1 i + j − 1 A_{ij}=\frac {1}{i+j-1} Aij=i+j11。Hilbert矩阵是高度病态的,任何一个元素发生一点变动,整个矩阵的行列式的值和逆矩阵都会发生巨大变化,病态程度和阶数相关。
      Hilbert矩阵( H H H)阶数越大,其病态程度越严重,使用浮点数计算来解方程 H x = b Hx=b Hx=b的误差就越大。
      MATLAB里面有内置函数invhilb(n)来计算n阶Hilbert矩阵的逆,输出的解为精确解,如下:

    >> H = hilb(5)   //生成5阶Hilbert矩阵
    H =
           1              1/2            1/3            1/4            1/5     
           1/2            1/3            1/4            1/5            1/6     
           1/3            1/4            1/5            1/6            1/7     
           1/4            1/5            1/6            1/7            1/8     
           1/5            1/6            1/7            1/8            1/9 
           
    >> invhilb(5)   //5阶Hilbert矩阵逆的精确解
    ans =
          25           -300           1050          -1400            630       
        -300           4800         -18900          26880         -12600       
        1050         -18900          79380        -117600          56700       
       -1400          26880        -117600         179200         -88200       
         630         -12600          56700         -88200          44100      
    
    

    病态矩阵与良态矩阵:

      一个可逆矩阵是病态的(ill-conditioned),即中的某些元素稍作改变就会变成奇异矩阵(不可逆矩阵),矩阵的逆和以其为系数矩阵的方程组的解对微小的扰动十分敏感,这类矩阵叫病态矩阵,或接近奇异的矩阵。这类矩阵会给数值求解带来很大困难。

      矩阵病态的反面是良态(well-conditioned),关于良态矩阵与病态矩阵的判断,可以使用条件数(Condition Number)作为依据,见下文。

      在MATLAB中实现上面三种方法,对于求解存在该类矩阵的方程(如 A x = b Ax=b Ax=b A A A为Hilbert矩阵),精确度都是不太够的,可能会有warning。

    >> A = hilb(20)   //生成20阶的Hilbert矩阵
    A =
      Columns 1 through 5
           1              1/2            1/3            1/4            1/5     
           1/2            1/3            1/4            1/5            1/6     
           1/3            1/4            1/5            1/6            1/7     
           1/4            1/5            1/6            1/7            1/8     
           1/5            1/6            1/7            1/8            1/9     
           1/6            1/7            1/8            1/9            1/10    
           1/7            1/8            1/9            1/10           1/11    
           1/8            1/9            1/10           1/11           1/12    
           1/9            1/10           1/11           1/12           1/13    
           1/10           1/11           1/12           1/13           1/14    
           1/11           1/12           1/13           1/14           1/15    
           1/12           1/13           1/14           1/15           1/16    
           1/13           1/14           1/15           1/16           1/17    
           1/14           1/15           1/16           1/17           1/18    
           1/15           1/16           1/17           1/18           1/19    
           1/16           1/17           1/18           1/19           1/20    
           1/17           1/18           1/19           1/20           1/21    
           1/18           1/19           1/20           1/21           1/22    
           1/19           1/20           1/21           1/22           1/23    
           1/20           1/21           1/22           1/23           1/24    
      Columns 6 through 10
           1/6            1/7            1/8            1/9            1/10    
           1/7            1/8            1/9            1/10           1/11    
           1/8            1/9            1/10           1/11           1/12    
           1/9            1/10           1/11           1/12           1/13    
           1/10           1/11           1/12           1/13           1/14    
           1/11           1/12           1/13           1/14           1/15    
           1/12           1/13           1/14           1/15           1/16    
           1/13           1/14           1/15           1/16           1/17    
           1/14           1/15           1/16           1/17           1/18    
           1/15           1/16           1/17           1/18           1/19    
           1/16           1/17           1/18           1/19           1/20    
           1/17           1/18           1/19           1/20           1/21    
           1/18           1/19           1/20           1/21           1/22    
           1/19           1/20           1/21           1/22           1/23    
           1/20           1/21           1/22           1/23           1/24    
           1/21           1/22           1/23           1/24           1/25    
           1/22           1/23           1/24           1/25           1/26    
           1/23           1/24           1/25           1/26           1/27    
           1/24           1/25           1/26           1/27           1/28    
           1/25           1/26           1/27           1/28           1/29    
      Columns 11 through 15
           1/11           1/12           1/13           1/14           1/15    
           1/12           1/13           1/14           1/15           1/16    
           1/13           1/14           1/15           1/16           1/17    
           1/14           1/15           1/16           1/17           1/18    
           1/15           1/16           1/17           1/18           1/19    
           1/16           1/17           1/18           1/19           1/20    
           1/17           1/18           1/19           1/20           1/21    
           1/18           1/19           1/20           1/21           1/22    
           1/19           1/20           1/21           1/22           1/23    
           1/20           1/21           1/22           1/23           1/24    
           1/21           1/22           1/23           1/24           1/25    
           1/22           1/23           1/24           1/25           1/26    
           1/23           1/24           1/25           1/26           1/27    
           1/24           1/25           1/26           1/27           1/28    
           1/25           1/26           1/27           1/28           1/29    
           1/26           1/27           1/28           1/29           1/30    
           1/27           1/28           1/29           1/30           1/31    
           1/28           1/29           1/30           1/31           1/32    
           1/29           1/30           1/31           1/32           1/33    
           1/30           1/31           1/32           1/33           1/34    
      Columns 16 through 20
           1/16           1/17           1/18           1/19           1/20    
           1/17           1/18           1/19           1/20           1/21    
           1/18           1/19           1/20           1/21           1/22    
           1/19           1/20           1/21           1/22           1/23    
           1/20           1/21           1/22           1/23           1/24    
           1/21           1/22           1/23           1/24           1/25    
           1/22           1/23           1/24           1/25           1/26    
           1/23           1/24           1/25           1/26           1/27    
           1/24           1/25           1/26           1/27           1/28    
           1/25           1/26           1/27           1/28           1/29    
           1/26           1/27           1/28           1/29           1/30    
           1/27           1/28           1/29           1/30           1/31    
           1/28           1/29           1/30           1/31           1/32    
           1/29           1/30           1/31           1/32           1/33    
           1/30           1/31           1/32           1/33           1/34    
           1/31           1/32           1/33           1/34           1/35    
           1/32           1/33           1/34           1/35           1/36    
           1/33           1/34           1/35           1/36           1/37    
           1/34           1/35           1/36           1/37           1/38    
           1/35           1/36           1/37           1/38           1/39    
    
    >> b = rand(20,1)   //生成b向量
    b =
         687/712   
         589/3737  
        6271/6461  
         581/607   
         614/1265  
        1142/1427  
         689/4856  
         407/965   
        1065/1163  
          61/77    
        1966/2049  
        3581/5461  
         489/13693 
         439/517   
         283/303   
        1481/2182  
         979/1292  
         541/728   
        1645/4194  
        1406/2145  
        
    >> x1 = A\b  //反斜杠法求解x=A\b
    Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be
    inaccurate. RCOND =  5.231543e-20.     //此处为Warning,
     
    x1 =
    -3424659463       
    528255780716       
    -19975903782848       
    321018859628437       
    -2688760131266522       
    12761814815871434       
    -34399090053517208       
    45897097341921456       
    -7254237859641766       
    -37322034685407312       
    -49284163552153728       
    217508096052998944       
    -205446702755182752       
    64773453754244512       
    -105964986075521504       
    193373000517961920       
    -30851727609549800       
    -163776311038511840       
    135720005301748528       
    -33347024092943792 
    
    
    R = rref([A b]); x3 = R(:,21) //方法2求解,化简阶梯阵的方法,此方法最通用,没有warning。
    x3 =
           0       
           0       
           0       
           0       
           0       
           0       
           0       
           0       
           0       
           0       
           0       
           0       
           0       
           0       
           1       
           0       
           0       
           0       
           0       
           0   
    
    >> x2=inv(A)*b  //方法3求解,矩阵A的逆乘b
    Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be
    inaccurate. RCOND =  9.542396e-20. 
     
    x2 =
    -3095618963       
    478515839234       
    -18128046963749       
    291709089884240       
    -2443748498671269       
    11565944181737902       
    -30772016457394916       
    38422934259310336       
    6062876912518655       
    -64009870499747464       
    -815625744960023       
    161923881096513024       
    -174734421275108320       
    49731260512141016       
    -57082196217625456       
    111820626128154624       
    24957912964649792       
    -173285108058004640       
    129261793086585504       
    -30878300969326916 
    

    误差讨论:

      上面的Warning中的“RCOND”表示条件数的倒数(reciprocal),如果这个值很小,则表示条件数很大,也就是说矩阵求解的误差越大。

      条件数很大的矩阵是病态矩阵,对矩阵中元素很小的扰动会对结果产生很大影响。上面对含有Hilbert矩阵的方程进行求解过程中得到的RCOND = 9.542396e-20RCOND = 5.231543e-20都是很小的,表示条件数都非常大,所以,产生上面报警的计算是非常不精确的。

      由于MATLAB中的反斜杠求解 A x = b Ax=b Ax=b(矩阵 A A A是可逆方阵)算法是使用了部分主元法的LU分解法,使用部分主元法的算法计算量较小,且舍入误差较小。所以这种方法误差总体来说较小。

      如果使用inv(A)先求A的逆,再x2=inv(A)*b的话,MATLAB先计算inv(A),也就是求解 A x = e i Ax=e_i Ax=ei e i e_i ei是单位矩阵 I I I中的每一列向量,这样每一列向量 e i e_i ei对应的解向量 x x x求出后,拼合起来就是矩阵 A A A的逆 A − 1 A^{-1} A1,最后计算 A − 1 b A^{-1}b A1b。可见此种计算方法的计算量很大,所以每步的误差积累更多,总体误差更大。

      对于使用rref( )求增广矩阵的简化阶梯式的方法,由于这种算法不检测矩阵是病态还是良态(所以不会提示矩阵是否是近奇异的或者病态的),仅在小的矩阵中比较精确,矩阵很大则计算很慢,但是这并不是说这种方法就最精确,其误差和上述两种方法在一个量级,但是一般不使用这种方法。

    关于条件数(Condition Number)

      条件数越大,矩阵越接近于奇异。单位矩阵的条件数是1,奇异矩阵的条件数为无穷大。在极端情况下,矩阵计算程序可能无法区别奇异矩阵与病态矩阵。
      当条件数很大时,矩阵计算可能产生很大的误差。

      定义:矩阵 A A A的条件数(Condition Number)为 ∣ ∣ A ∣ ∣   ∣ ∣ A − 1 ∣ ∣ ||A||\space ||A^{-1}|| A A1

      计算方法有很多种,如:矩阵 A A A是可逆矩阵,其最大奇异值和最小奇异值之比 σ 1 σ n \frac {\sigma_1}{\sigma_n} σnσ1就是矩阵 A A A的条件数。

      MATLAB中计算矩阵条件数的函数:cond( )。例如:

    A =
        0.7060    0.8235    0.4387    0.4898    0.2760
        0.0318    0.6948    0.3816    0.4456    0.6797
        0.2769    0.3171    0.7655    0.6463    0.6551
        0.0462    0.9502    0.7952    0.7094    0.1626
        0.0971    0.0344    0.1869    0.7547    0.1190
    
    >> cond(A)   //计算矩阵A的条件数
    ans =
        7.4466
    
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