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  • LTI系统判断因果稳定性.PPT
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    2020-12-19 04:49:58

    LTI系统判断因果性稳定性

    10.7离散时间系统系统函数与Z域分析 一.单位样值响应与系统函数 1.由零极点分布确定单位样值响应 由零极点分布确定单位样值响应(续) 利用z~s平面的映射关系 10.8 系统函数的方框图表示 在第二章已经讨论了差分方程描述的LTI系统的方框图表示。本届内容与其类似,主要是从系统函数出发讨论与方框图的互相表示。 直接二型方框图尤其重要。 10.9 用单边z变换解差分方程 序言 例1 b.由储能引起的零输入响应 c.整理(1)式得全响应 补充:z变换与拉普拉斯变换的关系 z平面与s平面的映射关系 几种情况 冲激响应不变法进行数字滤波器的设计 系统频响的几何求法 与拉氏变换求取系统频响的几何方法类似,只是这里运动的点在单位圆上。 幅频特性和相频特性的定性画法。 傅氏变换、拉氏变换、z变换的关系 1.三种变换的比较 2.频率的比较 3.s平面虚轴上的拉氏变换即为傅氏变换 即 零输入响应为 差分方程解的验证 代入 比较 s平面 z平面 (1)s平面的原点 ,z平面 ,即 。 左半平面 虚轴 右半平面 左向右移 单位圆内 单位圆上 单位圆外 半径扩大 (2) (3) (4)z~s映射不是单值的。 1.?三种变换的比较 2.频率的比较 3.s平面虚轴上的拉氏变换即为傅氏变换 4.z平面单位圆上的z变换即为序列的傅氏变换(DTFT) 变换名称 傅里叶变换 拉普拉斯变换 z变换 信号类型 变量 模拟角频率 ,量纲:弧度/秒; 数字角频率 ,量纲:弧度; 是周期为 的周期函数 关系: 4. z平面单位圆上的z变换即为序列的傅氏变换(DTFT) 第 * 页 第10章 Z-变换 The Z-Transform III 单位样值响应与系统函数 系统函数的零极点分布对系统特性的影响 确定单位样值响应 稳定性 因果性 1.定义 2.?h(n)和H(z)为一对z变换对 1.定义 线性时不变离散系统由线性常系数差分方程描述,一般形式为 激励为因果序列 系统处于零状态 上式两边取z变换得 只与系统的差分方程的系数、结构有关,描述了系统的特性。 2. h(n)和H(z)为一对z变换 ●系统的零状态响应: ● 例1 则 解: 求系统的零状态响应 在零状态条件下,对差分方程两边取双边z变换 已知离散系统的差分方程为: 激励 二.系统函数的零极点分布对系统特性的影响 1.由零极点分布确定单位样值响应 2.离散系统的稳定性 3.系统的因果性 展成部分分式:(假设无重根) 的极点,可以是不同的实数或共轭复数, 决定了 的特性。其规律可能是指数衰减、上升, 或为减幅、增幅、等幅振荡。 :与H(z)的零点、极点分布都有关。 极点位置与h(n)形状的关系 s平面 z平面 极点位置 h(t)特点 极点位置 h(n)特点 虚轴上 等幅 单位圆上 等幅 原点时 左半平面 衰减 单位圆内 减幅 右半平面 增幅 单位圆外 增幅 2.离散系统的稳定性 对于稳定系统,只要输入是有界的,输出必 定是有界的(BIBO)。 (2)稳定性判据 (1)定义: 判据1:离散系统稳定的充要条件:单位样值响应绝对可和。 判据2:对于因果系统,其稳定的充要条件为: H(z)的全部极点应落在单位圆之内。即收敛域应包括单位圆在内: 。 (3)连续系统和离散系统稳定性的比较 沿虚轴 临界稳定的极点 含单位圆的圆外 含虚轴的右半平面 收敛域 H(z)的极点全部在单位圆内 H(s)的极点全部在左半平面 极点 系统稳定的充要条件 离散系统 连续系统 3.系统的因果性 系统因果性的判断方法: z域: 收敛域在圆外 输出不超前于输入 例2 下面方程所描述的系统是否为因果系统? 解: 输出未超前于输入, 所以是因果系统。 例3 解: 不稳定系统 ?从时域判断 因果系统 ?从z域判断 极点在单位圆上,收敛域不包括单位圆→不稳定(边界稳定)。 h(n)为右边序列,收敛域为圆外,为因果系统。 例4 LTI系统, ,判断因果性、稳定性。 注意:对于因果系统,极点在单位圆内稳定。 ②从时域判断: 不稳定 ③从z域判断: 收敛域 ,极点在处 , 是非因果系统,极点在单位圆内也不稳定。 ①从时域判断: 不是因果系统 由 可看出: 方程中包括三种基本运算:乘系数、相加、移位 (延迟)

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    如何判断一个系统是否为线性系统,时不变系统以及稳定系统?

    先线性运算再经过系统=先经过系统再线性运算是线性系统;

    先时移再经过系统=先经过系统再时移为时不变系统;

    时间趋于无穷大时系统值有界则为稳定的系统,或者对连续系统S域变换,离散系统Z域变换,H(s)极点均在左半平面则稳定,H(z)极点均在单位圆内部则稳定;

    一般的常微分差分方程都是LTI,输入输出有关于t的尺度变换则时变,微分差分方程的系数为关于时间t的函数也时变。

    怎么判断出系统是因果系统还是非因果系统的?

    零状态响应不出现于激励之前的系统(或任一时刻的响应仅决定于该时刻和该时刻以前的输入值,而与将来时刻的输入值无关),称为因果系统。

    一般来讲,若f(·)=0,t《t0(或k《k0)

    则yzs(·)=T[{0},{f(·)}]=0,t《t0(或k《k0)

    就称该系统为因果系统,否则称为非因果系统。

    如系统:yzs(t)=3f(t-1)就是因果系统,因为t1时刻的响应是t1-1时刻的激励引起的,这不就是先有激励后有响应吗,有因才有果,这就是因果。

    而系统yzs(t)=3f(t+1)就不是因果系统,因为t1时刻的响应是t1+1时刻的激励引起的,先有响应后有激励,这就不是因果的了。

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  • 信号与系统中,如果离散系统稳定,则系统函数的极点必须全部位于单位圆。t=t1的输出y(t1)只取决于t≤t1的输入x(t≤t1)时,则此系统因果系统。离散系统系统的全部或关键组成部分的变量具有离散信号形式,系统的...

    信号与系统中,如果离散系统稳定,则系统函数的极点必须全部位于单位圆。t=t1的输出y(t1)只取决于t≤t1的输入x(t≤t1)时,则此系统为因果系统。

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    离散系统是系统的全部或关键组成部分的变量具有离散信号形式,系统的状态在时间的离散点作突变的系统。在时间的离散时刻上取值的变量称为离散信号,通常是时间间隔相等的数字序列,例如按一定的采样时刻进行的数据收集。对离散系统需用差分方程描述。

    拓展资料

    离散系统理论广泛应用于社会、经济及工程系统领域,如动机、脉冲控制、采样调节、数字控制等。离散事件动态系统由触发事件驱动状态演化的动态系统。这种系统的状态通常只取有限个离散值,对应于系统部件的好坏、忙闲等可能状况。

    系统的行为可用它产生的状态或事件序列描述。系统状态的改变是由某些环境条件的出现或消失、某些运算、操作的启动或结束等随机事件驱动而引起的。

    由于其状态空间缺乏可运算的结构,难以用传统的基于微分或差分方程的方法研究,利用计算机仿真进行实验研究常常是主要的方法。

    参考资料:离散系统 百度百科

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  • 一、系统因果性与稳定性示例一、 二、系统因果性与稳定性示例二





    一、系统因果性与稳定性示例一



    判断系统的 因果性 与 稳定性 :

    y ( n ) = 1 N ∑ k = 0 N − 1 x ( n − k ) y(n) = \cfrac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}x(n-k) y(n)=N1k=0N1x(nk)


    因果性 : " 离散时间系统 " n n n 时刻" 输出 " , 只取决于 n n n 时刻 及 n n n 时刻 之前 " 输入序列 " , 与 n n n 时刻之后 " 输入序列 " 无关 ;

    稳定性 : 如果 " 输入序列 " 有界 , 则 " 输出序列 " 也有界 ;


    因果性证明 :

    由于 k k k 的取值范围是 [ 0 , N − 1 ] [0, N-1] [0,N1] 区间 ,

    y ( n ) y(n) y(n) x ( n ) , x ( n − 1 ) , ⋯   , x ( n − N + 1 ) x(n) , x(n-1) , \cdots , x(n - N + 1) x(n),x(n1),,x(nN+1) 有关 ;

    也就是 y ( n ) y(n) y(n) 只与 n n n 时刻以及 n n n 时刻之前的 " 输入序列 " 有关 ,

    因此 , 该系统具有 " 因果性 " ;


    稳定性证明 :

    如果 ∣ x ( n ) ∣ ≤ B |x(n)| \leq B x(n)B , 是有界的 ,

    则有 ∣ y ( n ) ∣ ≤ 1 N × N B = B |y(n)| \leq \cfrac{1}{N} \times NB = B y(n)N1×NB=B , 求和的结果也是有界的 ,

    ∑ h ( n ) < ∞ \sum h(n) < \infty h(n)< 就是不可和的 ;

    因此 , 该系统具有 " 稳定性 " ;





    二、系统因果性与稳定性示例二



    判断系统的 因果性 与 稳定性 :

    y ( n ) = e x ( n ) y(n) = e^{x(n)} y(n)=ex(n)


    因果性 : " 离散时间系统 " n n n 时刻" 输出 " , 只取决于 n n n 时刻 及 n n n 时刻 之前 " 输入序列 " , 与 n n n 时刻之后 " 输入序列 " 无关 ;

    稳定性 : 如果 " 输入序列 " 有界 , 则 " 输出序列 " 也有界 ;


    因果性证明 :

    y ( n ) y(n) y(n) x ( n ) x(n) x(n) 有关 ;

    也就是 y ( n ) y(n) y(n) n n n 时刻以及 n n n 时刻之前的 " 输入序列 " 有关 , 更准确的说是 只与 n n n 时刻的 x ( n ) x(n) x(n) 有关 ;

    因此 , 该系统具有 " 因果性 " ;


    稳定性证明 :

    如果 ∣ x ( n ) ∣ ≤ B |x(n)| \leq B x(n)B , 是有界的 ,

    则有 ∣ y ( n ) ∣ ≤ e B |y(n)| \leq e^B y(n)eB , 求和的结果也是有界的 ,

    ∑ h ( n ) < ∞ \sum h(n) < \infty h(n)< 就是不可和的 ;

    因此 , 该系统具有 " 稳定性 " ;

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空空如也

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