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2020-09-26 22:06:17
基本概念
复变函数定义:设G是复平面上的一点集,对于G中的任意一点z,有确定的一个或多个w与它对应,则称在G上定义了一个复变函数。w = f(z)。
定义域扩展到复平面,以前的函数只定义在整个实轴。
单值函数:对于一个z∈G,有唯一一个w与它对应。
多值函数:不是单值函数的函数。复变函数的一般坐标表示:
w = f(z) = u(x, y) + iv(x, y);u(x, y),v(x, y)为实值函数。
w = f(z) 的性质取决于 u(x, y) 和 v(x, y) 的性质。
邻域:
去心邻域:
开集:
余集:
闭集:
边界点:
边界:
孤立点:
有界集:
无界集:区域:
开区域:
闭曲域:
单连通区域:
复连通区域:分段光滑:
光滑:重点:
简单曲线:
简单闭曲线:若尔当曲线定理
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东风夜放花千树,更吹落,星如雨
2.1 复变函数的定义:
设 D D D是复平面上一个非空点集。如果按照一个确定的法则 f f f,对于 D D D中的每一个点 z z z,都有一个或多个复数 w w w与之对应,则称复变数 w w w是复变数 z z z的函数,简称为复变函数,记为
w = f ( z ) , z ∈ D w=f(z)\ ,\quad z\in D w=f(z) ,z∈D 如果 z z z的一个值对应于 w w w的一个值,那么称函数 f ( z ) f(z) f(z)是单值的,如果 z z z的一个值对应着 w w w的多个值,那么称函数 f ( z ) f(z) f(z)是多值的。
复变函数也可以和两个二元实函数 u ( x , y ) , v ( x , y ) u(x,y)\ ,\ v(x,y) u(x,y) , v(x,y)联系起来,设 w = u + v i w=u+vi w=u+vi, z = x + y i z=x+yi z=x+yi,则
w = u + v i = f ( z ) = f ( x + y i ) = u ( x , y ) + v ( x , y ) i w=u+vi=f(z)=f(x+yi)=u(x,y)+v(x,y)i w=u+vi=f(z)=f(x+yi)=u(x,y)+v(x,y)i 复变函数可以类比实函数定义其函数特征。2.2 指数函数:
对于复变数 z = x + y i z=x+yi z=x+yi,称复变数 w = e x ( c o s y + i s i n y ) w=e^x(cosy+isiny) w=ex(cosy+isiny)为复变数 z z z的指数函数,记作 w = e z w=e^z w=ez,即
w = e z = e x ( c o s y + i s i n y ) w=e^z=e^x(cosy+isiny) w=ez=ex(cosy+isiny) { ∣ e z ∣ = e x A r g ( e z ) = y + 2 k π ( k = 0 , ± 1 , ± 2 , … ) \left\{\begin{aligned} & |e^z|=e^x \\ & Arg(e^z)=y+2k\pi\quad (k=0,\pm1,\pm 2,\ldots)\end{aligned}\right. {∣ez∣=exArg(ez)=y+2kπ(k=0,±1,±2,…) 指数函数是单值函数,且在复平面上处处有定义。
(注:这里单值函数是指在 z = x + y i z=x+yi z=x+yi这样的实部虚部表示法下,函数值 w = e z w=e^z w=ez有唯一确定的实部和虚部。对于虚数的指数表示法 A r g ( e z ) = y + 2 k π Arg(e^z)=y+2k\pi Arg(ez)=y+2kπ,在任何情况下根据定义辐角的取值都是无穷多的,所以不利用复变数的指数和三角表示法来判断函数的单值和多值性。)
复指数函数具有以下性质:
e 0 = 1 e^0=1 e0=1 e z ≠ 0 e^z\ne0 ez=0 e z 1 + z 2 = e 1 z e 2 z e^{z_1+z_2}=e^z_1e^z_2 ez1+z2=e1ze2z e − z = 1 e z e^{-z}=\frac{1}{e^z} e−z=ez1 e z ‾ = e z ‾ \overline{e^z}=e^{\overline{z}} ez=ez e 2 k π i = 1 e^{2k\pi i}=1 e2kπi=12.3 对数函数
指数函数的反函数,即满足方程
e w = z ( z ≠ 0 ) e^w=z\quad (z\ne 0) ew=z(z=0) 的复变数 w w w称为复变数 z z z的对数函数,记作 w = L n z w=Ln\ z w=Ln z。
对于 w = u + v i w=u+vi w=u+vi
∣ z ∣ = ∣ e w ∣ = e u |z|=|e^w|=e^u ∣z∣=∣ew∣=eu A r g z = A r g e w = v Arg\ z=Arg\ e^w=v Arg z=Arg ew=v 所以
u = l n ∣ z ∣ , v = A r g z u=ln|z|\ ,\quad v=Arg\ z u=ln∣z∣ ,v=Arg z L n z = l n ∣ z ∣ + i A r g z ( z ≠ 0 ) Ln\ z=ln|z|+iArg\ z\quad(z\ne 0) Ln z=ln∣z∣+iArg z(z=0) w = L n z = l n ∣ z ∣ + i a r g z + 2 k π i ( k = 0 , ± 1 , ± 2 , … ) w=Ln\ z=ln|z|+iarg\ z+2k\pi i\quad (k=0,\pm1,\pm 2,\ldots) w=Ln z=ln∣z∣+iarg z+2kπi(k=0,±1,±2,…) 可以看出对数函数可以得出多种实部和虚部表示,所以对数函数是多值函数。给定确定 k = k 0 k=k_0 k=k0时,可以得到对数函数的一个分支,对数函数的每一个分支都是单值函数。
k = 0 k=0 k=0时的分支称为对数函数 w = L n z w=Ln\ z w=Ln z的主分支,对应的函数值为函数主值,记为 l n z ln\ z ln z,有
l n z = l n ∣ z ∣ + i a r g z ( z ≠ 0 ) ln\ z=ln|z|+iarg\ z\quad (z\ne 0) ln z=ln∣z∣+iarg z(z=0)
对数函数有如下性质
L n ( z 1 z 2 ) = L n z 1 + L n z 2 Ln(z_1z_2)=Ln\ z_1+Ln\ z_2 Ln(z1z2)=Ln z1+Ln z2 L n ( z 1 z 2 ) = L n z 1 − L n z 2 Ln(\frac{z_1}{z_2})=Ln\ z_1-Ln\ z_2 Ln(z2z1)=Ln z1−Ln z2 等式两边都是多值函数,等号意味着两段可能取得的函数值全体相同。同理,下面的式子不成立
L n z n ≠ n L n z Ln\ z^n\ne nLn\ z Ln zn=nLn z L n z n ≠ 1 n L n z Ln\ \sqrt[n]{z}\ne \frac{1}{n}Ln\ z Ln nz=n1Ln z2.4 幂函数
设 a a a是复常数,对于复变数 z ≠ 0 z\ne 0 z=0,称复变数 w = e a L n z w=e^{aLn\ z} w=eaLn z为复变数 z z z的幂函数,即
w = z a = e a L n z w=z^a=e^{aLn\ z} w=za=eaLn z 当 a a a为正实数,且 z = 0 z=0 z=0时,规定 z a = 0 z^a=0 za=0。
指数函数的取值性需要分情况讨论。
(1)当 a = n a=n a=n为整数时
w = z n = e n L n z = e n [ l n ∣ z ∣ + i ( a r g z + 2 k π ) ] = e n l n ∣ z ∣ + ( n a r g z ) i + 2 n k π i = e n l n ∣ z ∣ + ( n a r g z ) i ( k = 0 , ± 1 , ± 2 , … ) w=z^n=e^{nLn\ z}=e^{n[ln|z|+i(arg\ z+2k\pi)]}=e^{nln|z|+(narg\ z)i+2nk\pi i}=e^{nln|z|+(narg\ z)i}\quad (k=0,\pm1,\pm 2,\ldots) w=zn=enLn z=en[ln∣z∣+i(arg z+2kπ)]=enln∣z∣+(narg z)i+2nkπi=enln∣z∣+(narg z)i(k=0,±1,±2,…) 所以此时幂函数为单值函数,当 n > 0 n>0 n>0时在复平面上处处有定义。当 n < 0 n<0 n<0时,在复平面除 z = 0 z=0 z=0点外处处有定义。
(2)当 a = p q a=\frac{p}{q} a=qp( p p p, q q q为互质的整数, q > 0 q>0 q>0)为有理数时
w = z a = e p q L n z = e p q [ l n ∣ z ∣ + i ( a r g z + 2 k π ) ] = e p q l n ∣ z ∣ + ( p q a r g z ) i + 2 p q k π i w=z^a=e^{\frac{p}{q}Ln\ z}=e^{\frac{p}{q}[ln|z|+i(arg\ z+2k\pi)]}=e^{\frac{p}{q}ln|z|+(\frac{p}{q}arg\ z)i+2\frac{p}{q}k\pi i} w=za=eqpLn z=eqp[ln∣z∣+i(arg z+2kπ)]=eqpln∣z∣+(qparg z)i+2qpkπi = e p q l n ∣ z ∣ [ c o s p q ( a r g z + 2 k π ) + i s i n p q ( a r g z + 2 k π ) ) ] ( k = 0 , ± 1 , ± 2 , … ) =e^{\frac{p}{q}ln|z|}[cos\frac{p}{q}(arg\ z+2k\pi)+isin\frac{p}{q}(arg\ z+2k\pi))]\quad (k=0,\pm1,\pm 2,\ldots) =eqpln∣z∣[cosqp(arg z+2kπ)+isinqp(arg z+2kπ))](k=0,±1,±2,…)
根据三角函数的周期性,函数 w = z p q w=z^{\frac{p}{q}} w=zqp具有 q q q个不同的值,当 k = 0 , 1 , … , q − 1 k=0,1,\ldots,q-1 k=0,1,…,q−1时可以取得。
(3)当 a a a为无理数或虚数时,幂函数是无穷多值的,在复平面上除了 z = 0 z=0 z=0外处处有定义,每一个单值分支对应于 L n z Ln\ z Ln z的一个单值分支。2.5 三角函数
分别称
cos ( z ) = e i z + e − i z 2 sin ( z ) = e i z − e − i z 2 i \cos(z)=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\quad \sin(z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} cos(z)=2eiz+e−izsin(z)=2ieiz−e−iz 为复变数的余弦函数和正弦函数。
三角函数具有 2 π 2\pi 2π的周期性和奇偶性,但不再具有有界性,且
cos 2 z + sin 2 z = 1 \cos^2{z}+\sin^2z=1 cos2z+sin2z=1 cos ( z + π 2 ) = − sin ( z ) , cos ( z + π ) = − cos z \cos(z+\frac{\pi}{2})=-\sin(z),\quad\cos(z+\pi)=-\cos z cos(z+2π)=−sin(z),cos(z+π)=−cosz sin ( z + π 2 ) = cos ( z ) , sin ( z + π ) = − sin z \sin(z+\frac{\pi}{2})=\cos(z),\quad\sin(z+\pi)=-\sin z sin(z+2π)=cos(z),sin(z+π)=−sinz sin ( z 1 + z 2 ) = sin z 1 cos z 2 − cos z 1 sin z 2 \sin(z_1+z_2)=\sin z_1\cos z_2-\cos z_1\sin z_2 sin(z1+z2)=sinz1cosz2−cosz1sinz2 cos ( z 1 + z 2 ) = cos z 1 cos z 2 − sin z 1 sin z 2 \cos(z_1+z_2)=\cos z_1\cos z_2-\sin z_1\sin z_2 cos(z1+z2)=cosz1cosz2−sinz1sinz2 同理可以定义复变数的正切,余切,正割,余割函数。
tan z = sin z cos z , cot z = cos z sin z , sec z = 1 cos z , csc z = 1 sin z \tan z=\frac{\sin z}{\cos z},\quad\cot z=\frac{\cos z}{\sin z},\quad \sec z=\frac{1}{\cos z},\quad \csc z=\frac{1}{\sin z} tanz=coszsinz,cotz=sinzcosz,secz=cosz1,cscz=sinz12.6 反三角函数
余弦函数的反函数,满足 cos w = z \cos w=z cosw=z的复变数 w w w称为复变数 z z z的反余弦函数,记作 w = A r c cos z w=Arc\cos z w=Arccosz
根据 cos w = e i w + e − i w 2 = z \cos w=\frac{e^{iw}+e^{-iw}}{2}=z cosw=2eiw+e−iw=z可以解得
w = A r c cos z = − i L n ( z + z 2 − 1 ) w=Arc\cos z=-iLn(z+\sqrt{z^2-1}) w=Arccosz=−iLn(z+z2−1) z 2 − 1 \sqrt{z^2-1} z2−1是双值函数, L n z Ln\ z Ln z是多值函数,所以反余弦函数是多值函数。
同理可以定义反正弦函数和反正切函数
w = A r c sin z = − i L n ( z i + 1 − z 2 ) w=Arc\sin z=-iLn(zi+\sqrt{1-z^2}) w=Arcsinz=−iLn(zi+1−z2) w = A r c tan z = − i 2 L n i − z i + z w=Arc\tan z=-\frac{i}{2}Ln\frac{i-z}{i+z} w=Arctanz=−2iLni+zi−z
它们都是多值函数。2.7 复变函数的极限
设函数 w = f ( z ) w=f(z) w=f(z)在 z 0 z_0 z0的去心邻域 U ˚ ( z 0 , ρ ) \mathring{U}(z_0,\rho) U˚(z0,ρ)内有定义, A A A是复常数。若对于任意给定的正实数 ε \varepsilon ε,总存在正实数 δ < ρ \delta <\rho δ<ρ,使得当 0 < ∣ z − z 0 ∣ < δ 0<|z-z_0|<\delta 0<∣z−z0∣<δ时, ∣ f ( z ) − A ∣ < ε |f(z)-A|<\varepsilon ∣f(z)−A∣<ε,则称 A A A是函数 f ( z ) f(z) f(z)当 z z z趋近于 z 0 z_0 z0的极限,记作 lim z → z 0 f ( z ) = A \lim\limits_{z\to z_0}f(z)=A z→z0limf(z)=A,或当 z → z 0 z\to z_0 z→z0时, f ( z ) → A f(z)\to A f(z)→A.
设函数 f ( z ) = u ( x , y ) + v ( x , y ) i f(z)=u(x,y)+v(x,y)i f(z)=u(x,y)+v(x,y)i在 z 0 = x 0 + y 0 i z_0=x_0+y_0i z0=x0+y0i的某一去心邻域内有定义,常数 A = u 0 + v 0 i A=u_0+v_0i A=u0+v0i,则 lim z → z 0 f ( z ) = A \lim\limits_{z\to z_0}f(z)=A z→z0limf(z)=A的充要条件是
lim ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) u ( x , y ) = u 0 , lim ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) v ( x , y ) = v 0 \lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)}u(x,y)=u_0,\quad\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)}v(x,y)=v_0 (x,y)→(x0,y0)limu(x,y)=u0,(x,y)→(x0,y0)limv(x,y)=v0 如果 lim z → z 0 f ( z ) = A \lim\limits_{z\to z_0}f(z)=A z→z0limf(z)=A, lim z → z 0 g ( z ) = B \lim\limits_{z\to z_0}g(z)=B z→z0limg(z)=B,那么
lim z → z 0 [ f ( z ) ± g ( z ) ] = lim z → z 0 f ( z ) ± lim z → z 0 g ( z ) = A ± B \lim\limits_{z\to z_0}[f(z)\pm g(z)]=\lim\limits_{z\to z_0}f(z)\pm \lim\limits_{z\to z_0}g(z)=A\pm B z→z0lim[f(z)±g(z)]=z→z0limf(z)±z→z0limg(z)=A±B lim z → z 0 [ f ( z ) ⋅ g ( z ) ] = lim z → z 0 f ( z ) ⋅ lim z → z 0 g ( z ) = A ⋅ B \lim\limits_{z\to z_0}[f(z)\cdot g(z)]=\lim\limits_{z\to z_0}f(z)\cdot \lim\limits_{z\to z_0}g(z)=A\cdot B z→z0lim[f(z)⋅g(z)]=z→z0limf(z)⋅z→z0limg(z)=A⋅B
lim z → z 0 [ f ( z ) g ( z ) ] = lim z → z 0 f ( z ) lim z → z 0 g ( z ) = A B ( B ≠ 0 ) \lim\limits_{z\to z_0}[\frac{f(z)}{g(z)}]=\frac{\lim\limits_{z\to z_0}f(z)}{ \lim\limits_{z\to z_0}g(z)}=\frac{A}{B}\quad (B\ne 0) z→z0lim[g(z)f(z)]=z→z0limg(z)z→z0limf(z)=BA(B=0) 对于有理整函数(多项式)
w = P ( z ) = a 0 + a 1 z + a 2 z 2 + ⋯ + a n z n w=P(z)=a_0+a_1z+a_2z^2+\cdots+a_nz^n w=P(z)=a0+a1z+a2z2+⋯+anzn lim z → z 0 P ( z ) = P ( z 0 ) \lim\limits_{z\to z_0}P(z)=P(z_0) z→z0limP(z)=P(z0) 对于有理分式函数
w = P ( z ) Q ( z ) w=\frac{P(z)}{Q(z)} w=Q(z)P(z) lim z → z 0 P ( z ) Q ( z ) = P ( z 0 ) Q ( z 0 ) ( Q ( z 0 ) ≠ 0 ) \lim\limits_{z\to z_0}\frac{P(z)}{Q(z)}=\frac{P(z_0)}{Q(z_0)}\quad (Q(z_0)\ne 0) z→z0limQ(z)P(z)=Q(z0)P(z0)(Q(z0)=0)2.8 复变函数的连续性
设函数 f ( z ) f(z) f(z)在 z 0 z_0 z0的某邻域内有定义,若 lim z → z 0 f ( z ) = f ( z 0 ) \lim\limits_{z\to z_0}f(z)=f(z_0) z→z0limf(z)=f(z0),则称函数 f ( z ) f(z) f(z)在 z 0 z_0 z0点连续。若 f ( z ) f(z) f(z)在区域 D D D的每一点都连续,则称 f ( z ) f(z) f(z)在 D D D内连续。
函数 f ( z ) = u ( x , y ) + v ( x , y ) i f(z)=u(x,y)+v(x,y)i f(z)=u(x,y)+v(x,y)i在 z 0 = x 0 + y 0 i z_0=x_0+y_0i z0=x0+y0i连续的充要条件是二元实函数 u ( x , y ) u(x,y) u(x,y)和 v ( x , y ) v(x,y) v(x,y)在点 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)处连续。
连续的性质同实函数。2.9 复变函数的导数
设函数 w = f ( z ) w=f(z) w=f(z)在区域 D D D内有定义, z 0 z_0 z0为 D D D内一点。当 z z z在 z 0 z_0 z0取得改变量 Δ z \Delta z Δz,且 z 0 + Δ z ∈ D z_0+\Delta z\in D z0+Δz∈D时,相应的函数值有改变量 Δ w = f ( z 0 + Δ z ) − f ( z 0 ) \Delta w=f(z_0+\Delta z)-f(z_0) Δw=f(z0+Δz)−f(z0)。如果极限
lim Δ z → 0 Δ w Δ z = lim Δ z → 0 f ( z 0 + Δ z ) − f ( z 0 ) Δ z \lim\limits_{\Delta z\to 0}\frac{\Delta w}{\Delta z}=\lim\limits_{\Delta z\to 0}\frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z} Δz→0limΔzΔw=Δz→0limΔzf(z0+Δz)−f(z0) 存在,则称函数 f ( z ) f(z) f(z)在 z 0 z_0 z0点可导。该极限值称为 f ( z ) f(z) f(z)在 z 0 z_0 z0点的导数,记作
f ′ ( z 0 ) = d w d z ∣ z = z 0 = lim Δ z → 0 f ( z 0 + Δ z ) − f ( z 0 ) Δ z f'(z_0)=\frac{dw}{dz}\Big|_{z=z_0}=\lim\limits_{\Delta z\to 0}\frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z} f′(z0)=dzdw∣∣∣z=z0=Δz→0limΔzf(z0+Δz)−f(z0) 如果函数 f ( z ) f(z) f(z)在区域D内的每个点都可导,称 f ( z ) f(z) f(z)在区域 D D D内可导。从而区域 D D D内每个点对应着 f ( z ) f(z) f(z)的一个导数值。这样构成了一个新的函数称为 f ( z ) f(z) f(z)的导函数,记为 f ′ ( z ) f'(z) f′(z)或者 d w d z \frac{dw}{dz} dzdw。
设函数 f ( z ) f(z) f(z)和 g ( z ) g(z) g(z)在区域 D D D内可导,有
[ f ( z ) ± g ( z ) ] ′ = f ′ ( z ) ± g ′ ( z ) [f(z)\pm g(z)]'=f'(z)\pm g'(z) [f(z)±g(z)]′=f′(z)±g′(z) [ f ( z ) g ( z ) ] ′ = f ′ ( z ) g ( z ) + f ( z ) g ′ ( z ) [f(z) g(z)]'=f'(z)g(z)+f(z) g'(z) [f(z)g(z)]′=f′(z)g(z)+f(z)g′(z) [ f ( z ) g ( z ) ] ′ = f ′ ( z ) g ( z ) − f ( z ) g ′ ( z ) g 2 ( z ) , ( g ( z ) ≠ 0 ) [\frac{f(z)}{ g(z)}]'=\frac{f'(z)g(z)-f(z)g'(z)}{g^2(z)},\quad (g(z)\ne 0) [g(z)f(z)]′=g2(z)f′(z)g(z)−f(z)g′(z),(g(z)=0) { f [ g ( z ) ] } ′ = f ′ ( w ) g ′ ( z ) , ( w = g ( z ) ) \{f[g(z)]\}'=f'(w)g'(z),\quad(w=g(z)) {f[g(z)]}′=f′(w)g′(z),(w=g(z)) 如果 f ( z ) f(z) f(z)和 φ ( w ) \varphi(w) φ(w)是互为反函数的单值函数,且 φ ′ ( w ) ≠ 0 \varphi'(w)\ne 0 φ′(w)=0,则 f ′ ( z ) = 1 φ ′ ( w ) f'(z)=\frac{1}{\varphi'(w)} f′(z)=φ′(w)1
有理整函数在复平面内处处可导
P ( z ) = a 0 + a 1 z + a 2 z 2 + ⋯ + a n z n P(z)=a_0+a_1z+a_2z^2+\cdots+a_nz^n P(z)=a0+a1z+a2z2+⋯+anzn P ′ ( z ) = a 1 z + 2 a 2 z + ⋯ + n a n z n − 1 P'(z)=a_1z+2a_2z+\cdots+na_nz^{n-1} P′(z)=a1z+2a2z+⋯+nanzn−1 对于有理分式函数
f ( z ) = P ( z ) Q ( z ) f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)} f(z)=Q(z)P(z) 在 Q ( z ) ≠ 0 Q(z)\ne 0 Q(z)=0的点可导
f ( z ) ′ = P ′ ( z ) Q ( z ) − P ( z ) Q ′ ( z ) Q 2 ( z ) , ( Q ( z ) ≠ 0 ) f(z)'=\frac{P'(z)Q(z)-P(z)Q'(z)}{Q^2(z)},\quad (Q(z)\ne 0) f(z)′=Q2(z)P′(z)Q(z)−P(z)Q′(z),(Q(z)=0) 复变函数 w = f ( z ) w=f(z) w=f(z)的微分定义为 d w = f ′ ( z ) d z dw=f'(z)dz dw=f′(z)dz2.10 解析函数
如果函数 w = f ( z ) w=f(z) w=f(z)在点 z z z的某个邻域内可导,那么称函数 f ( z ) f(z) f(z)在点 z z z解析。如果 f ( z ) f(z) f(z)在区域 D D D内每一点都解析,称函数 f ( z ) f(z) f(z)在 D D D内解析,或称 f ( z ) f(z) f(z)是 D D D内的解析函数。如果 f ( z ) f(z) f(z)在点 z z z不解析,那么称点 z z z为函数 f ( z ) f(z) f(z)的奇点。
函数 f ( z ) = u ( x , y ) + v ( x , y ) i f(z)=u(x,y)+v(x,y)i f(z)=u(x,y)+v(x,y)i在点 z = x + y i z=x+yi z=x+yi处可导的充要条件是二元实函数 u ( x , y ) u(x,y) u(x,y)和 v ( x , y ) v(x,y) v(x,y)在点 ( x , y ) (x,y) (x,y)处可微,且满足柯西-黎曼方程
∂ u ∂ x = ∂ v ∂ y , ∂ u ∂ y = − ∂ v ∂ x \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\quad \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x} ∂x∂u=∂y∂v,∂y∂u=−∂x∂v 从而有
f ′ ( z ) = ∂ u ∂ x + ∂ v ∂ x i = ∂ v ∂ y − ∂ u ∂ y i f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial x}i=\frac{\partial v}{\partial y}-\frac{\partial u}{\partial y}i f′(z)=∂x∂u+∂x∂vi=∂y∂v−∂y∂ui 函数 f ( z ) = u ( x , y ) + v ( x , y ) i f(z)=u(x,y)+v(x,y)i f(z)=u(x,y)+v(x,y)i在区域 D D D内解析的充要条件是二元实函数 u ( x , y ) u(x,y) u(x,y)和 v ( x , y ) v(x,y) v(x,y)在区域 D D D内可微,且满足柯西-黎曼方程。2.11 调和函数
如果二元实函数 φ ( x , y ) \varphi(x,y) φ(x,y)在区域 D D D内具有二阶连续偏导数且满足拉普拉斯方程
∂ 2 φ ∂ x 2 + ∂ 2 φ ∂ y 2 = 0 \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2}=0 ∂x2∂2φ+∂y2∂2φ=0 那么称 φ ( x , y ) \varphi(x,y) φ(x,y)为区域 D D D内的调和函数。
任何在区域 D D D内解析的函数 f ( z ) = u ( x , y ) + v ( x , y ) i f(z)=u(x,y)+v(x,y)i f(z)=u(x,y)+v(x,y)i,它的实部 u ( x , y ) u(x,y) u(x,y)和和虚部 v ( x , y ) v(x,y) v(x,y)都是 D D D内的调和函数。且这两个函数满足柯西-黎曼条件,所以又称虚部 v ( x , y ) v(x,y) v(x,y)是实部 u ( x , y ) u(x,y) u(x,y)的共轭调和函数。
即满足柯西-黎曼方程的两个调和函数可以构成共轭调和函数。在区域 D D D内以该函数为实部,其共轭调和函数为虚部,所构成的复变函数在区域 D D D内是解析的。
函数 f ( z ) = u ( x , y ) + v ( x , y ) i f(z)=u(x,y)+v(x,y)i f(z)=u(x,y)+v(x,y)i在区域 D D D内解析的充要条件是它的虚部 v ( x , y ) v(x,y) v(x,y)是实部 u ( x , y ) u(x,y) u(x,y)的共轭调和函数。 -
复变函数基础概述
2019-08-07 20:06:31由于一些原因没有参加学校的期末考试,也错过了学校的卓越班选拔(本来很有把握的…)学校的一些课程也没有学完,所以只好在暑假卑微的看复变函数,看了一些下载的网课基本上有点感觉,做个总结,之后的学习中应该也...由于一些原因没有参加学校的期末考试,学校的一些课程也没有学完,所以只好在暑假卑微的看复变函数,看了一些下载的网课基本上有点感觉,做个总结,之后的学习中应该也那用到叭。
复变函数目录
一.复数及其运算
1.求复数的虚部和实部
只要把复数写出来,这种题目就迎刃而解吧。
2.求模、辐角和辐角主值
求模:复数的求模和向量类似,把实部虚部平方和开方就行。
辐角主值:做出复数的图,辐角就是复数图像与实轴正方向的夹角,但其也有范围限制,要求在正负pi之间,是一个固定的值。
辐角:在辐角的基础上加周期,一个周期为2pi。
另外还有一些基础的运算关系:
3.复数开方
复数的开方实际上是复数的幂运算的一种简单形式,有固定的套路,按套路带入相应的模和辐角主值即可。注意的是复数开n次方的就有n个结果,这与其图像对应,复平面上一个复数开n次根的图像就是以此复数的模为半径的一个圆的n分线。
4.代数式、三角式、指数式相互转换
三者之间的转换始终围绕着俩个因素:模和辐角主值,把握住这俩个灵魂,涉及这三者的转换问题就小菜一碟。
在后期的运算中经常需要对复数进行三个形态之间的转换。二.复数形式的方程映射
前面一章节主要是针对复数本身的运算,这一章提升到了函数的层次,与直角坐标系建立连接,相当于是复变函数新知识和之前所学的函数的呼应吧。主要内容为函数的形式转换和映射。
1.将直角坐标方程化为复数形式方程
主要是直角坐标系下的一般方程和参数方程转换为复数形式。
参数方程:参数方程的转换很简单,只要将xy原封不动的带入复数形式就行。
一般方程:一般方程的转换,宗旨是用复数替代x、y,所以解题方法就反向下手,将x、y用复数表示出然后带入原方程就得到了复数形式。利用复数与其共轭复数相加的运算可得出x、y与复数的关系。
2.将复数形式方程转换为直角坐标方程
解题方法与上一节相反。3.求映射下的象
相当于对复数的运算。
相当于求映射后的复数的辐角范围,采用其对数形式比较简单,因为对数形式那直接看出辐角的范围变化。
此处映射相当于是连接俩个平面,利用函数关系式,z中的x、y对应着w中的u、v,所以主要是用u、v表示出x、y,这也代表着映射的关系转换。
PS:复数不能比较大小,除非只有实部三.常见的四种函数
1.求复数的三角函数
求复数的三角函数,把复数看作一个整体,然后套用公式:
即可,注意,此时的三角函数的大小不受限制。2.求复数的对数函数
在复数的对数中即使要求的复数只有实部,也要按照复数来处理。注意复变函数中的对数书写方式为
Ln
,其运算也与ln
不相同:
复数的对数函数的结果是个周期结果。
值得注意的是Ln的主值与ln相同,都是去掉周期性的Ln3.求复数的指数函数
主要围绕此公式展开计算:
不要将指数函数和前面的复数的指数形式混淆,下面练习一道题:
此类型题的解法主要是取对数,然后利用对数的运算解题(注意对数函数的周期性)。
4.求复数的幂函数
幂函数中分为三种情况:
指数为分数的情况与前面的复数开方相对应,而且与开方一样,也有多个结果:当指数为复数时通过取对数Ln的方式来化解,必要时还要利用复数的指数计算:
注意当指数为负数时,结果与指数是正数时互为倒数:
四.解析调和、求导
1.求导数
对复数函数求导主要有俩种类型:
第一种:在u、v中分别对x求导,注意 :u、v都对x求导,然后相加即可。第二种:复数以整体的形式出现时就把复数当作实数来处理,而且此时复数的导数运算规则与实数相同,如示:
2.解析、可导、有极限关系
3.判断可导与解析
判断可导与解析主要看如下公式:
练习一道习题:
4.证明调和函数
证明调和函数就俩个条件:
当俩个条件都满足时,此函数为调和函数。5.求共轭调和函数
共轭调和函数是建立在调和函数的基础上的,俩个函数分别是对应解析函数的实部和虚部。求共轭调和函数公式如下:
6.求解析函数
上面说了,调和函数和共轭调和函数相当于解析函数的实部和虚部,所以求解析函数就是求,调和函数和共轭调和函数。
具体求解析函数方法如下:
以(z,0)坐标带入调和函数和共轭调和函数
五.积分
1.奇点问题
关于奇点问题无非就是有没有奇点?有几个奇点?已知奇点求积分?
第一种:判断奇点,并求出奇点
就是找出z不能取的值,然后判断不能取的值在不在C的范围内即可
第二种:没有奇点时,求积分,都为0
第三种:只有一个奇点,求积分,依靠这俩个公式就可以了:
Z0就是对应奇点的值,到时候带入就行。要注意分母形态的切换
第四种:有多个奇点情况下求积分时,将每个奇点的对应的积分求出来之后相加就行。
2.C为线段求积分
相当于用x把z完全替换,需要注意的是C积分路径是有方向的。
C也可以分段来求
3.C为弧求积分
C为线段时是用x替换z,C为弧段时要用弧度代替z,实际上也就是个消元思想吧,将代表弧段的参数方程求出来,发现里面唯一的变量就是弧度,所以理所应当的就利用弧度替换x、y、z来简化积分。
需要注意的是:这种情况下经常把复数换为指数形式比较简单,因为涉及到了弧度问题。
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复变函数第三章-复变函数的积分
2017-11-26 22:30:483 复变函数的积分 3.1 概念 3.2 柯西-古萨基本定理 3.3 复合闭路定理 3.4 原函数与不定积分 3.5 柯西积分公式 3.6 解析函数的高阶导数 3.7 调和函数 3 复变函数的积分 3.1 概念 闭曲线积分∮Cf(z)dz=−...3 复变函数的积分
3.1 概念
闭曲线积分 ∮Cf(z)dz=−∮C−f(z)dz ∮ C f ( z ) d z = − ∮ C − f ( z ) d z
∮Cf(z)dz=∫Cudx−vdy+i∫Cvdx+udy ∮ C f ( z ) d z = ∫ C u d x − v d y + i ∫ C v d x + u d y
∮Cf(z)dz=∫βαf[z(t)]z′(t)dt ∮ C f ( z ) d z = ∫ α β f [ z ( t ) ] z ′ ( t ) d t
∮|z−z0|=rdz(z−z0)n+1={2πi,0,n=0n≠0 ∮ | z − z 0 | = r d z ( z − z 0 ) n + 1 = { 2 π i , n = 0 0 , n ≠ 0
估值不等式:曲线C长度为L,函数f(z)在C上满足|f(z)| ≤ ≤ M,则|∫Cf(z)dz|≤∫C|f(z)|ds≤ML | ∫ C f ( z ) d z | ≤ ∫ C | f ( z ) | d s ≤ M L
3.2 柯西-古萨基本定理
积分与路线无关。
柯西-古萨基本定理:如果f(z)在单连通域B内处处解析,那么f(z)在B内的任何一条封闭曲线C的积分为0。
∮Cf(z)dz=0 ∮ C f ( z ) d z = 0
3.3 复合闭路定理
闭路变形原理:区域内一个解析函数沿闭曲线的积分,不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值,只要变形过程中不经过不解析的点。
复合闭路定理:C为多连通域D内的一条简单闭曲线, C1,C2... C 1 , C 2 . . . 为C内部的简单闭曲线,塔门互不包含互不相交,以它们为边界的区域全含于D,如果f(z)在D内解析,则
∮Cf(z)dz=∑k=1n∮Ckf(z)dz ∮ C f ( z ) d z = ∑ k = 1 n ∮ C k f ( z ) d z
3.4 原函数与不定积分
如果函数在单连通区域内处处解析,那么积分与路线无关。
如果f(z)在单连通域B内处处解析,那么函数F(z)必为B内的解析函数。
3.5 柯西积分公式
f(z0)=12πi∮Cf(z)z−z0dz f ( z 0 ) = 1 2 π i ∮ C f ( z ) z − z 0 d z如果C是圆周 z=z0+Reiθ z = z 0 + R e i θ ,那么
f(z0)=12π∫2π0f(z0+Reiθ)dθ f ( z 0 ) = 1 2 π ∫ 0 2 π f ( z 0 + R e i θ ) d θ
即,一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值。逆定理:魔勒拉
3.6 解析函数的高阶导数
f(n)(z0)=n!2πi∮Cf(z)(z−z0)n+1dz f ( n ) ( z 0 ) = n ! 2 π i ∮ C f ( z ) ( z − z 0 ) n + 1 d z3.7 调和函数
如果二元实变函数 φ(x,y) φ ( x , y ) 在区域D内具有二阶连续偏导数并且满足拉普拉斯方程
∂2φ∂x2+∂2φ∂y2=0 ∂ 2 φ ∂ x 2 + ∂ 2 φ ∂ y 2 = 0
那么称 φ(x,y) φ ( x , y ) 为D内的调和函数。D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数。
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