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  • 怎么快速判断复变函数是否解析,一眼就看出来那种
  • 复变函数(2)-复变函数及其解析

    千次阅读 2021-02-19 10:36:45
    复变函数(2)-复变函数及其解析性                            东风夜放花千树,更吹落,星如雨       2.1 复变函数的定义:  设DDD是复平面上一个非空点集。如果...

    复变函数(2)-复变函数及其解析性

     

                             东风夜放花千树,更吹落,星如雨
     
     
     

    2.1 复变函数的定义:

     设 D D D是复平面上一个非空点集。如果按照一个确定的法则 f f f,对于 D D D中的每一个点 z z z,都有一个或多个复数 w w w与之对应,则称复变数 w w w是复变数 z z z的函数,简称为复变函数,记为
    w = f ( z )   , z ∈ D w=f(z)\ ,\quad z\in D w=f(z) ,zD 如果 z z z的一个值对应于 w w w的一个值,那么称函数 f ( z ) f(z) f(z)是单值的,如果 z z z的一个值对应着 w w w的多个值,那么称函数 f ( z ) f(z) f(z)是多值的。
     复变函数也可以和两个二元实函数 u ( x , y )   ,   v ( x , y ) u(x,y)\ ,\ v(x,y) u(x,y) , v(x,y)联系起来,设 w = u + v i w=u+vi w=u+vi z = x + y i z=x+yi z=x+yi,则
    w = u + v i = f ( z ) = f ( x + y i ) = u ( x , y ) + v ( x , y ) i w=u+vi=f(z)=f(x+yi)=u(x,y)+v(x,y)i w=u+vi=f(z)=f(x+yi)=u(x,y)+v(x,y)i 复变函数可以类比实函数定义其函数特征。

    2.2 指数函数:

     对于复变数 z = x + y i z=x+yi z=x+yi,称复变数 w = e x ( c o s y + i s i n y ) w=e^x(cosy+isiny) w=ex(cosy+isiny)为复变数 z z z的指数函数,记作 w = e z w=e^z w=ez,即
    w = e z = e x ( c o s y + i s i n y ) w=e^z=e^x(cosy+isiny) w=ez=ex(cosy+isiny) { ∣ e z ∣ = e x A r g ( e z ) = y + 2 k π ( k = 0 , ± 1 , ± 2 , … ) \left\{\begin{aligned} & |e^z|=e^x \\ & Arg(e^z)=y+2k\pi\quad (k=0,\pm1,\pm 2,\ldots)\end{aligned}\right. {ez=exArg(ez)=y+2kπ(k=0,±1,±2,) 指数函数是单值函数,且在复平面上处处有定义。
     (注:这里单值函数是指在 z = x + y i z=x+yi z=x+yi这样的实部虚部表示法下,函数值 w = e z w=e^z w=ez有唯一确定的实部和虚部。对于虚数的指数表示法 A r g ( e z ) = y + 2 k π Arg(e^z)=y+2k\pi Arg(ez)=y+2kπ,在任何情况下根据定义辐角的取值都是无穷多的,所以不利用复变数的指数和三角表示法来判断函数的单值和多值性。)
     复指数函数具有以下性质:
    e 0 = 1 e^0=1 e0=1 e z ≠ 0 e^z\ne0 ez=0 e z 1 + z 2 = e 1 z e 2 z e^{z_1+z_2}=e^z_1e^z_2 ez1+z2=e1ze2z e − z = 1 e z e^{-z}=\frac{1}{e^z} ez=ez1 e z ‾ = e z ‾ \overline{e^z}=e^{\overline{z}} ez=ez e 2 k π i = 1 e^{2k\pi i}=1 e2kπi=1

    2.3 对数函数

     指数函数的反函数,即满足方程
    e w = z ( z ≠ 0 ) e^w=z\quad (z\ne 0) ew=z(z=0) 的复变数 w w w称为复变数 z z z的对数函数,记作 w = L n   z w=Ln\ z w=Ln z
     对于 w = u + v i w=u+vi w=u+vi
    ∣ z ∣ = ∣ e w ∣ = e u |z|=|e^w|=e^u z=ew=eu A r g   z = A r g   e w = v Arg\ z=Arg\ e^w=v Arg z=Arg ew=v 所以
    u = l n ∣ z ∣   , v = A r g   z u=ln|z|\ ,\quad v=Arg\ z u=lnz ,v=Arg z L n   z = l n ∣ z ∣ + i A r g   z ( z ≠ 0 ) Ln\ z=ln|z|+iArg\ z\quad(z\ne 0) Ln z=lnz+iArg z(z=0) w = L n   z = l n ∣ z ∣ + i a r g   z + 2 k π i ( k = 0 , ± 1 , ± 2 , … ) w=Ln\ z=ln|z|+iarg\ z+2k\pi i\quad (k=0,\pm1,\pm 2,\ldots) w=Ln z=lnz+iarg z+2kπi(k=0,±1,±2,) 可以看出对数函数可以得出多种实部和虚部表示,所以对数函数是多值函数。给定确定 k = k 0 k=k_0 k=k0时,可以得到对数函数的一个分支,对数函数的每一个分支都是单值函数。
    k = 0 k=0 k=0时的分支称为对数函数 w = L n   z w=Ln\ z w=Ln z的主分支,对应的函数值为函数主值,记为 l n   z ln\ z ln z,有
    l n   z = l n ∣ z ∣ + i a r g   z ( z ≠ 0 ) ln\ z=ln|z|+iarg\ z\quad (z\ne 0) ln z=lnz+iarg z(z=0)
     对数函数有如下性质
    L n ( z 1 z 2 ) = L n   z 1 + L n   z 2 Ln(z_1z_2)=Ln\ z_1+Ln\ z_2 Ln(z1z2)=Ln z1+Ln z2 L n ( z 1 z 2 ) = L n   z 1 − L n   z 2 Ln(\frac{z_1}{z_2})=Ln\ z_1-Ln\ z_2 Ln(z2z1)=Ln z1Ln z2 等式两边都是多值函数,等号意味着两段可能取得的函数值全体相同。同理,下面的式子不成立
    L n   z n ≠ n L n   z Ln\ z^n\ne nLn\ z Ln zn=nLn z L n   z n ≠ 1 n L n   z Ln\ \sqrt[n]{z}\ne \frac{1}{n}Ln\ z Ln nz =n1Ln z

    2.4 幂函数

     设 a a a是复常数,对于复变数 z ≠ 0 z\ne 0 z=0,称复变数 w = e a L n   z w=e^{aLn\ z} w=eaLn z为复变数 z z z的幂函数,即
    w = z a = e a L n   z w=z^a=e^{aLn\ z} w=za=eaLn z 当 a a a为正实数,且 z = 0 z=0 z=0时,规定 z a = 0 z^a=0 za=0
     指数函数的取值性需要分情况讨论。
     (1)当 a = n a=n a=n为整数时
    w = z n = e n L n   z = e n [ l n ∣ z ∣ + i ( a r g   z + 2 k π ) ] = e n l n ∣ z ∣ + ( n a r g   z ) i + 2 n k π i = e n l n ∣ z ∣ + ( n a r g   z ) i ( k = 0 , ± 1 , ± 2 , … ) w=z^n=e^{nLn\ z}=e^{n[ln|z|+i(arg\ z+2k\pi)]}=e^{nln|z|+(narg\ z)i+2nk\pi i}=e^{nln|z|+(narg\ z)i}\quad (k=0,\pm1,\pm 2,\ldots) w=zn=enLn z=en[lnz+i(arg z+2kπ)]=enlnz+(narg z)i+2nkπi=enlnz+(narg z)i(k=0,±1,±2,) 所以此时幂函数为单值函数,当 n > 0 n>0 n>0时在复平面上处处有定义。当 n < 0 n<0 n<0时,在复平面除 z = 0 z=0 z=0点外处处有定义。
     (2)当 a = p q a=\frac{p}{q} a=qp p p p q q q为互质的整数, q > 0 q>0 q>0)为有理数时
    w = z a = e p q L n   z = e p q [ l n ∣ z ∣ + i ( a r g   z + 2 k π ) ] = e p q l n ∣ z ∣ + ( p q a r g   z ) i + 2 p q k π i w=z^a=e^{\frac{p}{q}Ln\ z}=e^{\frac{p}{q}[ln|z|+i(arg\ z+2k\pi)]}=e^{\frac{p}{q}ln|z|+(\frac{p}{q}arg\ z)i+2\frac{p}{q}k\pi i} w=za=eqpLn z=eqp[lnz+i(arg z+2kπ)]=eqplnz+(qparg z)i+2qpkπi = e p q l n ∣ z ∣ [ c o s p q ( a r g   z + 2 k π ) + i s i n p q ( a r g   z + 2 k π ) ) ] ( k = 0 , ± 1 , ± 2 , … ) =e^{\frac{p}{q}ln|z|}[cos\frac{p}{q}(arg\ z+2k\pi)+isin\frac{p}{q}(arg\ z+2k\pi))]\quad (k=0,\pm1,\pm 2,\ldots) =eqplnz[cosqp(arg z+2kπ)+isinqp(arg z+2kπ))](k=0,±1,±2,)
     根据三角函数的周期性,函数 w = z p q w=z^{\frac{p}{q}} w=zqp具有 q q q个不同的值,当 k = 0 , 1 , … , q − 1 k=0,1,\ldots,q-1 k=0,1,,q1时可以取得。
     (3)当 a a a为无理数或虚数时,幂函数是无穷多值的,在复平面上除了 z = 0 z=0 z=0外处处有定义,每一个单值分支对应于 L n   z Ln\ z Ln z的一个单值分支。

    2.5 三角函数

     分别称
    cos ⁡ ( z ) = e i z + e − i z 2 sin ⁡ ( z ) = e i z − e − i z 2 i \cos(z)=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\quad \sin(z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} cos(z)=2eiz+eizsin(z)=2ieizeiz 为复变数的余弦函数和正弦函数。
     三角函数具有 2 π 2\pi 2π的周期性和奇偶性,但不再具有有界性,且
    cos ⁡ 2 z + sin ⁡ 2 z = 1 \cos^2{z}+\sin^2z=1 cos2z+sin2z=1 cos ⁡ ( z + π 2 ) = − sin ⁡ ( z ) , cos ⁡ ( z + π ) = − cos ⁡ z \cos(z+\frac{\pi}{2})=-\sin(z),\quad\cos(z+\pi)=-\cos z cos(z+2π)=sin(z),cos(z+π)=cosz sin ⁡ ( z + π 2 ) = cos ⁡ ( z ) , sin ⁡ ( z + π ) = − sin ⁡ z \sin(z+\frac{\pi}{2})=\cos(z),\quad\sin(z+\pi)=-\sin z sin(z+2π)=cos(z),sin(z+π)=sinz sin ⁡ ( z 1 + z 2 ) = sin ⁡ z 1 cos ⁡ z 2 − cos ⁡ z 1 sin ⁡ z 2 \sin(z_1+z_2)=\sin z_1\cos z_2-\cos z_1\sin z_2 sin(z1+z2)=sinz1cosz2cosz1sinz2 cos ⁡ ( z 1 + z 2 ) = cos ⁡ z 1 cos ⁡ z 2 − sin ⁡ z 1 sin ⁡ z 2 \cos(z_1+z_2)=\cos z_1\cos z_2-\sin z_1\sin z_2 cos(z1+z2)=cosz1cosz2sinz1sinz2 同理可以定义复变数的正切,余切,正割,余割函数。
    tan ⁡ z = sin ⁡ z cos ⁡ z , cot ⁡ z = cos ⁡ z sin ⁡ z , sec ⁡ z = 1 cos ⁡ z , csc ⁡ z = 1 sin ⁡ z \tan z=\frac{\sin z}{\cos z},\quad\cot z=\frac{\cos z}{\sin z},\quad \sec z=\frac{1}{\cos z},\quad \csc z=\frac{1}{\sin z} tanz=coszsinz,cotz=sinzcosz,secz=cosz1,cscz=sinz1

    2.6 反三角函数

     余弦函数的反函数,满足 cos ⁡ w = z \cos w=z cosw=z的复变数 w w w称为复变数 z z z的反余弦函数,记作 w = A r c cos ⁡ z w=Arc\cos z w=Arccosz
     根据 cos ⁡ w = e i w + e − i w 2 = z \cos w=\frac{e^{iw}+e^{-iw}}{2}=z cosw=2eiw+eiw=z可以解得
    w = A r c cos ⁡ z = − i L n ( z + z 2 − 1 ) w=Arc\cos z=-iLn(z+\sqrt{z^2-1}) w=Arccosz=iLn(z+z21 ) z 2 − 1 \sqrt{z^2-1} z21 是双值函数, L n   z Ln\ z Ln z是多值函数,所以反余弦函数是多值函数。
     同理可以定义反正弦函数和反正切函数
    w = A r c sin ⁡ z = − i L n ( z i + 1 − z 2 ) w=Arc\sin z=-iLn(zi+\sqrt{1-z^2}) w=Arcsinz=iLn(zi+1z2 ) w = A r c tan ⁡ z = − i 2 L n i − z i + z w=Arc\tan z=-\frac{i}{2}Ln\frac{i-z}{i+z} w=Arctanz=2iLni+ziz
     它们都是多值函数。

    2.7 复变函数的极限

     设函数 w = f ( z ) w=f(z) w=f(z) z 0 z_0 z0的去心邻域 U ˚ ( z 0 , ρ ) \mathring{U}(z_0,\rho) U˚(z0,ρ)内有定义, A A A是复常数。若对于任意给定的正实数 ε \varepsilon ε,总存在正实数 δ < ρ \delta <\rho δ<ρ,使得当 0 < ∣ z − z 0 ∣ < δ 0<|z-z_0|<\delta 0<zz0<δ时, ∣ f ( z ) − A ∣ < ε |f(z)-A|<\varepsilon f(z)A<ε,则称 A A A是函数 f ( z ) f(z) f(z) z z z趋近于 z 0 z_0 z0的极限,记作 lim ⁡ z → z 0 f ( z ) = A \lim\limits_{z\to z_0}f(z)=A zz0limf(z)=A,或当 z → z 0 z\to z_0 zz0时, f ( z ) → A f(z)\to A f(z)A.
     设函数 f ( z ) = u ( x , y ) + v ( x , y ) i f(z)=u(x,y)+v(x,y)i f(z)=u(x,y)+v(x,y)i z 0 = x 0 + y 0 i z_0=x_0+y_0i z0=x0+y0i的某一去心邻域内有定义,常数 A = u 0 + v 0 i A=u_0+v_0i A=u0+v0i,则 lim ⁡ z → z 0 f ( z ) = A \lim\limits_{z\to z_0}f(z)=A zz0limf(z)=A的充要条件是
    lim ⁡ ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) u ( x , y ) = u 0 , lim ⁡ ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) v ( x , y ) = v 0 \lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)}u(x,y)=u_0,\quad\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)}v(x,y)=v_0 (x,y)(x0,y0)limu(x,y)=u0,(x,y)(x0,y0)limv(x,y)=v0 如果 lim ⁡ z → z 0 f ( z ) = A \lim\limits_{z\to z_0}f(z)=A zz0limf(z)=A lim ⁡ z → z 0 g ( z ) = B \lim\limits_{z\to z_0}g(z)=B zz0limg(z)=B,那么
    lim ⁡ z → z 0 [ f ( z ) ± g ( z ) ] = lim ⁡ z → z 0 f ( z ) ± lim ⁡ z → z 0 g ( z ) = A ± B \lim\limits_{z\to z_0}[f(z)\pm g(z)]=\lim\limits_{z\to z_0}f(z)\pm \lim\limits_{z\to z_0}g(z)=A\pm B zz0lim[f(z)±g(z)]=zz0limf(z)±zz0limg(z)=A±B lim ⁡ z → z 0 [ f ( z ) ⋅ g ( z ) ] = lim ⁡ z → z 0 f ( z ) ⋅ lim ⁡ z → z 0 g ( z ) = A ⋅ B \lim\limits_{z\to z_0}[f(z)\cdot g(z)]=\lim\limits_{z\to z_0}f(z)\cdot \lim\limits_{z\to z_0}g(z)=A\cdot B zz0lim[f(z)g(z)]=zz0limf(z)zz0limg(z)=AB
    lim ⁡ z → z 0 [ f ( z ) g ( z ) ] = lim ⁡ z → z 0 f ( z ) lim ⁡ z → z 0 g ( z ) = A B ( B ≠ 0 ) \lim\limits_{z\to z_0}[\frac{f(z)}{g(z)}]=\frac{\lim\limits_{z\to z_0}f(z)}{ \lim\limits_{z\to z_0}g(z)}=\frac{A}{B}\quad (B\ne 0) zz0lim[g(z)f(z)]=zz0limg(z)zz0limf(z)=BA(B=0) 对于有理整函数(多项式)
    w = P ( z ) = a 0 + a 1 z + a 2 z 2 + ⋯ + a n z n w=P(z)=a_0+a_1z+a_2z^2+\cdots+a_nz^n w=P(z)=a0+a1z+a2z2++anzn lim ⁡ z → z 0 P ( z ) = P ( z 0 ) \lim\limits_{z\to z_0}P(z)=P(z_0) zz0limP(z)=P(z0) 对于有理分式函数
    w = P ( z ) Q ( z ) w=\frac{P(z)}{Q(z)} w=Q(z)P(z) lim ⁡ z → z 0 P ( z ) Q ( z ) = P ( z 0 ) Q ( z 0 ) ( Q ( z 0 ) ≠ 0 ) \lim\limits_{z\to z_0}\frac{P(z)}{Q(z)}=\frac{P(z_0)}{Q(z_0)}\quad (Q(z_0)\ne 0) zz0limQ(z)P(z)=Q(z0)P(z0)(Q(z0)=0)

    2.8 复变函数的连续性

     设函数 f ( z ) f(z) f(z) z 0 z_0 z0的某邻域内有定义,若 lim ⁡ z → z 0 f ( z ) = f ( z 0 ) \lim\limits_{z\to z_0}f(z)=f(z_0) zz0limf(z)=f(z0),则称函数 f ( z ) f(z) f(z) z 0 z_0 z0点连续。若 f ( z ) f(z) f(z)在区域 D D D的每一点都连续,则称 f ( z ) f(z) f(z) D D D内连续。
     函数 f ( z ) = u ( x , y ) + v ( x , y ) i f(z)=u(x,y)+v(x,y)i f(z)=u(x,y)+v(x,y)i z 0 = x 0 + y 0 i z_0=x_0+y_0i z0=x0+y0i连续的充要条件是二元实函数 u ( x , y ) u(x,y) u(x,y) v ( x , y ) v(x,y) v(x,y)在点 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)处连续。
     连续的性质同实函数。

    2.9 复变函数的导数

     设函数 w = f ( z ) w=f(z) w=f(z)在区域 D D D内有定义, z 0 z_0 z0 D D D内一点。当 z z z z 0 z_0 z0取得改变量 Δ z \Delta z Δz,且 z 0 + Δ z ∈ D z_0+\Delta z\in D z0+ΔzD时,相应的函数值有改变量 Δ w = f ( z 0 + Δ z ) − f ( z 0 ) \Delta w=f(z_0+\Delta z)-f(z_0) Δw=f(z0+Δz)f(z0)。如果极限
    lim ⁡ Δ z → 0 Δ w Δ z = lim ⁡ Δ z → 0 f ( z 0 + Δ z ) − f ( z 0 ) Δ z \lim\limits_{\Delta z\to 0}\frac{\Delta w}{\Delta z}=\lim\limits_{\Delta z\to 0}\frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z} Δz0limΔzΔw=Δz0limΔzf(z0+Δz)f(z0) 存在,则称函数 f ( z ) f(z) f(z) z 0 z_0 z0点可导。该极限值称为 f ( z ) f(z) f(z) z 0 z_0 z0点的导数,记作
    f ′ ( z 0 ) = d w d z ∣ z = z 0 = lim ⁡ Δ z → 0 f ( z 0 + Δ z ) − f ( z 0 ) Δ z f'(z_0)=\frac{dw}{dz}\Big|_{z=z_0}=\lim\limits_{\Delta z\to 0}\frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z} f(z0)=dzdwz=z0=Δz0limΔzf(z0+Δz)f(z0) 如果函数 f ( z ) f(z) f(z)在区域D内的每个点都可导,称 f ( z ) f(z) f(z)在区域 D D D内可导。从而区域 D D D内每个点对应着 f ( z ) f(z) f(z)的一个导数值。这样构成了一个新的函数称为 f ( z ) f(z) f(z)的导函数,记为 f ′ ( z ) f'(z) f(z)或者 d w d z \frac{dw}{dz} dzdw
     设函数 f ( z ) f(z) f(z) g ( z ) g(z) g(z)在区域 D D D内可导,有
    [ f ( z ) ± g ( z ) ] ′ = f ′ ( z ) ± g ′ ( z ) [f(z)\pm g(z)]'=f'(z)\pm g'(z) [f(z)±g(z)]=f(z)±g(z) [ f ( z ) g ( z ) ] ′ = f ′ ( z ) g ( z ) + f ( z ) g ′ ( z ) [f(z) g(z)]'=f'(z)g(z)+f(z) g'(z) [f(z)g(z)]=f(z)g(z)+f(z)g(z) [ f ( z ) g ( z ) ] ′ = f ′ ( z ) g ( z ) − f ( z ) g ′ ( z ) g 2 ( z ) , ( g ( z ) ≠ 0 ) [\frac{f(z)}{ g(z)}]'=\frac{f'(z)g(z)-f(z)g'(z)}{g^2(z)},\quad (g(z)\ne 0) [g(z)f(z)]=g2(z)f(z)g(z)f(z)g(z),(g(z)=0) { f [ g ( z ) ] } ′ = f ′ ( w ) g ′ ( z ) , ( w = g ( z ) ) \{f[g(z)]\}'=f'(w)g'(z),\quad(w=g(z)) {f[g(z)]}=f(w)g(z),(w=g(z)) 如果 f ( z ) f(z) f(z) φ ( w ) \varphi(w) φ(w)是互为反函数的单值函数,且 φ ′ ( w ) ≠ 0 \varphi'(w)\ne 0 φ(w)=0,则 f ′ ( z ) = 1 φ ′ ( w ) f'(z)=\frac{1}{\varphi'(w)} f(z)=φ(w)1
     有理整函数在复平面内处处可导
    P ( z ) = a 0 + a 1 z + a 2 z 2 + ⋯ + a n z n P(z)=a_0+a_1z+a_2z^2+\cdots+a_nz^n P(z)=a0+a1z+a2z2++anzn P ′ ( z ) = a 1 z + 2 a 2 z + ⋯ + n a n z n − 1 P'(z)=a_1z+2a_2z+\cdots+na_nz^{n-1} P(z)=a1z+2a2z++nanzn1 对于有理分式函数
    f ( z ) = P ( z ) Q ( z ) f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)} f(z)=Q(z)P(z) 在 Q ( z ) ≠ 0 Q(z)\ne 0 Q(z)=0的点可导
    f ( z ) ′ = P ′ ( z ) Q ( z ) − P ( z ) Q ′ ( z ) Q 2 ( z ) , ( Q ( z ) ≠ 0 ) f(z)'=\frac{P'(z)Q(z)-P(z)Q'(z)}{Q^2(z)},\quad (Q(z)\ne 0) f(z)=Q2(z)P(z)Q(z)P(z)Q(z),(Q(z)=0) 复变函数 w = f ( z ) w=f(z) w=f(z)的微分定义为 d w = f ′ ( z ) d z dw=f'(z)dz dw=f(z)dz

    2.10 解析函数

     如果函数 w = f ( z ) w=f(z) w=f(z)在点 z z z的某个邻域内可导,那么称函数 f ( z ) f(z) f(z)在点 z z z解析。如果 f ( z ) f(z) f(z)在区域 D D D内每一点都解析,称函数 f ( z ) f(z) f(z) D D D内解析,或称 f ( z ) f(z) f(z) D D D内的解析函数。如果 f ( z ) f(z) f(z)在点 z z z不解析,那么称点 z z z为函数 f ( z ) f(z) f(z)的奇点。
     函数 f ( z ) = u ( x , y ) + v ( x , y ) i f(z)=u(x,y)+v(x,y)i f(z)=u(x,y)+v(x,y)i在点 z = x + y i z=x+yi z=x+yi处可导的充要条件是二元实函数 u ( x , y ) u(x,y) u(x,y) v ( x , y ) v(x,y) v(x,y)在点 ( x , y ) (x,y) (x,y)处可微,且满足柯西-黎曼方程
    ∂ u ∂ x = ∂ v ∂ y , ∂ u ∂ y = − ∂ v ∂ x \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\quad \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x} xu=yv,yu=xv 从而有
    f ′ ( z ) = ∂ u ∂ x + ∂ v ∂ x i = ∂ v ∂ y − ∂ u ∂ y i f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial x}i=\frac{\partial v}{\partial y}-\frac{\partial u}{\partial y}i f(z)=xu+xvi=yvyui 函数 f ( z ) = u ( x , y ) + v ( x , y ) i f(z)=u(x,y)+v(x,y)i f(z)=u(x,y)+v(x,y)i在区域 D D D内解析的充要条件是二元实函数 u ( x , y ) u(x,y) u(x,y) v ( x , y ) v(x,y) v(x,y)在区域 D D D内可微,且满足柯西-黎曼方程。

    2.11 调和函数

     如果二元实函数 φ ( x , y ) \varphi(x,y) φ(x,y)在区域 D D D内具有二阶连续偏导数且满足拉普拉斯方程
    ∂ 2 φ ∂ x 2 + ∂ 2 φ ∂ y 2 = 0 \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2}=0 x22φ+y22φ=0 那么称 φ ( x , y ) \varphi(x,y) φ(x,y)为区域 D D D内的调和函数。
     任何在区域 D D D内解析的函数 f ( z ) = u ( x , y ) + v ( x , y ) i f(z)=u(x,y)+v(x,y)i f(z)=u(x,y)+v(x,y)i,它的实部 u ( x , y ) u(x,y) u(x,y)和和虚部 v ( x , y ) v(x,y) v(x,y)都是 D D D内的调和函数。且这两个函数满足柯西-黎曼条件,所以又称虚部 v ( x , y ) v(x,y) v(x,y)是实部 u ( x , y ) u(x,y) u(x,y)的共轭调和函数。
     即满足柯西-黎曼方程的两个调和函数可以构成共轭调和函数。在区域 D D D内以该函数为实部,其共轭调和函数为虚部,所构成的复变函数在区域 D D D内是解析的。
     函数 f ( z ) = u ( x , y ) + v ( x , y ) i f(z)=u(x,y)+v(x,y)i f(z)=u(x,y)+v(x,y)i在区域 D D D内解析的充要条件是它的虚部 v ( x , y ) v(x,y) v(x,y)是实部 u ( x , y ) u(x,y) u(x,y)的共轭调和函数。

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  • 复变函数与积分变换这科当初开始学的时候就马马虎虎没咋认真对待,到后面学专业课后才意识到它的重要性,打算再重学一边并写个备忘录方便日后查阅,当然,如果文中有疑问或者错误的地方也可以一起探讨。1.复数关于...
    复变函数与积分变换这科当初开始学的时候就马马虎虎没咋认真对待,到后面学专业课后才意识到它的重要性,打算再重学一边并写个备忘录方便日后查阅,当然,如果文中有疑问或者错误的地方也可以一起探讨。

    1.复数

    关于复数的概念、加减乘除、共轭等运算相信都了解,在此不再赘述。

    稍微提一嘴共轭:两个复数共轭,即两个复数的虚部互为相反数而实部相等,加减乘除后在再共轭等同于先共轭在加减乘除。即:

    bf82d8c4c7ef007f85d9d799f2c8fe45.png

    这个共轭复数在以后的自控原理中讨论特征根的不同状况系统的响应时较为重要。

    2.复平面与复数的表示法

    设一个复数

    ,复平面中的一个点即代表一个复数,原点到该点的向量也可以表示该复数。该向量与x轴正向的夹角即为复数的辐角,记作
    ,且
    故该复数可以表示为
    ,再由那个宇宙无敌超级完美的欧拉公式可得:
    。在以后的专业课学习过程中,常把复数化为
    来推导解决一些问题。至于要问我
    到底是个什么东西,我也不知道,不过我一般把它看作角度。( 因为电路原理中还有一种表示方法:

    3.复数的乘幂与方根

    特别注意,

    的辐角即为两项之差,这个性质在自控中画Bode图非常有用。

    7b90114f8780df261cb3e0e417063b4f.png

    ef59b34dc2ae57d120100f975e5e203c.png

    至于幂和方根,根据这个公式

    都容易求得。

    4.平面点集

    首先我们要搞懂邻域、内点、外点、边界点。这些概念都非常直观清晰,不再赘述。

    开集:其中的点全部为内点。倘若有一个边界点,便不是开集了,比如

    便不是开集。

    区域,要满足两个条件:开集;连通的(即其中的任两点都可以由在内部的折线连起来)。区域再加上它的边界点集便构成了闭区域

    至于平面点集的有界和无界,从字面上便可以想象的出来。

    Jordan曲线实际上就是连续的简单闭曲线,所谓简单曲线就是除了起点终点之外曲线无交点。Jordan曲线

    具有方向,这个方向可以这样理解:把Jordan曲线看成某个函数
    时在复平面上画出的轨迹(显然
    起点终点相等才能构成闭曲线),所以当t逐渐增大或减小时,z会沿着
    前进,如果z前进方向的左侧为
    的内部,便规定该方向为正,反之为负。Jordan曲线的方向判断在用格林公式求第二型曲线积分时极为重要。

    单连通区域D是指位于D内的任何Jordan曲线的内部都包含于D内,多连通区域是指单连通区域扣去了某些位于内部的Jordan曲线围成的区域。

    5.复变函数

    连续:类似于高等数学中的连续函数概念:

    把其中的实轴上的变量
    拓展到复平面上的变量
    ,便得到
    处的连续条件:

    两个连续函数的加减乘除以及复合运算后,得到的新函数仍连续。

    其实把

    看为
    分析问题更简便,后面将大量采用这种形式。

    导数:从高数中类比过来即可。特别的,如当

    (这种不用
    表达的函数)时,
    连续不可导,证明如下:

    660432caa346e25c761561d38d5a6136.png

    注:

    的对应关系为:

    函数可导(可微)的充要条件:对于

    处可导的充要条件为:

    处可微;满足
    ,

    此时,

    6.解析函数

    在区域
    有定义,当
    时,若存在一个
    的一个邻域,使得
    在邻域内处处可导,则
    解析点。当
    上每一个点都解析时,则称
    的解析函数。

    可以看到,解析和可导具有一定的等价性,但他们的意义不同,解析是指某一邻域可导,而可导只是某一点可导。后面在讨论关于奇点内容时会用到解析这一概念。

    初等解析函数,可以看成是由高数中那些初等函数在复数域的推广,特别的:

    aeaf8e416de8af57f069a1996c42b442.png
    注:试求Ln(-1)的值

    ba50b69e110dda81cff0a1813cbb0188.png

    函数解析的充要条件:对于

    在区域
    内解析的充要条件为:

    在区域
    内可微;在
    内满足等式

    此时

    关于解析函数的物理意义可以参考一下这里的文章:

    解析函数的物理意义及其应用 - 百度文库​wenku.baidu.com
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  • 复变函数引论

    2018-12-28 22:32:58
    文章目录1.1 复数与复变函数重要公式幂级数敛散性判别1.2初等复变函数和反函数指数函数三角函数对数函数幂函数1.3复变函数的导数与解析函数复变函数导数定义柯西-黎曼方程例题 1.1 复数与复变函数 重要公式 欧拉公式...

    1.1 复数与复变函数

    重要公式

    欧拉公式 e j θ = c o s θ + j s i n θ e^{j \theta }=cos \theta+jsin \theta ejθ=cosθ+jsinθ
    棣摩佛公式 ( c o s θ + j s i n θ ) n = [ c o s ( n θ ) + j s i n ( n θ ) ] {(cos \theta+jsin \theta)}^n=[cos(n \theta)+jsin(n \theta)] (cosθ+jsinθ)n=[cos(nθ)+jsin(nθ)]

    幂级数敛散性判别

    1. 达朗贝尔判别法:
      设幂级数为 ∑ n = 0 ∞ c n ( z − z 0 ) n \sum\limits_{n=0}^{\infty}c_n(z-z_0)^n n=0cn(zz0)n , 则收敛半径为 lim ⁡ n → ∞ ∣ c n c n + 1 ∣ \lim\limits_{n\to \infty}|\frac{c_n}{c_{n+1}}| nlimcn+1cn
    2. 柯西判定法
      设幂级数为 ∑ n = 0 ∞ = c n ( z − z 0 ) n \sum\limits_{n=0}^{\infty}=c_n{(z-z_0)}^n n=0=cn(zz0)n, 则收敛半价为 [ lim ⁡ n → ∞ [\lim\limits_{n\to\infty} [nlim [ ∣ c n ∣ n ] − 1 [\sqrt[n]{|c_n|}]^{-1} [ncn ]1

    1.2初等复变函数和反函数

    指数函数

    与实变量指数函数相类似

    三角函数

    cos z = 1 2 ( e j z + e − j z ) \frac{1}{2}(e^{jz}+e^{-jz}) 21(ejz+ejz)
    sin z = 1 2 j ( e j z − e − j z ) \frac{1}{2j}(e^{jz}-e^{-jz}) 2j1(ejzejz)

    cosh z = 1 2 ( e z + e − z ) \frac{1}{2}(e^{z}+e^{-z}) 21(ez+ez)
    sinh z = 1 2 ( e z − e − z ) \frac{1}{2}(e^{z}-e^{-z}) 21(ezez)

    对数函数

    • z = L n ω = x + j y = l n ∣ ω ∣ + j A r g ω z = Ln\omega=x+jy=ln|\omega|+j Arg\omega z=Lnω=x+jy=lnω+jArgω
    • L n z = l n ∣ Z ∣ + j a r g z Lnz=ln|Z|+ jargz Lnz=lnZ+jargz

    幂函数

    z a = e a L n z z^a=e^{aLnz} za=eaLnz
    P . V . z a = e a l n z P.V.z^a=e^{alnz} P.V.za=ealnz

    1.3复变函数的导数与解析函数

    复变函数导数定义

    f ′ ( z 0 ) = d f d z ∣ z = z 0 = lim ⁡ Δ z → 0 f ( z 0 + Δ z ) − f ( z 0 ) Δ z f^{&#x27;}(z_0)=\frac{df}{dz}|_{z=z_0}=\lim\limits_{\Delta z\to0}\frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z} f(z0)=dzdfz=z0=Δz0limΔzf(z0+Δz)f(z0)

    柯西-黎曼方程

    ∂ u ∂ x = ∂ v ∂ y \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} xu=yv
    ∂ u ∂ y = − ∂ u ∂ x \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial u}{\partial x} yu=xu

    例题

    1. 讨论下列复变函数的导数并且判断是否为解析函数
      (1) e z e^z ez
      解:
      e z = e x + y = e x c o s y + j e x s i n y e^z=e^{x+y}=e^{x}cosy+je^xsiny ez=ex+y=excosy+jexsiny …………将 f ( z ) f(z) f(z)表示成 u + j v u+jv u+jv
      ∂ u ∂ x = e x c o s y , ∂ v ∂ y = e x c o s y \frac{\partial u}{\partial x}=e^xcosy ,\frac{\partial v}{\partial y}=e^xcosy xu=excosy,yv=excosy …………CR方程判定

      f ′ ( x ) = ∂ u ∂ x + j ∂ v ∂ y = s i n x c o s h y + j s i n h y c o s x f^{&#x27;}(x)=\frac{\partial u}{\partial x}+j\frac{\partial v}{\partial y}=sinx coshy+jsinhycosx f(x)=xu+jyv=sinxcoshy+jsinhycosx

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  • 复变函数笔记

    2019-01-23 23:39:00
    与此同时,柯西黎曼方程,便顺势而生,这也是一个判断复变函数是否解析的很好的等价条件。提到导数,一定会有人有疑问,既然,实变函数的导数代表的切线斜率,代表函数值的变化速度,那么复变函数的导数又有什么意义...

    复变函数小结

    by婉约在风里

    对于复变函数,其重点便在于解析函数这一块,整个复变函数可以说是围绕着解析函数来进行论述的,解析函数的定义——在某一点邻域所有点可导的函数,称之为解析函数。与此同时,柯西黎曼方程,便顺势而生,这也是一个判断复变函数是否解析的很好的等价条件。提到导数,一定会有人有疑问,既然,实变函数的导数代表的切线斜率,代表函数值的变化速度,那么复变函数的导数又有什么意义呢?其实,这里的几何意义很明显,导数的模的平方就是将复区域(定义域)映射为复区域(值域)的面积之比。这么一想,和实变函数的导数好像没什么两样呀,其实很还是有的,毕竟是区域,和区间还是有差别的,这里不单单会涉及到值,还会涉及到方向,也就是辐角,因此在这方面,会涉及保角映射。这和几何上面欧氏空间的保角映射和保长映射其实并无两样。

    之后便是研究解析函数的核心工具——幂级数。和实函数一样,解析函数也有自己的幂级数展开,而且,解析函数有着和实函数不一样的性质,复变函数如果在某个区域是解析的,那么他的级数展开收敛圆一定可以延拓到区域边界。这样神奇的性质还是要归功于柯西定理的应用,而柯西定理就像一把钥匙,打开了解析函数性质研究的大门,使之诸多性质被发掘出来。同样,反函数的问题,一样存在于复平面,复平面的特殊性质,使之与实函数的反函数相差很大,i的存在,使得反函数的存在多种多样,于是导出了多值函数,其根源就在于辐角的变化,如果将定义域的辐角限制到,0到$\pi$,便会使得很多多值函数变为单值函数。

    此后,我们得到了解析函数的定义,以及研究解析函数的工具,我们便可以对其开始研究啦。我们说到幂级数,便会想到幂级数的系数从何而来,这里我们用到了柯西积分公式,并简单的交换了级数和积分的顺序,便得到了幂级数展开式,而系数也很容易和导数联系起来,至此我们也变得到了解析函数求其n阶导数的公式。从而,我们得到了,柯西不等式, 零点孤立原理等等实用的定理。此时,我们需要着重介绍一下一个分析定理在复变函数的应用,也就是开映射定理,因为开映射定理的存在,使复函数不能在开区间映射为闭区间,也就是不能在内点处得到函数的最大模,这就是最大模原理,解析函数在区域的最大值只能在边界取到,后面的施瓦茨引理等等都是对最大模原理的应用,可以说最大模原理也是复变函数的重点定理,利用这个定理,可以解决很多实际问题,再次不做赘述。

    后面,便要学习洛朗级数,也是针对解析函数的非解析奇点部分的级数展开,这样子,我们便有了去了解亚纯函数的工具了。利用洛朗级数的展开特征,我们可以将奇点分为,可去奇点,极点,以及本性奇点。

    这时候,常用的解析方法都介绍完毕了,我们要开始将这些应用实际利用我们的问题中去了,其中最为大家所熟悉的方法,便是留数定理的应用。留数定理,本质上是将函数洛朗级数展开后,对每一项进行积分,由于只有次数为-1时,含奇点的单连通区域积分才不为零,我们便可以利用一些特殊方法计算奇点处洛朗展开式的-1次项的系数,进而计算复变积分,与此同时,对于实积分,我们可以将其延拓至复平面,然后进行分析计算,这就是复变函数在实变函数上面的积分的应用,此后还有辐角原理,也算是留数的一个应用,其几何意义也相当明显,在此略过。之后的调和函数,严格意义上,也算是复变方法在实变函数的应用了。

    转载于:https://www.cnblogs.com/wanyuezaifengli/p/10312107.html

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空空如也

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