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  • 判断复变函数解析的方法
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    2021-12-11 21:19:40

    1. 调和函数的定义

    《浅谈矢量场 —— 1. 梯度、散度与拉普拉斯算子》 这篇文章中提到过「拉普拉斯算子」,它的表达形式一般如下:

    Δ = ∇ 2 = ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 + ∂ 2 ∂ z 2 \Delta = \nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2} Δ=2=x22+y22+z22

    在物理上,它是 n n n 维欧几里德空间中的一个二阶微分算子,定义为梯度 ∇ f \nabla f f 的散度 ∇ ⋅ ∇ f \nabla \cdot \nabla f f。注意,通常表示梯度时,我们使用 ∇ f \nabla f f,而表示散度时,我们习惯使用 ∇ ⋅ f \nabla \cdot f f,旋度则一般表示为 ∇ × f \nabla \times f ×f。所以,拉普拉斯算子的二阶形式,经常被简写为 ∇ 2 f \nabla^2 f 2f,很少使用 Δ f \Delta f Δf 形式,因为这容易与微量弄混淆,所以现在一些较新的出版论文或教材里,已经较多的使用 ∇ 2 \nabla^2 2 替换了原有的 Δ f \Delta f Δf 形式。

    而「调和函数」的形式可以从「拉普拉斯算子」出发,被认为是当 「拉普拉斯算子」等于0的特殊情况的一类函数,即:

    ∇ 2 φ = ∂ 2 φ ∂ x 2 + ∂ 2 φ ∂ y 2 + ∂ 2 φ ∂ z 2 = 0 \nabla^2 \varphi = \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 \varphi}{\partial z^2} = 0 2φ=x22φ+y22φ+z22φ=0

    而且一般对于复数域来说,我们只讨论到实数域和虚数域两个维度,所以:

    ∇ 2 φ = ∂ 2 φ ∂ x 2 + ∂ 2 φ ∂ y 2 = 0 \nabla^2 \varphi = \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2} = 0 2φ=x22φ+y22φ=0

    我个人感觉,「调和函数」这种函数形式,对于研究物理「场」是一种特别重要的工具,但是说实话在数学范畴上,是比较少见到具体应用的。

    那么对于一个复变函数 f ( z ) = u + j v f(z) = u + j v f(z)=u+jv 来说,如果它自身满足

    { ∇ 2 u = 0 ∇ 2 v = 0 \left \{ \begin{matrix} \nabla^2 u = 0 \\ \nabla^2 v = 0 \end{matrix} \right . {2u=02v=0

    那么我们称其为调和函数。

    现在我们来看一些例题

    例1.

    函数 f ( z ) = u + j v f(z) = u + j v f(z)=u+jv 在区域 D D D 内解析,则下列命题中错误的是________
    A. 函数 f ( z ) f(z) f(z) 在区域 D D D 内可导;
    B. 函数 u u u v v v 时区域 D D D 的调和函数;
    C. 函数 u u u v v v 在区域 D D D 内满足柯西黎曼方程;
    D. 函数 u u u v v v 在区域 D D D 内的共轭调和函数。

    解:这题主要考察对复变函数相关概念的掌握,我们现在一一分析:

    首先对于答案A,由于题干给出了在 D D D 内解析,那它必然在 D D D 内处处可导(对这问题不熟悉的朋友,可以看 《复变函数 —— 3. 什么是解析函数》 ),并且可以直接得到 u u u v v v必然也满足柯西黎曼方程,所以C也是正确的。

    接下来对于B来说,由于A和C正确,所以对于复变函数的一阶导必然是一个复常数 a a a

    ∇ f = a \nabla f = a f=a

    这是因为如果说复变函数在点 ( x , y ) (x, y) (x,y) 存在导数,也就意味着当 z z z 趋于 z o z_o zo 时, f ( z ) f(z) f(z) 有极限a存在,即 l i m z → z o f ( z ) − f ( z o ) z − z o = a lim_{z \to z_o} \frac{f(z) - f(z_o)}{z - z_o} = a limzzozzof(z)f(zo)=a。注意这里的 a a a 必须是一个确定的「复常数」,即 3 − j 3-j 3j 或者 1 / 4 j 1/4j 1/4j这样,而不是 x − j x - j xj这种类型的。

    所以如果我们再对「复常数」 a a a 取导,它一定等于0,所以在满足区域 D D D 内解析的同时, u u u v v v也同时满足调和函数的定义要求,B因此也是正确的;这样错误的只有D了。

    例2.

    验证 u(x, y) = x^2 - y^2 + xy 是调和函数,并求相应的解析函数, f ( z ) = u + j v f(z) = u + j v f(z)=u+jv,使 f ( 0 ) = 0 f(0) = 0 f(0)=0

    解:验证调和函数,首先要求上式的二阶导,所以

    ∂ ∂ x ∂ ( x 2 − y 2 + x y ) ∂ x = ∂ ∂ x ⋅ ( 2 x + y ) = 2 \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial (x^2 - y^2 + xy)}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \cdot (2x + y) = 2 xx(x2y2+xy)=x(2x+y)=2

    ∂ ∂ y ∂ ( x 2 − y 2 + x y ) ∂ y = ∂ ∂ y ⋅ ( − 2 y + x ) = − 2 \frac{\partial}{\partial y} \frac{\partial (x^2 - y^2 + xy)}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \cdot (-2y + x) = -2 yy(x2y2+xy)=y(2y+x)=2

    由于 2 − 2 = 0 2-2 =0 22=0,所以 u u u是调和函数。接下来在已知实数域函数 u u u 的前提下,我们需要推导出虚数域的函数 v v v,先从CR方程,可以得到 ∂ u ∂ x = ∂ v ∂ y \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} xu=yv, 注意这两个都是导数形式,所以要想得到原函数,可以把导数代入积分中,即:

    v = ∫ v ′ d y = ∫ u ′ d y v = \int v' dy = \int u' dy v=vdy=udy

    u ′ u' u 其实已经在验证调和函数过程中得到,所以直接代入

    v = ∫ ( 2 x + y ) d x = 2 x y + 1 2 y 2 + C ( x ) v = \int (2x + y) dx = 2xy + \frac{1}{2} y^2 + C(x) v=(2x+y)dx=2xy+21y2+C(x)

    于是得到 ∂ v ∂ x = 2 y + C ′ ( x ) \frac{\partial v}{\partial x} = 2y + C'(x) xv=2y+C(x),然后再代入CR方程, ∂ u ∂ y = − ∂ v ∂ x \frac{\partial u}{\partial y}= - \frac{\partial v}{\partial x} yu=xv

    x − 2 y = − 2 y − C ′ ( x ) → C ′ ( x ) = − x x - 2y = -2y - C'(x) \to C'(x) = -x x2y=2yC(x)C(x)=x

    然后求 C ( x ) C(x) C(x) 的原函数,通过 C ( x ) = ∫ − x d x = − 1 2 x 2 + C C(x) = \int -x dx = -\frac{1}{2} x^2 + C C(x)=xdx=21x2+C,最终 v = 2 x y + 1 2 y 2 − 1 2 x 2 + C v = 2xy + \frac{1}{2} y^2 -\frac{1}{2} x^2 + C v=2xy+21y221x2+C,然后对于 f ( z ) = u + j v f(z) = u + jv f(z)=u+jv ,可得到:

    f ( z ) = x 2 − y 2 + x y + j ( 2 x y + 1 2 y 2 − 1 2 x 2 + C ) f(z) = x^2 - y^2 + xy + j(2xy + \frac{1}{2} y^2 -\frac{1}{2} x^2 + C) f(z)=x2y2+xy+j(2xy+21y221x2+C)

    然后带入条件 f ( 0 ) = 0 f(0) = 0 f(0)=0,且 z = x + j y z = x + j y z=x+jy 可知 x = y = 0 x = y = 0 x=y=0,于是

    f ( z ) = x 2 − y 2 + x y + j ( 2 x y + 1 2 y 2 − 1 2 x 2 + C ) ⇒ j C = 0 ⇒ C = 0 f(z) = x^2 - y^2 + xy + j(2xy + \frac{1}{2} y^2 -\frac{1}{2} x^2 + C) \Rightarrow jC = 0 \Rightarrow C= 0 f(z)=x2y2+xy+j(2xy+21y221x2+C)jC=0C=0

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    复变函数(2)-复变函数及其解析性

     

                             东风夜放花千树,更吹落,星如雨
     
     
     

    2.1 复变函数的定义:

     设 D D D是复平面上一个非空点集。如果按照一个确定的法则 f f f,对于 D D D中的每一个点 z z z,都有一个或多个复数 w w w与之对应,则称复变数 w w w是复变数 z z z的函数,简称为复变函数,记为
    w = f ( z )   , z ∈ D w=f(z)\ ,\quad z\in D w=f(z) ,zD 如果 z z z的一个值对应于 w w w的一个值,那么称函数 f ( z ) f(z) f(z)是单值的,如果 z z z的一个值对应着 w w w的多个值,那么称函数 f ( z ) f(z) f(z)是多值的。
     复变函数也可以和两个二元实函数 u ( x , y )   ,   v ( x , y ) u(x,y)\ ,\ v(x,y) u(x,y) , v(x,y)联系起来,设 w = u + v i w=u+vi w=u+vi z = x + y i z=x+yi z=x+yi,则
    w = u + v i = f ( z ) = f ( x + y i ) = u ( x , y ) + v ( x , y ) i w=u+vi=f(z)=f(x+yi)=u(x,y)+v(x,y)i w=u+vi=f(z)=f(x+yi)=u(x,y)+v(x,y)i 复变函数可以类比实函数定义其函数特征。

    2.2 指数函数:

     对于复变数 z = x + y i z=x+yi z=x+yi,称复变数 w = e x ( c o s y + i s i n y ) w=e^x(cosy+isiny) w=ex(cosy+isiny)为复变数 z z z的指数函数,记作 w = e z w=e^z w=ez,即
    w = e z = e x ( c o s y + i s i n y ) w=e^z=e^x(cosy+isiny) w=ez=ex(cosy+isiny) { ∣ e z ∣ = e x A r g ( e z ) = y + 2 k π ( k = 0 , ± 1 , ± 2 , … ) \left\{\begin{aligned} & |e^z|=e^x \\ & Arg(e^z)=y+2k\pi\quad (k=0,\pm1,\pm 2,\ldots)\end{aligned}\right. {ez=exArg(ez)=y+2kπ(k=0,±1,±2,) 指数函数是单值函数,且在复平面上处处有定义。
     (注:这里单值函数是指在 z = x + y i z=x+yi z=x+yi这样的实部虚部表示法下,函数值 w = e z w=e^z w=ez有唯一确定的实部和虚部。对于虚数的指数表示法 A r g ( e z ) = y + 2 k π Arg(e^z)=y+2k\pi Arg(ez)=y+2kπ,在任何情况下根据定义辐角的取值都是无穷多的,所以不利用复变数的指数和三角表示法来判断函数的单值和多值性。)
     复指数函数具有以下性质:
    e 0 = 1 e^0=1 e0=1 e z ≠ 0 e^z\ne0 ez=0 e z 1 + z 2 = e 1 z e 2 z e^{z_1+z_2}=e^z_1e^z_2 ez1+z2=e1ze2z e − z = 1 e z e^{-z}=\frac{1}{e^z} ez=ez1 e z ‾ = e z ‾ \overline{e^z}=e^{\overline{z}} ez=ez e 2 k π i = 1 e^{2k\pi i}=1 e2kπi=1

    2.3 对数函数

     指数函数的反函数,即满足方程
    e w = z ( z ≠ 0 ) e^w=z\quad (z\ne 0) ew=z(z=0) 的复变数 w w w称为复变数 z z z的对数函数,记作 w = L n   z w=Ln\ z w=Ln z
     对于 w = u + v i w=u+vi w=u+vi
    ∣ z ∣ = ∣ e w ∣ = e u |z|=|e^w|=e^u z=ew=eu A r g   z = A r g   e w = v Arg\ z=Arg\ e^w=v Arg z=Arg ew=v 所以
    u = l n ∣ z ∣   , v = A r g   z u=ln|z|\ ,\quad v=Arg\ z u=lnz ,v=Arg z L n   z = l n ∣ z ∣ + i A r g   z ( z ≠ 0 ) Ln\ z=ln|z|+iArg\ z\quad(z\ne 0) Ln z=lnz+iArg z(z=0) w = L n   z = l n ∣ z ∣ + i a r g   z + 2 k π i ( k = 0 , ± 1 , ± 2 , … ) w=Ln\ z=ln|z|+iarg\ z+2k\pi i\quad (k=0,\pm1,\pm 2,\ldots) w=Ln z=lnz+iarg z+2kπi(k=0,±1,±2,) 可以看出对数函数可以得出多种实部和虚部表示,所以对数函数是多值函数。给定确定 k = k 0 k=k_0 k=k0时,可以得到对数函数的一个分支,对数函数的每一个分支都是单值函数。
    k = 0 k=0 k=0时的分支称为对数函数 w = L n   z w=Ln\ z w=Ln z的主分支,对应的函数值为函数主值,记为 l n   z ln\ z ln z,有
    l n   z = l n ∣ z ∣ + i a r g   z ( z ≠ 0 ) ln\ z=ln|z|+iarg\ z\quad (z\ne 0) ln z=lnz+iarg z(z=0)
     对数函数有如下性质
    L n ( z 1 z 2 ) = L n   z 1 + L n   z 2 Ln(z_1z_2)=Ln\ z_1+Ln\ z_2 Ln(z1z2)=Ln z1+Ln z2 L n ( z 1 z 2 ) = L n   z 1 − L n   z 2 Ln(\frac{z_1}{z_2})=Ln\ z_1-Ln\ z_2 Ln(z2z1)=Ln z1Ln z2 等式两边都是多值函数,等号意味着两段可能取得的函数值全体相同。同理,下面的式子不成立
    L n   z n ≠ n L n   z Ln\ z^n\ne nLn\ z Ln zn=nLn z L n   z n ≠ 1 n L n   z Ln\ \sqrt[n]{z}\ne \frac{1}{n}Ln\ z Ln nz =n1Ln z

    2.4 幂函数

     设 a a a是复常数,对于复变数 z ≠ 0 z\ne 0 z=0,称复变数 w = e a L n   z w=e^{aLn\ z} w=eaLn z为复变数 z z z的幂函数,即
    w = z a = e a L n   z w=z^a=e^{aLn\ z} w=za=eaLn z 当 a a a为正实数,且 z = 0 z=0 z=0时,规定 z a = 0 z^a=0 za=0
     指数函数的取值性需要分情况讨论。
     (1)当 a = n a=n a=n为整数时
    w = z n = e n L n   z = e n [ l n ∣ z ∣ + i ( a r g   z + 2 k π ) ] = e n l n ∣ z ∣ + ( n a r g   z ) i + 2 n k π i = e n l n ∣ z ∣ + ( n a r g   z ) i ( k = 0 , ± 1 , ± 2 , … ) w=z^n=e^{nLn\ z}=e^{n[ln|z|+i(arg\ z+2k\pi)]}=e^{nln|z|+(narg\ z)i+2nk\pi i}=e^{nln|z|+(narg\ z)i}\quad (k=0,\pm1,\pm 2,\ldots) w=zn=enLn z=en[lnz+i(arg z+2kπ)]=enlnz+(narg z)i+2nkπi=enlnz+(narg z)i(k=0,±1,±2,) 所以此时幂函数为单值函数,当 n > 0 n>0 n>0时在复平面上处处有定义。当 n < 0 n<0 n<0时,在复平面除 z = 0 z=0 z=0点外处处有定义。
     (2)当 a = p q a=\frac{p}{q} a=qp p p p q q q为互质的整数, q > 0 q>0 q>0)为有理数时
    w = z a = e p q L n   z = e p q [ l n ∣ z ∣ + i ( a r g   z + 2 k π ) ] = e p q l n ∣ z ∣ + ( p q a r g   z ) i + 2 p q k π i w=z^a=e^{\frac{p}{q}Ln\ z}=e^{\frac{p}{q}[ln|z|+i(arg\ z+2k\pi)]}=e^{\frac{p}{q}ln|z|+(\frac{p}{q}arg\ z)i+2\frac{p}{q}k\pi i} w=za=eqpLn z=eqp[lnz+i(arg z+2kπ)]=eqplnz+(qparg z)i+2qpkπi = e p q l n ∣ z ∣ [ c o s p q ( a r g   z + 2 k π ) + i s i n p q ( a r g   z + 2 k π ) ) ] ( k = 0 , ± 1 , ± 2 , … ) =e^{\frac{p}{q}ln|z|}[cos\frac{p}{q}(arg\ z+2k\pi)+isin\frac{p}{q}(arg\ z+2k\pi))]\quad (k=0,\pm1,\pm 2,\ldots) =eqplnz[cosqp(arg z+2kπ)+isinqp(arg z+2kπ))](k=0,±1,±2,)
     根据三角函数的周期性,函数 w = z p q w=z^{\frac{p}{q}} w=zqp具有 q q q个不同的值,当 k = 0 , 1 , … , q − 1 k=0,1,\ldots,q-1 k=0,1,,q1时可以取得。
     (3)当 a a a为无理数或虚数时,幂函数是无穷多值的,在复平面上除了 z = 0 z=0 z=0外处处有定义,每一个单值分支对应于 L n   z Ln\ z Ln z的一个单值分支。

    2.5 三角函数

     分别称
    cos ⁡ ( z ) = e i z + e − i z 2 sin ⁡ ( z ) = e i z − e − i z 2 i \cos(z)=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\quad \sin(z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} cos(z)=2eiz+eizsin(z)=2ieizeiz 为复变数的余弦函数和正弦函数。
     三角函数具有 2 π 2\pi 2π的周期性和奇偶性,但不再具有有界性,且
    cos ⁡ 2 z + sin ⁡ 2 z = 1 \cos^2{z}+\sin^2z=1 cos2z+sin2z=1 cos ⁡ ( z + π 2 ) = − sin ⁡ ( z ) , cos ⁡ ( z + π ) = − cos ⁡ z \cos(z+\frac{\pi}{2})=-\sin(z),\quad\cos(z+\pi)=-\cos z cos(z+2π)=sin(z),cos(z+π)=cosz sin ⁡ ( z + π 2 ) = cos ⁡ ( z ) , sin ⁡ ( z + π ) = − sin ⁡ z \sin(z+\frac{\pi}{2})=\cos(z),\quad\sin(z+\pi)=-\sin z sin(z+2π)=cos(z),sin(z+π)=sinz sin ⁡ ( z 1 + z 2 ) = sin ⁡ z 1 cos ⁡ z 2 − cos ⁡ z 1 sin ⁡ z 2 \sin(z_1+z_2)=\sin z_1\cos z_2-\cos z_1\sin z_2 sin(z1+z2)=sinz1cosz2cosz1sinz2 cos ⁡ ( z 1 + z 2 ) = cos ⁡ z 1 cos ⁡ z 2 − sin ⁡ z 1 sin ⁡ z 2 \cos(z_1+z_2)=\cos z_1\cos z_2-\sin z_1\sin z_2 cos(z1+z2)=cosz1cosz2sinz1sinz2 同理可以定义复变数的正切,余切,正割,余割函数。
    tan ⁡ z = sin ⁡ z cos ⁡ z , cot ⁡ z = cos ⁡ z sin ⁡ z , sec ⁡ z = 1 cos ⁡ z , csc ⁡ z = 1 sin ⁡ z \tan z=\frac{\sin z}{\cos z},\quad\cot z=\frac{\cos z}{\sin z},\quad \sec z=\frac{1}{\cos z},\quad \csc z=\frac{1}{\sin z} tanz=coszsinz,cotz=sinzcosz,secz=cosz1,cscz=sinz1

    2.6 反三角函数

     余弦函数的反函数,满足 cos ⁡ w = z \cos w=z cosw=z的复变数 w w w称为复变数 z z z的反余弦函数,记作 w = A r c cos ⁡ z w=Arc\cos z w=Arccosz
     根据 cos ⁡ w = e i w + e − i w 2 = z \cos w=\frac{e^{iw}+e^{-iw}}{2}=z cosw=2eiw+eiw=z可以解得
    w = A r c cos ⁡ z = − i L n ( z + z 2 − 1 ) w=Arc\cos z=-iLn(z+\sqrt{z^2-1}) w=Arccosz=iLn(z+z21 ) z 2 − 1 \sqrt{z^2-1} z21 是双值函数, L n   z Ln\ z Ln z是多值函数,所以反余弦函数是多值函数。
     同理可以定义反正弦函数和反正切函数
    w = A r c sin ⁡ z = − i L n ( z i + 1 − z 2 ) w=Arc\sin z=-iLn(zi+\sqrt{1-z^2}) w=Arcsinz=iLn(zi+1z2 ) w = A r c tan ⁡ z = − i 2 L n i − z i + z w=Arc\tan z=-\frac{i}{2}Ln\frac{i-z}{i+z} w=Arctanz=2iLni+ziz
     它们都是多值函数。

    2.7 复变函数的极限

     设函数 w = f ( z ) w=f(z) w=f(z) z 0 z_0 z0的去心邻域 U ˚ ( z 0 , ρ ) \mathring{U}(z_0,\rho) U˚(z0,ρ)内有定义, A A A是复常数。若对于任意给定的正实数 ε \varepsilon ε,总存在正实数 δ < ρ \delta <\rho δ<ρ,使得当 0 < ∣ z − z 0 ∣ < δ 0<|z-z_0|<\delta 0<zz0<δ时, ∣ f ( z ) − A ∣ < ε |f(z)-A|<\varepsilon f(z)A<ε,则称 A A A是函数 f ( z ) f(z) f(z) z z z趋近于 z 0 z_0 z0的极限,记作 lim ⁡ z → z 0 f ( z ) = A \lim\limits_{z\to z_0}f(z)=A zz0limf(z)=A,或当 z → z 0 z\to z_0 zz0时, f ( z ) → A f(z)\to A f(z)A.
     设函数 f ( z ) = u ( x , y ) + v ( x , y ) i f(z)=u(x,y)+v(x,y)i f(z)=u(x,y)+v(x,y)i z 0 = x 0 + y 0 i z_0=x_0+y_0i z0=x0+y0i的某一去心邻域内有定义,常数 A = u 0 + v 0 i A=u_0+v_0i A=u0+v0i,则 lim ⁡ z → z 0 f ( z ) = A \lim\limits_{z\to z_0}f(z)=A zz0limf(z)=A的充要条件是
    lim ⁡ ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) u ( x , y ) = u 0 , lim ⁡ ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) v ( x , y ) = v 0 \lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)}u(x,y)=u_0,\quad\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)}v(x,y)=v_0 (x,y)(x0,y0)limu(x,y)=u0,(x,y)(x0,y0)limv(x,y)=v0 如果 lim ⁡ z → z 0 f ( z ) = A \lim\limits_{z\to z_0}f(z)=A zz0limf(z)=A lim ⁡ z → z 0 g ( z ) = B \lim\limits_{z\to z_0}g(z)=B zz0limg(z)=B,那么
    lim ⁡ z → z 0 [ f ( z ) ± g ( z ) ] = lim ⁡ z → z 0 f ( z ) ± lim ⁡ z → z 0 g ( z ) = A ± B \lim\limits_{z\to z_0}[f(z)\pm g(z)]=\lim\limits_{z\to z_0}f(z)\pm \lim\limits_{z\to z_0}g(z)=A\pm B zz0lim[f(z)±g(z)]=zz0limf(z)±zz0limg(z)=A±B lim ⁡ z → z 0 [ f ( z ) ⋅ g ( z ) ] = lim ⁡ z → z 0 f ( z ) ⋅ lim ⁡ z → z 0 g ( z ) = A ⋅ B \lim\limits_{z\to z_0}[f(z)\cdot g(z)]=\lim\limits_{z\to z_0}f(z)\cdot \lim\limits_{z\to z_0}g(z)=A\cdot B zz0lim[f(z)g(z)]=zz0limf(z)zz0limg(z)=AB
    lim ⁡ z → z 0 [ f ( z ) g ( z ) ] = lim ⁡ z → z 0 f ( z ) lim ⁡ z → z 0 g ( z ) = A B ( B ≠ 0 ) \lim\limits_{z\to z_0}[\frac{f(z)}{g(z)}]=\frac{\lim\limits_{z\to z_0}f(z)}{ \lim\limits_{z\to z_0}g(z)}=\frac{A}{B}\quad (B\ne 0) zz0lim[g(z)f(z)]=zz0limg(z)zz0limf(z)=BA(B=0) 对于有理整函数(多项式)
    w = P ( z ) = a 0 + a 1 z + a 2 z 2 + ⋯ + a n z n w=P(z)=a_0+a_1z+a_2z^2+\cdots+a_nz^n w=P(z)=a0+a1z+a2z2++anzn lim ⁡ z → z 0 P ( z ) = P ( z 0 ) \lim\limits_{z\to z_0}P(z)=P(z_0) zz0limP(z)=P(z0) 对于有理分式函数
    w = P ( z ) Q ( z ) w=\frac{P(z)}{Q(z)} w=Q(z)P(z) lim ⁡ z → z 0 P ( z ) Q ( z ) = P ( z 0 ) Q ( z 0 ) ( Q ( z 0 ) ≠ 0 ) \lim\limits_{z\to z_0}\frac{P(z)}{Q(z)}=\frac{P(z_0)}{Q(z_0)}\quad (Q(z_0)\ne 0) zz0limQ(z)P(z)=Q(z0)P(z0)(Q(z0)=0)

    2.8 复变函数的连续性

     设函数 f ( z ) f(z) f(z) z 0 z_0 z0的某邻域内有定义,若 lim ⁡ z → z 0 f ( z ) = f ( z 0 ) \lim\limits_{z\to z_0}f(z)=f(z_0) zz0limf(z)=f(z0),则称函数 f ( z ) f(z) f(z) z 0 z_0 z0点连续。若 f ( z ) f(z) f(z)在区域 D D D的每一点都连续,则称 f ( z ) f(z) f(z) D D D内连续。
     函数 f ( z ) = u ( x , y ) + v ( x , y ) i f(z)=u(x,y)+v(x,y)i f(z)=u(x,y)+v(x,y)i z 0 = x 0 + y 0 i z_0=x_0+y_0i z0=x0+y0i连续的充要条件是二元实函数 u ( x , y ) u(x,y) u(x,y) v ( x , y ) v(x,y) v(x,y)在点 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)处连续。
     连续的性质同实函数。

    2.9 复变函数的导数

     设函数 w = f ( z ) w=f(z) w=f(z)在区域 D D D内有定义, z 0 z_0 z0 D D D内一点。当 z z z z 0 z_0 z0取得改变量 Δ z \Delta z Δz,且 z 0 + Δ z ∈ D z_0+\Delta z\in D z0+ΔzD时,相应的函数值有改变量 Δ w = f ( z 0 + Δ z ) − f ( z 0 ) \Delta w=f(z_0+\Delta z)-f(z_0) Δw=f(z0+Δz)f(z0)。如果极限
    lim ⁡ Δ z → 0 Δ w Δ z = lim ⁡ Δ z → 0 f ( z 0 + Δ z ) − f ( z 0 ) Δ z \lim\limits_{\Delta z\to 0}\frac{\Delta w}{\Delta z}=\lim\limits_{\Delta z\to 0}\frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z} Δz0limΔzΔw=Δz0limΔzf(z0+Δz)f(z0) 存在,则称函数 f ( z ) f(z) f(z) z 0 z_0 z0点可导。该极限值称为 f ( z ) f(z) f(z) z 0 z_0 z0点的导数,记作
    f ′ ( z 0 ) = d w d z ∣ z = z 0 = lim ⁡ Δ z → 0 f ( z 0 + Δ z ) − f ( z 0 ) Δ z f'(z_0)=\frac{dw}{dz}\Big|_{z=z_0}=\lim\limits_{\Delta z\to 0}\frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z} f(z0)=dzdwz=z0=Δz0limΔzf(z0+Δz)f(z0) 如果函数 f ( z ) f(z) f(z)在区域D内的每个点都可导,称 f ( z ) f(z) f(z)在区域 D D D内可导。从而区域 D D D内每个点对应着 f ( z ) f(z) f(z)的一个导数值。这样构成了一个新的函数称为 f ( z ) f(z) f(z)的导函数,记为 f ′ ( z ) f'(z) f(z)或者 d w d z \frac{dw}{dz} dzdw
     设函数 f ( z ) f(z) f(z) g ( z ) g(z) g(z)在区域 D D D内可导,有
    [ f ( z ) ± g ( z ) ] ′ = f ′ ( z ) ± g ′ ( z ) [f(z)\pm g(z)]'=f'(z)\pm g'(z) [f(z)±g(z)]=f(z)±g(z) [ f ( z ) g ( z ) ] ′ = f ′ ( z ) g ( z ) + f ( z ) g ′ ( z ) [f(z) g(z)]'=f'(z)g(z)+f(z) g'(z) [f(z)g(z)]=f(z)g(z)+f(z)g(z) [ f ( z ) g ( z ) ] ′ = f ′ ( z ) g ( z ) − f ( z ) g ′ ( z ) g 2 ( z ) , ( g ( z ) ≠ 0 ) [\frac{f(z)}{ g(z)}]'=\frac{f'(z)g(z)-f(z)g'(z)}{g^2(z)},\quad (g(z)\ne 0) [g(z)f(z)]=g2(z)f(z)g(z)f(z)g(z),(g(z)=0) { f [ g ( z ) ] } ′ = f ′ ( w ) g ′ ( z ) , ( w = g ( z ) ) \{f[g(z)]\}'=f'(w)g'(z),\quad(w=g(z)) {f[g(z)]}=f(w)g(z),(w=g(z)) 如果 f ( z ) f(z) f(z) φ ( w ) \varphi(w) φ(w)是互为反函数的单值函数,且 φ ′ ( w ) ≠ 0 \varphi'(w)\ne 0 φ(w)=0,则 f ′ ( z ) = 1 φ ′ ( w ) f'(z)=\frac{1}{\varphi'(w)} f(z)=φ(w)1
     有理整函数在复平面内处处可导
    P ( z ) = a 0 + a 1 z + a 2 z 2 + ⋯ + a n z n P(z)=a_0+a_1z+a_2z^2+\cdots+a_nz^n P(z)=a0+a1z+a2z2++anzn P ′ ( z ) = a 1 z + 2 a 2 z + ⋯ + n a n z n − 1 P'(z)=a_1z+2a_2z+\cdots+na_nz^{n-1} P(z)=a1z+2a2z++nanzn1 对于有理分式函数
    f ( z ) = P ( z ) Q ( z ) f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)} f(z)=Q(z)P(z) 在 Q ( z ) ≠ 0 Q(z)\ne 0 Q(z)=0的点可导
    f ( z ) ′ = P ′ ( z ) Q ( z ) − P ( z ) Q ′ ( z ) Q 2 ( z ) , ( Q ( z ) ≠ 0 ) f(z)'=\frac{P'(z)Q(z)-P(z)Q'(z)}{Q^2(z)},\quad (Q(z)\ne 0) f(z)=Q2(z)P(z)Q(z)P(z)Q(z),(Q(z)=0) 复变函数 w = f ( z ) w=f(z) w=f(z)的微分定义为 d w = f ′ ( z ) d z dw=f'(z)dz dw=f(z)dz

    2.10 解析函数

     如果函数 w = f ( z ) w=f(z) w=f(z)在点 z z z的某个邻域内可导,那么称函数 f ( z ) f(z) f(z)在点 z z z解析。如果 f ( z ) f(z) f(z)在区域 D D D内每一点都解析,称函数 f ( z ) f(z) f(z) D D D内解析,或称 f ( z ) f(z) f(z) D D D内的解析函数。如果 f ( z ) f(z) f(z)在点 z z z不解析,那么称点 z z z为函数 f ( z ) f(z) f(z)的奇点。
     函数 f ( z ) = u ( x , y ) + v ( x , y ) i f(z)=u(x,y)+v(x,y)i f(z)=u(x,y)+v(x,y)i在点 z = x + y i z=x+yi z=x+yi处可导的充要条件是二元实函数 u ( x , y ) u(x,y) u(x,y) v ( x , y ) v(x,y) v(x,y)在点 ( x , y ) (x,y) (x,y)处可微,且满足柯西-黎曼方程
    ∂ u ∂ x = ∂ v ∂ y , ∂ u ∂ y = − ∂ v ∂ x \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\quad \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x} xu=yv,yu=xv 从而有
    f ′ ( z ) = ∂ u ∂ x + ∂ v ∂ x i = ∂ v ∂ y − ∂ u ∂ y i f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial x}i=\frac{\partial v}{\partial y}-\frac{\partial u}{\partial y}i f(z)=xu+xvi=yvyui 函数 f ( z ) = u ( x , y ) + v ( x , y ) i f(z)=u(x,y)+v(x,y)i f(z)=u(x,y)+v(x,y)i在区域 D D D内解析的充要条件是二元实函数 u ( x , y ) u(x,y) u(x,y) v ( x , y ) v(x,y) v(x,y)在区域 D D D内可微,且满足柯西-黎曼方程。

    2.11 调和函数

     如果二元实函数 φ ( x , y ) \varphi(x,y) φ(x,y)在区域 D D D内具有二阶连续偏导数且满足拉普拉斯方程
    ∂ 2 φ ∂ x 2 + ∂ 2 φ ∂ y 2 = 0 \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2}=0 x22φ+y22φ=0 那么称 φ ( x , y ) \varphi(x,y) φ(x,y)为区域 D D D内的调和函数。
     任何在区域 D D D内解析的函数 f ( z ) = u ( x , y ) + v ( x , y ) i f(z)=u(x,y)+v(x,y)i f(z)=u(x,y)+v(x,y)i,它的实部 u ( x , y ) u(x,y) u(x,y)和和虚部 v ( x , y ) v(x,y) v(x,y)都是 D D D内的调和函数。且这两个函数满足柯西-黎曼条件,所以又称虚部 v ( x , y ) v(x,y) v(x,y)是实部 u ( x , y ) u(x,y) u(x,y)的共轭调和函数。
     即满足柯西-黎曼方程的两个调和函数可以构成共轭调和函数。在区域 D D D内以该函数为实部,其共轭调和函数为虚部,所构成的复变函数在区域 D D D内是解析的。
     函数 f ( z ) = u ( x , y ) + v ( x , y ) i f(z)=u(x,y)+v(x,y)i f(z)=u(x,y)+v(x,y)i在区域 D D D内解析的充要条件是它的虚部 v ( x , y ) v(x,y) v(x,y)是实部 u ( x , y ) u(x,y) u(x,y)的共轭调和函数。

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  • 解析函数孤立奇点类型的判断及应用 预备知识 定义 如果函数f(z)f(z)f(z)在点aaa的某一去心邻域K−a:0<∣z−a∣<RK-{a}:0<|z-a|<RK−a:0<∣z−a∣<R(即除去圆心aaa的某圆)内解析,点aaa是f(z)f(z...

    解析函数孤立奇点类型的判断及应用

    预备知识

    定义

    如果函数 f ( z ) f(z) f(z) 在点 a a a 的某一去心邻域 K − a : 0 < ∣ z − a ∣ < R K-{a}:0<|z-a|<R Ka:0<za<R (即除去圆心 a a a 的某圆)内解析,点 a a a f ( z ) f(z) f(z) 的奇点,则称 a a a f ( z ) f(z) f(z) 的一个孤立奇点
    如果 a a a f ( z ) f(z) f(z) 的一个孤立奇点,则必存在 R > 0 R>0 R>0 ,使得 f ( z ) f(z) f(z) 在点 a a a 的去心邻域 K − a : 0 < ∣ z − a ∣ < R K-{a}:0<|z-a|<R Ka:0<za<R 内可展成Laurent级数.

    孤立奇点的类型

    z 0 z_0 z0 f ( z ) f(z) f(z) 的孤立奇点,则 f ( z ) f(z) f(z) 在点 z 0 z_0 z0 的去心邻域 K − z 0 : 0 < ∣ z − z 0 ∣ < R K-{z_0}:0<|z-z_0|<R Kz0:0<zz0<R 内可展成laurent级数 f ( z ) = ∑ n = − ∞ ∞ C n ( z − z 0 ) n f(z)=\sum\limits_{n=-\infty}^\infty C_n(z-z_0)^n f(z)=n=Cn(zz0)n .其中称负幂部分 ∑ n = 1 ∞ C − n ( z − z 0 ) − n \sum\limits_{n=1}^\infty C_{-n}(z-z_0)^{-n} n=1Cn(zz0)n f ( z ) f(z) f(z) 在点 z 0 z_0 z0 的主要部分。
    孤立奇点按函数在 z 0 z_0 z0 的去心邻域内的laurent展开式中负幂项的个数分类

    • 可去奇点:展开式中不含 z − z 0 z-z_0 zz0 的负幂项

      f ( z ) = c 0 + c 1 ( z − z 0 ) + c 2 ( z − z 0 ) 2 + ⋯ f(z)=c_0+c_1(z-z_0)+c_2(z-z_0)^2+\cdots f(z)=c0+c1(zz0)+c2(zz0)2+
    • 极点:展开式中含有限 z − z 0 z-z_0 zz0 的负幂项

      f ( z ) = c − m ( z − z 0 ) m + c − ( m − 1 ) ( z − z 0 ) m − 1 + ⋯ + c − 1 ( z − z 0 ) + c 0 + c 1 ( z − z 0 ) + c 2 ( z − z 0 ) 2 + ⋯ = g ( z ) ( z − z 0 ) m f(z)=\frac{c_{-m}}{(z-z_0)^m}+\frac{c_{-(m-1)}}{(z-z_0)^{m-1}}+\cdots+\frac{c_{-1}}{(z-z_0)}+c_0+c_1(z-z_0)+c_2(z-z_0)^2+\cdots=\frac{g(z)}{(z-z_0)^m} f(z)=(zz0)mcm+(zz0)m1c(m1)++(zz0)c1+c0+c1(zz0)+c2(zz0)2+=(zz0)mg(z)
    • 本性奇点:展开式中含无穷多项 z − z 0 z-z_0 zz0 的负幂项

      f ( z ) = ⋯ + c − m ( z − z 0 ) m + c − ( m − 1 ) ( z − z 0 ) m − 1 + ⋯ + c − 1 ( z − z 0 ) + c 0 + c 1 ( z − z 0 ) + c 2 ( z − z 0 ) 2 + ⋯ f(z)=\cdots+\frac{c_{-m}}{(z-z_0)^m}+\frac{c_{-(m-1)}}{(z-z_0)^{m-1}}+\cdots+\frac{c_{-1}}{(z-z_0)}+c_0+c_1(z-z_0)+c_2(z-z_0)^2+\cdots f(z)=+(zz0)mcm+(zz0)m1c(m1)++(zz0)c1+c0+c1(zz0)+c2(zz0)2+

    孤立奇点类型的判别方法

    可去奇点

    如果 f ( z ) f(z) f(z) z = z 0 z=z_0 z=z0 的Laurent展开式中不含 z − z 0 z-z_0 zz0 的负幂项,则称孤立奇点 z 0 z_0 z0 f ( z ) f(z) f(z) 的可去奇点。

    以下三个条件等价:

    • f ( z ) f(z) f(z) z = z 0 z=z_0 z=z0 的Laurent展开式中不含 ( z − z 0 ) (z-z_0) (zz0) 的负幂项
    • lim ⁡ z → z 0 f ( z ) \lim\limits_{z\to z_0}f(z) zz0limf(z) 存在
    • f ( z ) f(z) f(z) z 0 z_0 z0 的某去心邻域内有界

    极点

    如果 f ( z ) f(z) f(z) z = z 0 z=z_0 z=z0的Laurent展开式中只含有限项 ( z − z 0 ) (z-z_0) (zz0)的负幂项,则称孤立奇点 z 0 z_0 z0 f ( z ) f(z) f(z)的极点。若负幂的最高项为 ( z − z 0 ) − m (z-z_0)^{-m} (zz0)m,则 z 0 z_0 z0称为 m \pmb{m} mmm级极点

    以下三个条件等价:

    • f ( z ) f(z) f(z) z = z 0 z=z_0 z=z0 的Laurent展开式中只含有限项 z − z 0 z-z_0 zz0 的负幂项
    • lim ⁡ z → z 0 f ( z ) = ∞ \lim\limits_{z\to z_0}f(z)=\infty zz0limf(z)=
    • z 0 z_0 z0 1 f ( z ) \frac{1}{f(z)} f(z)1 的零点

    零点和极点的关系:

    不恒等于0的解析函数 f ( z ) f(z) f(z) 若能表示为 f ( z ) = ( z − z 0 ) m φ ( z ) f(z)=(z-z_0)^m\varphi(z) f(z)=(zz0)mφ(z) ,其中 φ ( z ) \varphi(z) φ(z) z 0 z_0 z0 解析,且 φ ( z 0 ) ≠ 0 , m \varphi(z_0)\not ={0},m φ(z0)=0,m 为一正整数,则称 z 0 z_0 z0 f ( z ) f(z) f(z) m \pmb{m} mmm 级零点

    • f ( z ) f(z) f(z) 解析, z 0 z_0 z0 f ( z ) f(z) f(z) m m m 级零点的充要条件是
      f ( n ) ( z 0 ) = 0 , n = 0 , 1 , 2 , ⋯   , m − 1 ; f m ( z 0 ) ≠ 0. f^{(n)}(z_0)=0,n=0,1,2,\cdots,m-1;f^{m}(z_0)\not =0. f(n)(z0)=0,n=0,1,2,,m1;fm(z0)=0.
    • 一个不恒为零的解析函数的零点是孤立的.
    • z 0 z_0 z0 f ( z ) f(z) f(z) m m m 级极点,则 z 0 z_0 z0 1 f ( z ) \frac{1}{f(z)} f(z)1 m m m 级零点,反之也成立.

    本性奇点(本质奇点)

    如果 f ( z ) f(z) f(z) z = z 0 z=z_0 z=z0 的Laurent展开式中含 ( z − z 0 ) (z-z_0) (zz0) 的无穷多负幂项,则称孤立奇点 z 0 z_0 z0 f ( z ) f(z) f(z) 的本质奇点。

    等价条件:

    • z 0 z_0 z0 f ( z ) f(z) f(z) 的本质奇点 ⇔ \Leftrightarrow lim ⁡ z → z 0 f ( z ) \lim\limits_{z\to z_0}f(z) zz0limf(z)不存在且不等于 ∞ \infty

    性质:

    • Weierstrass定理

      z = z 0 z=z_0 z=z0 f ( z ) f(z) f(z) 的本质奇点,则对于任一复数 ω 0 \omega_0 ω0 及任给的 ϵ > 0 \epsilon>0 ϵ>0 ,任意的 r > 0 r>0 r>0 ,在区域 0 < ∣ z − z 0 ∣ < r 0<|z-z_0|<r 0<zz0<r 中比存在一点 z ′ z' z ,使得 ∣ f ( z ′ ) − ω 0 ∣ < ϵ . |f(z')-\omega_0|<\epsilon. f(z)ω0<ϵ.

      推论:在任意一个圆环域 0 < ∣ z − z 0 ∣ < r 0<|z-z_0|<r 0<zz0<r 中,必存在序列 z n {z_n} zn ,使得 lim ⁡ z n → z 0 f ( z ) = ω 0 \lim\limits_{z_n\to z_0}f(z)=\omega_0 znz0limf(z)=ω0

    • picard定理

      解析函数 f ( z ) f(z) f(z) 在本质奇点 z = z 0 z=z_0 z=z0 的任何邻域内,能够取任意一个有限值无穷次,至多有一个值例外.

    在无穷远点的情况

    如果 f ( z ) f(z) f(z) z = ∞ z=\infty z= 的去心邻域 R < ∣ z ∣ < + ∞ R<|z|<+\infty R<z<+ 内解析,则称点 ∞ \infty f ( z ) f(z) f(z) 的孤立奇点.

    作变换 t = 1 z t=\frac{1}{z} t=z1 (把扩充 z z z 平面上的无穷远点 z = ∞ z=\infty z= 映射为扩充 t t t 平面上的点 t = 0 t=0 t=0 )且有 f ( z ) = f ( 1 t ) = φ ( t ) f(z)=f(\frac{1}{t})=\varphi(t) f(z)=f(t1)=φ(t)
    z = ∞ z=\infty z= f ( z ) f(z) f(z) 的可去奇点,极点,本性奇点等价为 t = 0 t=0 t=0 φ ( t ) \varphi(t) φ(t) 的可去奇点,极点,本性奇点.


    例题

    1. f ( z ) = s i n z z 3 f(z)=\frac{sinz}{z^3} f(z)=z3sinz 解: z = 0 z=0 z=0 f ( z ) f(z) f(z) 的孤立奇点, f ( z ) f(z) f(z) z = 0 z=0 z=0 的洛朗展式为
      f ( z ) = s i n z z 3 = 1 z 2 − 1 3 ! + z 2 5 ! − o ( z 2 ) , 0 < ∣ z ∣ < ∞ f(z)=\frac{sinz}{z^3}=\frac{1}{z^2}-\frac{1}{3!}+\frac{z^2}{5!}-o(z^2),0<|z|<\infty f(z)=z3sinz=z213!1+5!z2o(z2),0<z<所以 z = 0 z=0 z=0 f ( z ) f(z) f(z) 的二级极点(也可由 z = 0 z=0 z=0 1 f ( z ) \frac{1}{f(z)} f(z)1 的二级零点得出).
    2. f ( z ) = l n ( z + 1 ) z f(z)=\frac{ln(z+1)}{z} f(z)=zln(z+1)解: z = 0 z=0 z=0 f ( z ) f(z) f(z) 的孤立奇点,且 lim ⁡ z → 0 f ( z ) = 1 \lim\limits_{z\to 0}f(z)=1 z0limf(z)=1 所以 z = 0 z=0 z=0 f ( z ) f(z) f(z) 的可去奇点.
    3. f ( z ) = e 1 z − 1 f(z)=e^{\frac{1}{z-1}} f(z)=ez11解: z = 1 z=1 z=1 f ( z ) f(z) f(z) 的孤立奇点,而 f ( z ) f(z) f(z) z = 1 z=1 z=1 的去心邻域的洛朗展式为
      f ( z ) = e 1 z − 1 = 1 + 1 z − 1 + 1 2 ! ( z − 1 ) 2 + ⋯ + 1 n ! ( z − 1 ) n f(z)=e^{\frac{1}{z-1}}=1+\frac{1}{z-1}+\frac{1}{2!(z-1)^2}+\cdots+\frac{1}{n!(z-1)^n} f(z)=ez11=1+z11+2!(z1)21++n!(z1)n1其中含有无穷项 z − 1 z-1 z1 的负幂项,所以为本性奇点.
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  • 怎么快速判断复变函数是否解析,一眼就看出来那种
  • 复变函数——学习笔记2:解析函数

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    内容摘要:1.复变函数的定义、极限和连续性 2. 复变函数的导数和微分 3. 可微的充要条件

    复变函数的连续性

    复变函数的定义与极限

    定义2.1 E E E为一个复数集,如果映射 f : E → C f:E\to C f:EC称为 E E E上单值复变函数,如果对 E E E上的每一个复数 z z z,都有多个复数 f ( z ) f(z) f(z)与之对应,则称 f f f E E E上的一个多值复变函数

    可见复变函数与实变函数不同的是,复变函数大多具有多值性的特点,比如 z n \sqrt[n]{z} nz 实际上有 n n n个值, A r g z Arg z Argz则对应无穷个值,分别为 arg ⁡ z + 2 k π ( k = 0 , ± 1 , ± 2 , ⋯   ) \arg z+2k\pi (k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots) argz+2kπ(k=0,±1,±2,)。实际上,很多复变函数产生多值性的原因,是因为幅角函数具有多值性,在下一章我们会采用刺破 z z z平面或限制幅角的方式来讲多值函数分为若干单值分支,如无特殊说明,后面所讲的函数都是单值函数或多值函数的某一个单值分支。再来考察定义2.1,如果 f ( z ) f(z) f(z)的实部、虚部分别为 u ( z ) , v ( z ) u(z),v(z) u(z),v(z),那么, u , v u,v u,v可以视为 z z z实部和虚部 x , y x,y x,y的二元函数: f ( z ) = u ( x , y ) + v ( x , y ) i f(z)=u(x,y)+v(x,y)i f(z)=u(x,y)+v(x,y)i于是,从形式上讲,复变函数是两个二元函数,那为何引入复变函数这个概念,而不用一个二元二维的向量函数代替呢?实际上,很多情况下 u , v u,v u,v不是独立的,两者有着千丝万缕的联系,从下一节解析函数就可以清楚地看到这一点。

    定义2.2 E ⊆ C E\subseteq C EC f f f是定义在 E E E上的单值复变函数,对 z 0 ∈ E z_0\in E z0E,如果存在复数 w w w,对任意的 ε > 0 \varepsilon>0 ε>0,存在 δ > 0 \delta>0 δ>0,当 0 < ∣ z − z 0 ∣ < δ , z ∈ E 0<|z-z_0|<\delta,z\in E 0<zz0<δ,zE时,都有 ∣ f ( z ) − w ∣ < ε |f(z)-w|<\varepsilon f(z)w<ε则称 f ( z ) f(z) f(z) z 0 z_0 z0处极限存在, w w w f ( z ) f(z) f(z) z → z 0 z\to z_0 zz0过程的极限,记为 lim ⁡ z → z 0 f ( z ) = w \displaystyle\lim_{z\to z_0}f(z)=w zz0limf(z)=w

    w = u 0 + v 0 i w=u_0+v_0i w=u0+v0i,则 ∣ f ( z ) − w ∣ = ( u − u 0 ) 2 + ( v − v 0 ) 2 |f(z)-w|=\sqrt{(u-u_0)^2+(v-v_0)^2} f(z)w=(uu0)2+(vv0)2 就有 ∣ u − u 0 ∣ ≤ ( u − u 0 ) 2 + ( v − v 0 ) 2 ∣ v − v 0 ∣ ≤ ( u − u 0 ) 2 + ( v − v 0 ) 2 ( u − u 0 ) 2 + ( v − v 0 ) 2 ≤ ∣ u − u 0 ∣ + ∣ v − v 0 ∣ |u-u_0|\le\sqrt{(u-u_0)^2+(v-v_0)^2}\\ |v-v_0|\le \sqrt{(u-u_0)^2+(v-v_0)^2}\\ \sqrt{(u-u_0)^2+(v-v_0)^2}\le |u-u_0|+|v-v_0| uu0(uu0)2+(vv0)2 vv0(uu0)2+(vv0)2 (uu0)2+(vv0)2 uu0+vv0可见,设 z 0 = x 0 + y 0 i z_0=x_0+y_0i z0=x0+y0i,实际上 lim ⁡ z → z 0 f ( z ) = w \displaystyle \lim_{z\to z_0}f(z)=w zz0limf(z)=w的充要条件是 lim ⁡ ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) u ( x , y ) = u 0 lim ⁡ ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) v ( x , y ) = v 0 \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}u(x,y)=u_0\\ \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}v(x,y)=v_0 (x,y)(x0,y0)limu(x,y)=u0(x,y)(x0,y0)limv(x,y)=v0同样地,实函数极限的很多性质也可以推广到复函数极限中,这里不再赘述。

    复变函数的连续性

    定义2.3 f f f在复数集 E E E上有定义, z 0 ∈ E z_0\in E z0E,如果 lim ⁡ z → z 0 f ( z ) = f ( z 0 ) \displaystyle\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0) zz0limf(z)=f(z0),则称 f ( z ) f(z) f(z) z 0 z_0 z0处连续,如果 f f f E E E上每一点都连续,则称 f f f E E E上的连续函数

    从这个定义就容易看出: f f f z 0 z_0 z0处连续的充要条件是 u , v u,v u,v z 0 z_0 z0处连续

    定义2.4 f f f在复数集 E E E上有定义,如果对任意的 ε > 0 \varepsilon>0 ε>0,存在 δ > 0 \delta>0 δ>0,对任意的 z 1 , z 2 ∈ E z_1,z_2\in E z1,z2E,只要 ∣ z 1 − z 2 ∣ < δ |z_1-z_2|<\delta z1z2<δ,就有 ∣ f ( z 1 ) − f ( z 2 ) ∣ < ε |f(z_1)-f(z_2)|<\varepsilon f(z1)f(z2)<ε则称 f f f E E E上一致连续

    类似于实连续函数的性质,容易证明复连续函数也有如下的性质:

    定理2.1 f f f是有界闭集 E ⊆ C E\subseteq C EC上的连续函数,则
    (1) f f f有界,即存在 M > 0 M>0 M>0 ∀ z ∈ Z \forall z\in Z zZ ∣ f ( z ) ∣ ≤ M |f(z)|\le M f(z)M
    (2) ∣ f ∣ |f| f E E E上可取得最大值和最小值
    (3) f f f E E E上一致连续

    解析函数

    复变函数导数与微分

    复变函数的导数定义形式上和实函数是一样的

    定义2.5 f f f z 0 z_0 z0的某个邻域 B ( z 0 , δ ) B(z_0,\delta) B(z0,δ)上有定义,如果极限 lim ⁡ z → z 0 f ( z ) − f ( z 0 ) z − z 0 = w \lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=w zz0limzz0f(z)f(z0)=w存在,则称 f f f z 0 z_0 z0处可导, w w w f f f z 0 z_0 z0处的导数,记为 f ′ ( z 0 ) f^\prime(z_0) f(z0)

    同样地,可以定义复变函数的微分

    定义2.6 f f f z 0 z_0 z0的某个邻域 B ( z 0 , δ ) B(z_0,\delta) B(z0,δ)上有定义,并且在该邻域上,有 f ( z ) = f ( z 0 ) + w Δ z + o ( Δ z ) f(z)=f(z_0)+w\Delta z + o(\Delta z) f(z)=f(z0)+wΔz+o(Δz)其中 Δ z = z − z 0 \Delta z=z-z_0 Δz=zz0 w w w是与 z z z无关的常复数, o ( Δ z ) o(\Delta z) o(Δz) Δ → 0 \Delta\to 0 Δ0过程中 Δ z \Delta z Δz的高阶无穷小,则称 f f f z 0 z_0 z0处可微, d f = w d z df=wdz df=wdz称为 f f f z 0 z_0 z0处的微分

    同数学分析中的导数和微分的关系一致,可导和可微是等价的,由此也可以看出, f f f z 0 z_0 z0处可导蕴含了 f f f z 0 z_0 z0处连续。

    解析函数

    定义2.7 f f f在区域 D D D内每一点都可导,则称 f f f D D D上解析,或 f f f D D D上的解析函数

    需要注意的是,解析和区域是相关联的,说某个函数是解析函数,必须指明在哪个区域上解析,如果我们称 f f f z 0 z_0 z0处的解析函数,等价于说 f f f z 0 z_0 z0某个邻域上的解析函数。下面我们来探究可微的充要条件,进而就可以得出 f f f D D D上解析的充要条件。

    如果 f f f z 0 z_0 z0处可微,则极限 lim ⁡ Δ z → 0 f ( z + Δ z ) − f ( z ) Δ z \lim_{\Delta z\to 0}\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z} Δz0limΔzf(z+Δz)f(z)存在,如果我们取 Δ z = Δ x \Delta z=\Delta x Δz=Δx,那么以上极限式为 lim ⁡ Δ x → 0 u ( x + Δ x , y ) + v ( x + Δ x , y ) i − u ( x , y ) − v ( x , y ) i Δ x \lim_{\Delta x\to 0}\frac{u(x+\Delta x,y)+v(x+\Delta x,y)i-u(x,y)-v(x,y)i}{\Delta x} Δx0limΔxu(x+Δx,y)+v(x+Δx,y)iu(x,y)v(x,y)i由于以上极限存在,则以下两个极限都存在 lim ⁡ Δ x → 0 u ( x + Δ x , y ) − u ( x , y ) Δ x lim ⁡ Δ x → 0 v ( x + Δ x , y ) − v ( x , y ) Δ x \lim_{\Delta x\to 0}\frac{u(x+\Delta x,y)-u(x,y)}{\Delta x}\\ \lim_{\Delta x\to 0}\frac{v(x+\Delta x,y)-v(x,y)}{\Delta x} Δx0limΔxu(x+Δx,y)u(x,y)Δx0limΔxv(x+Δx,y)v(x,y)同理可以证明,实部函数和虚部函数对各变元都可以求偏导,如果我们令 Δ z = Δ x \Delta z=\Delta x Δz=Δx,则 lim ⁡ Δ z → 0 f ( z + Δ z ) − f ( z ) Δ z = ∂ u ∂ x + ∂ v ∂ x i \lim_{\Delta z\to 0}\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial x}i Δz0limΔzf(z+Δz)f(z)=xu+xvi如果我们令 Δ z = i Δ y \Delta z=i\Delta y Δz=iΔy,则 lim ⁡ Δ z → 0 f ( z + Δ z ) − f ( z ) Δ z = ∂ v ∂ y − ∂ u ∂ y i \lim_{\Delta z\to 0}\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}=\frac{\partial v}{\partial y}-\frac{\partial u}{\partial y}i Δz0limΔzf(z+Δz)f(z)=yvyui待定系数,就得到一个偏微分方程组 u x ′ = v y ′ , v x ′ = − u y ′ u_x^\prime=v_y^\prime,v_x^\prime=-u_y^\prime ux=vy,vx=uy我们称这个方程为柯西-黎曼方程(C.-R.方程),可见

    定理2.2 f = u + v i f=u+vi f=u+vi z 0 z_0 z0处可微的必要条件是
    (1) u , v u,v u,v z 0 z_0 z0处对各变元的偏导数存在
    (2) u , v u,v u,v满足C.-R.方程

    可见,复变函数并不是将两个独立的二元函数组装在一起,这两个函数是有联系的,对于可微函数而言, u , v u,v u,v的联系体现在C.-R.方程上。由此,我们就可以确定某些函数不可微。

    例2.1 f ( z ) = z ‾ f(z)=\overline{z} f(z)=z在复平面上不可微,因为其在复平面上不满足C.-R.方程

    但定理2.2只是一个必要条件,并不是所有偏导数存在,并且满足C.-R.方程的复变函数都可微,下面是一个反例:

    例2.2 定义两个二元实函数