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  • 二阶可导点是拐点必要条件 设存在,且点 (x0,f(x0) )为曲线拐点,则 判断拐点充分条件 设 f(x) 在 x=x0 处连续,在点 x=x0 某去心邻域内二阶导数存在,且在该点左右邻域内变号 则点 (x0,f(x0)...

    二阶可导点是拐点的必要条件

    设 f''(x) 存在,且点 (x0,f(x0) ) 为曲线拐点,则 f''(x)=0

     

    判断拐点的第一充分条件

    设 f(x) 在 x=x0 处连续,在点 x=x0 的某去心邻域 \mathring{U}(x_{0},\delta) 内二阶导数存在,且在该点的左右邻域内 f''(x) 变号

    则点 (x0,f(x0) ) 为曲线拐点

     

    判断拐点的第二充分条件

    设 f(x) 在 x=x0 的某邻域内三阶可导,且 f''(x_{0})=0,f'''(x_{0})\neq 0 ,则点 (x0,f(x0) ) 为曲线拐点

     

    判断拐点的第三充分条件

    设 f(x) 在 x=x0 处 n 阶可导,且 

    \\\\f^{(m)}(x_{0})=0\quad (m=2,\cdot\cdot\cdot,n-1) \\\\f^{(n)}(x_{0})\neq0\quad (n\geq 3)

    当 n 为奇数时,点 (x0,f(x0) ) 为曲线拐点

     

    证明:

    由于n为奇数,令 n=2k+1,构造极限

    \\\\\\\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f''(x)}{(x-x_{0})^{2k-1}} \\\\\\\cdot\cdot\cdot \\\\\\\Rightarrow \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f^{(2k)}(x)}{(2k-1)!(x-x_{0})} \\\\\\\Rightarrow \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f^{(2k)}(x)-f^{(2k)}(x_{0})}{(2k-1)!(x-x_{0})} \\\\\\=\frac{1}{(2k-1)!}f^{(2k+1)}(x_{0})\neq0

    上述洛必达法则成立的依据是最后的结果存在.

    由函数极限的局部保号性可得:

    \\\\\\f^{(2k+1)}(x_{0})>0\Rightarrow \frac{f''(x)}{(x-x_{0})^{2k-1}}>0\Rightarrow \\\\\\ x\rightarrow x_{0}^{+},f''(x)>0\quad \\\\\\\ x\rightarrow x_{0}^{-},f''(x)<0

    同理可证 f^{(2k+1)}(x_{0})<0 的情况

    故点(x0,f(x0) ) 为曲线拐点

    证毕

     

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  • 一阶可导点是极值点必要条件 设 f(x) 在 x=x0 处可导,且在点 x0 处取得极值,则必有 判断极值充分条件 设 f(x) 在 x=x0 处连续,且在 x0 某去心邻域内可导 x0 极小值点 ...

    一阶可导点是极值点的必要条件

    设 f(x) 在 x=x0 处可导,且在点 x0 处取得极值,则必有 f'(x)=0

     

    判断极值的第一充分条件

    设 f(x) 在 x=x0 处连续,且在 x0 的某去心邻域 \mathring{U}(x_{0},\delta) 内可导

    (x_{0}-\delta,x_{0}) (x_{0},x_{0}+\delta)  
    f'(x)<0 f'(x)>0 x0 极小值点
    f'(x)>0 f'(x)<0 x0 极大值点

     

    判断极值的第二充分条件

    设 f(x) 在 x=x0 处二阶可导,且 f'(x_{0})=0,f''(x_{0})\neq 0

    f''(x_{0})<0

    x0 极大值点

    f''(x_{0})>0

    x0 极小值点

     

    判断极值的第三充分条件

    设 f(x) 在 x=x0 处 n 阶可导,且 

    \\\\f^{(m)}(x_{0})=0\quad (m=1,2,\cdot\cdot\cdot,n-1) \\\\f^{(n)}(x_{0})\neq0\quad (n\geq 2)

    当 n 为偶数时

    f^{(n)}(x_{0})<0 x0 极大值点
    f^{(n)}(x_{0})>0 x0 极小值点

    证明:

    由于n为偶数,令 n=2k,构造极限

    \\\\\\\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{(x-x_{0})^{2k}} \\\\\\\Rightarrow \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f'(x)}{2k(x-x_{0})^{2k-1}} \\\\\\\cdot\cdot\cdot \\\\\\\Rightarrow \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f^{(2k-1)}(x)}{(2k)!(x-x_{0})} \\\\\\\Rightarrow \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f^{(2k-1)}(x)-f^{(2k-1)}(x_{0})}{(2k)!(x-x_{0})} \\\\\\=\frac{1}{(2k)!}f^{(2k)}(x_{0})\neq0

    上述洛必达法则成立的依据是最后的结果存在.

    由函数极限的局部保号性可得:

    f^{(2k)}(x_{0})<0\Rightarrow \frac{f(x)-f(x_{0}))}{(x-x_{0})^{2k}}<0\Rightarrow f(x)<f(x_{0})

    x0 极大值点

    f^{(2k)}(x_{0})>0\Rightarrow \frac{f(x)-f(x_{0}))}{(x-x_{0})^{2k}}>0\Rightarrow f(x)>f(x_{0})

    x0 极小值点

    证毕

     

     

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  • 高数上册讲过一元函数可导和可微互为充要条件,那么在多元函数中微分和导数之间有什么关系呢?先卖关子,学完今天知识你就知道了~ 1、全微分定义 2、如何判断函数z=f(x,y)是否可微具体可参照如下步骤:来道...

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    小可爱们,今天带大家学习多元函数可微相关知识。

    高数上册讲过一元函数可导和可微互为充要条件,

    那么在多元函数中微分和导数之间有什么关系呢?

    先卖个关子,学完今天的知识你就知道了~

     1、全微分的定义2ac590c1f9895750de76b1d3bddf025d.png 2、如何判断函数z=f(x,y)是否可微

    具体可参照如下步骤:

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    来道例题加深记忆吧93cd5c36e9f804416ba8160c1cd29c3b.png

    【宇哥解答】

     3、偏导数的连续性6945438fe76dfddbd5a86500a322e0d7.png4、多元函数可微、偏导数、连续之间存在的逻辑关系多元函数可微、偏导数、连续之间存在如下逻辑关系,考试中经常会考到,一定要记住呀。9ca74b082824fedf9f80ad6892dad2fe.png好了,全微分的知识就给大家讲到这里,你学会了吗?明天带大家学习复合函数求导的具体计算方法,不见不散~

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    了解真题大串讲

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  • 在高中阶段,任何一个函数要掌握知识有:该函数值域、定义域、单调性、奇偶性、函数平移、反函数、函数变换、特定条件下极限存在判断及极限值、特定条件导数存在判断函数各性质(函数也是函数)、函...

    历年来,因抽象函数考察的全面性,一直备受高考出题官的青睐,不仅在高考中多次出现,还占有很大的分值。所以,同学们要想在高考中拿高分,抽象函数这一章必须掌握好!

    在高中阶段,任何一个函数要掌握的知识有:该函数的值域、定义域、单调性、奇偶性、函数平移、反函数、函数变换、特定条件下极限的存在判断及极限值、特定条件下的导数存在判断及导函数各性质(导函数也是函数)、导函数值与原函数性质的相互关系等。

    解答此类题型时,题不一定要多做,但你每做一道题都要让你能对这些知识点有所理解。并且,做题时尽量从函数图像性质入手,不要死背一些什么“左加右减”的东西,当你看到一个函数问题能准确的想到其图像与坐标轴的关系时,“左加右减”之类的规律自然而然的就在你头脑中出现了。

    下面为大家整理了一些高考中经常出现的函数经典题型,以便各位学子能够对抽象函数这一章节更深的理解!

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空空如也

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判断一个函数可导的条件