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  • 绝对值函数可导点的判断

    千次阅读 2020-06-25 15:59:05
    可以学

    虽然求可导点方法很多,但是我觉得这个方法是最简单最快捷的。
    原创视频:<点这里>
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  • 通过几例子指出判断函数在一点处是否可导要注意它的充分条件,剖析了错误判断产生的原因。
  • 二阶可导点是拐点的必要条件 设存在,且点 (x0,f(x0) )为曲线拐点,则 判断拐点的第充分条件 设 f(x) 在 x=x0 处连续,在点 x=x0 的某去心邻域内二阶导数存在,且在该点的左右邻域内变号 则点 (x0,f(x0)...

    二阶可导点是拐点的必要条件

    设 f''(x) 存在,且点 (x0,f(x0) ) 为曲线拐点,则 f''(x)=0

     

    判断拐点的第一充分条件

    设 f(x) 在 x=x0 处连续,在点 x=x0 的某去心邻域 \mathring{U}(x_{0},\delta) 内二阶导数存在,且在该点的左右邻域内 f''(x) 变号

    则点 (x0,f(x0) ) 为曲线拐点

     

    判断拐点的第二充分条件

    设 f(x) 在 x=x0 的某邻域内三阶可导,且 f''(x_{0})=0,f'''(x_{0})\neq 0 ,则点 (x0,f(x0) ) 为曲线拐点

     

    判断拐点的第三充分条件

    设 f(x) 在 x=x0 处 n 阶可导,且 

    \\\\f^{(m)}(x_{0})=0\quad (m=2,\cdot\cdot\cdot,n-1) \\\\f^{(n)}(x_{0})\neq0\quad (n\geq 3)

    当 n 为奇数时,点 (x0,f(x0) ) 为曲线拐点

     

    证明:

    由于n为奇数,令 n=2k+1,构造极限

    \\\\\\\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f''(x)}{(x-x_{0})^{2k-1}} \\\\\\\cdot\cdot\cdot \\\\\\\Rightarrow \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f^{(2k)}(x)}{(2k-1)!(x-x_{0})} \\\\\\\Rightarrow \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f^{(2k)}(x)-f^{(2k)}(x_{0})}{(2k-1)!(x-x_{0})} \\\\\\=\frac{1}{(2k-1)!}f^{(2k+1)}(x_{0})\neq0

    上述洛必达法则成立的依据是最后的结果存在.

    由函数极限的局部保号性可得:

    \\\\\\f^{(2k+1)}(x_{0})>0\Rightarrow \frac{f''(x)}{(x-x_{0})^{2k-1}}>0\Rightarrow \\\\\\ x\rightarrow x_{0}^{+},f''(x)>0\quad \\\\\\\ x\rightarrow x_{0}^{-},f''(x)<0

    同理可证 f^{(2k+1)}(x_{0})<0 的情况

    故点(x0,f(x0) ) 为曲线拐点

    证毕

     

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  • 一阶可导点是极值点的必要条件 设 f(x) 在 x=x0 处可导,且在点 x0 处取得极值,则必有 判断极值的第充分条件 设 f(x) 在 x=x0 处连续,且在 x0 的某去心邻域内可导 x0 极小值点 ...

    一阶可导点是极值点的必要条件

    设 f(x) 在 x=x0 处可导,且在点 x0 处取得极值,则必有 f'(x)=0

     

    判断极值的第一充分条件

    设 f(x) 在 x=x0 处连续,且在 x0 的某去心邻域 \mathring{U}(x_{0},\delta) 内可导

    (x_{0}-\delta,x_{0})(x_{0},x_{0}+\delta) 
    f'(x)<0f'(x)>0x0 极小值点
    f'(x)>0f'(x)<0x0 极大值点

     

    判断极值的第二充分条件

    设 f(x) 在 x=x0 处二阶可导,且 f'(x_{0})=0,f''(x_{0})\neq 0

    f''(x_{0})<0

    x0 极大值点

    f''(x_{0})>0

    x0 极小值点

     

    判断极值的第三充分条件

    设 f(x) 在 x=x0 处 n 阶可导,且 

    \\\\f^{(m)}(x_{0})=0\quad (m=1,2,\cdot\cdot\cdot,n-1) \\\\f^{(n)}(x_{0})\neq0\quad (n\geq 2)

    当 n 为偶数时

    f^{(n)}(x_{0})<0x0 极大值点
    f^{(n)}(x_{0})>0x0 极小值点

    证明:

    由于n为偶数,令 n=2k,构造极限

    \\\\\\\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{(x-x_{0})^{2k}} \\\\\\\Rightarrow \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f'(x)}{2k(x-x_{0})^{2k-1}} \\\\\\\cdot\cdot\cdot \\\\\\\Rightarrow \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f^{(2k-1)}(x)}{(2k)!(x-x_{0})} \\\\\\\Rightarrow \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f^{(2k-1)}(x)-f^{(2k-1)}(x_{0})}{(2k)!(x-x_{0})} \\\\\\=\frac{1}{(2k)!}f^{(2k)}(x_{0})\neq0

    上述洛必达法则成立的依据是最后的结果存在.

    由函数极限的局部保号性可得:

    f^{(2k)}(x_{0})<0\Rightarrow \frac{f(x)-f(x_{0}))}{(x-x_{0})^{2k}}<0\Rightarrow f(x)<f(x_{0})

    x0 极大值点

    f^{(2k)}(x_{0})>0\Rightarrow \frac{f(x)-f(x_{0}))}{(x-x_{0})^{2k}}>0\Rightarrow f(x)>f(x_{0})

    x0 极小值点

    证毕

     

     

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  • 函数微与可导

    2021-01-27 20:20:41
    最近复习到高数的一元函数微分部分 ,可导和可微是两个特别重要也特别容易混淆的概念。所以简单记录一下,便于自己理解,仅供参考。 导数 从物理角度来说(牛顿是从物理学的角度发明出的微积分)某点的导数就是一个...

    最近复习到高数的一元函数微分部分 ,可导和可微是两个特别重要也特别容易混淆的概念。所以简单记录一下,便于自己理解,仅供参考。

    导数

    从物理角度来说(牛顿是从物理学的角度发明出的微积分)某点的导数就是一个该点的瞬时变化率的问题。
    几何意义上来说(莱布尼茨从数学角度发明出的微积分),某点的导数是曲线在该点处的切线的斜率。
    从定义来看,导数在本质上是一个极限问题。f(x)在 x 0 x_0 x0处的导数 f ( x ) ˋ \grave{f(x)} f(x)ˋ为:

    f ( x ) ˋ = lim ⁡ Δ x →   0 f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x \grave{f(x)}=\lim_{\Delta x\to \ 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} f(x)ˋ=limΔx 0Δxf(x0+Δx)f(x0)

    若该极限存在, 就说明函数在该点可导。当然我们知道,函数极限也可能不存在,所以该点也就不可导了。

    微分:

    从数形结合的方式理解:设一正方形边长为x,当边长增加 Δ x \Delta x Δx,面积增加 Δ S = ( x + Δ x ) 2 − x 2 = 2 x Δ x − Δ x 2 \Delta S=(x+\Delta x)^2-x^2=2x\Delta x-\Delta x^2 ΔS=(x+Δx)2x2=2xΔxΔx2

    Δ x →   0 {\Delta x\to \ 0} Δx 0时, ( Δ x ) 2 (\Delta x)^2 (Δx)2对于 Δ x \Delta x Δx来说是高阶无穷小,记为 o ( Δ x ) o(\Delta x) o(Δx),可以看作误差, 忽略不计。 2 x Δ x 2x\Delta x 2xΔx才是增量的主要部分,我们叫做主部

    推广至一般函数,对于函数 f ( x ) f(x) f(x) x 0 x_0 x0的某领域内有定义,那么函数增量记为:
    Δ y = f ( x + Δ x ) − f ( x ) \Delta y=f(x+\Delta x)-f(x) Δy=f(x+Δx)f(x)
    若存在与 Δ x \Delta x Δx无关的常数 A A A使得 Δ y = A Δ x + o ( Δ x ) \Delta y=A\Delta x+o(\Delta x) Δy=AΔx+o(Δx),那么称 f ( x ) f(x) f(x) x 0 x_0 x0处可微,微分为 A Δ x A\Delta x AΔx,即增量的线性主部。记作 d y ∣ x = x 0 = A Δ x dy\lvert _{x=x_0}=A\Delta x dyx=x0=AΔx
    (其实这里的常数 A A A就是 f ( x ) f(x) f(x)在该点处的导数)
    又因为 Δ x = d x \Delta x=dx Δx=dx
    (这里要理解一下为什么 Δ x = d x \Delta x=dx Δx=dx 其实严格意义上 Δ x = d x \Delta x=dx Δx=dx 因为一个是增量,一个是微分。
    根据上面微分的定义 我们可以知道: d x = A Δ x + o ( x ) dx=A \Delta x+o(x) dx=AΔx+o(x)
    所以他们之间有一个无穷小的误差。我们忽略不计)

    d y ∣ x = x 0 = A Δ x = y ( x ) ˋ Δ x = y ( x ) ˋ d x dy\lvert _{x=x_0}=A\Delta x=\grave{y(x)} \Delta x=\grave{y(x)} dx dyx=x0=AΔx=y(x)ˋΔx=y(x)ˋdx

    d y d x ∣ x = x 0 = y ( x ) ˋ d x d x = y ( x ) ˋ \frac{dy}{dx}\lvert _{x=x_0}=\frac{\grave{y(x)} dx}{dx}=\grave{y(x)} dxdyx=x0=dxy(x)ˋdx=y(x)ˋ

    通过上面的两个公式我们可以推出一元函数 可微必可导 两者互为充要条件。所以判断 f ( x ) f(x) f(x) x 0 x_0 x0处是否可微就可以转换成是否可导的问题。
    关于可微的含义:我们用线性增量 A Δ x A \Delta x AΔx 代替复杂增量 Δ y \Delta y Δy,误差为 Δ y − A Δ x = o ( x ) \Delta y - A\Delta x=o(x) ΔyAΔx=o(x)无穷小,可忽略不计。

    几何意义:若 f ( x ) f(x) f(x) x 0 x_0 x0处是否可微,则在 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) x0,y0)处可以用切线段(线性增量 A Δ x A\Delta x AΔx)近似替代曲线段(实际复杂增量 Δ y \Delta y Δy)。这个和后面函数在某个定义域内的积分的几何意义联系起来了,也是用线段近似替代曲线。

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  • 复合函数可导

    千次阅读 2020-09-04 09:00:33
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  • 函数一阶条件二阶条件证明

    千次阅读 2016-08-20 18:27:06
    函数一阶条件二阶条件证明
  • 二元函数连续性、可导性及极限

    千次阅读 2019-07-14 09:17:49
    4,如果二元函数f(x,y)的偏数fx(x,y),fy(x,y)在点(x0,y0)连续,如果二元函数f(x,y)的偏数f_x(x,y),f_y(x,y)在点(x_0,y_0)连续,如果二元函数f(x,y)的偏数fx​(x,y),fy​(x,y)在点(x0​,y0​)连续, ...
  • 判断函数凹凸性

    千次阅读 2020-05-18 17:39:37
    假设fff微,则函数fff是凸函数的充要条件是domfdom fdomf是凸集且对于任意x,y∈domfx, y∈domfx,y∈domf, f(y)⩾f(x)+∇f(x)T(y−x)f(y) \geqslant f(x)+\nabla f(x)^{T}(y-x)f(y)⩾f(x)+∇f(x)T(y−x)成立。...
  • 但是,函数在一点处解析与在一点处可导是不等价的概念. 即函数在一点处可导, 不一定在该点处解析. 但是,函数在一点处解析与在一点处可导是不等价的概念. 即函数在一点处可导, 不一定在该点处解析. 但是,函数在一点处...
  • 二元函数判断凹凸性

    千次阅读 2020-02-16 20:41:26
    二元函数凹凸性判断 二元函数凹凸性判断: 设f(x,y)f(x,y)f(x,y)在区域DDD上具有二阶连续偏数,且分别记为:A=fxx′′(x,y),B=fxy′′(x,y),C=fyy′′(x,y)A=f_{xx}^{''}(x,y),B=f_{xy}^{''}(x,y),C=f_{yy}^{'...
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