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  • 基础知识: 一元函数的连续: 前提: 1 函数f(x)在点x。有定义 2 (是常数) 3 相等,即 二元函数的连续条件: 在某点可导: 定义1: 定义二: : 微: ...

    基础知识:
    limxx0f(x)=limxx0+f(x)=Alimxx0f(x)=A \lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} f(x)=A \Leftrightarrow \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=A
    limxx0f(x)limxx0+f(x)limxx0f(x) \lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} f(x) \neq \lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} f(x) \Rightarrow \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)不存在但不是\infty

    • 一元函数的连续性:

      • 前提:
        • 1 函数f(x)在点x。有定义
        • 2limxx0f(x)lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} f(x)
          必须存在
          (是个常数)
        • 3 相等,即
          limxx0f(x)=f(x0)\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=f\left(x_{0}\right)
    • 二元函数的连续条件:

    • lim(x,y)(x0,y0)f(x,y)=f(x0,y0)\lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_{0}, y_{0}\right)} f(x, y)=f\left(x_{0}, y_{0}\right)

    • 在某点可导:

      • 定义1:
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      • 定义二:
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    • 可偏导:
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    • 可微:
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  • 含绝对值函数可导性

    千次阅读 2019-07-30 23:22:42
    (x_0)f′(x0​)存在,则∣f(x)∣|f(x)|∣f(x)∣在x0x_0x0​处可导⇔\Leftrightarrow⇔f′(x0)=0f'(x_0)=0f′(x0​)=0 证明:先证明∣f(x)∣|f(x)|∣f(x)∣在x0x_0x0​处可导⇒\Rightarrow⇒ f′(x0)=0f...

    f(x0)=0f(x_0)=0f(x0)f'(x_0)存在,则f(x)|f(x)|x0x_0处可导\Leftrightarrowf(x0)=0f'(x_0)=0
    证明:

    1. 先证明f(x)|f(x)|x0x_0处可导 \Rightarrow f(x0)=0f'(x_0)=0
      该问题等价于证明f(x0)>0f'(x_0) > 0或者f(x0)<0f'(x_0) <0 \Rightarrow f(x)|f(x)|x0x_0处不可导
      f(x0)>0f'(x_0) > 0时,有
      limxx0f(x)f(x0)xx0=limxx0+f(x)f(x0)xx0>0\lim _{x \rightarrow x_0^-} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim _{x \rightarrow x_0^+} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}>0
      limxx0+[f(x)f(x0)]=f(x0)=0limxx0+f(x)>0\lim _{x \rightarrow x_0^+}[f(x)-f(x_0)] \xlongequal{f(x_0)=0} \lim _{x \rightarrow x_0^+} f(x)>0
      limxx0[f(x)f(x0)]=f(x0)=0limxx0f(x)<0\lim _{x \rightarrow x_0^-}[f(x)-f(x_0)] \xlongequal{f(x_0)=0} \lim _{x \rightarrow x_0^-} f(x)<0
      limxx0f(x)f(x0)xx0<0\lim _{x \rightarrow x_0^-} \frac{|f(x)|-|f(x_0)|}{x-x_0}<0
      limxx0+f(x)f(x0)xx0>0\lim _{x \rightarrow x_0^+} \frac{|f(x)|-|f(x_0)|}{x-x_0}>0
      显然根据以上两式易得f(x0)>0f'(x_0) > 0f(x)|f(x)|x0x_0处不可导,同理易得f(x0)<0f'(x_0) < 0f(x)|f(x)|x0x_0处不可导。
    2. 再证明f(x0)=0f'(x_0)=0 \Rightarrow f(x)|f(x)|x0x_0处可导
      待续
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  • 绝对值函数可导点的判断

    千次阅读 2020-06-25 15:59:05
    可以学

    虽然求可导点方法很多,但是我觉得这个方法是最简单最快捷的。
    原创视频:<点这里>
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  • 前言 典例剖析 例1(给定\(f'(x)\)的图像,确定\(f(x)\...已知函数\(y=xf'(x)\)的图像如图所示(其中\(f'(x)\)是函数\(f(x)\)的导函数),则下面四图像中,\(y=f(x)\)的图像大致是【】 分析:由图可知, 当\(x<-1...

    前言

    典例剖析

    例1(给定\(f'(x)\)的图像,确定\(f(x)\)的单调性,最简单层次)

    题目暂略。

    例2(用图像确定\(f'(x)\)的正负,确定\(f(x)\)的单调性,2017聊城模拟)

    已知函数\(y=xf'(x)\)的图像如图所示(其中\(f'(x)\)是函数\(f(x)\)的导函数),则下面四个图像中,\(y=f(x)\)的图像大致是【】

    分析:由图可知,

    992978-20171116191512281-1414292231.png

    \(x<-1\)时,\(y<0\),故由符号法则可知\(f'(x)>0\)

    \(-1<x<0\)时,\(y>0\),故由符号法则可知\(f'(x)<0\)

    \(0<x<1\)时,\(y<0\),故由符号法则可知\(f'(x)<0\)

    \(x>1\)时,\(y>0\),故由符号法则可知\(f'(x)>0\)

    从而可知当\(x<-1\)时,\(f'(x)>0\)\(f(x)\nearrow\)

    \(-1<x<1\)时,\(f'(x)<0\)\(f(x)\searrow\)

    \(x>1\)时,\(f'(x)>0\)\(f(x)\nearrow\);故选C。

    例3(用图像确定\(f'(x)\)的正负,确定\(f(x)\)的单调性,2017滨州模拟)

    设R上的可导函数\(f(x)\)的导函数为\(f'(x)\),且函数\(y=(1-x)f'(x)\)的图像如图所示,则下列结论一定成立的是【】

    992978-20171116192631702-1898161872.png

    A、函数\(f(x)\)有极大值\(f(2)\)和极小值\(f(1)\) \(\hspace{2cm}\) B、函数\(f(x)\)有极大值\(f(-2)\)和极小值\(f(1)\)

    C、函数\(f(x)\)有极大值\(f(2)\)和极小值\(f(-2)\) \(\hspace{2cm}\) D、 函数\(f(x)\)有极大值\(f(-2)\)和极小值\(f(2)\)

    分析:当\(x<-2\)时,则有\(1-x>0\),又\(y>0\),故由符号法则可知\(f'(x)>0\)

    \(-2<x<1\)时,则有\(1-x>0\),又\(y<0\),故由符号法则可知\(f'(x)<0\)

    \(1<x<2\)时,则有\(1-x<0\),又\(y>0\),故由符号法则可知\(f'(x)<0\)

    \(x>2\)时,则有\(1-x<0\),又\(y<0\),故由符号法则可知\(f'(x)>0\)

    从而可知当\(x<-2\)时,\(f'(x)>0\)\(f(x)\nearrow\)

    \(-2<x<2\)时,\(f'(x)<0\)\(f(x)\searrow\)

    \(x>2\)时,\(f'(x)>0\)\(f(x)\nearrow\);故选D。

    例4(用不等式确定\(f'(x)\)的正负,确定\(f(x)\)的单调性)(2017•合肥模拟)

    定义在\(R\)上的可导函数\(f(x)\)的导函数为\(f′(x)\),已知函数\(y=2^{f′(x)}\)的图像如图所示,则函数\(y=f(x)\)的单调递减区间为【 】

    A、\((1,+\infty)\) \(\hspace{2cm}\) B、\((1,2)\) \(\hspace{2cm}\) C、\((-\infty,2)\) \(\hspace{2cm}\) D、 \((2,+\infty)\)

    992978-20171130160810745-2095751192.png

    分析:结合图像可知,

    \(x\in(-\infty,2]\)时,\(2^{f′(x)}≥1\), 即\(f′(x)≥0\)

    \(x\in (2,+\infty)\)时, \(2^{f′(x)}<1\), 即\(f′(x)<0\)

    故函数\(y=f(x)\)的递减区间为\((2,+\infty)\)。故选D。

    例5(用不等式确定\(f'(x)\)的正负,确定\(f(x)\)的单调性)(2017•合肥模拟)

    1、给定函数\(y=(x^2-3x+2)\cdot f'(x)\)的图像,先推断\(f'(x)\)的正负,再确定\(f(x)\)的单调性;

    2、已知\((x^2-3x+2)\cdot f'(x)>0\),判断\(f(x)\)的单调性;

    转载于:https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/7888935.html

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  • 二元函数连续性、可导性及极限

    千次阅读 2019-07-14 09:17:49
    4,如果二元函数f(x,y)的偏数fx(x,y),fy(x,y)在点(x0,y0)连续,如果二元函数f(x,y)的偏数f_x(x,y),f_y(x,y)在点(x_0,y_0)连续,如果二元函数f(x,y)的偏数fx​(x,y),fy​(x,y)在点(x0​,y0​)连续, ...
  • 复合函数可导性

    2020-09-04 09:00:33
    \frac{1}{h} (f(2h)-f(h))存在limh→0​h1​(f(2h)−f(h))存在 看内部函数的0的两方向趋向(并且在求导点的邻域不能有零值), 并且内部函数与分母h的函数同阶(右侧不能为零,为零的话就可能不可导了,无穷时也...
  • 二元函数判断凹凸

    千次阅读 2020-02-16 20:41:26
    二元函数凹凸性判断 二元函数凹凸性判断: 设f(x,y)f(x,y)f(x,y)在区域DDD上具有二阶连续偏数,且分别记为:A=fxx′′(x,y),B=fxy′′(x,y),C=fyy′′(x,y)A=f_{xx}^{''}(x,y),B=f_{xy}^{''}(x,y),C=f_{yy}^{'...
  • fprintf('在x=0处不可导\n'); end   result z3 = sign(x) zz1 = -1 zz2 = 1 在x=0处不可导 >>   resource [文档] ww2.mathworks.cn/help/matlab [文档] ww2.mathworks....
  • 判断函数凹凸

    千次阅读 2020-05-18 17:39:37
    假设fff微,则函数fff是凸函数的充要条件是domfdom fdomf是凸集且对于任意x,y∈domfx, y∈domfx,y∈domf, f(y)⩾f(x)+∇f(x)T(y−x)f(y) \geqslant f(x)+\nabla f(x)^{T}(y-x)f(y)⩾f(x)+∇f(x)T(y−x)成立。...
  • 先看两小的结论,有点拗口: ... 第类间断点的函数仍然积,事实上,这句话的完整描述是:有限类间断点的函数积,但是只要是第类间断点,即使是去间断点,仍然不存在原函数。 换句话
  • 本文介绍导数用于判断函数的单调,凹凸,极值和函数的最大值,最小值
  • 命题:f(x)在x处可导互推f(x)在x的左数与右数相等。 例题:证明f(x)=|x|在x=0处不可导。 证明如下:
  • 在高等数学一元函数微分学中研究的关键问题之可导和可微,夹杂着函数连续,简短等知识点,这几相关的概念混在块总是难以理解,什么可导一定微,可导一定连续之类的。 这里把这几概念就自己的理解做一下...
  • 关于用导数法判断函数的单调问题,教材上所举例子是从数的角度求解函数的正负,从而判断原函数的单调,所以学生就依葫芦画瓢,碰到这类问题都这样做,但是他会发现在高三中的大多数同类题目都不能求解,思路...
  • 1.如果函数fff是凸函数且a≥0a≥0a≥0,则函数afafaf也为凸函数。如果函数f1f1f1和f2f2f2都是凸函数,则它们的和f1+f2f1+ f2f1+f2也是凸函数。 将非负伸缩以及求和运算结合起来,函数f=w1f1+⋯+wmfmf=w_{1} f_{1}+\...
  • 多元函数可知识点总结

    万次阅读 2020-05-10 16:17:38
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  • 判断多元函数的连续

    千次阅读 2020-04-29 22:43:55
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    2020-03-13 17:22:43
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  • 多元函数——

    万次阅读 多人点赞 2019-10-01 19:23:52
    文章目录全增量和全微分偏微的必要条件微的充分条件证明定理17.3微,连续,偏数之间的关系定理17.4计算近似值 全增量和全微分 z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y)在点P0(x0,y0)P_0(x_0,y_0)P0​(x0​,y0​)的某...
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  • 如何证明二元函数的连续

    万次阅读 多人点赞 2015-01-16 10:44:04
    这里指的是对于区域中的...2导性 若f(x,y)在对x的偏导和对y的偏导在(x,y)等于(x0,y0)的时候相等 那么函数可偏导 3微性 先假设函数可微, dz=f(x0,y0)dx+f(x0,y0)dy+w 然后根据 dz=f(x0+dx,y0+dy)-f(x0
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  • 二阶可导点是拐点的必要条件 设存在,且点 (x0,f(x0) )为曲线拐点,则 判断拐点的第充分条件 设 f(x) 在 x=x0 处连续,在点 x=x0 的某去心邻域内二阶导数存在,且在该点的左右邻域内变号 则点 (x0,f(x0)...
  • 增减 引子 这引子直接就奔着结论去,从图像上理解,一阶导数表示斜率嘛 给图 增函数过一点做切线斜率是正的,减函数是负的 定义 f(x)∈c[a,b],(a,b)内可导,对于任意的x1,x2∈(a,b)且x1≠x2 当x1<x2时f...
  • 机器学习之凸函数的四种判断方法

    千次阅读 多人点赞 2019-04-24 12:08:11
    函数的最大便利就是,再进行优化求解的时候,令一阶为零后,所求出的值必是全局极小值。 判断是否为凸函数有4种方法,如下图所示。(为了避免在电脑上打公式的繁琐,直接以图片的形式展示) 以下是参考《机器...
  • 如何判断函数凸或非凸?

    千次阅读 2020-04-17 12:13:00
    首先定义凸集,如果x,y属于某个集合M,并且所有的θx+(1-θ)f(y)也属于M,那么M为一个凸集。如果函数f的定义域是凸集,并且满足 f(θx+(1-θ)y)≤θf(x)+(1-θ)f(y) 则该函数为凸函数。 如果函数存在二阶并且为正...
  • 函数存在定理

    千次阅读 2021-05-09 16:26:35
    1.1.原函数存在定理 (1)连续函数f(x)f(x)f(x)必有原函数 (2)含有第类间断点,无穷间断点的函数f(x)在包含该间断点的区间内必没有原函数 连续函数一定存在原函数,反之是不对的 有第类间断点的函数一定不...
  • 函数

    千次阅读 2021-02-17 18:49:33
    复合函数:如果内层函数的值域与外层函数的定义域的交集非空,这两个函数才能复合,否则不能复合。 反函数函数y=f(x)y=f(x)y=f(x)的定义域为D,值域为RyR_yRy​。若对任意y∈Ryy \in R_yy∈Ry​,有唯一确定的x∈...
  • 定理: 设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,如果在(a,b)内f’(x)>=0,且等号仅在有限多点处成立,那么函数f(x)在[a,b]上单调增加。 反之如果f’(x)<=0 ,且等号仅在有限多点处成立,那么函数f(x)在...
  • 讨论中,我们主要以二元函数为主,因为从一元函数到二元函数会产生许多新问题,而从二元函数到二元以上的函数则可以类推。 建议同学们在学习中,注意将二元函数的概念与结论与一元函数的相应的概念与结论加以比较,...

空空如也

空空如也

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判断一个函数的可导性