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  • 理解同角三角函数的基本关系式:sin2α+cos2α=1,=tan α;2.能利用定义推导出诱导公式.【知识梳理】1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系:sin2α+cos2α=1.(2)商数关系:=tan α.2.三角函数的诱导公式...

    【考试要求】

    1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2α+cos2α=1,=tan α;

    2.能利用定义推导出诱导公式.

    【知识梳理】

    1.同角三角函数的基本关系

    (1)平方关系:sin2α+cos2α=1.

    (2)商数关系:=tan α.

    2.三角函数的诱导公式

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    【微点提醒】

    1.同角三角函数关系式的常用变形

    (sin α±cos α)2=1±2sin αcos α;sin α=tan α·cos α.

    2.诱导公式的记忆口诀

    “奇变偶不变,符号看象限”,其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍,变与不变指函数名称的变化.

    3.在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号.

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    【考点聚焦】

    考点一 同角三角函数基本关系式

    角度1 公式的直接运用

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    【规律方法】 1.同角三角函数关系的用途:根据已知角的一个三角函数值求解另外的三角函数值,对三角函数式进行变换.(1)利用sin2α+cos2α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化.(2)利用=tan α可以实现角α的弦切互化.

    2.应用公式时注意方程思想的应用:对于sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α这三个式子,利用(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α,可以知一求二.

    3.注意公式逆用及变形应用:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α.

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    考点二 诱导公式的应用

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    【规律方法】 1.诱导公式的两个应用

    (1)求值:负化正,大化小,化到锐角为终了.

    (2)化简:统一角,统一名,同角名少为终了.

    2.含2π整数倍的诱导公式的应用

    由终边相同的角的关系可知,在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算,如cos(5π-α)=cos(π-α)=-cos α.

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    考点三 同角三角函数基本关系式与诱导公式的综合应用

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    【规律方法】 1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时,关键是寻求条件、结论间的联系,灵活使用公式进行变形.

    2.(1)注意角的范围对三角函数值符号的影响,开方时先判断三角函数值的符号;

    (2)熟记一些常见互补的角、互余的角,如-α与+α互余等

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    【反思与感悟】

    1.同角三角函数基本关系可用于统一函数;诱导公式主要用于统一角,其主要作用是进行三角函数的求值、化简和证明.

    2.三角函数求值、化简的常用方法:(1)弦切互化法:主要利用公式tan x=进行切化弦或弦化切,如,asin2x+bsin xcos x+ccos2x等类型可进行弦化切.

    (2)和积转换法:如利用(sin θ±cos θ)2=1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化.

    (3)巧用“1”的变换:1=sin2θ+cos2θ=cos2θ(1+tan2θ)=sin2θ(1+)=tan 等.

    【易错防范】

    1.利用诱导公式进行化简求值时,可利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数,其步骤:去负—脱周—化锐.

    特别注意函数名称和符号的确定.

    2.注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.

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  • 根据三角函数的定义直接求值,常和后面将要学习的同角三角函数的基本关系式及诱导公式结合考查,在高考中一般较少单独考查。2.同角三角函数的基本关系式一般作为工具性知识与后面将要学习的三角恒等变换综合命中其题,...

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    这是 高中数学一四九 的第 278 篇文章

    核心考点 1b7596779e403e39cf39a0c1ce612229.png一高考考点介绍

    高考考查的内容包括

    1.根据三角函数的定义直接求值,常和后面将要学习的同角三角函数的基本关系式及诱导公式结合考查,在高考中一般较少单独考查。

    2.同角三角函数的基本关系式一般作为工具性知识与后面将要学习的三角恒等变换综合命中其题,常见的考查题型:(1)给定角的某个三角函数值求其他三角函数值;(2)平方关系的变形应用,如利用sin²x+cos²x=1处理sinx±cosx与sinxcosx的关系。

    考查题型:为选择题、填空题。分值情况为学考3分,高考5分。

    二 三角函数的定义域、值域

    函数的定义域是函数概念的三要素之一。对于三角函数的定义域要给予足够的重视,确定三角函数的定义域时,应抓住分母等于零时比值无意义这一关键,因此需要注意,当且仅当角的终边在坐标轴上时,点P的坐标中必有一个为零,结合三角函数的定义,可以得到三角函数的定义域和值域。

    三角函数定义域值域
    sinα{α|α∈R}[-1,1]
    cosα{α|α∈R}[-1,1]
    tanα{α|α∈R,α≠kπ+π/2,k∈Z}R
    三三角函数线

    作三角函数线时应注意哪些问题?

    位置:三条有向线段中有两条在单位圆内,一条在单位圆外。

    方向:正弦线由垂足指向角α的终边与单位圆的交点;余弦线由原点指向垂足;正切线由切点指向切线与角a的终边(或其延长线)的交点。

    正负:三条有向线段中与x轴或y轴同向的为正值,与x轴或y轴反向的为负值。

    书写:有向线段的起点字母在前,终点字母在后。

    核心考法 ec858d4a825d3533cb38402fb2a65aef.png一 三角函数的定义和诱导公式一的应用

    (1)利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况:

    ①若已知角,只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标,即可求出各三角函数值;

    ②若已知角α终边上一点P(x,y)是单位圆上的点,则sinα=y, cosα=x, tanα=y/x;

    ③若已知角α终边上一点P(x,y)不是单位圆上的点,则首先求r=√x²+y²,则sinα=y/r,cosα=x/r,tanα=y/x;

    ④若已知角α终边上点的坐标含参数,则需进行分类讨论

    (2)要熟记特殊角的三角函数值

    (3)要注意诱导公式一的运用

    ①把负角或大于360°的角转化为α+k·360°(0°≤α<360°)的形式,为利用诱导公式一做准备。

    先利用诱导公式一转化为特殊角的三角函数,再求解

    ③利用诱导公式一可把负角的三角函数转化为0~2π内的角的三角函数,也可把大于2π的角的三角函数转化为0~2π内的角的三角函数,即实现了“负化正,大化小”,要注意记忆特殊角的三角函数值。

    (4)化简实际上是一种不指定答案的恒等变形,对化简的一般要求:①项数要最少;②次数要最低;③函数种类要最少;④分母不含根号;⑤能求值的要求值

    答题模板

    用三角函数的定义来化简、证明三角函数式的步骤

    ①设角α的终边上一点的坐标为P(x,y),求r=√x²+y²;

    ②根据三角函数的定义将三角函数式转化为关于x,y,r的代数式;

    ③化简、证明该代数式即可。

    解题通法

    诱导公式一的应用思路

    (1)诱导公式一的实质是终边相同的角的同名三角函数值相等。 (2)利用诱导公式一可将负角或大于等于2π的角的三角函数值化为0~2π内的角的同名三角函数值,实现了“负化正,大化小”。二 三角函数值在各象限的符号问题

    (1)已知角α的三角函数值(sinα,cosα,tanα)中任意两个的符号,可分别确定出角α终边所在的可能位置,二者的公共部分即角α的终边位置。注意终边在坐标轴上的特殊情况

    (2)对于多个三角函数值符号的判断问题,要进行分类讨论

    (3)对于确定角α是第几象限角的问题,应先确定题目中所有三角函数值的符号,再依据上述三角函数值的符号来确定角α是第几象限角,它们的公共部分即为所求;对于已知角α的终边所在的象限来判断角a的三角函数值的符号问题,则常依据三角函数的定义,或利用口诀“一全正,二正弦,三正切,四余弦”来解决

    (4)若已知角α为[0,2π)内的角,则需先判断角α的终边所在的位置,再判断其三角函数值的符号

    (5)若已知角α为任意角,则可以利用公式一将角α的三角函数转化为[0,2π)内的角的三角函数,先判断其终边所在的位置,再判断其三角函数值的符号

    (6)若角α的终边所在的位置不确定,则需要对角的终边的位置进行分类讨论(注意轴线角)

    三 三角函数线的应用

    (1)利用三角函数线求解基本的三角不等式

    解形如f(α)≤m或f(α)≥m(|m|<1)的三角不等式时,在直角坐标系及单位圆中,标出满足f(α)=m的两个角的终边(若f为sin,则角的终边是直线y=m与单位圆的两个交点与原点的连线;若f为cos,则角的终边是直线x=m与单位圆的两个交点与原点的连线),根据三角函数值的大小,找出α在0~2π内的取值,再加上k·2π,k∈Z。

    (2)利用三角函数线求三角函数的定义域

    ①若三角函数作为外层函数(如y=tan[f(x)]),则只需将内层函数整体代换成上述定义域中的“α”(即f(x)≠kπ+π/2,k∈Z);

    ②若三角函数作为内层函数(如y=√2sinx-1),则只需确保三角函数值使外层函数有意义即可(即sinx≥1/2),此时往往需要解三角不等式,若涉及多个不等式的解,则需取它们的交集。

    ③求三角函数的定义域时,除了使函数式有意义外,还需考虑函数本身有意义,如tanx有意义时,x≠kπ+π/2(k∈Z);求不等式的交集时,应注意利用数轴求解;有些三角不等式,我们还可以利用单位圆来求解。

    易错防范 f88ca4a432ee5ec021cb71891252ac13.png1 求三角函数值时对终边位置考虑不全而致错 满分策略

    角的终边是一条射线,不是直线,因此终边落在某一直线上包括两种情况,要注意分类讨论。

    2 画错三角函数线而致错 满分策略

    一定要掌握正弦、余弦、正切三种三角函数线的正确作法,尤其要注意正切线的作法。另外要注意的是,三角函数线是有向线段,与坐标轴正方向同向为正,反向为负。

    3

    忽略正切函数本身的限制条件而致错

    满分策略

    在定义域的求解中,不仅要注意某个函数应当满足的不等式,而且要注意函数本身是否有限制条件,否则容易造成求解错误。

    4

    忽略隐含条件而致错

    满分策略

    有些关于三角函数的条件求值问题,表面上角的 取值范围不受条件限制,实际上只要对已知式稍加变 形,就会推出三角函数值间的限制关系,这种限制关系 本身就隐含了角的取值范围。解题时,同学们如果忽 略了对已知条件中三角函数值间限制关系的挖掘,就 很可能出错。 dbb659ac71b1e1338db6db81b21b26dd.gif 想要和得到 中间还有两个字 那就是要做到 跟着南瓜老师和张sir 升级打怪吧 65c1aaa7aa584bc22c8535c994d09ef7.png 扫码领课 65c1aaa7aa584bc22c8535c994d09ef7.png

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  • 【C语言】判断三角形

    千次阅读 2019-09-10 18:24:48
    输入三个数(支持浮点数据),判断是否是三角形以及类型,边长范围[1-200]。 注释完善,自行理解。 执行环境 Ubuntu18.04 GCC编译 注意链接math.h文件,完整命令如下: # gcc filename.c -lm Code: /***********...
    本不想上传这个,为了保持CSDN勋章,希望理解。
    没有技术含量,就是考一些逻辑,不喜勿喷。
    输入三个数(支持浮点数据),判断是否是三角形以及类型,边长范围[1-200]。
    注释完善,自行理解。
    

    执行环境 Ubuntu18.04  GCC编译
    注意链接math.h文件,完整命令如下:
    #  gcc  filename.c  -lm 
    

    Code:

    /***********************************************************
    根据用户输入三个边,甄选出是什么三角形.
    声明:冒泡排序与交换函数完全可以省略,但是也可以便于后期利用a^2+b^2=c^2计算
    以及math.h文件,权当练习简单排序,可以当做多此一举
    ***********************************************************/
    #include <stdio.h>
    #include <math.h>
    
    //交换两个函数值
    void swapValue(float *a, float *b) {
        float temp = *a;
        *a = *b;
        *b = temp;
    }
    
    //冒泡升序,便于后期计算
    //单独写出该函数略显麻烦,可以不写,嵌于其他函数内部亦可
    void bubbleSort(float *array, int len) {
        for (int i = 0; i < len - 1; ++i)
            for (int j = 0; j < len - 1 - i; ++j)
                if (array[j] > array[j + 1])
                    swapValue(&array[j], &array[j + 1]);
    }
    
    //判断是什么三角形
    void judgeTriangle(float *edges) {
        //判断是否有超范围值,有就直接return
        for (int i = 0; i < 3; ++i) {
            if (edges[i] > 200 || edges[i] < 1) {
                printf("Edges value error\n");
                return;
            }
        }
    
        //判断是否构成三角形条件
        if (edges[0] + edges[1] > edges[2]) {
            //构成等腰三角形条件
            if (edges[0] == edges[1] || edges[1] == edges[2] || edges[2] == edges[0]) {
    
                //直角等腰三角形
                if (pow(edges[0], 2) + pow(edges[1], 2) == pow(edges[2], 2)) {
                    printf("Isosceles right triangle.\n");
                }
                    //等边三角形
                else if (edges[0] == edges[1] && edges[1] == edges[2] && edges[2] == edges[0]) {
                    printf("Regular triangle.\n");
                }
                    //等腰三角形
                else {
                    printf("Isosceles triangle.\n");
                }
            }
                //pow()平方,判断直角三角形
            else if (pow(edges[0], 2) + pow(edges[1], 2) == pow(edges[2], 2)) {
                printf("Right triangle.\n");
            } else {
                printf("Triangle.\n");
            }
        } else {
            printf("Not triangle.\n");
        }
    }
    
    
    int main(void) {
        //定义数组,存放输入数据
        float edges[3] = {0};
    
        printf("Input three edges:\n");
    
        for (int i = 0; i < 3; ++i)
            scanf("%f", &edges[i]);
    
        //sizeof(array)/sizeof(array[0]))计算出来的是数组长度,在此假设数组长度不明,可以记住这个公式
        bubbleSort(edges, sizeof(edges) / sizeof(edges[0]));
    
        //printf("%d,%d,%d\n", array[0], array[1], array[2]);
        judgeTriangle(edges);
    
        return 0;
    }
    

    Picture:

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  • 一、三角函数的概念单位圆定义:设起点在原点的射线,与x轴正半轴形成一个θ,并与单位圆(x2+y2=1)相交。这个交点的横坐标值和纵坐标值分别等于cosθ和sinθ。单位圆定义允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义...

    一、三角函数的概念

    单位圆定义:设起点在原点的射线,与x轴正半轴形成一个角θ,并与单位圆(x2+y2=1)相交。这个交点的横坐标值和纵坐标值分别等于cosθ和sinθ。

    单位圆定义允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义,而不只是对于在 0 和 π/2弧度之间的角。逆时针方向的度量是正角,而顺时针的度量是负角,对于大于2π或小于-2π的角,可继续绕单位圆旋转得到。

    如:角α的终边经过点P(3,-4),则cosα=3/5。

    二、三角函数的诱导公式

    任意角的三角函数均可与第一象限角的三角函数相互转化。

    (奇变偶不变,符号看象限)

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    诱导公式可以概括为:对于kπ/2±α(k∈Z)的三角函数值,当k是偶数时,得到α的同名函数值,即函数名不改变;当k是奇数时,得到α相应的余函数值sin→cos;cos→sin;tan→cot;cot→tan。(奇变偶不变),然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号(符号看象限)。

    如:sin(-2π-α)=sin(-4·π/2-α),k=-4为偶数,所以取sin;α看成锐角时,-2π-α在第四象限,sin(-2π-α)<0,符号为“-”。所以sin(-2π-α)=-sinα。

    和差角公式

    正弦、余弦、正切、余切的和差角公式:

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    二倍角公式

    二倍角公式是利用和差角公式展开得到。

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    三、三角函数的图像

    一个周期内的图像如下所示。

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    四、三角函数的值域

    当x∈R时,sinx值域为[-1,1]。

    对于当x∈[a,b]时,求y=Asin(ωx+φ)的值域问题可用换元法,令t=ωx+φ,根据x的范围确定t的范围,然后再求出sint的范围,进而得到函数的值域。

    如求函数y=4cos(x+π/6)-2,x∈[0,π/2]的值域,由x∈[0,π/2],得x+π/6∈[π/6,2π/3],即cos(x+π/6)∈[-1/2,√3/2],所以y∈[-4,2√3-2]。

    五、三角函数的单调性

    sinx的单调增区间是x∈[2kπ-π/2,2kπ+π/2],单调减区间是x∈[2kπ+π/2,2kπ+3π/2],k∈Z。

    cosx的单调增区间是x∈[2kπ-π,2kπ],单调减区间是x∈[2kπ,2kπ+π],k∈Z。

    求y=Asin(ωx+φ)的单调增区间,可把ωx+φ看作一个整体,即ωx+φ∈[2kπ-π/2,2kπ+π/2],k∈Z;解得x∈[(2kπ-π/2-φ)/ω,(2kπ+π/2-φ)/ω],k∈Z。

    如f(x)=5sin(2x+π/4)的单调增区间为2x+π/4∈[2kπ-π/2,2kπ+π/2],k∈Z。则2x∈[2kπ-3π/4,2kπ+π/4],k∈Z。即x∈[kπ-3π/8,kπ+π/8],k∈Z。

    六、三角函数的周期性

    三角函数都有周期,最小正周期用T表示,nT(n为整数)也是该三角函数的周期。

    sinx和cosx的最小正周期T=2π;tanx和cotx的最小正周期 T=π。

    y=Asin(ωx+B)+C或y=Acos(ωx+B)+C,其中A,ω,B,C为常数。周期只与x的系数ω有关,最小正周期T=2π/ω。

    七、三角函数的对称性

    正弦、余弦函数的图象既是中心对称图形,又是轴对称图形。

    正弦、余弦函数图像的对称轴是过函数图象的最高(低)点且垂直于x轴的直线;对称中心是图象与x轴的交点。

    如:函数y=sinx图像关于直线x=kπ+π/2对称,关于点(kπ,0)中心对称。

    八、三角函数图形变换

    1.平移变换

    函数图像y=f(x)按向量(a,b)平移,得到的新图像按向量(-a,-b)平移可变回原图像,并满足原函数的对应法则,故新函数为:y-b=f(x-a)。即图形平移可视为函数按向量作减法(即“左加右减,上加下减”)。

    如:将函数y=sinx图像往左平移5个单位,再往上平移3个单位后的函数为y-3=sin(x-(-5)),整理后:y=sin(x+5)+3。

    2、放缩变换

    对函数y=f(x)图像x变化a倍、y变化b倍,得到的新图像x变化1/a倍、y变化1/b倍可变回原图像,并满足原函数的对应法则,新函数为:y/b=f(x/a)。

    如:将函数y=sinx图像横坐标缩小5倍,得到函数y=sin5x,再将纵坐标放大3倍得到函数y/3=sin5x,整理后得y=3sin5x。

    注意:平移变换和放缩变换均只对x与y进行变换。

    如:由y=sinx得到y=5sin(2x+4)。

    法1:先平移后放缩

    先向左平移4个单位,然后横坐标变为原来的1/2,最后纵坐标伸长为原来5倍。

    法2:先放缩后平移

    先横坐标变为原来的1/2,然后向左平移2个单位(只对x变换,而不是2x),最后纵坐标伸长为原来5倍。

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