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  • 当需要判断两种现象或者变量之间是否存在依赖关系,若存在,是什么依赖关系以及依赖程度时,我们就需要对着两种想想或变量进行相关分析。本文总结了有关相关系数分析方法的示意图,如图1所示: 图1 相关分析方法分类...

    当需要判断两种现象或者变量之间是否存在依赖关系,若存在,是什么依赖关系以及依赖程度时,我们就需要对着两种想想或变量进行相关分析。

    本文总结了有关相关系数分析方法的示意图,如图1所示:

    23b5e1fd0d38ee0f9d480bfce5a4d917.png

    图1 相关分析方法分类示意图

    图1已经给出了相关分析的分类,下面讨论各种分类方法的使用场景以及本人认为比较有趣的相关理论。

    1 双变量相关分析

    使用场景:只有两个变量

    方法:计算相关系数

    公式:a)皮尔逊简单相关系数两个变量之间的协方差和标准差的商

    86802b281e37cd9d15b0f00f3c89d508.png

    当皮尔逊相关系数越小,两个变量的向相关性越低

    b)肯德尔等级相关系数

    该系数有三种情况,又不常用,在这不予解释

    c)斯皮尔曼等级相关系数

    b522244901a681ecad5f16dc75c00350.png

    2 偏相关分析

    使用场景:数据中包含多个变量,多个变量之间可能有相互联系,但是我们只想对其中的两个变量进行分析。在这种情况下,就需要用偏相关分析排除其他变量对着两个观察变量的影响。

    3 距离分析

    使用场景:数据包含多个变量,将这些变量按照一定的标准(距离)分类,进行聚类分析

    从图1中可以看出,距离分析包含许多方法,这里面有个Minkowski方法,即我们常说的闵式距离,是由爱因斯坦在瑞士苏黎世联邦科技大学的数学老师最先提出,表达式为:

    6d42fab207da53cd2c5aa2ec47fd87e9.png

    这里的参数p是个定值,当它取不同的值时,就是图1中定距测量的其他方法:

    a) p=1,D(x,y)表示绝对距离,也叫曼哈顿距离(Manhattan distance)、出租汽车距离或街区距离(city block distance):是计算两个点之间存在障碍物,不能直线到达,拐过一个直角的最小两条直角边的距离。

    b) p=2,D(x,y)表示欧氏距离:两点之间的直线距离。

    c) p趋于无穷时,D(x,y)表示切比雪夫距离,也称棋盘距离:两点之间各坐标数值差的绝对值的最大值。以(x1,y1)和(x2,y2)二点为例,其切比雪夫距离为max(|x2-x1|,|y2-y1|)。

    总结:本文总结了相关分析的使用场景和各种相关分析方法及其具体方法,为以后再用SPSS及其他需求来处理数据时需要用到的分析方法提供快速检索。

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  • 方差分析与回归、相关分析:回归与相关处理的是两个数值变量的问题,相应的散点在 xxx 轴上具有顺序(从小到大),而方差分析的数据在 xxx 轴上可以任意交换位置。 1.4 数学模型 1、定义 响应变量(因变量

    方差分析

    一、基本概念

    1.1 定义

    • 研究一个(或多个)分类自变量如何影响一个数值因变量的统计分析方法

    1.2 目的

    • 判断某些因素对于我们感兴趣的因变量是否具有“显著”的影响
    • 如果因素间有交互效应,寻找最佳搭配方案

    1.3 特点

    • 方差分析与一般的假设检验:方差分析处理的是多个均值的情况
    • 方差分析与回归、相关分析:回归与相关处理的是两个数值变量的问题,相应的散点在 xx 轴上具有顺序(从小到大),而方差分析的数据在 xx 轴上可以任意交换位置。

    1.4 数学模型

    1、定义

    • 响应变量(因变量):进行随机试验所考察的数值指标
    • 因素或因子(自变量):影响因变量的各不同分类原因
    • 水平:各个因素所构成的组或者类型

    2、例子:考察小麦产量(yy)对于品种和施肥量的关系(两个不同的小麦品种,三个不同的施肥等级)

    • 品种是否对产量有影响 H01:α1=α2\Leftrightarrow H_{01}: \alpha_1 = \alpha_2
    • 施肥量是否对产量有影响 H02:β1=β2=β3\Leftrightarrow H_{02}: \beta_1 = \beta_2 = \beta_3
      Y=Xβ+ε Y = X\beta + \varepsilon
      {y11=θ0+α1+β1+ε11y12=θ0+α1+β2+ε12y13=θ0+α1+β3+ε13y21=θ0+α2+β1+ε21y22=θ0+α2+β2+ε22y23=θ0+α2+β3+ε23 \begin{cases} y_{11} = \theta_0 + \alpha_1 + \beta_1 + \varepsilon_{11} \\ y_{12} = \theta_0 + \alpha_1 + \beta_2 + \varepsilon_{12} \\ y_{13} = \theta_0 + \alpha_1 + \beta_3 + \varepsilon_{13} \\ y_{21} = \theta_0 + \alpha_2 + \beta_1 + \varepsilon_{21} \\ y_{22} = \theta_0 + \alpha_2 + \beta_2 + \varepsilon_{22} \\ y_{23} = \theta_0 + \alpha_2 + \beta_3 + \varepsilon_{23} \end{cases}

    二、单因素方差分析

    2.1 数据的结构

    单因素方差分析数据的结构
    yij=βi+εij,      1jni1ir y_{ij} = \beta_i + \varepsilon_{ij} ,\,\,\,\,\,\, 1 \le j \le n_i 、1 \le i \le r
    主要任务:

    • 检验假设: H0:β1=β2=...=βrH_0: \beta_1 = \beta_2 = ... = \beta_r
    • 作出未知参数:β1,β2,...,βr\beta_1, \beta_2, ... , \beta_r 以及 σ2\sigma^2 估计

    2.2 因子效应与误差方差的估计

    • 按照模型的假定,因变量的观察值来自 rr 个不同的正态总体
    • y11,...,y1n1y_{11}, ..., y_{1n1} 来自总体 N(β1,σ2)N(\beta_1, \sigma^2)
    • 未知参数 β1,β2,...,βr\beta_1, \beta_2, ... , \beta_r 的估计就采用各个总体的样本均值

    2.3 相关定义

    • 因素各水平效应的估计采用各个组内平均
      βi^=yi=1nij=1niyijN(βi,σ2ni),1ir \hat{\beta_i} = \overline{y_i} = \frac{1}{n_i} \sum_{j=1}^{n_i} y_{ij} \Leftrightarrow N(\beta_i, \frac{\sigma^2}{n_i}), 1 \le i \le r
    • 误差方差 σ2\sigma^2 的估计利用残差平方和
      σ^2=RSSnr=1nri=1rj=1ns(yijyi)2 \hat{\sigma}^2 = \frac{RSS}{n-r} = \frac{1}{n-r} \sum_{i=1}^r \sum_{j=1}^{n_s} (y_{ij} - \overline{y_i})^2
      (nr)σ^2σ2χ2(nr) \frac{(n-r)\hat{\sigma}^2}{\sigma^2} \Leftrightarrow \chi^2(n-r)
    • β1^,β2^,...,βr^,σ^2\hat{\beta_1}, \hat{\beta_2}, ... , \hat{\beta_r}, \hat{\sigma}^2 之间相互独立

    2.4 方差分析平方和分解公式

    • 总平方和:表示因变量总的变化。(因子不同的水平,随机误差)
      TSS=i=1rj=1ni(yijy)2TSS = \sum_{i=1}^{r} \sum_{j=1}^{n_i}(y_{ij} - \overline{y})^2
    • 自变量平方和:表示自变量在因变量的变化中所占的份额
      CSS=i=1rni(yiy)2CSS = \sum_{i=1}^{r} n_i (\overline{y_i} - \overline{y})^2
    • 残差平方和:表示由其它原因引起的因变量变化
      RSS=i=1rj=1ni(yijyi)2RSS = \sum_{i=1}^{r} \sum_{j=1}^{n_i}(y_{ij} - \overline{y_i})^2
      TSS=CSS+RSS TSS = CSS + RSS

    2.5 单因素方差分析的检验

    • 如果零假设 H0:β1=β2=...=βrH_0: \beta_1 = \beta_2 = ... = \beta_r 成立,则
      CSSσ2χ2(r1) \frac{CSS}{\sigma^2} \Leftrightarrow \chi^2(r-1)
    • 检验统计量
      F=nrr1CSSRSSF(r1,nr) F比 = \frac{n-r}{r-1} \frac{CSS}{RSS} \Leftrightarrow F(r-1, n-r)
    • 拒绝域
      FFα(r1,nr) F \ge F_\alpha(r-1, n-r)

    2.6 单因素方差分析表

    单因素方差分析表

    CMS=CSSr1,RMS=RSSnr,F=CMSRMS CMS = \frac{CSS}{r-1}, RMS = \frac{RSS}{n-r}, F-比 = \frac{CMS}{RMS}

    2.7 变量关系的强度

    R2==CSSTSS R^2 = \frac{自变量平方和}{总平方和} = \frac{CSS}{TSS}

    三、双因素方差分析

    3.1 数据的结构

    双因素方差分析数据结构
    yijk=μ+αi+βj+γij+εijk,1ir,1js,1kl,εijkN(0,σ2) y_{ijk} = \mu + \alpha_i + \beta_j + \gamma_{ij} + \varepsilon_{ijk}, 1 \le i \le r, 1 \le j \le s, 1 \le k \le l, \varepsilon_{ijk} \Leftrightarrow N(0, \sigma^2)
    主要任务:

    • 因子的主效应是否显著,即检验: H01:α1=α2=...=αrH_{01}: \alpha_1 = \alpha_2 = ... = \alpha_r,以及 H02:β1=β2=...=βsH_{02}: \beta_1 = \beta_2 = ... = \beta_s
    • 交互效应是否显著:H03:γ11=γ12=...=γrsH_{03}: \gamma_{11} = \gamma_{12} = ... = \gamma_{rs}
    • 如果拒绝了 H03H_{03} ,还应该寻找最佳搭配。

    3.2 相关定义

    • 总平均
      y=1rsli=1rj=1sk=1lyijk \overline{y} = \frac{1}{rsl} \sum_{i=1}^r \sum_{j=1}^s \sum_{k=1}^l y_{ijk}
    • 误差平均
      yij=1lk=1lyijk \overline{y_{ij·}} = \frac{1}{l} \sum_{k=1}^l y_{ijk}
    • AA 因素平均
      yi=1sj=1syij \overline{y_{i··}} = \frac{1}{s} \sum_{j=1}^s \overline{y_{ij·}}
    • BB 因素平均
      yj=1ri=1ryij \overline{y_{·j·}} = \frac{1}{r} \sum_{i=1}^r \overline{y_{ij·}}

    3.3 方差分析平方和分解公式

    • 总平方和
      TSS=i=1rj=1sk=1l(yijky)2 TSS = \sum_{i=1}^r \sum_{j=1}^s \sum_{k=1}^l (y_{ijk} - \overline{y})^2
    • AA 因子主效应平方和
      SSA=sli=1r(yiy)2 SSA = sl \sum_{i=1}^r (\overline{y}_{i··} - \overline{y})^2
    • BB 因子主效应平方和
      SSB=rlj=1s(yjy)2 SSB = rl \sum_{j=1}^s (\overline{y}_{·j·} - \overline{y})^2
    • 交互效应平方和
      SSAB=li=1rj=1s(yijyiyj+y)2 SSAB = l \sum_{i=1}^r \sum_{j=1}^s (\overline{y}_{ij·} - \overline{y}_{i··} - \overline{y}_{·j·} + \overline{y})^2
    • 随机误差平方和
      RSS=i=1rj=1sk=1l(yijkyij)2 RSS = \sum_{i=1}^r \sum_{j=1}^s \sum_{k=1}^l (y_{ijk} - \overline{y}_{ij·})^2
      TSS=SSA+SSB+SSAB+RSS TSS = SSA + SSB +SSAB + RSS

    3.4 单因素方差分析的检验

    • RSSσ2\frac{RSS}{\sigma^2}~χ2(rs(l1))\chi^2(rs(l-1))
    • H01H_{01} 成立时,SSAσ2\frac{SSA}{\sigma^2}~χ2(r1)\chi^2(r-1)
    • H02H_{02} 成立时,SSBσ2\frac{SSB}{\sigma^2}~χ2(s1)\chi^2(s-1)
    • H03H_{03} 成立时,SSABσ2\frac{SSAB}{\sigma^2}~χ2((r1)(s1))\chi^2((r-1)(s-1))
    • 对于零假设 H01:α1=α2=...=αrH_{01}: \alpha_1 = \alpha_2 = ... = \alpha_r,相应的统计量及拒绝域为
      FA=rs(l1)r1SSARSSF(r1,rs(l1)) F_A = \frac {rs(l-1)} {r-1} \frac{SSA}{RSS} \Leftrightarrow F(r-1, rs(l-1))
      {FAFα(r1,rs(l1))} \{ F_A \ge F_\alpha(r-1, rs(l-1)) \}
    • 对于零假设 H02:β1=β2=...=βsH_{02}: \beta_1 = \beta_2 = ... = \beta_s,相应的统计量及拒绝域为
      FB=rs(l1)s1SSBRSSF(s1,rs(l1)) F_B = \frac {rs(l-1)} {s-1} \frac{SSB}{RSS} \Leftrightarrow F(s-1, rs(l-1))
      {FBFα(s1,rs(l1))} \{ F_B \ge F_\alpha(s-1, rs(l-1)) \}
    • 对于零假设 H03:γ11=γ12=...=γrsH_{03}: \gamma_{11} = \gamma_{12} = ... = \gamma_{rs},相应的统计量及拒绝域为
      FAB=rs(l1)(r1)(s1)SSABRSSF((r1)(s1),rs(l1)) F_{AB} = \frac {rs(l-1)} {(r-1)(s-1)} \frac{SSAB}{RSS} \Leftrightarrow F((r-1)(s-1), rs(l-1))
      {FABFα((r1)(s1),rs(l1))} \{ F_{AB} \ge F_\alpha((r-1)(s-1), rs(l-1)) \}

    3.5 双因素方差分析表

    双因素方差分析表

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