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  • 1] %将个要进行判断向量写在这里 a2=[2;2;2;2] if(dot(a1,a2)==0) fprintf('向量正交\n'); else fprintf('向量正交\n'); end   result a1 = 2 1 1 1 a2 = 2 2 2 2 个...

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    clc
    
    a1=[2;1;1;1]  %将两个要进行判断的向量写在这里
    a2=[2;2;2;2]
     
    if(dot(a1,a2)==0)
        fprintf('两个向量正交\n');
    else
        fprintf('两个向量不正交\n');
    end
    
    

    result

    
    a1 =
    
         2
         1
         1
         1
    
    
    a2 =
    
         2
         2
         2
         2
    
    两个向量不正交
    >> 
    

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  • 一般的课本上都会告诉我们判断两向量是否正交可以通过它们的点积为0判断,那么到底为什么? 向量 一个向量是有方向和长度的,我们记向量\(\overrightarrow{a}\)的长度为\(\left\|a\right\|\),也叫向量的长度为模...

    引言

    一般的课本上都会告诉我们判断两个向量是否正交可以通过它们的点积为0判断,那么到底为什么?

    向量

    一个向量是有方向和长度的,我们记向量\(\overrightarrow{a}\)的长度为\(\left\|a\right\|\),也叫向量的长度为模。那么向量的模是怎么计算的:\[ \left\|a\right\| = \sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_i^2}, \ 向量一共n维,x_i是第i个维度的值 \]
    怎么理解这个长度?比如在三维空间中有一个向量$\overrightarrow{a}=
    \left[
    \begin{matrix}
    1 \
    2 \
    3
    \end{matrix}
    \right]
    $,可以理解为有一个点在三维坐标系上移动,一开始从原点出发往x正方向走1格,再往y正方向走2格,最后往z方向走3格,落脚点就是向量的终点了。自然地,原点与终点之间的直线长度就是向量的长度,而直线长度得到的方式就是向量模得到的方式。

    正交

    正交是对向量来说的,比如\(R^n\)中有两个n维向量\(\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\),它们两并不共线,而是呈一定的角度,如果夹角为\(90^。\),那么说这两个向量正交。

    在这里也给出一般判断两个向量是否正交的方式:\(a^{\mathrm{T}}b=0\)。下面证明为什么这种判别方式是可行的。

    证明

    \(R^n\)中有两个n维向量\(\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\),它们相加可以得到一个向量\(\overrightarrow{a+b}\)。将3个向量移动一下,构成一个三角形。如果一个三角形较短的两边的平方和等于斜边的平方,这个三角形称为直角三角形,就是说两条较短的边夹角为90度。
    现在我们已经有一个三角形,三角形的三条边的长度分别为\(\left\|a\right\|,\left\|b\right\|,\left\|a+b\right\|\)。好吧,我们先假设三个向量围成的三角形是直角三角形,那么应该有\[\begin{equation} \left\|a\right\|^2 + \left\|b\right\|^2 = \left\|a+b\right\|^2 \end{equation}\]模又可以用矩阵乘法来表示,比如\(\left\|a\right\|^2=a^{\mathrm{T}}a\),因此,将(1)中的式子全都有矩阵乘法表示,具体的结果:\[\begin{equation} a^{\mathrm{T}}a + b^{\mathrm{T}}b = {(a+b)}^{\mathrm{T}}(a+b) \end{equation}\]
    真是赏心悦目的等式,将右边的括号去掉,有以下等式:\[ \begin{equation} a^{\mathrm{T}}a + b^{\mathrm{T}}b = a^{\mathrm{T}}a+a^{\mathrm{T}}b+b^{\mathrm{T}}a+b^{\mathrm{T}}b \end{equation}\]
    左右消去,我们得到\[ \begin{equation} 0 = a^{\mathrm{T}}b+b^{\mathrm{T}}a \end{equation}\]
    又因为\(a^{\mathrm{T}}b=b^{\mathrm{T}}a\),所以我们最终得到\(a^{\mathrm{T}}b=0\)。我们从两个3个向量围成的是直角三角形推出了\(a^{\mathrm{T}}b=0\)这个结论。当然还需要证明充分条件,即\(a^{\mathrm{T}}b=0\)成立时,围成的三角形为直角三角形。具体的做法就是将\({(a+b)}^{\mathrm{T}}(a+b)\)这个展开,然后利用\(a^{\mathrm{T}}b=0\)这个条件最终得到\(a^{\mathrm{T}}a + b^{\mathrm{T}}b\),不再赘述。所以两个向量的点积为0可以推出它们是正交的。

    转载于:https://www.cnblogs.com/shayue/p/10501701.html

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  • 正交向量与子空间

    2019-05-19 10:43:15
    关于向量正交(orthogonality vector)我们都已不陌生,正交是垂直的另一种说法,两个向量正交意味着这两个向量的夹角为90度,如果要判断两向量是否正交,只需对向量作点乘(dot product)相加,即内积,等于0就是...

    关于向量正交(orthogonality vector)我们都已不陌生,正交是垂直的另一种说法,两个向量正交意味着这两个向量的夹角为90度,如果要判断两个向量是否正交,只需对向量作点乘(dot product)相加,即内积,等于0就是正交的,如,则x和y是正交的,如果x是零向量,y任意或者y是零向量,x任意,那么这两个向量是正交的,即零向量与任何向量都正交。

    将正交从向量推广到子空间,定义子空间S和子空间T,如果S和T正交,那意味着S中的每个向量和T中的每个向量都正交,举个最常见的例子,现有黑板、地面、另一面墙是相互垂直的,那么它们是正交的吗?很显然不是,比如我取黑板上45度的向量,再取个地面上的向量,它们绝对不正交,或者可以这样考虑,取同在黑板和地面上的向量,即位于交界处的向量,自己绝对不会跟自己正交的,所以如果两个子空间在某一非零向量(注意是非零向量)处相交,那它们一定不正交。

    上面的是正交,现在介绍正交补的概念,如果是正交补那么两子空间除了要正交,还需要维度满足一定条件,拿前面已经学过的4个子空间为例,我们已知道对于某个秩为r的矩阵A,其行空间是r维,零空间是n-r维,列空间是r维,左零空间是m-r维,其中行空间正交于零空间,列空间正交于左零空间,因为 ,所以这个等式告诉我们零空间中的x与A的所有行都正交,并且与A所有行的线性组合也是正交的,所以行空间和零空间是正交的。对于列空间和左零空间,因为 ,所以左零空间中的y与A的每一列都正交,并且与A所有列的线性组合也是正交的,所以列空间和左零空间是正交的。这就像将m维空间划分为两个子空间:列空间和左零空间,将n维空间划分为两个子空间:行空间和零空间。我们称这种现象为正交补(orthogonality complements),即列空间的正交补是左零空间,左零空间中包含了所有与列空间正交的向量,而不只是部分。行空间的正交补是零空间,零空间中包含了所有与行空间正交的向量,而不只是部分。下面通过一个问题来理解正交补,以三维空间为例,现有的两个子空间:两条过原点无限延伸的正交的直线,它们能构成行空间和零空间吗?不能,因为它们的维度不对,两条直线的维度都是一维,1+1不等于3,所以它们不能构成正交补,所以不能作为行空间和零空间。

    接下来我们讨论一下当Ax=b无解时,该如何求出方程组的最优解,这个问题很常见,如果A是长方阵(rectangular matrix),消元法得到的结果是0等于非0,方程组就无解,我们可以不断去掉一些方程,直至矩阵可逆,然后求解方程,但很明显这不是一个好方法,因为实际应用中,我们并不知道哪些数据是好的,哪些是不好的,我们总是希望利用所有的测量值求出最优解。求解最优解的方法如下:只需在Ax=b两侧同乘,即方程变为 ,得到的解就是原方程的最优解。但注意A也不一定总是可逆的,比如 ,有一个很重要的结论,rank(A)=rank(A)对任何矩阵都是成立的,这可以让我们快速判断对称阵A在什么情况下可逆:当且仅当A的零空间里只有零向量时,也就是A的各列线性无关,对称方阵ATA才是可逆的。简单证明一下这个命题:我们前面说过如果Ax=0只有零解,那么A是可逆的,所以要证明A是可逆的,我们需要考察Ax=0的解是多少,等式两边同乘,即,那么有Ax=0,又因为A的列是线性无关的,因此x=0,因此A是可逆的。

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  • 线性代数 -- 正交向量与子空间

    千次阅读 2017-08-17 18:29:09
    正交是垂直的另外一种说法, 两个向量正交就是说两个向量垂直怎么判断两向量是否正交(条件)?可以通过做一个点乘来判断, XTy=0, 如果这个式子成立, 那么就说明x, y两个向量正交, 那么这个方法可以推广到n维...

    什么是向量的正交?

    正交是垂直的另外一种说法, 两个向量正交就是说两个向量垂直

    怎么判断两个向量是否正交(条件)?

    可以通过做一个点乘来判断, XTy=0, 如果这个式子成立, 那么就说明x, y两个向量正交, 那么这个方法可以推广到n维吗? 可以

    为什么这个方法可以判断呢?

    如果三角形是直角三角形时, 有|x|2 + |y|2 = |(x+y)|2, 也就是xTx+yTy=(x+y)T(x+y), 由于XTy与yTx结果是一样的, 所以最后可以得到:2XTy=0, 所以就证明了上面的结论

    零向量与任何向量正交


    子空间的正交

    子空间S与子空间T正交是什么意思?

    两个空间正交首先满足不是和零空间正交。

    这个意味着S中的每个向量都和T中的每个向量正交。

    行空间正交与零空间, 为什么?

    零空间是Ax=0的解, 通过这个矩阵, 我们已经知道了零空间与矩阵的各行正交。但是行空间并不是由矩阵的各行组成的, 还包括矩阵的行的线性组合。 接下来的目标就是证明各行的线性组合还是与零空间垂直, c1*row1*x + c2*row2*x + …… = 0 -》(c1*row1 + c2*row2 + ……)*x = 0, 显然成立。所以行空间正交与零空间, 这两个子空间的维数等于这个空间的维数, 这种情况称为n维空间里面的正交补

    行空间与零空间为正交补, 那么零空间中包含所有所有(不是部分)垂直于行空间的向量


    如何求一个无解方程的解

    这个问题看起来不可思议, 但是其实是很常见的。 当Ax=b无解时, 怎么求解。这里指的是b不在A的列空间里面时, 如果A是长方矩阵, 这个问题就是很常见。 长方矩阵就是m>n的矩阵, 这种矩阵可以肯定秩r不是m。

    这里有个例子, 当你为体检者检测脉搏, 脉搏频率是一个未知数, 为了确定脉搏频率, 你只要测量一次就可以了, 但是如果你要得到更为准确的数据, 你就要测量多次, 但是可能会存在一个误差很大的“坏数据”, 当方程很多时, 右侧难免会混入“坏数据”, 这样方程组就解不出来LED, 因为我们甚至不知道b中的哪个数据是“坏数据”, 我们要做的就是把“坏数据”筛选出来, 这就是线性代数要解决的问题, 求出这个“最优解”。

    那我们得到一些方程, 如何求出它们的最优解呢?

    一个方法是不断去掉一些方程, 知道剩下一个可逆的方阵, 然后求出它的解, 但是这个方法并不好。 那我们遇到这种情况该怎么解决呢? 答案是利用一个重要的方法:ATA。

    当求解一个Ax=b方程组时, 可以先通过消元法判断方程组是不是有解, 当方程组无解时, 利用上面那个重要方法, 在方程两边同时乘以AT:AT*Ax=b*AT, 得到这样一个方程。 如果AT*A是可逆的话, 那么AT*A的结果一定是一个方阵。 那么什么时候AT*A可逆呢?当且仅当零空间里面只有零向量, 即A得到各列线性无关时, 才可逆。 此时AT*A的秩与A的秩是一样的, 解AT*Ax=b*AT这个方程组, 得到x的值,这个解并不是原方程Ax=b的解, 因为原方程是无解的, 所以这个解只能算是原方程解的最优解


    总结:

    整篇文章主要讨论了向量正交, 子空间正交和怎么求解一个无解方程组

    1. 向量正交部分包括:怎么判断两个向量是否正交, 以及为什么可以这么判断。
    2. 子空间正交: 首先说明了不是和零空间正交, 子空间正交的含义是S空间中的每一个向量都和T空间中的向量正交。 一个重要的结论行空间与零空间正交
    3. 求解一个无解方程组是找出它的最优解:Ax=b方程解法是在方程两边同时乘以AT:AT*Ax=b*AT, 然后求解这个x, 这个x就是原方程的最优解。 记住两个重要的结论:A的秩与ATA是一致的当且仅当零空间里面只有零向量, 即A得到各列线性无关时, 才可逆。关于这个问题以后还会继续讨论。
    展开全文
  • 8正交向量与子空间

    2018-06-30 11:35:06
    前面还是图和网络的内容,感觉与自己所求相差较多,可以参考:https://blog.csdn.net/huang1024rui/article/details/68951624 第十四课时:正交向量与子空间 ...判断两向量X,YX,YX,Y是否正交,求乘积XTYXTYX^...
  • 在前面文章《矩阵的四个基本子空间》中提到:  一个秩为r,m*n的矩阵A中,其行空间和列空间的维数为r,零空间和左零空间的维数分别为n-r,m-r,并且有行空间与零空间正交,列空间与左零...判断两个两个向量是否正...
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判断两向量是否正交