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  • 平面二次曲线的分类、消去二次交叉项、转轴变换、平面二次曲线的不变量、利用不变量确定平面二次曲线类型...
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  • 二次曲线

    千次阅读 2020-06-16 11:50:55
    二次曲线/圆锥曲线:平面截取圆锥而得到的曲线。包括:圆、椭圆、抛物线、双曲线,以及一些退化类型 退化类型:当平面是过圆锥顶点截取的时候,会得到一对直线、一个点...1. 判断二次曲线是否退化 det B = 0 则退.

    二次曲线/圆锥曲线:平面截取圆锥而得到的曲线。包括:圆、椭圆、抛物线、双曲线,以及一些退化类型

    退化类型:当平面是过圆锥顶点截取的时候,会得到一对直线、一个点、一个直线。

    方程一般形式:

    用矩阵表示:后者叫做齐次坐标,n维空间的点用n+1维坐标描述。

    ==========================================================

    判断曲线类型:
     记这两个矩阵分别为A与B

    1. 判断二次曲线是否退化
    det B = 0 则退化,否则未退化

    2. 未退化时,判断曲线类型
    det A > 0 表示椭圆,分为实椭圆与虚椭圆,A=C 表示圆
    det A = 0 表示抛物线
    det A < 0 表示双曲线,A+C=0 表示支教双曲线

    3. 退化时,判断退化类型
    det A > 0  是椭圆的退化,退化为一个点
    det A = 0 是抛物线的退化,退化为两条平行直线。当D**2+E**2>4(A+C)F 为两条不重合的平行直线;当D**2+E**2>4(A+C)F 为两条重合的平行直线;当D**2+E**2<4(A+C)F 为两条不存在于实平面的直线。 如下图。

    det A < 0 是双曲线的退化,退化为两条相交直线

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  • 一.二次曲面 二.二次曲面的旋转不变量 三.特征方程和特征根 四.二次曲面方程的化简与二次曲面的分类

    一.二次曲面
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    二.二次曲面的旋转不变量
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    三.特征方程和特征根
    1.特征根(特征值)与主方向(特征方向,特征向量):
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    2.不同直角坐标系下的主方向:
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    3.二次曲面的标准形式:

    引理1:非零实对称矩阵 D D D的特征根全是实数
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    引理2:非零实对称矩阵 D D D的3个特征根至少有1个不为0
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    引理3:可以选择对应的3个特征根(实根)的主方向,使得它们互相垂直
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    定理1:经过适当的坐标变换, Φ ( x , y , z ) Φ(x,y,z) Φ(x,y,z)总可以化为标准形式 λ 1 x ∗ 2 + λ 2 y ∗ 2 + λ 3 z ∗ 2 λ_1x^{*2}+λ_2y^{*2}+λ_3z^{*2} λ1x2+λ2y2+λ3z2,其中实数 λ 1 , λ 2 , λ 3 λ_1,λ_2,λ_3 λ1,λ2,λ3是系数矩阵 D D D的3个特征根
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    四.二次曲面方程的化简与二次曲面的分类
    1.二次曲面化为标准形式的过程
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    (1)特征根均不为0:
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    (2)特征根有且仅有1个为0:
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    (3)特征根有且仅有2个为0:
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    2.分类
    (1)二次曲面的分类:

    定理2:二次曲面化为标准形式,一共有17类
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    (2)二次曲线的分类:

    定理3:平面上二次曲线一共有9类:椭圆,虚椭圆,双曲线,1点,2条相交直线,抛物线,2条平行直线,2条虚平行直线,2条重合直线
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  • 这篇没什么开头的话好说的,就紧接着上一篇,看下一般形式的二次贝塞尔曲线是否真的为抛物线 就目前来说,除了最简单粗暴的代入消元,我想不到别的办法了。 不过我们可以跟上篇连载一样,用A,B,C来存储一些复杂...

    这篇没什么开头的话好说的,就紧接着上一篇,看下一般形式的二次贝塞尔曲线是否真的为抛物线

    就目前来说,除了最简单粗暴的代入消元,我想不到别的办法了。

    不过我们可以跟上篇连载一样,用A,B,C来存储一些复杂的常量表达式。

    由于P有x和y两部分的分量,所以ABC自然也包含x和y两类。

    现在我们就写出二次贝塞尔曲线用ABC表示系数的形式。

    把x看作常量,我们从第一条方程中求出t

    这里没什么复杂的玩意儿,就是一元二次方程的求根公式,需要注意的是常数项为Cx-x而非Cx,不要把另一侧的x给忽略掉。

    虽然很好理解,但是式子还是偏长,代入到下式再展开会很蛋疼,那么,我们再次请出Δ这个字母,用来表示根号内的那串东西吧。

    这样再代入化简就舒服多了。

    然后分子分母同时乘以4(Ax)^2,得到

    这里我用了一个对中学生来说比较大胆的写法,就是直接让正负号参与到运算当中,写起来方便些。但据说高考这么写是要被扣分的~孟子曰:高考猛于虎啊!

    中学的时候大家应该学过无理方程吧,求解的第一步就是想方设法去掉根号,具体方案是把带根号的“项”移到等号的同一侧,而不带根号的则放到另一侧,然后两边平方。这里我们也用此法去掉根号。

    两边平方,哇,还是好蛋疼的样子。这里,由于x全部在Δ里面,所以我们把不包含y和Δ的部分看作一个整体来处理,先不展开。

    根号被去掉了,但我表示很难受,这么长的一串式子还得整理。谁让刚才特殊的情况已经被证明了它是抛物线呢,那就继续吧,至少不迷茫。

    这里我把Δ当作x来看了并且按二元二次方程的一般式来排序各项,然而事情并没有结束,Δ要用包含x的表达式再代入一次。

    怎么样,是不是有种欲仙欲死的感觉?!这个展开式整理真的很麻烦啊。但所幸的是,我们发现所有的项都不带根号了,并且最高次数为两次。虽然我自己在MathType里有把整个展开式给写出来,但博文上我打算去掉一大部分,只保留对我们判断曲线类型有用的3个2次项系数。

    如下图,红绿蓝3种颜色分别表示x^2,xy和y^2的所有项。

    运气不错,二次项每种都只有一个,而且看着不复杂。因此不难算出如下结果。

    一次项D,E和常数项F实在太长太蛋疼,而且跟判断曲线类型没有半毛钱关系,所以我就直接写DEF。

    前面说过,二元二次方程的曲线类型判断方法是Δ=B^2-4AC的正负性。具体如下:

    Δ<0时,方程为椭圆(包括正圆)

    Δ>0时,方程为双曲线

    Δ=0时,方程为抛物线

    我们现在来计算判别式的值看看:

    哈哈,激动人心的时刻啊,还真是刚好等于0!至此,我们彻底证明了,二次贝塞尔曲线正是抛物线旋转所得

    现在我们可以把贝塞尔曲线也列入到方程求解的支持范围了,因为它的本质真的是抛物线,具备二元二次方程的所有特征。不过实际应用中,求交点还得用上D,E,F这3个系数,而用本文的方法得到的结果实在过于繁琐,处理起来真心蛋疼。

    以前我在QQ群里讲数学课,讲的是微积分,四元数等较为高深的数学知识。有位群友给我一个建议,说让我多讲应用,少讲理论和推导,还说我是程序员,数学不该是我的强项。当时,我本人的内心瞬间迷失了方向。一直以来我都觉得网上的教程对原理的讲解不够详细和深入,而我正要弥补这一不足。原来在他们看来,这不是不足,而是根本不需要,真的遇到这些问题,找现成库或者求助像我这样的人,然后给我个10块的红包把我给打发走就完事了。好吧,这也许就是社会了~

    前面在介绍砖块铺贴的时候,我提到了用旋转缩放的方式不但繁琐,而且不通用,接着提出了一种通过基向量构建矩阵的方法。实际上,贝塞尔曲线也可以通过基向量矩阵实现到标准抛物线的变换!!不信?那就等着我的下一篇教程吧!

     

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