命题公式

命题常量和命题变元

• 命题常量通常用大写字母表示，代表一个具体的命题：
  $P$：张三是法外狂徒。这是个命题常量，因为张三要么是法外狂徒，要么不是。

• 命题变元通常用小写字母表示，是命题公式的组成部分，我们通常用命题变元来表示命题公式，因为它并不代表具体的结果，因此，我们总是需要对公式中每个命题变元的真值进行指派（assignment）然后，判断整个命题公式的真值情况。

• $p\to q$ 这里的 $p,q$ 实际上我们都不知道他们代表的是什么，因此在我们人为给他们指派真值之前，没有人知道 $p,q$ 到底真值是多少，因此 $p\to q$ 的真值也暂时是个未知的。

• 虽然我们规定了严格的大小写， 但是由于不同的书上有不同的写法，我们的材料又来自不同的地方，因此，大小写使用的较为混乱，但是并不影响理解，在这里做一下说明。
  

命题合式公式的递归式定义（well-Formed formula）

• 可以看到，四五之所以不是命题公式，是因为（4）中的 $,$ 并不是联结词
• （5）中的联结词使用方式是错的，$\wedge \to$ 的组合不是正确的联结词使用方式。

联结词的优先级

命题公式的种类

重言式 / 永真式 （常见举例）

矛盾式 / 不可满足式 / 永假式 （常见举例）

可满足式

可以用真值表来判断一个 合式公式 属于哪种类型。

真值表判断合式公式的类型

如下图，我们想判断合式公式：$(￢P\wedge Q)\to (P\to R)$ 为三种类型中的哪一种。下图中所示，如果整个真值表最右边的这一列的值全部为真，即，左边 $P,Q,R$ 被任意指派（assignment）真值的时候，这个命题公式的真值始终为 $t$ 那么，这个合式公式就可以被称为是一个 “重言式 / 永真式（tautology）” 的命题公式。

Note：

• 当一个命题公式是 重言式 (tautology)，我们称这个合式公式是 有效的（valid）；否则如果我们能找到至少一种 $P,Q,R$ 组合的情况使这个公式的真值为 $f$，我们把这种公式称为是 （non-valid 无效的）

• 当一个命题公式是 矛盾式 / 永假式 (contradiction)，我们称这个合式公式是 不可满足的（unsatisfiable），否则如果我们至少能找到一种 $P,Q,R$ 组合的情况使这个公式的真值为真，我们把这种公式称为是 （satisfiable 可满足的）

• 重言式和永假式都只是 我们对公式类型的判断，并不代表内容上的意义。比如，我们举例：

  • $p$: 张三是法外狂徒
  • $p\to p$：如果张三是法外狂徒，那么张三是法外狂徒。 这是一个重言式，因为这个公式的真值永远都是 $t$， 但是这句话可以看做一句废话。

真值表的缺陷

对于一个真值表来说，如果我们想得到一个合式公式的真值表从而判断它的公式类型；那么如果它本身包含了 n 个命题变元，例如：$(￢p\wedge q)\to (p\to r)$ 中出现了三个变元 $p,q,r$ 这整个公式的真值表就要变成 $2^n$ 种指派方式（assignment）的组合；如果变元数量再增加，真值表会指数形式增长。

我们将会在下一篇文章详细讲述，如何使用 “等值变换” 的方式来代替真值表，从而判断一个合式公式的类型。

一、 判断谓词逻辑公式真假 ( 语义 )

谓词逻辑 语法 与 语义 :

语法 : 上面两节讲解的是 谓词逻辑 的公式 , 如何 根据陈述句描述写出公式 , 是 语法 范畴 ;

语义 : 写出的公式如何 判定其真假 , 属于 语义 范畴 ;

判定公式真假 :

• 命题逻辑 : 命题逻辑中 , 通过给命题变元赋值 , 并且根据联结词规则计算 , 最终得到真值 , 这个过程叫做 赋值 ;
• 一阶谓词逻辑 : 一阶谓词逻辑中 , 使用 “解释” 方法 , 判定一个公式的真假 ;

二、 谓词逻辑 “解释”

解释 :

给定 谓词逻辑 公式 $A$ , 该公式 $A$ 由 个体词 , 谓词 , 量词 组成 ;

个体域 : 指定 公式 $A$ 的 个体域 为 已知 个体域 $D$ ;

个体词 : 使用特定的 个体常元 取代 $A$ 中的 个体词 ;

函数 : 使用 特定的函数 , 取代 $A$ 中的 函数变元 ;

谓词 : 使用 特定的 谓词 , 取代 $A$ 中的 谓词变元 ;

执行完上述操作后 , 即可得到 $A$ 公式的一个 “解释” ;

赋值 与 解释 :

赋值 : 赋值 是 给命题逻辑的 命题变元 取 $0,1$ 真假值 ;

解释 : 解释 是 给 个体词 在个体域中 指定是哪个个体 , 给 谓词 指定具体的性质或关系 , 给 量词 指定 个体域 判定其范围 , 确定了 个体词 , 谓词 , 量词 , 就可以判定公式的真假 ;

给定一个 谓词逻辑 公式 , 给出一个 解释 , 就可以 判定其真假 ;

同一个 谓词逻辑 公式 , 可以有 不同的解释 ;

• 个体 指定 不同的 个体
• 谓词 指定 不同的 性质或关系
• 量词 使用不同的 个体域 进行解释 ;

三、 谓词逻辑 “解释” 示例

给定 一阶谓词逻辑 公式 $A$ 为 $\forall x(F(x)\to G(x))$ , 有以下多种解释 ;

解释一 :

个体域 : 实数集合 ;

$F(x)$ : $x$ 是有理数 ;

$G(x)$ : $x$ 是分数 ;

此时公式 $A$ 可以解释成 : 有理数都能表示成分数 ;

此时该解释对应的命题是 真命题 ;

解释二 :

个体域 : 全总个体域 ;

$F(x)$ : $x$ 是人 ;

$G(x)$ : $x$ 头发是黑色的 ;

此时公式 $A$ 可以解释成 : 人都是黑头发的 ;

此时该解释对应的命题是 假命题 ;

四、 谓词逻辑公式类型

谓词逻辑 公式 , 有了解释之后 , 就可以判断公式的类型 ;

谓词逻辑 公式类型分为 永真式 , 永假式 , 可满足式 , 等值式 等 ;

• 永真式 : 公式 $A$ 在 任何解释下都为真 ;
• 永假式 : 公式 $A$ 在 任何解释下都为假 ;
• 可满足式 : 公式 $A$ 至少存在一个成真的解释 ;
• 等价式 : 如果 $A\leftrightarrow B$ 是永真式 , 则公式 $A$ 和 $B$ 是等值的 , 记作 $A\iff B$ , 称 $A\iff B$ 是等值式 ;

做Excel导入功能时，读取Excel单元格内容需要区分类型

switch (cell.getCellType()) {
      case HSSFCell.CELL_TYPE_NUMERIC: // 数字
          //如果为时间格式的内容
          if (HSSFDateUtil.isCellDateFormatted(cell)) {      
             //注：format格式 yyyy-MM-dd hh:mm:ss 中小时为12小时制，若要24小时制，则把小h变为H即可，yyyy-MM-dd HH:mm:ss
             SimpleDateFormat sdf = new SimpleDateFormat("yyyy-MM-dd hh:mm:ss");  
             value=sdf.format(HSSFDateUtil.getJavaDate(cell.
             getNumericCellValue())).toString();                                 
               break;
           } else {
               value = new DecimalFormat("0").format(cell.getNumericCellValue());
           }
          break;
      case HSSFCell.CELL_TYPE_STRING: // 字符串
          value = cell.getStringCellValue();
          break;
      case HSSFCell.CELL_TYPE_BOOLEAN: // Boolean
          value = cell.getBooleanCellValue() + "";
          break;
      case HSSFCell.CELL_TYPE_FORMULA: // 公式
          value = cell.getCellFormula() + "";
          break;
      case HSSFCell.CELL_TYPE_BLANK: // 空值
          value = "";
          break;
      case HSSFCell.CELL_TYPE_ERROR: // 故障
          value = "非法字符";
          break;
      default:
          value = "未知类型";
          break;
 }