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  • 在高中阶段,任何一个函数要掌握知识有:该函数的值域、定义域、单调、奇偶函数平移、反函数函数变换、特定条件下极限存在判断及极限值、特定条件下导数存在判断导函数各性质(导函数也是函数)、函...

    历年来,因抽象函数考察的全面性,一直备受高考出题官的青睐,不仅在高考中多次出现,还占有很大的分值。所以,同学们要想在高考中拿高分,抽象函数这一章必须掌握好!

    在高中阶段,任何一个函数要掌握的知识有:该函数的值域、定义域、单调性、奇偶性、函数平移、反函数、函数变换、特定条件下极限的存在判断及极限值、特定条件下的导数存在判断及导函数各性质(导函数也是函数)、导函数值与原函数性质的相互关系等。

    解答此类题型时,题不一定要多做,但你每做一道题都要让你能对这些知识点有所理解。并且,做题时尽量从函数图像性质入手,不要死背一些什么“左加右减”的东西,当你看到一个函数问题能准确的想到其图像与坐标轴的关系时,“左加右减”之类的规律自然而然的就在你头脑中出现了。

    下面为大家整理了一些高考中经常出现的函数经典题型,以便各位学子能够对抽象函数这一章节更深的理解!

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  • 判断函数单调性的方法有很多,这边推荐定义法和求导法。 定义法: ①在区间D上,任取X1,X2,令X1<X2; ②作差F(X1)-F(X2); ④确定F(X1)-F(X2)符号的正负; 求导法: 如果函数y=f(x)在区间D内可导(可微),若x∈D时...

    函数的单调性


    函数单调性是针对某一个区间而言的,是一个局部性质。

    学习函数单调性时
    针对函数定义和特定函数的性质进行判断。


    -->

    单调性知识点概述:

    单调性改变的点为驻点或是极值点

    驻点或极值点的求解方法:一阶求导

    ·

    判断函数单调性的方法有很多,这边推荐定义法求导法

    定义法:

    ①在区间D上,任取X1,X2,令X1<X2;
    ②作差F(X1)-F(X2);
    ④确定F(X1)-F(X2)符号的正负;

    求导法:

    如果函数y=f(x)在区间D内可导(可微),若x∈D时恒有f’(x)>0,则函数y=f(x)在区间D内单调增加;反之,若x∈D时,f’(x)<0,则称函数y=f(x)在区间D内单调减少。

    复合函数求解单调性可用同增异减来判断(考虑定义域)。


    曲线的凹凸性

    –>

    在函数f(x)的图象上取任意两点,如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的下方,那么这个函数就是凹函数。同理可知,如果函数图像在这两点之间的部分总在连接这两点线段的上方,那么这个函数就是凸函数。

    –>

    凹凸性的知识点概述:

    曲线凹凸性变化的点为拐点

    凹凸性变化点叫拐点又叫反曲点

    判断曲线凹凸性的方法:二阶导

    求导法:

    如果函数f(x)在区间I上二阶可导,则f(x)在区间I上是凸函数的充要条件是f’’(x)≤0;f(x)在区间I上是凹函数的充要条件是f’’(x)≥0;

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  • 判断多边形顺逆

    2020-07-24 23:06:58
    如果文中数学公式或符号出现乱码,访问判断多边形顺逆 给定一个多边形所有坐标,如何判断该多边形排列顺逆呢? 本文将介绍两种方法解决该问题,并通过C++算法实现。 一、格林公式 设闭区域 D 由...

    前言

    如果文中数学公式或符号出现乱码,可访问判断多边形的顺逆性

    给定一个多边形的所有坐标,如何判断该多边形的点的排列的顺逆性呢?

    本文将介绍两种方法解决该问题,并通过C++算法实现。

    一、格林公式

    设闭区域 D 由分段光滑的简单曲线 L 围成,函数 P(x,y)及 Q(x,y)在 D 上有一阶连续偏导数,则有

    格林公式

    其中L是D的取正向的边界曲线。

    在该公式中取P(x,y)=yP(x,y)=y, Q(x,y)=0Q(x, y)=0,带入上式可得Ddxdy=ydx-\iint_Ddxdy=\iint ydx,即Ddxdy=ydx\iint_Ddxdy=-\iint ydx,左边就代表区域D的面积(记为S),右边ydx\iint ydx代表沿着多边形一圈的曲线积分,注意有个负号。

    考虑多变形的一条边Pi(xi,yy),Pi+1(xi+1,yi+1)P_i(x_i,y_y), P_{i+1}(x_{i+1},y_{i+1}),参数方程为:

    {x=(xi+1xi)t+xiy=(yi+1yi)t+yi\begin{cases} x=(x_{i+1}-x_i)t+x_i \\ y=(y_{i+1}-y_i)t+y_i \\ \end{cases}

    带入 S=xixi+1ydxS=-\iint{^{x_{i+1}}_{x_i}}ydx 可得 Si=12(yi+1+yi)(xi+1xi)S_i=-\frac {1}{2}(y_{i+1}+y_i)(x_{i+1}-x_i),每条边都可以求出一个 SiS_i,求和可以得出多边形的带符号面积,若为正,说明多边形的点为逆时针排列,为负,则说明为顺时针排列。

    //自定义 MyPoint类
    typedef struct MYPOINT {
    	double x;
    	double y;
    	MYPOINT(double xx, double yy) :x(xx), y(yy) {}
    } MyPoint;
    
    bool IsClockwise_1(vector<MyPoint> pts) {
    	double d = 0;
    	const size_t size = pts.size();
    	for (size_t i = 0; i < size - 1; i++) {
    		d += -0.5 * (pts[i + 1].y + pts[i].y) * (pts[i + 1].x - pts[i].x);
    	}
    	
        // 注意,这个容易忽略!最后一个点与第一个点构成的边
    	d += -0.5 * (pts[0].y + pts[size - 1].y) * (pts[0].x - pts[size - 1].x);
    
    	if (d < 0)
    		return true;
    	else
    		return false;
    }
    

    二、叉积法

    两个向量的叉积具有正负性,可以判断由第一个向量旋转到第二个向量是顺时针还是逆时针(旋转角180o\leq 180^o)。那么能不能用此方法判断多边形的正负性呢?

    考虑下图的情形,多边形ABCDEFG和多边形A′B′C′D′E′F′G′。

    Polygon

    1. 对于B点而言,向量BA\vec{BA}BC\vec{BC}BA×BC\vec{BA} \times \vec{BC}结果为负数,多边形ABCDEFG的点为顺时针排列。

    2. 对于B′点而言,向量BA×BC\vec{B′A′} \times \vec{B′C′}的结果也为负数,但是四边形A′B′C′D′E′F′G′为逆时针排列。

    因此判断B点与相邻两点构成向量的叉积的正负是不可行的,但是有没有哪个点(或者说,哪种类型的点)是符合要求的呢?

    现在考虑多边形ABCDEFG最左侧的点F 和 多边形A′B′C′D′E′F′G′最左侧的点E′,

    Polygon

    1. 对F点而言, FE×FG\vec{FE} \times \vec{FG},结果为正数,多边形的点为顺时针排列。

    2. 对E′点而言, ED×EF\vec{E′D′} \times \vec{E′F′},结果为负数,多边形的点为逆时针排列。

    可以证明,使用多变形的左(右、上、下)侧的一个点,该点与前一个点构成的向量(记为a\vec{a}),与后一个点构成的向量(记为b\vec{b}),判断 a×b\vec{a} \times \vec{b} 的正负,若为正,说明多边形的点为顺时针排列,若为负则为逆时针排列。

    bool IsClockwise_2(vector<MyPoint> pts)
    {
    	//1. 找到横坐标最小的点,该点一定是多边形的最左侧的点,且为凸点
    	double min_x = pts[0].x;
    	int min_idx = 0;
    	size_t size = pts.size();
    	for (size_t i = 1; i < size; i++) {
    		if (pts[i].x < min_x) {
    			min_x = pts[i].x;
    			min_idx = i;
    		}
    	}
    
    	//2. 判断该点与前一个点构成的向量 和 与后一个点构成的向量的叉积的正负
    	//2.1 获取该点前一个点和后一个点的下标
    	int prev_min_idx = 0, next_min_idx = 0;
    	if (0 == min_idx) {		//如果该点是第一个点
    		prev_min_idx = size - 1;
    		next_min_idx = min_idx + 1;
    	}
    	else if (size - 1 == min_idx) {	//如果该点是最后一个点
    		prev_min_idx = min_idx - 1;
    		next_min_idx = 0;
    	}
    	else {
    		prev_min_idx = min_idx - 1;
    		next_min_idx = min_idx + 1;
    	}
    
    	//2.2 计算叉积
    	double cross = (pts[prev_min_idx].x - pts[min_idx].x) * (pts[next_min_idx].y - pts[min_idx].y) -
    		(pts[next_min_idx].x - pts[min_idx].x) * (pts[prev_min_idx].y - pts[min_idx].y);
    
    	if (cross > 0)
    		return true;
    	else 
    		return false;
    }
    

    The End

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    判断方法:(1)求这个函数的二阶导数;(2)若二阶导数在这个点的左边和右边的正负性不同,则这个点就是拐点;若在这个点的左边和右边的正负性相同,则这个点就不是拐点。

    拐点的必要条件

    设f(x)在(a,b)内二阶可导,x0∈(a,b),若(x0,f(x0))是曲线y=f(x)的一个拐点,则f‘’(x0)=0。

    拐点的充分条件

    设f(x)在(a,b)内二阶可导,x0∈(a,b),则f‘’(x0)=0,若在x0两侧附近f‘’(x0)异号,则点(x0,f(x0))为曲线的拐点。否则(即f‘’(x0)保持同号,(x0,f(x0))不是拐点。

    当函数图像上的某点使函数的二阶导数为零,且三阶导数不为零时,这点即为函数的拐点。

    若函数y=f(x)在c点可导,且在点c一侧是凸,另一侧是凹,则称c是函数y=f(x)的拐点。另外,如果c是拐点,必然有f''(c)=0或者f''(c)不存在;反之则不成立;比如,f(x)=x^4,有f''(0)=0,但是0两侧全是凸,所以0不是函数f(x)=x^4的拐点。

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