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  • 先卖个关子,学完今天知识你就知道了~ 1、全微分定义 2、如何判断函数z=f(x,y)是否可微具体可参照如下步骤:来道例题加深记忆吧【宇哥解答】 3、偏导数连续性4、多元函数可微、偏导数、连续之间存在逻辑...

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    小可爱们,今天带大家学习多元函数可微相关知识。

    高数上册讲过一元函数可导和可微互为充要条件,

    那么在多元函数中微分和导数之间有什么关系呢?

    先卖个关子,学完今天的知识你就知道了~

     1、全微分的定义2ac590c1f9895750de76b1d3bddf025d.png 2、如何判断函数z=f(x,y)是否可微

    具体可参照如下步骤:

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    来道例题加深记忆吧93cd5c36e9f804416ba8160c1cd29c3b.png

    【宇哥解答】

     3、偏导数的连续性6945438fe76dfddbd5a86500a322e0d7.png4、多元函数可微、偏导数、连续之间存在的逻辑关系多元函数可微、偏导数、连续之间存在如下逻辑关系,考试中经常会考到,一定要记住呀。9ca74b082824fedf9f80ad6892dad2fe.png好了,全微分的知识就给大家讲到这里,你学会了吗?明天带大家学习复合函数求导的具体计算方法,不见不散~

    【往期回顾】

    积分里面的对称性,你想到是什么了吗?

    5 4 3 2 !点火公式来啦

    著名的区间再现公式是什么呢?又该如何使用呢?

    什么情况下定积分存在,它们都有哪些性质呢?

    不定积分的计算——有理函数如何求积分?

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    不定积分的计算——这些情形下更适合使用换元法

    不定积分的计算——什么函数可以用凑微分法?

    一些巧妙换元简化定积分计算的小技巧

    爷爷父亲和孙子——定积分中的升阶降阶

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    不知庐山真面目

    只缘身在此山中

    那就让“山外”的高老师

    带大家走入真题的魔幻世界

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    了解真题大串讲

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  • 二阶导点是拐点必要条件 设存在,且点 (x0,f(x0) )为曲线拐点,则 判断拐点第一充分条件 设 f(x) 在 x=x0 处连续,在点 x=x0 某去心邻域内二阶导数存在,且在该点左右邻域内变号 则点 (x0,f(x0)...

    二阶可导点是拐点的必要条件

    设 f''(x) 存在,且点 (x0,f(x0) ) 为曲线拐点,则 f''(x)=0

     

    判断拐点的第一充分条件

    设 f(x) 在 x=x0 处连续,在点 x=x0 的某去心邻域 \mathring{U}(x_{0},\delta) 内二阶导数存在,且在该点的左右邻域内 f''(x) 变号

    则点 (x0,f(x0) ) 为曲线拐点

     

    判断拐点的第二充分条件

    设 f(x) 在 x=x0 的某邻域内三阶可导,且 f''(x_{0})=0,f'''(x_{0})\neq 0 ,则点 (x0,f(x0) ) 为曲线拐点

     

    判断拐点的第三充分条件

    设 f(x) 在 x=x0 处 n 阶可导,且 

    \\\\f^{(m)}(x_{0})=0\quad (m=2,\cdot\cdot\cdot,n-1) \\\\f^{(n)}(x_{0})\neq0\quad (n\geq 3)

    当 n 为奇数时,点 (x0,f(x0) ) 为曲线拐点

     

    证明:

    由于n为奇数,令 n=2k+1,构造极限

    \\\\\\\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f''(x)}{(x-x_{0})^{2k-1}} \\\\\\\cdot\cdot\cdot \\\\\\\Rightarrow \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f^{(2k)}(x)}{(2k-1)!(x-x_{0})} \\\\\\\Rightarrow \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f^{(2k)}(x)-f^{(2k)}(x_{0})}{(2k-1)!(x-x_{0})} \\\\\\=\frac{1}{(2k-1)!}f^{(2k+1)}(x_{0})\neq0

    上述洛必达法则成立的依据是最后的结果存在.

    由函数极限的局部保号性可得:

    \\\\\\f^{(2k+1)}(x_{0})>0\Rightarrow \frac{f''(x)}{(x-x_{0})^{2k-1}}>0\Rightarrow \\\\\\ x\rightarrow x_{0}^{+},f''(x)>0\quad \\\\\\\ x\rightarrow x_{0}^{-},f''(x)<0

    同理可证 f^{(2k+1)}(x_{0})<0 的情况

    故点(x0,f(x0) ) 为曲线拐点

    证毕

     

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  • 一阶导点是极值点必要条件 设 f(x) 在 x=x0 处导,且在点 x0 处取得极值,则必有 判断极值第一充分条件 设 f(x) 在 x=x0 处连续,且在 x0 某去心邻域内导 x0 极小值点 ...

    一阶可导点是极值点的必要条件

    设 f(x) 在 x=x0 处可导,且在点 x0 处取得极值,则必有 f'(x)=0

     

    判断极值的第一充分条件

    设 f(x) 在 x=x0 处连续,且在 x0 的某去心邻域 \mathring{U}(x_{0},\delta) 内可导

    (x_{0}-\delta,x_{0}) (x_{0},x_{0}+\delta)  
    f'(x)<0 f'(x)>0 x0 极小值点
    f'(x)>0 f'(x)<0 x0 极大值点

     

    判断极值的第二充分条件

    设 f(x) 在 x=x0 处二阶可导,且 f'(x_{0})=0,f''(x_{0})\neq 0

    f''(x_{0})<0

    x0 极大值点

    f''(x_{0})>0

    x0 极小值点

     

    判断极值的第三充分条件

    设 f(x) 在 x=x0 处 n 阶可导,且 

    \\\\f^{(m)}(x_{0})=0\quad (m=1,2,\cdot\cdot\cdot,n-1) \\\\f^{(n)}(x_{0})\neq0\quad (n\geq 2)

    当 n 为偶数时

    f^{(n)}(x_{0})<0 x0 极大值点
    f^{(n)}(x_{0})>0 x0 极小值点

    证明:

    由于n为偶数,令 n=2k,构造极限

    \\\\\\\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{(x-x_{0})^{2k}} \\\\\\\Rightarrow \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f'(x)}{2k(x-x_{0})^{2k-1}} \\\\\\\cdot\cdot\cdot \\\\\\\Rightarrow \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f^{(2k-1)}(x)}{(2k)!(x-x_{0})} \\\\\\\Rightarrow \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f^{(2k-1)}(x)-f^{(2k-1)}(x_{0})}{(2k)!(x-x_{0})} \\\\\\=\frac{1}{(2k)!}f^{(2k)}(x_{0})\neq0

    上述洛必达法则成立的依据是最后的结果存在.

    由函数极限的局部保号性可得:

    f^{(2k)}(x_{0})<0\Rightarrow \frac{f(x)-f(x_{0}))}{(x-x_{0})^{2k}}<0\Rightarrow f(x)<f(x_{0})

    x0 极大值点

    f^{(2k)}(x_{0})>0\Rightarrow \frac{f(x)-f(x_{0}))}{(x-x_{0})^{2k}}>0\Rightarrow f(x)>f(x_{0})

    x0 极小值点

    证毕

     

     

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  • 多元函数可微性知识点总结

    千次阅读 2020-05-10 16:17:38
    判断可微性: 必要条件: 可以写成偏导数都存在,且可以写成dz=fxdx+fydydz=f_xdx+f_ydydz=fx​dx+fy​dy fx,fyf_x,f_yfx​,fy​表示f对x,y偏导。 所以首先求出关于x和y偏导,然后算出德尔塔z和全增量之间差f...

    这节的知识点也挺多,主要就是可微和偏导数存在的关系
    偏导数:z=f(x,y),z对x或者y的偏导数就是把另一个当做常数求导,还算简单

    判断可微性:

    必要条件:
    可以写成偏导数都存在,且可以写成dz=fxdx+fydydz=f_xdx+f_ydy
    fx,fyf_x,f_y表示f对x,y的偏导。
    所以首先求出关于x和y的偏导,然后算出德尔塔z和全增量之间的差f(x0+dx,y0+dy)f(x0,y0)fx(x0,y0)dxfy(x0,y0)dyf(x_0+dx,y_0+dy)-f(x_0,y_0)-f_x(x_0,y_0)dx-f_y(x_0,y_0)dy
    结果除以dx2+dy2\sqrt{dx^2+dy^2}看看是不是极限是不是0
    注意,如果是求一个点的可微性的时候,求偏导数不要用求导法,直接用偏导数的定义

    充分条件:
    偏导数存在且连续

    中值定理:
    如果偏导数存在,则有中值公式:
    f(x,y)f(x0,y0)=fx(a,y)(xx0)+fy(x,b)(yy0)f(x,y)-f(x_0,y_0)=f_x(a,y)(x-x_0)+f_y(x,b)(y-y_0)
    a,b是x到x0x_0,y到y0y_0的数

    求全微分:
    求出该点处的偏导,然后写出dz=fxdx+fydy即可

    偏导存在,函数连续和可微之间的关系:
    偏导存在不一定连续。
    连续不一定可微。
    可微一定连续,偏导一定存在。
    偏导数连续一定可微。
    总结一下:
    偏导存在和连续没有半毛钱关系。
    可微的级别最高,它可以推出连续和偏导存在
    只有偏导连续可以推出可微,别的什么函数连续或者偏导存在都不能推可微。

    注意:
    1.求偏导啥的都算简单的,不要算错
    2.遇到求f(x,1)的偏导,就先把y=1带进去
    3.遇到求一个点的偏导数,严格用公式limdx0fx(x0,y0)=f(x0+dx,y0)f(x0,y0)dx\lim_{dx\to0}f_x(x_0,y_0)=\frac{f(x_0+dx,y_0)-f(x_0,y_0)}{dx}
    算就好了,注意求谁的偏导就只有谁变。
    4.如果遇到较为复杂的极限不知道是不是存在,最方便的办法就是先用x=y之类的带一下,再用x=0带一下,看看值会不会变
    5.求一个点的偏导到底是定义求还是求导求?如果是一些简单的函数,偏导数在该点连续,而且点不是(0,0)附近,可以考虑求导再带,但是最好是定义求。

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  • (从下列问题本人回答整理而来)如何证明魏尔斯特拉斯函数一致... 本文对这类函数进行一个初步介绍,并(在数学分析角度)证明其连续性、一致连续性和处处不可微性. 考虑到读者水平不同(如有读者学习...
  • 判断函数凹凸性

    千次阅读 2020-05-18 17:39:37
    假设fff可微,则函数fff是凸函数的充要条件是domfdom fdomf是凸集且对于任意x,y∈domfx, y∈domfx,y∈domf, f(y)⩾f(x)+∇f(x)T(y−x)f(y) \geqslant f(x)+\nabla f(x)^{T}(y-x)f(y)⩾f(x)+∇f(x)T(y−x)成立。...
  • 多元函数的极值

    千次阅读 2013-03-31 20:23:49
    (一) 可微函数的条件极值 如果在区域上存在二阶连续偏导数,我们可以用下面方法求出极值。 首先,通过解方程 得到驻点。其次,对每个驻点求出二阶偏导数: 最后利用课本定理7.8进行判断。  函数在此...
  • 无约束问题极值条件

    千次阅读 2014-03-25 18:37:15
    有时候,我们希望根据一定的条件找到优化问题的极值点;另外一些时候,我们得到若干候选解,希望判断候选解中哪些是真正的极值点。这其中涉及非线性规划的极值条件问题。... 处可微,若是无约束优化问题 的局部极小点
  • 带你手写前端框架

    2020-12-28 06:04:01
    生命周期可以传入 返回Promise的函数也可以传入 返回Promise函数的数组。 <h4>2、app状态 为了更好管理app,特地给app增加了状态,每个app共存在11个状态,其中每个状态流转图如下: ...
  • 微分

    2020-06-02 10:01:39
    全增量 可微的必要条件 函数在该点连续 函数在该点偏导数存在 可微的充分条件 函数在该点偏导数存在 函数的偏导数 在该点连续 可偏导未必可微 判断可微分的步骤 定义法 充分条件
  • 5.4.5 判断函数的可导性 5.4.6 证明函数为常量函数 5.5 海涅定理推广 5.5.1 把任意数列 推广为单调数列 5.5.2 把 存在极限 推广为非正常极限 5.5.3 把函数极限存在推广为函数连续及单侧连续 5.5.4 把任意数列 推广...
  • 非线性系统可能存在多个局部渐进稳定平衡态 在非线性系统找...f(x)对状态变量x连续可微 则存在雅可比矩阵: 有克索夫斯基定理: ※ 1. 仅为充分条件。即如果最后判断矩阵函数不为负定,也仅是不能够判断...
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    积分与路径无关的条件 二元函数的全微分 11.2.曲面积分 11.2.1.对面积的曲面积分 定义、物理意义 基本性质 计算方法:转化为二重积分 11.2.2.对坐标的曲面积分 定义、物理意义 基本性质 计算方法:转化为二重积分 两...
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空空如也

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判断函数可微的条件