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  • 二元函数可微的充要条件

    千次阅读 2021-01-15 14:04:44
    二元函数可微的充要条件2020-04-09 16:31:34文/张敏二元函数可微的充分条件:若函数对x和y的偏导数在这点的某一邻域内都存在,且均在这点连续,则该函数在这点可微。必要条件:若函数在某点可微,则函数在该点必连续...

    二元函数可微的充要条件2020-04-09 16:31:34文/张敏

    二元函数可微的充分条件:若函数对x和y的偏导数在这点的某一邻域内都存在,且均在这点连续,则该函数在这点可微。必要条件:若函数在某点可微,则函数在该点必连续,该函数在该点对x和y的偏导数必存在。

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    二元函数的条件

    1、二元函数可微的必要条件:若函数在某点可微,则函数在该点必连续,该函数在该点对x和y的偏导数必存在。

    2、二元函数可微的充分条件:若函数对x和y的偏导数在这点的某一邻域内都存在,且均在这点连续,则该函数在这点可微。

    3、设平面点集D包含于R^2,若按照某对应法则f,D中每一点P(x,y)都有唯一的实数z与之对应,则称f为在D上的二元函数。

    二元函数可微性

    定义

    设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某邻域内有定义,对这个邻域中的点P(x,y)=(x0+△x,y0+△y),若函数f在P0点处的增量△z可表示为:

    △z=f(x0+△x,y+△y)-f(x0,y0)=A△x+B△y+o(ρ),其中A,B是仅与P0有关的常数,ρ=〔(△x)^2+(△y)^2〕^0.5.o(ρ)是较ρ高阶无穷小量,即当ρ趋于零是o(ρ)/ρ趋于零.则称f在P0点可微.

    可微性的几何意义

    可微的充要条件是曲面z=f(x,y)在点P(x0,y0,f(x0,y0))存在不平行于z轴的切平面Π的充要条件是函数f在点P0(x0,y0)可微.

    这个切面的方程应为Z-z=A(X-x0)+B(Y-y0)。

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  • 连续、偏导、可微和连续且偏导之间的关系

    二元函数的全微分定义

    在这里插入图片描述

    结论/定理

    在这里插入图片描述

    例题

    实践出结论,其他例子可以照葫芦画瓢
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  • 讨论多元函数可微

    千次阅读 2020-05-29 17:20:40
    (1)利用定义,即 ...(2)利用可微的必要条件可微导。这一条一般是用来反证,通过证明不导来证明不可微 (3)利用可微的充分条件:有连续一阶偏导数。注意,是连续,仅仅存在偏导数是不够的。 ...

    (1)利用定义,即\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho )

    若极限

    存在且为0,则可微,否则不可微

    (2)利用可微的必要条件:可微必可导。这一条一般是用来反证,通过证明不可导来证明不可微

    (3)利用可微的充分条件:有连续一阶偏导数。注意,是连续,仅仅存在偏导数是不够的。

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  • 数二-多元函数可微

    千次阅读 2021-04-04 15:03:34
    则称z=f(x,y)在(x,y)处可微。z=f(x,y)在(x,y)处的全增量\varDelta a=A\varDelta x+B\varDelta y+o(\rho)。A,B不依赖于\varDelta x、\varDelta y且仅与x,y有关。则称z=f(x,y)在(x,y)处可微。z=f(x,y)在(x,y)处的全...


    在这里插入图片描述

    *全微分定义

    z = f ( x , y ) 在 ( x , y ) 处 的 全 增 量 Δ a = A Δ x + B Δ y + o ( ρ ) 。 A , B 不 依 赖 于 Δ x 、 Δ y 且 仅 与 x , y 有 关 。 则 称 z = f ( x , y ) 在 ( x , y ) 处 可 微 。 z=f(x,y)在(x,y)处的全增量\varDelta a=A\varDelta x+B\varDelta y+o(\rho)。A,B不依赖于\varDelta x、\varDelta y且仅与x,y有关。则称z=f(x,y)在(x,y)处可微。 z=f(x,y)(x,y)Δa=AΔx+BΔy+o(ρ)A,BΔxΔyx,yz=f(x,y)(x,y)

    称 A Δ x + B Δ y 为 z = f ( x , y ) 在 ( x , y ) 处 的 全 微 分 。 称A\varDelta x+B\varDelta y为z=f(x,y)在(x,y)处的全微分。 AΔx+BΔyz=f(x,y)(x,y)

    记 作 d z = A Δ x + B Δ y = ∂ z ∂ x d x + ∂ z ∂ y d y \begin{aligned} 记作dz&=A\varDelta x+B\varDelta y\\ &=\cfrac{\partial z}{\partial x}dx+\cfrac{\partial z}{\partial y}dy \end{aligned} dz=AΔx+BΔy=xzdx+yzdy

    f(x,y)可微性判断

    1. 写出全增量 Δ z = f ( x 0 + Δ x , y 0 + Δ y ) − f ( x 0 , y 0 ) ; \varDelta z=f(x_0+\varDelta x,y_0+\varDelta y)-f(x_0,y_0); Δz=f(x0+Δx,y0+Δy)f(x0,y0);
    2. 写出线性增量 A Δ x + B Δ y , 其 中 A = f x ′ ( x 0 , y 0 ) , B = f y ′ ( x 0 , y 0 ) ; A\varDelta x+B\varDelta y,其中A=f_x'(x_0,y_0),B=f_y'(x_0,y_0); AΔx+BΔyA=fx(x0,y0)B=fy(x0,y0);
    3. 作极限 lim ⁡ Δ x → 0 Δ y → 0 Δ z − ( A Δ x + B Δ y ) ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 = 0 , 则 z = f ( x , y ) 在 ( x 0 , y 0 ) 处 可 微 。 \lim\limits_{\varDelta x\to0\atop \varDelta y\to0}\cfrac{\varDelta z-(A\varDelta x+B\varDelta y)}{\sqrt{(\varDelta x)^2+(\varDelta y)^2}}=0,则z=f(x,y)在(x_0,y_0)处可微。 Δy0Δx0lim(Δx)2+(Δy)2 Δz(AΔx+BΔy)=0z=f(x,y)(x0,y0)

    隐函数存在定理

    设 函 数 F ( x , y ) 在 点 P ( x 0 , y 0 ) 的 某 一 邻 域 内 具 有 连 续 偏 导 数 , F ( x 0 , y 0 ) = 0 且 F y ′ ( x 0 , y 0 ) ≠ 0 , 则 方 程 F ( x , y ) = 0 在 点 ( x 0 , y 0 ) 的 某 一 邻 域 内 能 唯 一 确 定 一 个 连 续 且 具 有 连 续 导 数 的 函 数 y = f ( x ) , 它 满 足 条 件 y 0 = f ( x 0 ) , 并 有 d y d x = − F x ′ F y ′ . 设函数 F(x,y)在点P(x_0,y_0)的某一邻域内具有连续偏导数,\\ F(x_0,y_0)=0且F'_y (x_0,y_0)≠0,则方程F(x,y)=0在点(x_0,y_0)的某一邻域内\\ 能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y=f(x),\\ 它满足条件y_0=f(x_0),并有\cfrac{dy}{dx}=-\cfrac{F_x'}{F_y'}. F(x,y)P(x0,y0),F(x0,y0)=0Fy(x0,y0)=0,F(x,y)=0(x0,y0)y=f(x),y0=f(x0),dxdy=FyFx.

    这里
    F ( x 0 , y 0 ) = 0 F(x_0,y_0)=0 F(x0,y0)=0:函数值存在;
    F y ′ ( x 0 , y 0 ) ≠ 0 F'_y (x_0,y_0)≠0 Fy(x0,y0)=0:偏导数值存在;

    偏导数

    f具有二阶连续偏导数,求导次序可以交换。

    定义法

    z = f ( x , y ) 在 ( x 0 , y 0 ) 处 对 x 的 偏 导 数 ; z=f(x,y)在(x_0,y_0)处对x的偏导数; z=f(x,y)(x0,y0)x;

    f x ′ ( x 0 , y 0 ) = lim ⁡ Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) Δ x f_x'(x_0,y_0)=\lim\limits_{\varDelta x\to 0}\cfrac{f(x_0+\varDelta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\varDelta x} fx(x0,y0)=Δx0limΔxf(x0+Δx,y0)f(x0,y0)

    公式法

    f x ( x , y ) 直 接 对 x 求 导 f_x(x,y)直接对x求导 fx(x,y)x

    偏导数连续性判断

    1. 定义法求 f x ′ ( x 0 , y 0 ) , f y ′ ( x 0 , y 0 ) ; f_x'(x_0,y_0),f_y'(x_0,y_0); fx(x0,y0),fy(x0,y0);
    2. 公式法求 f x ′ ( x , y ) , f y ′ ( x , y ) ; f_x'(x,y),f_y'(x,y); fx(x,y),fy(x,y);
    3. 计算 lim ⁡ Δ x → x 0 Δ y → y 0 f x ′ ( x , y ) , lim ⁡ Δ x → x 0 Δ y → y 0 f y ′ ( x , y ) ; \lim\limits_{\varDelta x\to x_0\atop \varDelta y\to y_0}f_x'(x,y),\lim\limits_{\varDelta x\to x_0\atop \varDelta y\to y_0}f_y'(x,y); Δyy0Δxx0limfx(x,y),Δyy0Δxx0limfy(x,y);
    4. lim ⁡ Δ x → x 0 Δ y → y 0 f x ′ ( x , y ) = f x ′ ( x 0 , y 0 ) , lim ⁡ Δ x → x 0 Δ y → y 0 f y ′ ( x , y ) = f y ′ ( x 0 , y 0 ) , 则 z = f ( x , y ) 在 ( x 0 , y 0 ) 处 连 续 。 \lim\limits_{\varDelta x\to x_0\atop \varDelta y\to y_0}f_x'(x,y)=f_x'(x_0,y_0),\lim\limits_{\varDelta x\to x_0\atop \varDelta y\to y_0}f_y'(x,y)=f_y'(x_0,y_0),则z=f(x,y)在(x_0,y_0)处连续。 Δyy0Δxx0limfx(x,y)=fx(x0,y0),Δyy0Δxx0limfy(x,y)=fy(x0,y0)z=f(x,y)(x0,y0)

    极值

    无条件极值

    1. 二元函数取极值的必要条件;
      设 z = f ( x , y ) 在 ( x 0 , y 0 ) { 一 阶 偏 导 数 存 在 取 极 值 , 则 f x ′ ( x 0 , y 0 ) = 0 , f y ′ ( x 0 , y 0 ) = 0. 设z=f(x,y)在(x_0,y_0)\begin{cases} 一阶偏导数存在 \\ 取极值 \end{cases},则f_x'(x_0,y_0)=0,f_y'(x_0,y_0)=0. z=f(x,y)(x0,y0){fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0.
    2. 二元函数取极值的充分条件;
      { f x x ′ ′ ( x 0 , y 0 ) = a f x y ′ ′ ( x 0 , y 0 ) = b f y y ′ ′ ( x 0 , y 0 ) = c , Δ = b 2 − a c { < 0 ⇒ 极 值 { a < 0 ⇒ 极 大 值 a > 0 ⇒ 极 小 值 > 0 ⇒ 非 极 值 = 0 ⇒ 方 法 失 效 \begin{cases} f_{xx}''(x_0,y_0)=a \\ f_{xy}''(x_0,y_0)=b\\ f_{yy}''(x_0,y_0)=c \end{cases},\varDelta = b^2-ac\begin{cases} \lt0\rArr极值\begin{cases} a<0\rArr极大值 \\ a>0\rArr极小值 \end{cases}\\ \gt0\rArr非极值\\ =0\rArr方法失效 \end{cases} fxx(x0,y0)=afxy(x0,y0)=bfyy(x0,y0)=c,Δ=b2ac<0{a<0a>0>0=0

    条件极值与拉格朗日乘数法

    求 u = f ( x , y , z ) 在 条 件 { φ ( x , y , z ) = 0 Φ ( x , y , z ) = 0 下 的 最 值 。 求u=f(x,y,z)在条件\begin{cases} \varphi(x,y,z)=0\\ \varPhi(x,y,z)=0 \end{cases}下的最值。 u=f(x,y,z){φ(x,y,z)=0Φ(x,y,z)=0

    1. 构 造 辅 助 函 数 F ( x , y , z , λ , μ ) = f ( x , y , z ) + λ φ ( x , y , z ) + μ Φ ( x , y , z ) . 构造辅助函数F(x,y,z,\lambda,\mu)=f(x,y,z)+\lambda\varphi(x,y,z)+\mu\varPhi(x,y,z). F(x,y,z,λ,μ)=f(x,y,z)+λφ(x,y,z)+μΦ(x,y,z).
    2. { F x ′ = f x ′ + λ Φ x ′ + μ φ x ′ = 0 F y ′ = f y ′ + λ Φ y ′ + μ φ y ′ = 0 F z ′ = f z ′ + λ Φ z ′ + μ φ z ′ = 0 F λ ′ = Φ ( x , y , z ) = 0 F μ ′ = φ ( x , y , z ) = 0 \begin{cases} F_x'=f_x'+\lambda\varPhi_x'+\mu\varphi_x'=0\\ F_y'=f_y'+\lambda\varPhi_y'+\mu\varphi_y'=0\\ F_z'=f_z'+\lambda\varPhi_z'+\mu\varphi_z'=0\\ F_{\lambda}'=\varPhi(x,y,z)=0\\ F_{\mu}'=\varphi(x,y,z)=0 \end{cases} Fx=fx+λΦx+μφx=0Fy=fy+λΦy+μφy=0Fz=fz+λΦz+μφz=0Fλ=Φ(x,y,z)=0Fμ=φ(x,y,z)=0
    3. 解 上 述 方 程 得 若 干 点 ( x 0 , y 0 , z 0 ) … ( x n , y n , z n ) , 取 u m a x     o r     u m i n . 解上述方程得若干点(x_0,y_0,z_0)\dots(x_n,y_n,z_n),取u_{max}\ \ \ or\ \ \ u_{min}. (x0,y0,z0)(xn,yn,zn)umax   or   umin.

    二元函数在区域D下的最值

    ①只需求出D的内部及 ⇒ 无 条 件 极 值 问 题 , 求 出 f x ′ = 0 , f y ′ = 0 的 所 有 可 疑 点 。 \rArr无条件极值问题,求出f_x'=0, f_y'=0的所有可疑点。 fx=0,fy=0
    ②D的边界 ⇒ { 直 接 带 入 求 驻 点 或 导 数 不 存 在 的 点 拉 格 朗 日 乘 数 法 \rArr\begin{cases} 直接带入求驻点或导数不存在的点 \\ 拉格朗日乘数法 \end{cases} {
    上的驻点导数不存在的点(不用判断它们是否为极值点),
    并求出这些点的函数值,然后比较它们的大小,求出最大值和最小值.

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判断函数可微的条件

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