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  • 如果函数在区间连续右端点左连续左端点右连续,那未函数区间上连续。 一、最大值与最小值定理 先介绍最大值与最小值概念: 对于区间上有定义的函数,如果有,使得对于任一都有 则称是函数...

    §1.11  闭区间上连续函数的性质

    如果函数在开区间内连续,在右端点左连续,在左端点右连续,那未函数就在闭区间上连续。

    一、最大值与最小值定理

    先介绍最大值与最小值概念:

    对于区间上有定义的函数,如果有,使得对于任一都有    

    则称是函数在区间上的最大值(最小值)

    【定理一】(最大值和最小值定理)

    在闭区间上连续的函数一定取得最大值和最小值。

    这一定理在几何上是十分显然的。

    设想有一条有弹性的弦,两个端点固定,呈水平地放置在坐标系中;若它上面的两点受到方向相反的两个力的作用,则产生形变,成为一条有高低起伏的曲线。

    显然,C点与D点的纵坐标分别是曲线所代表的函数的最大值与最小值。

    最值存在定理中的两个条件:(1)、闭区间,(2)、连续缺一不可,否则结论不成立。

    根据定理一,下面的定理二,几乎是一望便知的事实。

    【定理二】( 有界性定理 )

    在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界。

    为了介绍闭区间上连续函数十分常用零点定理,先引入一个概念:

    如果使, 则称 为函数的一个零点

    事实上,也可以看成函数方程  的一个

    【定理三】( 零点定理 )

    在闭区间上连续,且异号(即), 则在开区间内至少有函数的一个零点,即存在点,使

    零点定理的几何意义十分显然, 它表明:

    若连续曲线弧的两个端点位于轴的不同侧,则曲线弧与轴至少有一个交点。

    利用这一思想,可用计算机作图来观察方程是否有实数根,有几个实根;若有实根,其实根所处的大致位置。

    下面我们用 matlab 来介绍几个实例。具体做法是:将函数与直线作在同一个图上,观察它们是否相交。

    【例1】判断方程  在是否有根?

    解:利用MATLAB,作函数的图形

    从图形上可看出,函数在[-2,2]之间确有两个零点。其作图程序如下:

    x=-2:0.0005:2;

    y=x.^2+x-1;

    plot(x,y,'*')

    hold

    plot([-2,2],[0,0],'r')

    plot([0,0],[-2,5],'r')

    【例2】判断方程  有几个实数根。

    解:利用MATLAB,作函数的图形

    从图形上可看出,函数在[-1,1]之间确有两个零点。其作图程序如下:

    x=-4:0.0005:4;

    y=exp(-x.^2)-0.5;

    plot(x,y,'*')

    hold

    plot([-4,4],[0,0],'r')

    plot([0,0],[-0.5,0.5],'r')

    【定理4】( 介值定理 )

    设函数在闭区间上连续,且在这区间的端点取不同的函数值

     及

    那末,对于之间的任意一个数,在开区间内至少有一点

    使得      

    这定理的几何意义是:

    连续曲线弧与水平直线至少相交于一点。

    证明:, 则在闭区间上连续,且

     与

    异号。据零点定理,开区间内至少有一点使得

    ,因此由上式即得

    【推论】

    闭区间上的连续函数必取得介于最大值 M 与最小值 m 之间的任何值。

    【例3】给定一元三次方程  

    1. 说明该方程在内至少有一个根;
    2. 利用计算机作图,说明该方程根的大致位置;
    3. 用计算方法中的两分法求此根近似值(精确到小数点后2位)。

    解:函数  在闭区间  上连续,又

    ,     

    根据零点定理,在(0,1)内至少有一点,使得   

    即    

    故方程在区间(0,1)内至少有一个根

    下面作出函数上的图象。

    x=-1:0.0005:4;

    y=x.^3-4*x.^2+1;

    plot(x,y,'*')

    hold

    plot([-1,4],[0,0],'r')

    plot([0,0],[-10,2],'r')

    从图象可看出,函数在(0,1)间有一个零点,大约在0.5附近。但较为精确地给出该根却是作图无法企及的。

    利用零点定理的原理,采用下面介绍的两分法来解决这一问题。

    注1:课堂上的两分法演示(做四次 )

    具体做法:

    1. 建立一个函数文件f.m,存放在盘符X:\matlab\bin下

    function   y=f(x)

    y=x^3-4*x^2+1;

    1. 在命令窗口下键入命令示意图

    注2:真正的两分法程序为gs0107.m

    注3:利用matlab内部函数,可以直接求出根

    c=[1,-4,0,1]

    roots(c)

    输出结果为:3.9354     0.5374   -0.4728

    【例4】试证明有且只有一个实根。

    证明:设,它是在上连续的初等函数。

    而 

    同理 

    利用函数的保号性

    必存在两个充分大的正数

    使得 

    在闭区间  上利用零点定理,至少存在一点,使得

    即:方程至少有一个实根。

    (下面来证明,函数的零点是唯一的)

    假设函数存在两个互异的零点,则有

    于是有

    ,故   

    另一方面

    产生矛盾。

    故:只有唯一零点,方程 只有唯一实根。

     

     

    转自:

    https://sxyd.sdut.edu.cn/_upload/tpl/02/32/562/template562/onlineLearning/gaodengshuxueshang/index.htm

     

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  • Java 日期区间连续判断

    千次阅读 2018-07-10 20:20:22
    Java 日期区间连续判断 1.需求 开发会计期间维护API 会计期间 期间维护API [要求期间连续] 2.分析 使用定义日期格式为 yyyy-mm-dd 所以采用java8的LocalDate 如何判断区间连续:每一个区间的结束日期+...

    Java 日期区间连续判断

    1.需求

    • 开发会计期间维护API 会计期间

    • 期间维护API [要求期间连续]


    2.分析

    • 使用定义日期格式为 yyyy-mm-dd 所以采用java8的LocalDate
    • 如何判断区间连续:每一个区间的结束日期+1等于下一个区间的开始日期。[记得判断每个日期的开始日期是否在结束日期之前]

    3.核心代码

    private void checkPeriodContinue(List<Period> periodList) {
            //根据区间的开始日期排序
            periodList.sort((Period p1, Period p2) -> p1.getStartDate().compareTo(p2.getStartDate()));
            for (int i = 0; i < periodList.size() - 1; i++) {
    
                if ((periodList.get(i).getStartDate().isBefore(periodList.get(i).getEndDate())) && !periodList.get(i).getEndDate().plusDays(1).equals(periodList.get(i + 1).getStartDate())) {
                    throw new CommonException("error.period.continue");
                }
            }
            //校验最后一个期间
            if (!periodList.get(periodList.size() - 1).getStartDate().isBefore(periodList.get(periodList.size() - 1).getEndDate())) {
                throw new CommonException("error.period.continue");
            }
        }

    4.总结

    刚开始做的时候,想到前台把所有的数据传过来,然后直接校验传过来的数据。[直接被怼死]
    最后,前台只传修过或者新增的数据过来,后台把数据库中的数据查出来,对比数据。如果是修改的数据,主键相同,替换;如果是新增的数据,直接添加到集合中。调用校验区间连续校验函数,校验。
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  • SQL 查询连续区间

    千次阅读 2019-07-14 05:52:58
    Technorati 标签: SQL Server,T-SQL,查询,连续区间,row_number函数 这篇文章演示如何查询连续区间。 首先创建一个实验表,并插入测试数据。 create table tbl(num int not null primary key) go insert into tbl...

     

    这篇文章演示如何查询连续区间。

    首先创建一个实验表,并插入测试数据。

    create table tbl(num int not null primary key)
    go
    
    insert into tbl
    values(1),(2),(3),(4),(5),(6),(100),(101),(102),(103),(104),(105),(200),(201),(202) -- 多值插入,SQL Server 2008新引入的语法。
    go

     

    期望的结果是找出每一个连续区间的起始值和结束值,如下图:

    image

     

    如果能找到一个办法将每一个连续区间分成单独的组。那么,每个组中的最小值就是该区间的起始值,最大值就是该区间的结束值。当然,分组后还可以进行其它聚合计算。

    从连续区间的定义可以得出一个结论:表中不存在比每个连续区间起始值小1的数字,也不存在比连续区间结束值大1的数字。反之,如果表中存在数字x并且不存在数字x-1,那么x就是起始值;如果表中存在数字y并且不存y+1,那么y就是结束值。

    基于这个逻辑,可以得出一个计算每个数字所在区间起始值的方法:返回小于或等于当前数字的所有起始值中的最大者。同理,计算所在区间结束值的方法是:返回大于或等于当前数字的所有结束值中的最小者。

    查询方案1:

    select  min(num) as start_num, max(num) as end_num
    from
    (select num, 
    (select MAX(num) from tbl as i where num <= o.num and not exists(select * from tbl where num = i.num - 1) ) as grp  -- 计算所在组的起始值,作为分组号
    from tbl as o) as m
    group by grp

    该查询的成本是:表扫描31次,逻辑读取281次,物理读取0次。

    该查询为表中的每一行都计算了一次起始值,它的成本与表中的记录数成正比。以下查询为每个连续的区间只计算一次结束值,性能有很大提升。

    查询方案2:

    select num as start_num, 
    (select MIN(num) from tbl as a where num >= o.num and not exists (select * from tbl where num = a.num + 1)) as end_num
    from tbl as o
    where not exists(select * from tbl where num = o.num - 1)

    该查询的成本是:表扫描8次,逻辑读取96次,物理读取0次。

    表扫描从31次降到8次,逻辑读取也从281次降到了96次,性能有了明显的改善。该查询的成本与连续区间的数量成正比。

    考虑到每次计算结束值都使用了min聚合函数,而且在num列上有索引。因此,可以使用top语句代替。以下是用top语句改进后的查询。

    查询方案3:

    select num as start_num, 
    (select top 1 num from tbl as a where num >= o.num and not exists (select * from tbl where num = a.num + 1) order by num) as end_num
    from tbl as o
    where not exists(select * from tbl where num = o.num - 1)

    该查询的成本是:表扫描6次,逻辑读取70次,物理读取0次。

     

    SQL Server 2005开始提供了row_number窗口函数,它用途广泛。

    接下来介绍使用row_number函数解决连续区间问题的方案。

    select min(num) as start_num, max(num) as end_num 
    from
    (select num, num - ROW_NUMBER() over(order by num) as grp
     from tbl) m
    group by grp

    该查询的成本是:表扫描1次,逻辑读取2次,物理读取0次。

    该查询简洁、优雅、性能好,只需要1次表扫描和2次逻辑读取。由于使用了row_number函数,它不能运行在SQL Server 2000及以前的版本上。

     

    查询方案1和查询方案4参考了 Itzik Ben-Gan, Lubor Kollar 和 Dejan Sarka 合著的《SQL Server 2005技术内幕 T-SQL 查询》。

    转载于:https://www.cnblogs.com/kenyang/archive/2012/03/15/2398813.html

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  • Oracle求连续区间内的最大最小值

    千次阅读 2017-10-31 20:57:22
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    要求求出连续夺冠的队伍和连续年月,效果如下:


    首先要判断一个队是否连续夺冠,我们可以通过lag函数来获取字段的上一个值,就比较容易判断了。


    然后给判断赋值,连续的为0,不连续的 为1。


    然后使用累加为后续的分组作准备:


    最后就是很基础的分组求最大最小值过程了,就不再赘述了。最终sql如下:

    select team,min(y),max(y) from (
    select team,y,sum(b)over(order by y)c
    from
    (
    select team,y,
    case 
      when team=lag(team)over(order by y) then 0 else 1 end as b
    from nba))
    group by c,team having count(1)>1
    order by 2


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空空如也

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判断函数在区间上连续