1、 分段函数可导性判断
 
 
2、含绝对值函数
 
 
3、带极限的函数
 

虽然求可导点方法很多，但是我觉得这个方法是最简单最快捷的。
 原创视频：<点这里>
 
 
 
 

$$\begin{array}{l}lim\\ h\to 0\end{array}\frac{1}{☸}f(☣)存在$$
 $$=\begin{array}{l}lim\\ h\to 0\end{array}\frac{1}{☣}f(☣)\ast \frac{☣}{☸}存在$$
 
看内部函数☣的0的两个方向趋向（并且在求导点的邻域不能有零值），
 
并且内部函数与分母h的函数☸同阶（右侧相除的极限不能为零，为零的话就可能不可导了，无穷时也不行，注意是充要条件）
 
例题：
 f(0)=0,则f(x)在x=0处可导的重要条件为：
 a)$$\begin{array}{l}lim\\ h\to 0\end{array}\frac{1}{h^2}f(1-cosh)存在$$
 b)$$\begin{array}{l}lim\\ h\to 0\end{array}\frac{1}{h}f(1-e^h)存在$$
 c)$$\begin{array}{l}lim\\ h\to 0\end{array}\frac{1}{h^2}f(h-sin(h))存在$$
 d)$$\begin{array}{l}lim\\ h\to 0\end{array}\frac{1}{h}(f(2h)-f(h))存在$$
 
看内部函数的0的两个方向趋向（并且在求导点的邻域不能有零值），
 并且内部函数与分母h的函数同阶（右侧不能为零，为零的话就可能不可导了，无穷时也不行，注意是充要条件）
 
D项可构造在零点分段的函数，从而导出可导与零点无关。
 
A 1-COSh只能趋于零正
 
答案：B

最近复习到高数的一元函数微分部分 ，可导和可微是两个特别重要也特别容易混淆的概念。所以简单记录一下，便于自己理解，仅供参考。
 
导数
 
从物理角度来说（牛顿是从物理学的角度发明出的微积分）某点的导数就是一个该点的瞬时变化率的问题。
 几何意义上来说（莱布尼茨从数学角度发明出的微积分），某点的导数是曲线在该点处的切线的斜率。
 从定义来看，导数在本质上是一个极限问题。f(x)在$x_0$处的导数$\grave{f(x)}$为：
 
$\grave{f(x)}={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$
 
若该极限存在， 就说明函数在该点可导。当然我们知道，函数极限也可能不存在，所以该点也就不可导了。
 
微分：
 
从数形结合的方式理解：设一正方形边长为x，当边长增加$\Delta x$,面积增加$\Delta S=(x+\Delta x{)}^2-x^2=2x\Delta x-\Delta x^2$
 
当$\Delta x\to 0$时，$(\Delta x{)}^2$对于$\Delta x$来说是高阶无穷小,记为$o(\Delta x)$，可以看作误差， 忽略不计。$2x\Delta x$才是增量的主要部分，我们叫做主部。
 
推广至一般函数，对于函数$f(x)$在$x_0$的某领域内有定义，那么函数增量记为：
 $\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$
 若存在与$\Delta x$无关的常数$A$使得 $\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)$,那么称$f(x)$在$x_0$处可微，微分为$A\Delta x$，即增量的线性主部。记作$dy{|}_{x=x_0}=A\Delta x$。
 （其实这里的常数$A$就是$f(x)$在该点处的导数）
 又因为$\Delta x=dx$
 （这里要理解一下为什么$\Delta x=dx$ 其实严格意义上 $\Delta x=dx$ 因为一个是增量，一个是微分。
 根据上面微分的定义 我们可以知道：$dx=A\Delta x+o(x)$
 所以他们之间有一个无穷小的误差。我们忽略不计）
 
$dy{|}_{x=x_0}=A\Delta x=\grave{y(x)}\Delta x=\grave{y(x)}dx$
 
$\frac{dy}{dx}{|}_{x=x_0}=\frac{\grave{y(x)}dx}{dx}=\grave{y(x)}$
 
通过上面的两个公式我们可以推出一元函数 可微必可导 两者互为充要条件。所以判断$f(x)$在$x_0$处是否可微就可以转换成是否可导的问题。
 关于可微的含义：我们用线性增量$A\Delta x$ 代替复杂增量$\Delta y$,误差为$\Delta y-A\Delta x=o(x)$无穷小，可忽略不计。
 
几何意义：若$f(x)$在$x_0$处是否可微，则在$（x_0,y_0)$处可以用切线段(线性增量$A\Delta x$）近似替代曲线段（实际复杂增量$\Delta y$）。这个和后面函数在某个定义域内的积分的几何意义联系起来了，也是用线段近似替代曲线。