精选十道考研题：一致连续
1、(2020大学)判断函数在区间是否一致连续，并说明理由。
2、(2020北京师范大学)证明函数在区间上一致连续。
(2020同济大学)已知在区间上一致连续，对于每个固定的成立. 证明函数列在区间上一致收敛于0.
(2020兰州大学)设在区间上一致连续，收敛，证明：\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=0$.
(2020哈尔滨工业大学)如果函数在上可导，证明：
(1)在上有界，则在区间上一致连续。
(2)存在，则在区间上一致连续。
(2020南开大学)判断函数在上是否一致连续、连续，说明理由。
7.(2020天津大学)设函数在区间连续，存在，证明在区间一致连续。
8.(2003华南理工大学)设在 一致连续，证明：
(1)存在。
(2)在上有界。
9.(2007华南理工大学)设函数在区间连续，存在，证明在区间一致连续。
10.(2003华南理工大学)设在连续，存在，存在，证明：在上一致连续。
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知识点和考点：知识点指的是概念和定理，考点指的是概念、定理的应用，当然一些简单定理的证明也属于考点。因此知识点不一定是考点，但考点一定是知识点。
方法和技巧：方法指的是解决问题的思路或者步骤，技巧指的是解决问题过程中怎么实现思路，达到目的。因此，解决问题时，首先要确定方法，在解决问题的过程中要讲究技巧。
求数列极限问题的难度不易，中学数学用观察法、公式法求极限，大学数学引入极限的定义，难度加大，方法很多，在使用每种方法时技巧也多。本文挑选几个典型极限及其证明，希望读者理解其证明并能应用这些极限。
没有记忆，就好像计算机没有了缓存(瞬时记忆)和硬盘 (长期记忆)
在解答数学时，时刻要清楚记得在计算到哪一步，下一步有几种情况，方向在哪里。就如最基本的加法，你也要知道满十进一，算盘和稿纸就是额外帮助记忆的工具。而你的思维敏捷亦或迟钝，取决你的“硬盘”是ssd还是机械硬盘经验来说，熟能生巧！
所谓“理解”，所谓“智商”，本质上最终都归到"记忆",还有一点就是能够发现自己“记忆”中各个零散的知识点的关系。所谓“智商”高低的人，其实是强化这些“记忆”的能力的不同，有高下之分，牛的人靠自己的一些技巧能更快速更深入的形成记忆(其实也就是更多的记忆)。
所谓“难题”就是由若干相关联的“简单题”组合成的题。把简单题做会勒，难题也不在话下哦！学会“拆题”，把一个难题拆分为几个简单题，是“解题活动”的重要环节。通过这个思维活动，还原出题老师的的思维过程，真正达到知识点的融会贯通，提高“提出问题、分析问题、解决问题”的能力。

关于定义域有界性的三种判断

@(微积分)

给定一个函数，讨论其在定义域上是否有界，有三种方法。不敢说常见，提出来思考。

理论法：若f(x)在定义域[a,b]上连续，或者放宽到常义可积（有限个第一类间断点），则f(x)在[a,b]上必然有界。
计算法：切分

(a,b)内连续
limx→a+f(x)存在
limx→b−f(x)存在

则f(x)在定义域[a,b]内有界。
运算规则判定：在边界极限不存在时

有界函数 ± 有界函数 = 有界函数 （有限个，基本不会有无穷个，无穷是个难分高低的状态）
有界 x 有界 =  有界
这是三种看似没什么用的结论，但是用起来才能明白它的效用。

举个例子：

讨论函数f(x)=(x3−1)sinx(x2+1)|x|在其定义域上的有界性。

分析：这种看着也挺简单的，对吧。

从这个函数中可以看出，定义域是(−∞,0)∪(0,+∞)。

分成两段，那么问题将转化为四个极限的求解。

limx→−∞f(x)
limx→+∞f(x)
limx→0+f(x)
limx→0−f(x)

如果四个极限存在，则可说明f(x)有界。

分别计算：



limx→−∞f(x)=limx→−∞(x3−1)sinx(x2+1)|x|=limx→−∞(x3−1)(x2+1)(−x)⋅sinx
大概可以一眼看出是两个有界函数之积了。因此极限存在。 

同理可得：



limx→+∞f(x)=limx→+∞(x3−1)sinx(x2+1)|x|=limx→−∞(x3−1)(x2+1)x⋅sinx
也是极限存在。



limx→0−f(x)=limx→0−(x3−1)sinx(x2+1)|x|=limx→0−(x3−1)(x2+1)⋅sinx−x=1
limx→0+f(x)=limx→0+(x3−1)sinx(x2+1)|x|=limx→0+(x3−1)(x2+1)⋅sinxx=−1
当变元趋近某一个值时，代入不会出现分母为0，不必犹豫，能代入则代入。

这样，四个极限都存在，就可以说明函数在定义域内有界了。

1，多元函数的概念
1.1 函数是数集到数集的映射，多元函数是$n维空间R^n上的点集D到一维空间R上的映射。$
1.2 多元函数极限和连续性的定义方法与一元函数类似（判断多元函数极限是否存在的技巧：从y=kx的方向去趋近；分别从y=x和y=-x两个方向去趋近）。
1.3 有界性与最大值最小值定理。在有界闭区域D上的多元连续函数，必定在D 上有界，且能取得它的最大值和最小值。
1.4 介值定理。在有界闭区域D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值。
1.5 一致连续性定理。在有界闭区域D上的多元连续函数必定在D上一直连续。
2，偏导数
2.1 在求偏导数时，一定要先固定坐标系统，哪些是自变量要搞清楚。如果以x,y,z为自变量的函数，求对x的偏导数时将y和z看成常量即可。
2.2 偏导数的几何意义是与曲线在某点的切线，或曲面在某个方向的切线联系在一起的。
2.3 $如果函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏导数\frac{\partial^2z}{\partial y\partial x}及$$\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y}在区域D内连续，那么在该区域内这两个二阶$

$混合偏导数必相等。$反之，相等推不出连续。
3，全微分
3.1 定义：设函数z=f(x,y)在点(x, y)的某邻域内有定义，如果函数在点(x, y)的全增量

$\Delta z=f(x+\Delta x, y+\Delta y)-f(x, y)$可表示为

$\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)$，

其中A、B不依赖于$\Delta x、\Delta y而仅与x、y有关，则称函数z=f(x,y)在点f(x,y)可微分，而A\Delta x+B\Delta y称为函数z=f(x,y)在点(x,y)的全微分，记作dz，即dz=A\Delta x+B\Delta y。$
3.2 全微分进一步可以写成偏导数的形式：$dz=\frac{\partial z}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial z}{\partial y}\Delta y$。函数在点（x,y）处可微分可以推出函数在该点的偏导数都存在，推不出来各偏导数连续。
3.3 如果函数在点（x,y）处各偏导数连续，则函数在该点可微分。
4，隐函数求导法则
4.1 x和y两个未知数



4.2 x,y和z三个未知数



4.3 两个方程的情形




5，一元向量值函数
5.1 $一元向量值函数是一维空间R上的点D到n维空间R^n的映射。$一元向量值函数是普通一元函数的推广。
5.2 将一维点集投射到三维空间中，可以表示如下：

$在R^3中，若向量值函数\vec f(t),t\in D的三个分量函数分别为f_1(t),f_2(t),f_3(t),t\in D，则向量值函数\vec f可表示为\vec f(t)=f_1(t)\vec i+f_2(t)\vec j+f_3(t)\vec k,t\in D.$
5.3 两向量垂直代表它们的数量积为0，两向量平行则它们的坐标成正比。
6，方向导数与梯度
6.1 方向导数





6.2 梯度一个向量。方向导数是一个数值。


7，多元函数的极值
7.1 必要条件

$设函数z=f(x,y)在点（x_0,y_0）具有偏导数，且在点(x_0,y_0)处$

$有极值，则有f_x(x_0,y_0)=0,f_y(x_0,y_0)=0.$
7.2 充分条件




8，拉格朗日乘数法
9，二元函数的泰勒公式

 

1 无穷限的广义积分





 

 

 





说白了，就是支持孤立不连续节点的定积分



所以是广义积分，根据定义

1 是无界，我减去一个小正数，那么久有界连续了



利用牛顿莱布尼兹公式，原函数差，





判断广义积分是否无界的方法





其中：



伽马函数，广泛用于概率论，是一个广义积分的函数

















得出地推公式

性质3：



把P 改成 N，由性质2

















70 

定积分在几何上的应用：







部分量的近似值只相差一个高阶的无穷小：













70 定积分的应用 面积元素

 

 







极坐标的表述











参量方程和函数



 







求立体的体积：