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  • 精选十道考研题:一致连续1、(2020大学)判断函数在区间是否一致连续,并说明理由。2、(2020北京师范大学)证明函数在区间上一致连续。(2020同济大学)已知在区间上一致连续,对于每个固定的成立. 证明函数列在区间上...

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    精选十道考研题:一致连续

    1、(2020大学)判断函数在区间是否一致连续,并说明理由。

    2、(2020北京师范大学)证明函数在区间上一致连续。

    1. (2020同济大学)已知在区间上一致连续,对于每个固定的成立. 证明函数列在区间上一致收敛于0.

    2. (2020兰州大学)设在区间上一致连续,收敛,证明:\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=0$.

    3. (2020哈尔滨工业大学)如果函数上可导,证明:

    (1)上有界,则在区间上一致连续。

    (2)存在,则在区间上一致连续。

    1. (2020南开大学)判断函数上是否一致连续、连续,说明理由。

    7.(2020天津大学)设函数在区间连续,存在,证明在区间一致连续。

    8.(2003华南理工大学)设 一致连续,证明:

    (1)存在。

    (2)上有界。

    9.(2007华南理工大学)设函数在区间连续,存在,证明在区间一致连续。

    10.(2003华南理工大学)设连续,存在,存在,证明:上一致连续。

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    方法和技巧:方法指的是解决问题的思路或者步骤,技巧指的是解决问题过程中怎么实现思路,达到目的。因此,解决问题时,首先要确定方法,在解决问题的过程中要讲究技巧。

    求数列极限问题的难度不易,中学数学用观察法、公式法求极限,大学数学引入极限的定义,难度加大,方法很多,在使用每种方法时技巧也多。本文挑选几个典型极限及其证明,希望读者理解其证明并能应用这些极限。

    没有记忆,就好像计算机没有了缓存(瞬时记忆)和硬盘 (长期记忆)

    在解答数学时,时刻要清楚记得在计算到哪一步,下一步有几种情况,方向在哪里。就如最基本的加法,你也要知道满十进一,算盘和稿纸就是额外帮助记忆的工具。而你的思维敏捷亦或迟钝,取决你的“硬盘”是ssd还是机械硬盘经验来说,熟能生巧!

    所谓“理解”,所谓“智商”,本质上最终都归到"记忆",还有一点就是能够发现自己“记忆”中各个零散的知识点的关系。所谓“智商”高低的人,其实是强化这些“记忆”的能力的不同,有高下之分,牛的人靠自己的一些技巧能更快速更深入的形成记忆(其实也就是更多的记忆)。

    所谓“难题”就是由若干相关联的“简单题”组合成的题。把简单题做会勒,难题也不在话下哦!学会“拆题”,把一个难题拆分为几个简单题,是“解题活动”的重要环节。通过这个思维活动,还原出题老师的的思维过程,真正达到知识点的融会贯通,提高“提出问题、分析问题、解决问题”的能力。

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  • 关于定义域有界性的三种判断

    万次阅读 2016-12-19 19:57:32
    关于定义域有界性的三种判断@(微积分)给定一个函数,讨论其在定义域上是否有界,有三种方法。不敢说常见,提出来思考。 理论法:若f(x)在定义域[a,b]上连续,或者放宽到常义可积(有限个第一类间断点),则f(x)在[a,...

    关于定义域有界性的三种判断

    @(微积分)

    给定一个函数,讨论其在定义域上是否有界,有三种方法。不敢说常见,提出来思考。

    • 理论法:若f(x)在定义域[a,b]上连续,或者放宽到常义可积(有限个第一类间断点),则f(x)在[a,b]上必然有界。
    • 计算法:切分

      • (a,b)内连续
      • limxa+f(x)
      • limxbf(x)
        则f(x)在定义域[a,b]内有界。
    • 运算规则判定:在边界极限不存在时

      • 有界函数 ± 有界函数 = 有界函数 (有限个,基本不会有无穷个,无穷是个难分高低的状态)
      • 有界 x 有界 = 有界

    这是三种看似没什么用的结论,但是用起来才能明白它的效用。

    举个例子:

    讨论函数f(x)=(x31)sinx(x2+1)|x|在其定义域上的有界性。

    分析:这种看着也挺简单的,对吧。

    从这个函数中可以看出,定义域是(,0)(0,+)

    分成两段,那么问题将转化为四个极限的求解。

    limxf(x)
    limx+f(x)
    limx0+f(x)
    limx0f(x)

    如果四个极限存在,则可说明f(x)有界。

    分别计算:

    limxf(x)=limx(x31)sinx(x2+1)|x|=limx(x31)(x2+1)(x)sinx

    大概可以一眼看出是两个有界函数之积了。因此极限存在。
    同理可得:

    limx+f(x)=limx+(x31)sinx(x2+1)|x|=limx(x31)(x2+1)xsinx

    也是极限存在。

    limx0f(x)=limx0(x31)sinx(x2+1)|x|=limx0(x31)(x2+1)sinxx=1

    limx0+f(x)=limx0+(x31)sinx(x2+1)|x|=limx0+(x31)(x2+1)sinxx=1

    当变元趋近某一个值时,代入不会出现分母为0,不必犹豫,能代入则代入。

    这样,四个极限都存在,就可以说明函数在定义域内有界了。

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  • 1.2 多元函数极限和连续性的定义方法与一元函数类似(判断多元函数极限是否存在的技巧:从y=kx的方向去趋近;分别从y=x和y=-x两个方向去趋近)。 1.3 有界性与最大值最小值定理。在有界闭区域D上...

    1,多元函数的概念

    1.1 函数是数集到数集的映射,多元函数是nRnDRn维空间R^n上的点集D到一维空间R上的映射。

    1.2 多元函数极限和连续性的定义方法与一元函数类似(判断多元函数极限是否存在的技巧:从y=kx的方向去趋近;分别从y=x和y=-x两个方向去趋近)。

    1.3 有界性与最大值最小值定理。在有界闭区域D上的多元连续函数,必定在D 上有界,且能取得它的最大值和最小值。

    1.4 介值定理。在有界闭区域D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值。

    1.5 一致连续性定理。在有界闭区域D上的多元连续函数必定在D上一直连续。

    2,偏导数

    2.1 在求偏导数时,一定要先固定坐标系统,哪些是自变量要搞清楚。如果以x,y,z为自变量的函数,求对x的偏导数时将y和z看成常量即可。

    2.2 偏导数的几何意义是与曲线在某点的切线,或曲面在某个方向的切线联系在一起的。

    2.3 z=f(x,y)2zyx如果函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏导数\frac{\partial^2z}{\partial y\partial x}及2zxyD\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y}在区域D内连续,那么在该区域内这两个二阶
    混合偏导数必相等。反之,相等推不出连续。

    3,全微分

    3.1 定义:设函数z=f(x,y)在点(x, y)的某邻域内有定义,如果函数在点(x, y)的全增量
    Δz=f(x+Δx,y+Δy)f(x,y)\Delta z=f(x+\Delta x, y+\Delta y)-f(x, y)可表示为
    Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)
    其中A、B不依赖于ΔxΔyxyz=f(x,y)f(x,y)AΔx+BΔyz=f(x,y)(x,y)dzdz=AΔx+BΔy\Delta x、\Delta y而仅与x、y有关,则称函数z=f(x,y)在点f(x,y)可微分,而A\Delta x+B\Delta y称为函数z=f(x,y)在点(x,y)的全微分,记作dz,即dz=A\Delta x+B\Delta y。

    3.2 全微分进一步可以写成偏导数的形式:dz=zxΔx+zyΔydz=\frac{\partial z}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial z}{\partial y}\Delta y。函数在点(x,y)处可微分可以推出函数在该点的偏导数都存在,推不出来各偏导数连续。

    3.3 如果函数在点(x,y)处各偏导数连续,则函数在该点可微分。

    4,隐函数求导法则

    4.1 x和y两个未知数
    在这里插入图片描述
    4.2 x,y和z三个未知数
    在这里插入图片描述
    4.3 两个方程的情形
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    5,一元向量值函数

    5.1 RDnRn一元向量值函数是一维空间R上的点D到n维空间R^n的映射。一元向量值函数是普通一元函数的推广。

    5.2 将一维点集投射到三维空间中,可以表示如下:
    R3f(t),tDf1(t),f2(t),f3(t),tDff(t)=f1(t)i+f2(t)j+f3(t)k,tD.在R^3中,若向量值函数\vec f(t),t\in D的三个分量函数分别为f_1(t),f_2(t),f_3(t),t\in D,则向量值函数\vec f可表示为\vec f(t)=f_1(t)\vec i+f_2(t)\vec j+f_3(t)\vec k,t\in D.

    5.3 两向量垂直代表它们的数量积为0,两向量平行则它们的坐标成正比。

    6,方向导数与梯度

    6.1 方向导数
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    6.2 梯度一个向量。方向导数是一个数值。
    在这里插入图片描述

    7,多元函数的极值

    7.1 必要条件
    z=f(x,y)x0,y0(x0,y0)设函数z=f(x,y)在点(x_0,y_0)具有偏导数,且在点(x_0,y_0)处
    fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0.有极值,则有f_x(x_0,y_0)=0,f_y(x_0,y_0)=0.

    7.2 充分条件
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    8,拉格朗日乘数法

    9,二元函数的泰勒公式

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    1 无穷限的广义积分

     

     

     

    说白了,就是支持孤立不连续节点的定积分


    所以是广义积分,根据定义

    1 是无界,我减去一个小正数,那么久有界连续了

    利用牛顿莱布尼兹公式,原函数差,


    判断广义积分是否无界的方法

    其中:


    伽马函数,广泛用于概率论,是一个广义积分的函数

    得出地推公式

    性质3:

    把P 改成 N,由性质2




    70 


    定积分在几何上的应用:

    部分量的近似值只相差一个高阶的无穷小:



    70 定积分的应用 面积元素


     

     



    极坐标的表述


    参量方程和函数

     


    求立体的体积:



     

     

     

     

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空空如也

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判断函数是否有界