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  • 关于定义域有界性的三种判断

    万次阅读 2016-12-19 19:57:32
    关于定义域有界性的三种判断@(微积分)给定一个函数,讨论其在定义域上是否有界,有三种方法。不敢说常见,提出来思考。 理论法:若f(x)在定义域[a,b]上连续,或者放宽到常义可积(有限个第一类间断点),则f(x)在[a,...

    关于定义域有界性的三种判断

    @(微积分)

    给定一个函数,讨论其在定义域上是否有界,有三种方法。不敢说常见,提出来思考。

    • 理论法:若f(x)在定义域[a,b]上连续,或者放宽到常义可积(有限个第一类间断点),则f(x)在[a,b]上必然有界。
    • 计算法:切分

      • (a,b)内连续
      • limxa+f(x)
      • limxbf(x)
        则f(x)在定义域[a,b]内有界。
    • 运算规则判定:在边界极限不存在时

      • 有界函数 ± 有界函数 = 有界函数 (有限个,基本不会有无穷个,无穷是个难分高低的状态)
      • 有界 x 有界 = 有界

    这是三种看似没什么用的结论,但是用起来才能明白它的效用。

    举个例子:

    讨论函数f(x)=(x31)sinx(x2+1)|x|在其定义域上的有界性。

    分析:这种看着也挺简单的,对吧。

    从这个函数中可以看出,定义域是(,0)(0,+)

    分成两段,那么问题将转化为四个极限的求解。

    limxf(x)
    limx+f(x)
    limx0+f(x)
    limx0f(x)

    如果四个极限存在,则可说明f(x)有界。

    分别计算:

    limxf(x)=limx(x31)sinx(x2+1)|x|=limx(x31)(x2+1)(x)sinx

    大概可以一眼看出是两个有界函数之积了。因此极限存在。
    同理可得:

    limx+f(x)=limx+(x31)sinx(x2+1)|x|=limx(x31)(x2+1)xsinx

    也是极限存在。

    limx0f(x)=limx0(x31)sinx(x2+1)|x|=limx0(x31)(x2+1)sinxx=1

    limx0+f(x)=limx0+(x31)sinx(x2+1)|x|=limx0+(x31)(x2+1)sinxx=1

    当变元趋近某一个值时,代入不会出现分母为0,不必犹豫,能代入则代入。

    这样,四个极限都存在,就可以说明函数在定义域内有界了。

    展开全文
  • Excel函数基础

    千次阅读 多人点赞 2020-01-28 08:58:15
    目录公式与函数基础1.01 认识公式与函数1.02 深入理解函数1.03 公式中的运算符及运算顺序1.04 单元格的两种引用样式1.05 相对引用、绝对引用和混合引用1.06 了解R1C1引用样式的三种引用方式1.07 跨工作表引用和跨...

    公式与函数基础

    1.01 认识公式与函数

    公式是以"="开始,通过运算符将常量、函数、参数等按照一定的顺序组合进行数据运算处理的等式。函数是按特定的算法执行计算,并且能产生一个或一组结果,是预先定义好的特殊公式。综上:函数是公式的组成部分,一个公式可以包含零到多个函数

    学习重点:基本是学习各种函数如何使用,难点是学习如何将各种函数组合成一条公式,进行综合运用。万金油公式:INDEX + SMALL + IF + ROW

    1.02 深入理解函数

    1. 函数的结构(函数名、左右括号、用逗号隔开的参数) 例:
    SUM(P1,P2)
    
    1. 参数说明
      • 大部分函数都是有参数的,只有极少部分函数是不带参数的
      • 可选参数与必选参数
      • 有些函数参数可以是不固定的,可以有一个,也可以有多个,最多不超过255个
    VLOOKUP (lookup_value, table_array, col_index_num, [range_lookup]) 
    如要省略参数,一般只是省略参数值,前面的逗号要保留,但如果要省
    略的参数后面已经没有参数了,就可以将这个逗号一并去掉!
    RATE(nper,pmt,pv,[pv],[type],[guess])
    RATE(nper,pmt,pv,pv,,guess)
    RATE(nper,pmt,pv,pv)
    SUM(number1,[number2],...) 
    
    • 函数的分类
      • 内置函数:内置函数是指只要启动excel就可以使用的函数,内置函数有400多个
      • 扩展函数:必须通过加载宏才能正常使用的函数。 比如规划求解函数
        在这里插入图片描述
      • 自定义函数:使用VBA代码自行开发
      • 宏表函数:该类函数是EXCEL4.0版函数,需要通过定义名称或在宏表中使用,现在逐步被内置函数和VBA功能所代替
    • 易失性函数
      每激活一个单元格或在一个单元格输入数据,甚至只是打开工作簿,具有易失性的函数都会自动重新计算 例子:RAND() NOW()
    • 函数的输入方式
      1、手动在公式编辑栏中输入(建议手动输入)
      2、通过插入向导来插入函数
      在这里插入图片描述
      3、打开公式记忆式键入功能和显示函数提示功能 公式键入功能指的是输入函数一部分字母的时候 按Tab键可以自动补齐 显示函数提示功能指的是提示函数的参数
      在这里插入图片描述在这里插入图片描述
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    1.03 公式中的运算符及运算顺序

    1、公式中的运算符(算术运算符、比较运算符、文本运算符、引用运算符)
    在这里插入图片描述
    2、运算顺序
    在这里插入图片描述
    注:如需提升运算符级别,则可以使用括号。
    在比较运算中,数值 < 文本 < FALSE < TRUE

    1.04 单元格的两种引用样式

    A1是Excel默认的引用样式 R1C1引用样式用得比较少 字母R表示行,字母C表示列,是固定写法,R1C1可以在文件--选项--公式-- R1C1应用样式前打√即可
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    1.05 相对引用、绝对引用和混合引用

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    1、相对引用:当复制公式到其他单元格时,Excel保持从属单元格与引用单元格的相对位置不变,称为相对引用。例:A1
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    2、绝对引用:当复制公式到其他单元格时,Excel保持公式所引用的单元格绝对位置不变,称为绝对引用。例:$A$1
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    3、混合引用:当复制公式到其他单元格时,Excel仅保持所引用单元格的行或列方向之一的绝对位置不变,而另一个方向位置发生变化,这种引用方式称为混合引用。

    • 对行相对引用、对列绝对引用 例:$A1
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    • 对行绝对引用、对列相对引用 例:A$1
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      4、按<F4>键,在4种引用类型循环切换。
      5、案例
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    1.06 了解R1C1引用样式的三种引用方式

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    注意:要使用R1C1样式:首先要到文件–选项–公式中勾选
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    绝对引用:
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    相对引用:
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    行相对引用、列绝对引用:
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    行绝对引用、列相对引用:
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    1.07 跨工作表引用和跨工作簿引用

    1、跨工作表引用:引用当前工作簿中其它工作表的单元格或单元格区域。

    =工作表名!引用的单元格地址
    

    2、跨工作簿引用:引用其它工作簿中工作表的单元格或单元格区域。

    =[工作簿名]工作表名!引用的单元格地址
    

    注意点:
    1、被引用单元格所在工作簿打开的时候,中括号里面是被引用单元格所在的工作簿名称。如果被引用单元格所在的工作簿关闭时,中括号前面就会自动加入该工作薄路径。
    2、如果工作薄名称是完整的路径,叹号前面的部分需要使用一对半角单引号引起来。这是因为当路径包含特殊字符或空格等,都需要使用引号,这是Excel里面的内部规定。
    3、如果被引用单元格所在的工作薄关闭,打开引用的工作薄会变慢,所以尽量不要在公式中使用跨工作簿的数据引用。

    1.08 引用多个连续工作表中相同区域的方法

    1、三维引用输入方式
    2、通配符输入方式*
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    1.09 表格结构化引用(了解)

    定义:用特定的标识符来表示单元格区域的方法就是结构化引用
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    1.10 常用数学统计函数

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    例子:
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    1.11 IF逻辑判断函数

    语法:

    IF(logical_test, [value_if_true], [value_if_false])
    

    logical_test 必需。计算结果可能为 TRUE 或 FALSE 的任意值或表达式
    value_if_true 可选。logical_test 参数的计算结果为 TRUE 时所要返回的值。
    value_if_false 可选。logical_test 参数的计算结果为 FALSE 时所要返回的值。
    if语法
    案例1
    案例2

    1.12 IF逻辑判断函数的嵌套

    定义:一个IF逻辑判断函数中的一个返回值为另外一个IF逻辑判断函数

    语法:
    在这里插入图片描述
    应用场景:当我们需要进行逻辑条件判断,但条件又比较多的时候
    案例1
    思路1:先去判断美国队与中国队比分是否相同,如果相同,就是平局,如果不相同,再来判断哪个国家队比分高
    思路2:先去判断美国队比分大不大于中国队,如果大于,就是美国队赢,否则,再来判断比分是相同,还是美国队比分小于中国队
    在这里插入图片描述

    1.13 And Or Not函数

    AND函数:当所有参数的逻辑值为真时返回true,只要一个参数的逻辑值为假时就返回false。语法:

    =AND(logic_test,logic_test,[logic_test]…)
    

    OR函数:只要一个参数的逻辑值为真时就返回true,当所有的参数的逻辑假时,才返回false。语法:

    =OR(logic_test,logic_test,[logic_test]…)
    

    NOT函数:取反函数,只有一个参数。当该参数的逻辑值为真时,返回false。当该参数的逻辑值为假时,返回true。

    =NOT(logic_test)
    

    例1:对岗位性质是一线,并且工作年限大于10年的进行奖励
    案例1
    例2:对岗位性质是一线,并且工作年限大于10年的进行奖励 或者 岗位性质是后勤,并且有突出贡献的也可以进行奖励。
    案例2

    1.14 逻辑值的特殊用法

    1、在四则运算及乘幂、开方等运算中,TRUE=1,FALSE=0
    2、在比较运算中,数值<文本<FALSE<TRUE
    3、在逻辑判断中,0=FALSE , 所有非0值=TRUE
    例1:对岗位性质是一线,并且工作年限大于10年的进行奖励
    案例1
    例2:对岗位性质是一线或者工作年限大于10年的进行奖励
    案例2

    1.15 常用的IS类判断函数

    在这里插入图片描述
    讲解视频函数如下:

    Excel is类判断函数

    1.16 4种常见的数据转换函数

    第一种:N函数

    • 对于数值型数据,N函数返回的结果不变
    • 对于文本型数据,N函数返回的结果是0
    • 对于逻辑值,true返回的是1,false返回的是0
    • 对于日期值,返回的是时间序列值。

    第二种:T函数

    • 对于数值型的数字,T函数返回为空。
    • 对于文本型的数据,返回文本型数据本身。
    • 对于逻辑值,返回的结果是空
    • 对于日期型,返回的结果为空。

    第三种:文本型的数值转为数值型数据的方法:

    • VALUE函数
    • 作算术运算 '+0、-0、*1、/1、–(这种很常用哦)

    第四种:数值型数据转化为文本型数值的方法:

    • TEXT函数

    使用转换函数前:
    在这里插入图片描述
    使用转换函数后:
    在这里插入图片描述

    1.17 Row函数与Column函数

    1、ROW函数:获取行号 语法:

    =ROW([单元格引用地址])
    

    2、COLUMN函数:获取列号 语法:

    =COLUMN([单元格引用地址])
    

    3、ROWS函数:获取单元格区域中包含多少行。
    4、COLUMNS函数:获取单元格区域包含多少列。
    在这里插入图片描述
    练习1:使用公式进行标号
    使用公式进行标号
    练习2:使用公式做乘法口诀表
    在这里插入图片描述

    1.18 在公式中使用名称

    1、如何在EXCEL定义名称? 四种方式
    第一种:
    在这里插入图片描述
    第二种:
    在这里插入图片描述
    第三种:
    在这里插入图片描述
    第四种:
    在这里插入图片描述
    2、Excel 在单元格写公式和定义名称到底有什么区别?本质上没有什么区别,但之所以名称大量应用,主要是因为:

    1、名称使公式更简练,并更容易读懂。
    2、公式中某一部分需要反复用到,如果把这一部分定义为一个名称,则不仅使公式简单,
    公式也意义也易读懂,也容易检查。
    3、公式过长,超过Excel对公式长度的限制或嵌套层数的限制,就可以把一部分定义为名称
    使Excel能接受公式。
    4、宏表函数只能通过定义名称来用于公式。
    5、部分跨表的数据有效性设置只能通过名称来设置。
    6、多级下拉菜单的设置通过名称是可以大大简化。
    ...
    

    1.19 公式中常见的错误值及屏蔽方法

    在这里插入图片描述
    例1:###### 当列宽不够显示数字,或者使用了负的日期或负的时间时出现错误。
    在这里插入图片描述
    例2:#VALUE! 当使用的参数类型错误时出现错误
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    例3:#DIV/0! 当数字被0除时出现错误
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    例4:#NAME? 公式中使用了未定义的文本名称
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    例5:#N/A 通查情况下,查询类函数找不到可用的结果时,返回该错误
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    例6:#REF! 当被引用的单元格区域或被引用的工作表被删除时,返回该错误
    在这里插入图片描述
    例7:#NUM! 公式或函数中使用无效数字值时,如公式=SMALL(A1:A5,7),要在5个单元格中返回第7个最小值,则出现该错误值
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    例8:#NULL! 当用空格表示两个引用单元格之间的交叉运算符,但计算并不相交的两个区域的交点时,出现错误。如公式=SUM(A:A B:B)
    在这里插入图片描述
    屏蔽错误值函数:
    1、IFERROR

    语法:=IFERROR(原公式,"错误提示信息") 
    

    该函数的作用是当公式的计算结果发生错误时,返回指定的值,否则返回公式的结果。第一参数是用于检查错误值的公式,第二参数是公式计算结果为错误值时要返回的值。
    在这里插入图片描述
    2、IFNA

    语法:=IFNA(原公式,"错误提示信息") 
    

    语法与IFERROR类似,但仅对#N/A错误值有效

    展开全文
  • underscore 的函数节流有三种调用方式,默认(有头有尾),设置 <em>{leading: false}</em> ,以及设置 <em>{trailing: false}</em> 。再来看上面说 throttle 两种实现&#...
  • 连续总结第八天

    2017-10-19 21:34:47
    今天学习了课本程序距离,用一个程序来判断输入数是不是素数,共有三种方法,其中一种就是用这个数除以数2~(n-1),看他余数,其中%含义就是整数取余函数,n%i含义就是n除以i取整函数,最后将这个函数的...

    10.19  康鑫  连续总结第八天

    今天学习了课本程序距离,用一个程序来判断输入的数是不是素数,共有三种方法,其中一种就是用这个数除以数2~(n-1),看他的余数,其中%的含义就是整数取余函数,n%i的含义就是n除以i的取整函数,最后将这个函数的计算值赋给k,通过k来判断。

    // 判断素数.cpp: 定义控制台应用程序的入口点。
    //

    #include "stdafx.h"
    #include <iostream >
    using namespace std;
    int main()
    {
    int n, k = 1;
    cout << "请输入一个整数:";
    cin >> n;
    for(int i=2;i<=n-1;i++)
    if (n%i == 0) {
    k = 0;
    break;
    }
    if (k)cout << n << "是素数!" << endl;
    else cout << n << "不是素数!" << endl;
        return 0;
    }

    明日计划:观看网课,继续巩固课本前两章的知识,找两个例子再联系写程序。


    展开全文
  • )流体运动学(质量守恒)

    千次阅读 2019-10-28 12:10:19
    )研究流体运动种方法 (四)连续性方程 (一)流体运动学分类 稳定流动和不稳定流动 根据流场中每一空间点上运动参数是否随着时间变化而变化判断。 稳定流动仅仅是位置坐标的函数,运动参数不...

    目录

    (一)流体运动学的分类

    (二)迹线、流线

    (三)研究流体运动的两种方法

    (四)连续性方程


    (一)流体运动学的分类

    稳定流动和不稳定流动

    根据流场中每一空间点上的运动参数是否随着时间的变化而变化判断。

    稳定流动仅仅是位置坐标的函数,运动参数不随着时间的变化而变化。

    分析:保持水箱中水位不变,水从孔口流出的速度就不会随时间改变,属于稳定流动 ;如果关闭水箱进水阀门,水箱内水位将不断下降,此时水从孔口流出的流速就会随水面的降低而逐渐减小,即随时间而改变,这就是非稳定流动。

    均匀流动和非均匀流动

    流体流动过程中,如果所有的物理量均不随着空间点坐标的变化而变,称为均匀流动;反之,为非均匀流动。均匀流动的流线是相互平行的直线,非均匀流动的流线是曲线或者不相互平行的直线。

    区分稳定流动和均匀流动

    垂直于流线方向用多个平面去切割,如果平面内的运动参数一样,则可证明是均匀流动。稳定流动不一定是均匀流动。但是均匀流动一定是稳定流动。

    一维、二维、三维流动

    在设定坐标系的时候,有关物理量依赖于一个坐标,称为一维流动;依赖两个坐标,称为二维流动;依赖三个坐标称为三维流动。

    (二)迹线、流线

    迹线:流体质点在空间运动时的轨迹线。它表达的是流体质点在不同时刻的空间位置。

    流线:在某一瞬时流场中假想的一组曲线,曲线上每一点的切线与速度矢量相互重合。

    根据流线的定义可以推出流线的微分方程:空间点的速度和流线相切,也就是空间点的速度矢量与流线上微元弧矢量ds的矢量积为0。

    即:\vec{v}*d\vec{s}=0

    有因为:\vec{v}*d\vec{s}=(v_{y}dz-v_{z}dy)\vec{i}+(v_{z}dx-v_{x}dz)\vec{j}+(v_{x}dy-v_{y}dx)\vec{k}

    所以:\left\{\begin{matrix} v_{y}dz- v_{z}dy=0&v_{z}dx- v_{x}dz=0 & v_{x}dy- v_{y}dx=0 \end{matrix}\right.

    流线的微分方程:\frac{dx}{v_{x}}=\frac{dy}{v_{y}}=\frac{dz}{v_{z}}

    流线的性质

    在某一时刻,通过流场中某一点只能做一条流线。流线不能转折,也不能彼此相交,因为在空间中每一点只能有一个速度方向。

    流线在速度为0的驻点或者速度为无穷大的奇点处可以相交。

    在稳定流动中流线和迹线为同一条曲线。

    在流场中过空间每一点都有一条流线,所有的流线组成流线簇。由流线簇构成的图形,称为流谱。

    流谱不仅可以反映出流体速度的方向还能反应出流速的大小。流线较密集的地方速度大,流线稀疏的地方速度小。

    缓变流和急变流

    缓变流是指流线之间的夹角比较小或者流线曲率半径比较大的流动。相反,急变流是指流线之间的夹角比较大和流线的曲率半径比较小的流动。

    有效断面

    指流束或总流上垂直流线的断面。有效断面可能是平面,也可能是曲面。

    流管、流束、总流

    流管:在流场中任取一条非流线的封闭曲边,通过此曲线上的每一点做某一瞬时的流线,由这些流线所构成的管状曲面称为流管。由流线的定义可以知道,位于流管表面上的各个流体质点的速度和流管表面相切,没有其法向速度分量,因为流体质点不穿越流体壁。

    流束:当封闭曲线所包围的面积无限小的时候,充满微小流管内的流体称为元流或者微小流束。

    总流:当封闭曲线取在运动流体的边界上时,则充满流管内的流体称为总流。

    流量、平均流速、水力半径

    流量:单位时间内通过过流断面的流体量。

    流体量可以用体积、质量表示,其相应的流量分别叫做体积流量和质量流量。

    对于元流,由于过流断面dA非常小,可近似认为元流过流断面上各点的流速在同一时刻是相同的,因此元流的流量为dq=vdA。v为点速度。

    总流的流量为:q=\int vdA

    断面平均流速:作为一维流动,常采用断面平均速度值代替各点的实际流速,称为断面平均流速。断面平均流速是体积流量和过流断面面积之比,即:

    \bar{v}=\frac{q}{A}=\frac{\int udA}{A}

    水力半径

    在总流的过流断面上与流体相接触的固体边壁轴承称为湿周,用\chi表示。总流过流断面面积与湿周\chi之比称为水力半径R,即:R=\frac{A}{\chi }

    (三)研究流体运动的两种方法

    • 拉格朗日法
    • 欧拉法

     拉格朗日法

    拉格朗日法主要研究流体质点,跟踪流体质点的运动全过程及描述运动过程中各质点、各物理量随着时间变化的规律。又称为轨迹法。通常以流体质点的初始坐标点作为区别不同的流体质点的标志。假设t0时刻流体质点的坐标值为(a,b,c).

    流体质点的空间位置、密度、压强和温度可以表示为:

    \left\{\begin{matrix} \vec{r}=\vec{r}(a,b,c,t)\\ \rho=\rho (a,b,c,t) \\ p=p (a,b,c,t) \\T=T(a,b,c,t) \end{matrix}\right.

    流体质点速度

    \left\{\begin{matrix} v_{x}=\frac{\partial x(a,b,c,t)}{\partial t}\\ v_{y}=\frac{\partial y(a,b,c,t)}{\partial t} \\ v_{z}=\frac{\partial z(a,b,c,t)}{\partial t} \end{matrix}\right.

    流体质点加速度

    \left\{\begin{matrix} a_{x}=\frac{\partial v_{x}}{\partial t}=\frac{\partial ^{2}x(a,b,c,t)}{\partial t^{2}}\\ a_{y}=\frac{\partial v_{y}}{\partial t}=\frac{\partial ^{2}y(a,b,c,t)}{\partial t^{2}} \\ a_{z}=\frac{\partial v_{z}}{\partial t}=\frac{\partial ^{2}z(a,b,c,t)}{\partial t^{2}} \end{matrix}\right.

    欧拉法

    欧拉法的出发点不是流体的质点,而是空间中的点。欧拉法是设法在空间的每一点上描述出流体运动参数随时间的变化情况。观测先后流过各空间点的各质点的物理量变化情况便能够了解整个或者部分流畅的运动情况,又称为空间点法或者流场法。

    由欧拉法可知,各物理量是空间点x,y,z,t的函数。所以速度、密度、压强和温度可以表示为:

    \left\{\begin{matrix} \vec{v}=\vec{v}(x,y,z,t)\\ \rho=\rho (x,y,z,t) \\ p=p (x,y,z,t) \\T=T(x,y,z,t) \end{matrix}\right.

    加速度

    \left\{\begin{matrix} a_{x}=\frac{\partial v_{x}}{\partial t}=\frac{\partial v_{x} }{\partial t}+v_{x}\frac{\partial v_{x}}{\partial x}+v_{y}\frac{\partial v_{x}}{\partial y}+v_{z}\frac{\partial v_{x}}{\partial z} \\ a_{y}=\frac{\partial v_{y}}{\partial t}=\frac{\partial v_{y} }{\partial t}+v_{x}\frac{\partial v_{y}}{\partial x}+v_{y}\frac{\partial v_{y}}{\partial y}+v_{z}\frac{\partial v_{y}}{\partial z} \\a_{z}=\frac{\partial v_{z}}{\partial t}=\frac{\partial v_{z} }{\partial t}+v_{x}\frac{\partial v_{z}}{\partial x}+v_{y}\frac{\partial v_{z}}{\partial y}+v_{z}\frac{\partial v_{z}}{\partial z} \end{matrix}\right.

    右端左侧第一项称为时变加速度,表示某空间定点处流体质点速度变化率;

    右端的后三项称为位变加速度,表示由于流体质点所在的空间位置变化而引起的速度变化率。

    拉格朗日法和欧拉法的比较

    拉格朗日法和欧拉法的比较
    拉格朗日法 欧拉法
    分别描述有限质点的轨迹 同时描述所有质点的瞬时参数
    表达式复杂 表达式简单
    不能直接反应参数的空间分布 直接反应参数的空间分布
    不适合描述流体微元的运动变形特征 适合描述流体微元的运动变形特征
    拉格朗日观点是重要的 流体力学最常用的解析方法

    (四)连续性方程

    连续性方程是质量守恒定量在流体力学中的具体表达式。

    三维流动连续性方程

    假定流体连续的充满整个流场,从中任意选择一小块流体微元六面体,控制体的边长为dx,dy,dz。

    设流体微元中心处的流速分量为v_{x},v_{y},v_{z},液体的密度为\rho那么通过控制体前表面中心点M的质点在x方向的分速度为:

    v_{x}+\frac{1}{2}\frac{\partial v_{x}}{\partial x}dx

    通过后表面中心点N的质点在x方向上的分速度为:

    v_{x}-\frac{1}{2}\frac{\partial v_{x}}{\partial x}dx

    单位时间内沿着x轴方向流入控制体的质量为:

    [\rho v_{x}-\frac{1}{2}\frac{\partial (\rho v_{x})}{\partial x}dx]dydz

    单位时间内沿着x轴方向流出控制体的质量为:

    [\rho v_{x}+\frac{1}{2}\frac{\partial (\rho v_{x})}{\partial x}dx]dydz

    单位时间内在x轴方向流出和流出控制体的质量差为

    [\rho v_{x}+\frac{1}{2}\frac{\partial (\rho v_{x})}{\partial x}dx]dydz-[\rho v_{x}-\frac{1}{2}\frac{\partial (\rho v_{x})}{\partial x}dx]dydz=\frac{\partial (\rho v_{x})}{\partial x}dxdydz    

    同理在单位时间内沿y,z方向流出与流入的控制体的质量差为:

    \frac{\partial (\rho v_{y})}{\partial y}dxdydz,\frac{\partial (\rho v_{z})}{\partial z}dxdydz

    根据连续介质假设,并根据质量守恒原理可知:单位时间内流出与流入控制体的质量差的总和应该等于六面体在单位时间内质量的减少量。

    \frac{\partial (\rho v_{x})}{\partial x}dxdydz+\frac{\partial (\rho v_{y})}{\partial y}dxdydz+\frac{\partial (\rho v_{z})}{\partial z}dxdydz=[\frac{\partial (\rho v_{x})}{\partial x}+\frac{\partial (\rho v_{y})}{\partial y}+\frac{\partial (\rho v_{z})}{\partial z}]dxdydz=-\frac{\partial\rho }{\partial t}dxdydz

    整理得:\frac{\partial (\rho v_{x})}{\partial x}+\frac{\partial (\rho v_{y})}{\partial y}+\frac{\partial (\rho v_{z})}{\partial z}+\frac{\partial\rho }{\partial t}=0

    上式为连续性微分方程的一般形式。适用于定常流动和非定常流动。

    定于定常流动\frac{\partial\rho }{\partial t}=0

    上式可以进一步整理为:

    \frac{\partial (\rho v_{x})}{\partial x}+\frac{\partial (\rho v_{y})}{\partial y}+\frac{\partial (\rho v_{z})}{\partial z}=0

    对于均质不可压缩流体\rho =c,不论是定常流体还是非定常流体均有:

    \frac{\partial v_{x}}{\partial x}+\frac{\partial v_{y}}{\partial y}+\frac{\partial v_{z}}{\partial z}=0

    以上公式不仅适用于理想流体也同样适用于实际流体。

    一维不可压缩流体定常总流连续性方程

    根据质量守恒原理,单位时间内从dA1流进的流体质量等于从dA2流出的流体质量,即

    \rho _{1}v_{1}dA_{1}=\rho _{2}v_{2}dA_{2}=c

    对于不可压缩均质流体,\rho _{1}=\rho _{2}=c

    总流是流场中所有元流的总和,所以总流的连续性方程为:

    \bar{v_{1}}A_{1}=\bar{v_{2}}A_{2}

    以上内容均参考网络资源。

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判断函数连续的三种方法