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  • 下面小编就为大家分享一篇java 判断一个数组中的数值是否连续相邻的方法,具有很好的参考价值,希望对大家有所帮助。一起跟随小编过来看看吧
  • 一致连续

    2020-10-07 12:27:20
    文章目录一致连续连续与一致连续一致连续的判定一致连续与开区间 一致连续 连续与一致连续 尽管我们可以说函数f(x)f(x)f(x)在区间XXX上连续,但实际上连续的作用目标是“区间上的每一个点”,即 ∀x0∈X,∀ε>0,...

    一致连续

    连续与一致连续

    尽管我们可以说函数 f ( x ) f(x) f(x)在区间 X X X上连续,但实际上连续的作用目标是“区间上的每一个点”,即
    ∀ x 0 ∈ X , ∀ ε > 0 , ∃ δ ( ε , x 0 ) > 0 , s . t . ∀ x ∈ U ( x 0 ; δ ) ∩ X , ∣ f ( x ) − f ( x 0 ) ∣ < ε . \forall x_0\in X,\forall \varepsilon>0,\exist \delta(\varepsilon,x_0)>0,{\rm s.t.}\forall x\in U(x_0;\delta)\cap X,|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon. x0X,ε>0,δ(ε,x0)>0,s.t.xU(x0;δ)X,f(x)f(x0)<ε.
    注意到这里 δ \delta δ的选取不止依赖于 ε \varepsilon ε,还依赖于作用的点 x 0 x_0 x0,因此,函数连续依然被视作是点性质,与函数极限类似。

    一致连续是一个定义在区间上的概念,不同于连续。也就是说,如果在根据 ε \varepsilon ε寻找 δ \delta δ时只考虑 ε \varepsilon ε的大小,而不考虑选取的具体点 x 0 x_0 x0,即找到一个对任何 x 0 x_0 x0都适用的 δ ( ε ) \delta(\varepsilon) δ(ε),就称 f ( x ) f(x) f(x)在区间 X X X上具有一致连续性,即
    ∀ ε > 0 , ∃ δ ( ε ) > 0 , ∀ x 0 ∈ X , s . t . ∀ x ∈ U ( x 0 ; δ ) ∩ X , ∣ f ( x ) − f ( x 0 ) ∣ < ε . \forall \varepsilon>0,\exist \delta(\varepsilon)>0,\forall x_0\in X,{\rm s.t.}\forall x\in U(x_0;\delta)\cap X,|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon. ε>0,δ(ε)>0,x0X,s.t.xU(x0;δ)X,f(x)f(x0)<ε.
    其等价的定义是:设函数 f ( x ) f(x) f(x)定义在区间 X X X上,若对于任意给定的 ε > 0 \varepsilon>0 ε>0,存在 δ > 0 \delta>0 δ>0,只要 x ′ , x ′ ′ ∈ X x',x''\in X x,xX满足 ∣ x ′ − x ′ ′ ∣ < δ |x'-x''|<\delta xx<δ,就成立 ∣ f ( x ′ ) − f ( x ′ ′ ) ∣ < ε |f(x')-f(x'')|<\varepsilon f(x)f(x)<ε,就称 f ( x ) f(x) f(x)在区间 X X X上一致连续。

    可以看出: f ( x ) f(x) f(x) X X X上一致连续 ⇒ f ( x ) \Rightarrow f(x) f(x) X X X上连续,但反之不一定成立。这是因为 ∀ x 0 ∈ X \forall x_0\in X x0X,可以取 δ ( x 0 , ε ) = δ ( ε ) \delta(x_0,\varepsilon)=\delta(\varepsilon) δ(x0,ε)=δ(ε),就得到 f ( x ) f(x) f(x)在点 x 0 x_0 x0的连续性,进而得到 f ( x ) f(x) f(x)在区间 X X X上的连续性。而反之,可以找出一些在开区间上的例子,说明 f ( x ) f(x) f(x)在开区间上连续但不一致连续,如
    f ( x ) = 1 x , x ∈ ( 0 , 1 ] . f(x)=\frac 1x,\quad x\in (0,1]. f(x)=x1,x(0,1].
    要使得 ∣ f ( x ) − f ( x 0 ) ∣ < ε |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon f(x)f(x0)<ε,就有
    ∣ 1 x − 1 x 0 ∣ < ε , 1 x 0 − ε < 1 x < 1 x 0 + ε ⇓ x 0 1 + ε x 0 < x < x 0 1 − ε x 0 ⇓ − x 0 2 1 + x 0 ε < x − x 0 < x 0 2 ε 1 − x 0 ε . \left|\frac 1x-\frac1{x_0}\right|<\varepsilon,\quad \frac 1{x_0}-\varepsilon<\frac 1x<\frac 1{x_0}+\varepsilon\\ \Downarrow\\ \frac{x_0}{1+\varepsilon x_0}<x<\frac{x_0}{1-\varepsilon x_0}\\ \Downarrow\\ \frac{-x_0^2}{1+x_0\varepsilon}<x-x_0<\frac{x_0^2\varepsilon}{1-x_0\varepsilon}. x1x01<ε,x01ε<x1<x01+ε1+εx0x0<x<1εx0x01+x0εx02<xx0<1x0εx02ε.
    得到 δ ( x 0 , ε ) = x 0 2 ε 1 + x 0 ε \delta(x_0,\varepsilon)=\frac{x_0^2\varepsilon}{1+x_0\varepsilon} δ(x0,ε)=1+x0εx02ε,这是 δ \delta δ的精确解,可以看出, x 0 → 0 x_0\to 0 x00 δ ( x 0 , ε ) → 0 \delta(x_0,\varepsilon)\to0 δ(x0,ε)0,所以不存在一个对所有 x 0 x_0 x0都适用的 δ ( ε ) \delta(\varepsilon) δ(ε),故 f ( x ) f(x) f(x) ( 0 , 1 ] (0,1] (0,1]上不是一致连续的。

    但对于闭区间,有Cantor定理保证, f ( x ) f(x) f(x) X X X上连续 ⇔ f ( x ) \Leftrightarrow f(x) f(x) X X X上一致连续。

    而对于有限开区间 ( a , b ) (a,b) (a,b),只要 f ( a + ) , f ( b − ) f(a^+),f(b^-) f(a+),f(b)存在且有限,那么就可以将其延拓成闭区间,因此一样能由连续性推出一致连续性。

    一致连续的判定

    刚才我们得出了一种计算 δ ( x 0 , ε ) \delta(x_0,\varepsilon) δ(x0,ε)的精确解,来判断是否一致连续的方法,但精确解的计算是比较困难的,在绝大多数时候会对 δ \delta δ进行放缩。有一种更简便的方法来判断非一致连续性。

    命题:设 f ( x ) f(x) f(x)在区间 X X X上定义,则 f ( x ) f(x) f(x) X X X上一致连续的充要条件是,对任何 X X X上的点列 { x 0 ′ } , { x 0 ′ ′ } \{x_0'\},\{x_0''\} {x0},{x0},只要满足 lim ⁡ n → ∞ ( x n ′ − x n ′ ′ ) = 0 \lim\limits_{n\to \infty}(x_n'-x_n'')=0 nlim(xnxn)=0,就成立 lim ⁡ n → ∞ [ f ( x ′ ) − f ( x ′ ′ ) ] = 0 \lim\limits_{n\to \infty}[f(x')-f(x'')]=0 nlim[f(x)f(x)]=0

    证明:先证明必要性。

    f ( x ) f(x) f(x)在区间 X X X上一致连续,即 ∀ ε > 0 , ∃ δ ( ε ) > 0 \forall \varepsilon>0,\exists \delta(\varepsilon)>0 ε>0,δ(ε)>0,只要 ∣ x ′ − x ′ ′ ∣ < δ |x'-x''|<\delta xx<δ,就有 ∣ f ( x ′ ) − f ( x ′ ′ ) ∣ < ε |f(x')-f(x'')|<\varepsilon f(x)f(x)<ε。现既然 lim ⁡ n → ∞ ( x n ′ − x n ′ ′ ) = 0 \lim\limits_{n\to \infty}(x_n'-x_n'')=0 nlim(xnxn)=0,则对于任何 δ ( ε ) > 0 \delta(\varepsilon)>0 δ(ε)>0,必定存在一个 N ( ε ) N(\varepsilon) N(ε) n > N n>N n>N时, ∣ x n ′ − x n ′ ′ ∣ < δ ( ε ) |x'_n-x_n''|<\delta(\varepsilon) xnxn<δ(ε),于是 ∣ f ( x n ′ ) − f ( x n ′ ′ ) ∣ < ε |f(x_n')-f(x_n'')|<\varepsilon f(xn)f(xn)<ε

    再证明充分性,采用反证法。

    如果对于不一致连续的函数 f ( x ) f(x) f(x),一定存在 X X X上的点列 { x n ′ } , { x n ′ ′ } \{x_n'\},\{x_n''\} {xn},{xn},虽然 x n ′ − x n ′ ′ → 0 x_n'-x_n''\to 0 xnxn0,但是 f ( x n ′ ) − f ( x n ′ ′ ) ↛ 0 f(x_n')-f(x_n'')\nrightarrow 0 f(xn)f(xn)0,就可以证明原命题的成立。因此,我们考虑一个不一致连续的函数 f ( x ) f(x) f(x),按照不一致连续的定义,有
    ∃ ε 0 > 0 , ∀ δ > 0 , ∃ x ′ , x ′ ′ ∈ X , ∣ x ′ − x ′ ′ ∣ < δ , ∣ f ( x ′ ) − f ( x ′ ′ ) ∣ > ε 0 . \exists \varepsilon_0>0,\forall \delta>0,\exist x',x''\in X,|x'-x''|<\delta,|f(x')-f(x'')|>\varepsilon_0. ε0>0,δ>0,x,xX,xx<δ,f(x)f(x)>ε0.
    取一列 { δ n } → 0 \{\delta_n\}\to 0 {δn}0,不妨取 δ n = 1 n \delta_n=\dfrac 1n δn=n1,则有
    ∣ x n ′ − x n ′ ′ ∣ < δ n → 0 , ∣ f ( x n ′ ) − f ( x n ′ ′ ) ∣ > ε 0 . |x_n'-x_n''|<\delta_n\to 0,\quad |f(x_n')-f(x_n'')|>\varepsilon_0. xnxn<δn0,f(xn)f(xn)>ε0.
    这就得到了点列满足条件,因此不一致连续的函数一定存在距离无限接近但函数值不接近的点列,也就是只要所有无限接近的点列函数值都无限接近,那么一定是一致连续。

    一致连续与开区间

    刚才我们说过,对于有限开区间 ( a , b ) (a,b) (a,b),只要其端点处存在单侧极限,就能从连续推出一致连续。然而,这个命题反过来也是成立的,即对于开区间 ( a , b ) (a,b) (a,b)上的一致连续函数 f ( x ) f(x) f(x),可以推出 f ( a + ) , f ( b − ) f(a^+),f(b^-) f(a+),f(b)存在且有限。

    因为 f ( x ) f(x) f(x)在开区间 ( a , b ) (a,b) (a,b)上一致连续,所以 ∀ ε > 0 , ∃ δ \forall \varepsilon>0,\exist \delta ε>0,δ,当 ∣ x ′ − x ′ ′ ∣ < δ |x'-x''|<\delta xx<δ ∣ f ( x ′ ) − f ( x ′ ′ ) ∣ < ε |f(x')-f(x'')|<\varepsilon f(x)f(x)<ε。在区间 ( a , b ) (a,b) (a,b)上任意选取数列 x n ∈ ( a , b ) x_n\in (a,b) xn(a,b) lim ⁡ n → ∞ x n = a \lim\limits_{n\to \infty}x_n=a nlimxn=a,这里 { x n } \{x_n\} {xn}是基本列,所以对于上述 δ \delta δ
    ∃ N , ∀ n , m > N : ∣ x n − x m ∣ < δ ⇒ ∣ f ( x n ) − f ( x m ) ∣ < ε . \exist N,\forall n,m>N:|x_n-x_m|<\delta \Rightarrow |f(x_n)-f(x_m)|<\varepsilon. N,n,m>N:xnxm<δf(xn)f(xm)<ε.
    这就说明 f ( x n ) f(x_n) f(xn)也是基本数列,存在极限。由Heine定理, lim ⁡ x → a + f ( x ) \lim\limits_{x\to a^+}f(x) xa+limf(x)存在且有限,记作 f ( a + ) f(a^+) f(a+)即可 。同理可以证明 lim ⁡ x → b − f ( x ) \lim\limits_{x\to b^-}f(x) xblimf(x)存在且有限,记作 f ( b − ) f(b^-) f(b)

    但对于无限开区间,不能得到这个结果,因为Cauchy收敛准则的收敛是指对有限数的收敛,对无穷的收敛是不适用的,如取 { x n } , x n = − n \{x_n\},x_n=-n {xn},xn=n,就不存在这样的 N N N使得 ∣ x n − x m ∣ < ε |x_n-x_m|<\varepsilon xnxm<ε

    可以取一个在无穷区间上一致连续,但不存在无穷极限的,如 f ( x ) = sin ⁡ x f(x)=\sin x f(x)=sinx R \R R上一致连续,但不存在极限。但如果单侧无限区间 [ a , + ∞ ) [a,+\infty) [a,+) ( − ∞ , b ] (-\infty,b] (,b]上存在极限 A = lim ⁡ x → + ∞ f ( x ) A=\lim\limits_{x\to +\infty}f(x) A=x+limf(x) B = lim ⁡ x → − ∞ f ( x ) B=\lim\limits_{x\to -\infty}f(x) B=xlimf(x),那么 f ( x ) f(x) f(x)在这样的无限区间上是一致连续的。

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  • 函数一致连续性的感性认识

    千次阅读 2018-01-19 08:47:25
    函数一致连续性的定义 关于函数一致连续性,准确的定义如下: 设函数 在区间 上有定义,如果对于任意给定的正数 ,总存在着正数 ,使得对于区间上的任意两点,,当时,就有,那么称函数 在区间 上是一致连续的。 ...

    函数一致连续性的定义

    关于函数一致连续性,准确的定义如下:

    设函数 f(x) 在区间 I 上有定义,如果对于任意给定的正数 \varepsilon,总存在着正数\delta ,使得对于区间I上的任意两点\ x_1\ x_2,当\lvert \ x_1 - \ x_2\rvert<\delta时,就有\lvert f(x_1) - f(x_2)\rvert<\varepsilon,那么称函数 f(x) 在区间 I 上是一致连续的。

    因为 \lvert \ x_1 - \ x_2\rvert =\Delta x,\lvert f(x_1) - f(x_2)\rvert = \Delta y,所以函数一致连续性定义实际上描述的是一种函数曲线: 无论\Delta y多么小,总是能找到一个正数\delta,使得在整个函数曲线中,当\Delta x<\delta时,\Delta y<\varepsilon

    函数一致连续性的感性认识

    如果无法理解函数的一致连续性,很有可能是\delta\varepsilon两个数的关系没有理清。

    从定义出发。给定任意正数\varepsilon,即max(\Delta y)已经确定。无论\Delta y的值多么小,总能找到对应的\Delta x\Delta x的值确定。如果函数f(x)的区间I为闭区间,就可以确定整个函数曲线上任意两点\Delta y<\varepsilon对应的\Delta x的值,继而可以确定max(\Delta x)。显然大于max(\Delta x)\delta 肯定存在。也就是说,闭区间上的连续函数一定有一致连续性。

    而区间I为开区间的时候,很容易找到函数无法满足函数一致性的要求的例子:

    函数f(x)=\frac{1}{x}。指定\varepsilon,无论\varepsilon多么小,总能在函数曲线上找到x_1,x_2,使得\lvert \ x_1 - \ x_2\rvert对应的\lvert \ y_1 - \ y_2\rvert<\varepsilon。但是考虑 x\to\infty,引起y变化\varepsilon\lvert \ x_1 - \ x_2\rvert的值会越来越大,所以找不到max(\Delta x),自然也就找不到大于max(\Delta x)\delta。所以f(x)=\frac{1}{x}没有一致连续性。


    ref:

    函数一致连续与函数连续有什么区别,到底一致连续的“一致”是什么意思?

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  • 判断两张图片是否一致

    千次阅读 2018-06-28 11:21:23
    if (img.getDrawable().getConstantState().equals(getResources().getDrawable(R.drawable.folder).getConstantState()))
    if (img.getDrawable().getConstantState().equals(getResources().getDrawable(R.drawable.folder).getConstantState()))

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  • 给定5个相同格式的日期,怎么判断是否连续5天呢? 我当时第一反应 getDay() 后排序,然后前后对比即可。。但是细想,完全不对,比如本周一下周二,这样也会误判。 而且不仅仅这样的问题,还要跨月,跨...

    这是群里一朋友问的问题,当时我说判断下 day 是否相邻即可,后来细想,发现完全不对。

    <!-- more -->

    问题需求

    给定5个相同格式的日期,怎么判断是否是连续5天呢?

    我当时第一反应 getDay() 后排序,然后前后对比即可。。
    但是细想,完全不对,比如本周一下周二,这样也会误判。

    而且不仅仅这样的问题,还要跨月,跨年,闰月等问题。
    然后就有了下面的代码。

    让时间戳抹平一切吧

    为了不纠结这些问题,我想到了时间戳,这货就可以完全忽略上述问题了,只要处理时间戳,最后比较即可。
    然后我给了如下代码:

    let days = [
      '2016-02-28',
      '2016-02-29', // 闰月
      '2016-03-01', // 跨月
      '2016-03-02',
      '2016-03-03',
    ]
    
    // 先排序,然后转时间戳
    let _days = days.sort().map((d, i) => {
      let dt = new Date(d)
      dt.setDate(dt.getDate() + 4 - i) // 处理为相同日期
    
      return +dt
    })
    
    // 比较时间戳是否一致
    console.log(
      _days[0] == _days[1] &&
      _days[0] == _days[2] &&
      _days[0] == _days[3] &&
      _days[0] == _days[4]
    )

    ok 一切问题都解决掉了,跨年,跨月,闰月也都无所谓了。

    通用函数封装

    上述代码还是有点缺陷的,因为时分秒没有处理,如果有时分秒,也要先抹去。

    let days = [
      '2016-02-28 12:00:00',
      '2016-02-29 12:00:01', // 闰月
      '2016-03-01 12:00:02', // 跨月
      '2016-03-02 12:00:03',
      '2016-03-03 12:00:04',
      '2016-03-04 12:00:04',
    ]
    
    console.log(continueDays(days))
    
    function continueDays(arr_days) {
      // 先排序,然后转时间戳
      let days = arr_days.sort().map((d, i) => {
        let dt = new Date(d)
        dt.setDate(dt.getDate() + 4 - i) // 处理为相同日期
    
        // 抹去 时 分 秒 毫秒
        dt.setHours(0)
        dt.setMinutes(0)
        dt.setSeconds(0)
        dt.setMilliseconds(0)
    
        return +dt
      })
    
      let ret = true
    
      days.forEach(d => {
        if (days[0] !== d) {
          ret = false
        }
      })
    
      return ret
    }

    这个函数只是改动了2个地方,抹去 时 分 秒 毫秒循环比较,其他都一样。

    小结

    js 处理时间还是非常简单的,比如写个日期插件,其实借助 Date 非常容易实现,但实现你要了解 Date 的 api 才行。
    当然要说简单,还是 php 最简单,那简直逆天。

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    因此,一致连续是一个很强的条件,它能够保证连续函数序列的极限函数是连续的。从前面的实例中不难理解这个结论。 推 论 1 \textbf{推论1} 如果 g k : A → R m g_k:A\to R^m 是连续的且 Σ ∞ k = 1 g k = g \...

空空如也

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判断是否一致连续