精华内容
下载资源
问答
  • 判断极值_拐点的三个充要条件以及一个必要

    万次阅读 多人点赞 2020-03-31 15:37:11
    一阶可导点是极值点的必要条件 设 f(x) 在 x=x0 处可导,且在点 x0 处取得极值,则必有 判断极值的第一充分条件 判断极值的第二充分条件 判断极值的第三充分条件 设 f(x) 在 x=x0 处 n 阶可导,且 当 n 为偶数时...

    极值

    一阶可导点是极值点的必要条件

    设 f(x) 在 x=x0 处可导,且在点 x0 处取得极值,则必有

    又是费马定理

    判断极值的第一充分条件

    设 f(x) 在 x=x0 处连续,且在 x0 的某去心邻域 内可导

    判断极值的第二充分条件

    在这里插入图片描述

    判断极值的第三充分条件

    设 f(x) 在 x=x0 处 n 阶可导,且
    在这里插入图片描述

    当 n 为偶数时
    必须n为偶数。

    在这里插入图片描述
    证明:

    由于n为偶数,令 n=2k,构造极限
    在这里插入图片描述
    上述洛必达法则成立的依据是最后的结果存在.

    由函数极限的局部保号性可得:
    在这里插入图片描述
    x0 极大值点
    在这里插入图片描述
    x0 极小值点

    证毕

    拐点

    二阶可导点是拐点的必要条件

    设 f’’(x) 存在,且点 (x0,f(x0) ) 为曲线拐点,则
    在这里插入图片描述

    判断拐点的第一充分条件

    在这里插入图片描述

    判断拐点的第二充分条件

    在这里插入图片描述

    判断拐点的第三充分条件

    设 f(x) 在 x=x0 处 n 阶可导,且
    在n-1阶导数为0
    在n阶导数不为0

    当 n 为奇数时
    n只可以为奇数

    证明:

    由于n为奇数,令 n=2k+1,构造极限
    在这里插入图片描述
    上述洛必达法则成立的依据是最后的结果存在.

    由函数极限的局部保号性可得:
    在这里插入图片描述
    故点(x0,f(x0) ) 为曲线拐点

    证毕

    提醒

    对于极点来说,为一维所以只用表示出x=?即可
    对于拐点来说为二维所以要说出点的坐标
    如果是拐点值来说就是y的值了。

    极点和拐点相对来说就是维度的差别。和可导数的差别。

    展开全文
  • 一阶可导点是极值点的必要条件 设 f(x) 在 x=x0 处可导,且在点 x0 处取得极值,则必有 判断极值的第一充分条件 设 f(x) 在 x=x0 处连续,且在 x0 的某去心邻域内可导 x0 极小值点 ...

    一阶可导点是极值点的必要条件

    设 f(x) 在 x=x0 处可导,且在点 x0 处取得极值,则必有 f'(x)=0

     

    判断极值的第一充分条件

    设 f(x) 在 x=x0 处连续,且在 x0 的某去心邻域 \mathring{U}(x_{0},\delta) 内可导

    (x_{0}-\delta,x_{0})(x_{0},x_{0}+\delta) 
    f'(x)<0f'(x)>0x0 极小值点
    f'(x)>0f'(x)<0x0 极大值点

     

    判断极值的第二充分条件

    设 f(x) 在 x=x0 处二阶可导,且 f'(x_{0})=0,f''(x_{0})\neq 0

    f''(x_{0})<0

    x0 极大值点

    f''(x_{0})>0

    x0 极小值点

     

    判断极值的第三充分条件

    设 f(x) 在 x=x0 处 n 阶可导,且 

    \\\\f^{(m)}(x_{0})=0\quad (m=1,2,\cdot\cdot\cdot,n-1) \\\\f^{(n)}(x_{0})\neq0\quad (n\geq 2)

    当 n 为偶数时

    f^{(n)}(x_{0})<0x0 极大值点
    f^{(n)}(x_{0})>0x0 极小值点

    证明:

    由于n为偶数,令 n=2k,构造极限

    \\\\\\\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{(x-x_{0})^{2k}} \\\\\\\Rightarrow \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f'(x)}{2k(x-x_{0})^{2k-1}} \\\\\\\cdot\cdot\cdot \\\\\\\Rightarrow \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f^{(2k-1)}(x)}{(2k)!(x-x_{0})} \\\\\\\Rightarrow \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f^{(2k-1)}(x)-f^{(2k-1)}(x_{0})}{(2k)!(x-x_{0})} \\\\\\=\frac{1}{(2k)!}f^{(2k)}(x_{0})\neq0

    上述洛必达法则成立的依据是最后的结果存在.

    由函数极限的局部保号性可得:

    f^{(2k)}(x_{0})<0\Rightarrow \frac{f(x)-f(x_{0}))}{(x-x_{0})^{2k}}<0\Rightarrow f(x)<f(x_{0})

    x0 极大值点

    f^{(2k)}(x_{0})>0\Rightarrow \frac{f(x)-f(x_{0}))}{(x-x_{0})^{2k}}>0\Rightarrow f(x)>f(x_{0})

    x0 极小值点

    证毕

     

     

    展开全文
  • 如何判断函数极值点与拐点

    万次阅读 2019-07-23 17:45:55
    极值必要条件极值的第一充分条件:且在两侧变号 极值的第二充分条件:且(为极小值,为极大值) 极值的第三充分条件:设在处最低阶不为零的导数的阶为,若为偶数是极值点。若为奇数是不是极值点 二、拐点 ...

    一、极值点

    • 极值的必要条件:f'(a)=0
    • 极值的第一充分条件:f'(a)=0f'(x)x=a两侧变号
    • 极值的第二充分条件:f'(a)=0f''(a)\neq 0(f''(a)>0为极小值,f''(a)<0为极大值)
    • 极值的第三充分条件:设f(x)x=a处最低阶不为零的导数的阶为n,若n为偶数x=a是极值点。若n为奇数x=a是不是极值点

    二、拐点

    函数f(x)的拐点可理解为导数f'(x)的极值点,因此上述关于极值点的结论都可“稍加改变”后用于判断拐点,下面是一些常用结论:

    • 拐点的必要条件:f''(a)=0
    • 拐点的充分条件:f''(a)=0f'(x)x=a左右两侧变号
    • 利用三阶导数的判别法:f'(a)=f''(a)=0f'''(a)\neq 0

    三、情形分析

    情形一:f'(a)\neq 0f''(a)=0

    • x=a既不是f(x)的极值点也不是拐点。例如一次函数f(x)=2x,有f'(0)=2f''(0)=0,但显然x=0既不是f(x)的极值点也不是拐点
    • x=af(x)的拐点,例如f(x)=x^3+x,由于f'(0)=1f''(0)=0f'''(0)=6,故x=0f(x)的拐点

    情形二:f'(a)=0f''(a)\not\equiv 0

    • x=af(x)的极值点,例如f(x)=x^2,满足f'(0)=0f''(0)=2,显然x=0f(x)的极(小)值点

    情形三:f'(a)=0f''(a)=0

    • x=af(x)的极值点。例如f(x)=x^4满足f'(0)=f''(0)=0,显然x=0f(x)的极小值点
    • x=af(x)的拐点。例如f(x)=x^3,满足f'(0)=f''(0)=0,显然x=0f(x)的拐点
    • x=a既不是f(x)的极值点也不是拐点。例如f(x)=C(常值函数),显然任意点处一、二阶导数都等于0,但f(x)既无极值点也无拐点

    情形四:f'(a)\neq 0f''(a)\neq 0

    • 这是平凡的情形,显然x=a既不是f(x)的极值点也不是拐点。

     

     

    展开全文
  • 无约束问题的极值条件

    千次阅读 2014-03-25 18:37:15
    有时候,我们希望根据一定的条件找到优化问题的极值点;另外一些时候,我们得到若干候选解,希望判断候选...1. 极值点的必要条件和充分条件  一阶必要条件 设实值函数 在点 处可微,若是无约束优化问题 的局部极小点

        有时候,我们希望根据一定的条件找到优化问题的极值点;另外一些时候,我们得到若干候选解,希望判断候选解中哪些是真正的极值点。这其中涉及非线性规划的极值条件问题。所谓非线性规划的极值条件,是指非线性规划模型最优解所要满足的必要或充分条件。本文介绍无约束非线性规划问题的极值条件。

    1. 极值点的必要条件和充分条件

        一阶必要条件  设实值函数 在点 处可微,若是无约束优化问题 的局部极小点,则有

                                  

        其中,表示函数 在点 处的梯度。


        二阶必要条件  设实值函数在点处二阶可微,若是无约束优化问题 的局部极小点,则有

                                    且  

        其中,表示函数 在点 处的梯度,表示函数 在点 处的海赛矩阵,表示矩阵是半正定的。

        二阶充分条件  设实值函数在点处二阶可微,若  且  ,则为无约束问题严格局部极小值。(注:需要海赛矩阵正定

       

        以上结论对一般函数成立。针对凸函数(海赛矩阵恒正定),有以下充要条件

        充要条件  设为定义域上的可微凸函数,则为无约束问题全局极小点的充要条件是

    2. 驻点性质判定

        所谓驻点,即一阶导数值为0的点。如果函数在此点二阶可微,可利用该点处的海赛矩阵来判定驻点的性质。

        假定为函数的驻点,并且该驻点处的海赛矩阵为,则有以下结论:

    1.     若是正定的,则驻点为极小点(局部或全局);
    2.     若是负定的,则驻点为极大点(局部或全局);
    3.     若是不定的,则驻点为鞍点(即非极值点);
    4.     若是半定的(半正定或半负定),则驻点可能是极值点,也可能不是极值点,须视高阶导数性质而定。
    展开全文
  • 极值的充分条件应用

    千次阅读 2020-02-22 16:57:43
    极值点的判定,在高中和大学高数中都是一个不太清晰的地方,一般有三条充分条件可以判定一个点是否为极值 这个定理,是高中最常使用的判定极值点的定理,这个定理要判断f’(x)在x0左右点的情况, ...
  • 极值点与拐点的对应三个充分条件

    千次阅读 2020-08-27 15:57:27
    一阶可导点是极值点的必要条件 设 f(x) 在 x=x0 处可导,且在点 x0 处取得极值,则必有 又是费马定理 判断极值的第一充分条件 判断极值的第二充分条件 判断极值的第三充分条件 设 f(x) 在 x=x0 处 n 阶可导,且 ...
  • 一元函数极值的充要条件

    千次阅读 2018-08-15 15:39:48
    2018全国卷三 ...这个定理不需要判断极值点附件的情况。 判别极值得第三充分条件 快速判别方法,将原函数中ln(1+x)泰勒展开,不能出现奇数次幂,因为这样x会变好,这个点就不是极值点。 ...
  • 本文介绍了利用导数判断函数单调性、凹凸性、极值相关的概念和定理,通过本文的介绍,可以熟悉通过导数判断函数单调性、凹凸性、极值以及求最值的原理和方法。最后,通过一阶导数和二阶导数确定了函数的单调性、凹凸...
  • 充分必要条件

    2018-04-10 19:21:00
    充分必要条件的题目,其实质是左到右和右到左的推出关系是否成立, 典例剖析 例1【和函数性质有关】 ①“\(a>b\)”是“\(a^2>b^2\)”的既不充分也不必要条件,和函数\(y=x^2\)的单调、奇偶有关; ②“\(a>...
  • 以二元函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y) 为例,考虑其在等式约束条件 ϕ ( x , y ) = 0 \phi(x,y)=0 ϕ(x,y)=0 下取得极值必要条件,如果点 p 1 ( x 1 , y 1 ) p_1(x_1,y_1) p1​(x1​,y1​) 是满足约束...
  • 多元函数的极值

    万次阅读 2018-08-18 09:59:26
    多元函数的极值 定义 z=f(x,y) (x,y)∈∈\inD,M0(x0,y0)∈D(M0是D的内点),U(M0,δ(域))⊂DM0(x0,y0)∈D(M0是D的内点),U(M0,δ(域))⊂DM_0(x_0,y_0)\in D(M_0是D的内点) ,U(M_0,\delta(域))\subset D 若f(x0,y0x...
  • 多元函数求极值问题

    2016-01-23 09:28:27
    今天来讨论多元函数求极值问题,在Logistic回归用牛顿迭代法求参数会用到,所以很有必要把它研究清楚。   回想一下,一元函数求极值问题我们是怎样做的?比如对于凹函数,先求一阶导数,得, 由于极值处...
  • 条件极值 下面给出关于条件极值的定义 无条件极值:如果对于自变量的限制,只有区域D,而没有其它限制,那么这种类型的极值问题就称为无条件极值问题。 有条件极值:有除了区域D以为的约束条件调制自变量,则称为有...
  • 多元函数的极值及其求法

    万次阅读 多人点赞 2018-04-29 10:00:56
    一、多元函数的极值及最大值与最小值: 定义:设函数z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y)的定义域为D,P0(x0,y0)D,P0(x0,y0)D,P_0(x_0,y_0)为DDD的内点。若存在P0P0P_0的某个邻域U(P0)⊂DU(P0)⊂DU(P_0)\subset D。 若...
  • 回归图像,单调性发生变化,所以出现了很多极值点,他们与最值又有什么联系呢? 课本上这段话还是有必要的,通过一个例子...这就是可导函数取得极值必要条件。 定理一(必要条件):设函数f(x)在x0处可导...
  • 泰勒公式与极值

    2019-10-23 14:31:25
    极值必要 极值充分(Hesse矩阵) 混合偏导交换顺序 f x y ( x , y ) , f y x ( x , y ) f_{xy}(x,y),f_{yx}(x,y) f x y ​ ( x , y ) , f y x ​ ( x , y ) 都在 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) ( x 0 ​ , y 0 ​ )...
  • 多元函数极值及其求法

    万次阅读 2015-11-13 21:02:18
    §8.8 多元函数极值及其求法 一、多元函数的极值 1、多元函数极值定义 设函数在点的某个邻域内有定义,对该邻域内异于的点,如果都适合不等式 则称函数在点取极大值; 如果都适合不等式 则称函数在点取极小...
  • 【高数】多元函数求极值和最值有什么不同?-定义、充分及必要条件、求法
  • Hessian矩阵与多元函数极值

    千次阅读 2017-07-29 20:29:12
    Hessian矩阵与多元函数极值 海塞矩阵(Hessian Matrix),又译作海森矩阵,是一个多元函数的二阶偏导数构成的方阵。尽管它是一个具有悠久历史的数学成果,但是在机器学习和图像处理(例如SIFT和SURF特征检测)中...
  • 学习目的:应对博士申请考核中《最优化理论与算法》的考试。 学习材料:《运筹学》第4版 清华大学出版社&...KKT条件是非线性规划(nonlinear programming)最佳解的必要条件,KKT条件将Lagrange乘数法(..
  • y)f(x, y)f(x,y),在P(x0,y0)P(x_0, y_0)P(x0​,y0​)要有极值存在,首先得保证fx(x0,y0)=0fy(x0,y0)=0f_x(x_0, y_0)=0\quad f_y(x_0, y_0)=0fx​(x0​,y0​)=0fy​(x0​,y0​)=0,也就是说这是极值存在的必要条件。...
  • 总结函数的极值、最值、凸性、拐点、渐近线,以及函数绘图的一般步骤。
  • 多元函数的极值及其求法
  • 非线性规划(二): Matlab 求解约束极值问题

    万次阅读 多人点赞 2019-04-24 11:10:34
    非线性规划(一):定义与数值优化...非线性规划(二): Matlab 求解约束极值问题 目录 约束极值问题 1 二次规划 2 罚函数法 3 Matlab 求约束极值问题 3.1 fminbnd 函数 3.2 fseminf 函数 3.3 fminimax 函数...

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5 ... 20
收藏数 2,527
精华内容 1,010
关键字:

判断极值的必要条件