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  • 一阶可导点是极值点的必要条件 设 f(x) 在 x=x0 处可导,且在点 x0 处取得极值,则必有 判断极值的第一充分条件 判断极值的第二充分条件 判断极值的第三充分条件 设 f(x) 在 x=x0 处 n 阶可导,且 当 n 为偶数时...

    极值

    一阶可导点是极值点的必要条件

    设 f(x) 在 x=x0 处可导,且在点 x0 处取得极值,则必有

    又是费马定理

    判断极值的第一充分条件

    设 f(x) 在 x=x0 处连续,且在 x0 的某去心邻域 内可导

    判断极值的第二充分条件

    在这里插入图片描述

    判断极值的第三充分条件

    设 f(x) 在 x=x0 处 n 阶可导,且
    在这里插入图片描述

    当 n 为偶数时
    必须n为偶数。

    在这里插入图片描述
    证明:

    由于n为偶数,令 n=2k,构造极限
    在这里插入图片描述
    上述洛必达法则成立的依据是最后的结果存在.

    由函数极限的局部保号性可得:
    在这里插入图片描述
    x0 极大值点
    在这里插入图片描述
    x0 极小值点

    证毕

    拐点

    二阶可导点是拐点的必要条件

    设 f’’(x) 存在,且点 (x0,f(x0) ) 为曲线拐点,则
    在这里插入图片描述

    判断拐点的第一充分条件

    在这里插入图片描述

    判断拐点的第二充分条件

    在这里插入图片描述

    判断拐点的第三充分条件

    设 f(x) 在 x=x0 处 n 阶可导,且
    在n-1阶导数为0
    在n阶导数不为0

    当 n 为奇数时
    n只可以为奇数

    证明:

    由于n为奇数,令 n=2k+1,构造极限
    在这里插入图片描述
    上述洛必达法则成立的依据是最后的结果存在.

    由函数极限的局部保号性可得:
    在这里插入图片描述
    故点(x0,f(x0) ) 为曲线拐点

    证毕

    提醒

    对于极点来说,为一维所以只用表示出x=?即可
    对于拐点来说为二维所以要说出点的坐标
    如果是拐点值来说就是y的值了。

    极点和拐点相对来说就是维度的差别。和可导数的差别。

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  • 一阶可导点是极值点的必要条件 设 f(x) 在 x=x0 处可导,且在点 x0 处取得极值,则必有 判断极值的第一充分条件 设 f(x) 在 x=x0 处连续,且在 x0 的某去心邻域内可导 x0 极小值点 ...

    一阶可导点是极值点的必要条件

    设 f(x) 在 x=x0 处可导,且在点 x0 处取得极值,则必有 f'(x)=0

     

    判断极值的第一充分条件

    设 f(x) 在 x=x0 处连续,且在 x0 的某去心邻域 \mathring{U}(x_{0},\delta) 内可导

    (x_{0}-\delta,x_{0}) (x_{0},x_{0}+\delta)  
    f'(x)<0 f'(x)>0 x0 极小值点
    f'(x)>0 f'(x)<0 x0 极大值点

     

    判断极值的第二充分条件

    设 f(x) 在 x=x0 处二阶可导,且 f'(x_{0})=0,f''(x_{0})\neq 0

    f''(x_{0})<0

    x0 极大值点

    f''(x_{0})>0

    x0 极小值点

     

    判断极值的第三充分条件

    设 f(x) 在 x=x0 处 n 阶可导,且 

    \\\\f^{(m)}(x_{0})=0\quad (m=1,2,\cdot\cdot\cdot,n-1) \\\\f^{(n)}(x_{0})\neq0\quad (n\geq 2)

    当 n 为偶数时

    f^{(n)}(x_{0})<0 x0 极大值点
    f^{(n)}(x_{0})>0 x0 极小值点

    证明:

    由于n为偶数,令 n=2k,构造极限

    \\\\\\\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{(x-x_{0})^{2k}} \\\\\\\Rightarrow \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f'(x)}{2k(x-x_{0})^{2k-1}} \\\\\\\cdot\cdot\cdot \\\\\\\Rightarrow \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f^{(2k-1)}(x)}{(2k)!(x-x_{0})} \\\\\\\Rightarrow \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f^{(2k-1)}(x)-f^{(2k-1)}(x_{0})}{(2k)!(x-x_{0})} \\\\\\=\frac{1}{(2k)!}f^{(2k)}(x_{0})\neq0

    上述洛必达法则成立的依据是最后的结果存在.

    由函数极限的局部保号性可得:

    f^{(2k)}(x_{0})<0\Rightarrow \frac{f(x)-f(x_{0}))}{(x-x_{0})^{2k}}<0\Rightarrow f(x)<f(x_{0})

    x0 极大值点

    f^{(2k)}(x_{0})>0\Rightarrow \frac{f(x)-f(x_{0}))}{(x-x_{0})^{2k}}>0\Rightarrow f(x)>f(x_{0})

    x0 极小值点

    证毕

     

     

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  • 如何判断函数极值点与拐点

    万次阅读 2019-07-23 17:45:55
    极值的必要条件: 极值的第一充分条件:且在两侧变号 极值的第二充分条件:且(为极小值,为极大值) 极值的第三充分条件:设在处最低阶不为零的导数的阶为,若为偶数是极值点。若为奇数是不是极值点 二、拐点 ...

    一、极值点

    • 极值的必要条件:f'(a)=0
    • 极值的第一充分条件:f'(a)=0f'(x)x=a两侧变号
    • 极值的第二充分条件:f'(a)=0f''(a)\neq 0(f''(a)>0为极小值,f''(a)<0为极大值)
    • 极值的第三充分条件:设f(x)x=a处最低阶不为零的导数的阶为n,若n为偶数x=a是极值点。若n为奇数x=a是不是极值点

    二、拐点

    函数f(x)的拐点可理解为导数f'(x)的极值点,因此上述关于极值点的结论都可“稍加改变”后用于判断拐点,下面是一些常用结论:

    • 拐点的必要条件:f''(a)=0
    • 拐点的充分条件:f''(a)=0f'(x)x=a左右两侧变号
    • 利用三阶导数的判别法:f'(a)=f''(a)=0f'''(a)\neq 0

    三、情形分析

    情形一:f'(a)\neq 0f''(a)=0

    • x=a既不是f(x)的极值点也不是拐点。例如一次函数f(x)=2x,有f'(0)=2f''(0)=0,但显然x=0既不是f(x)的极值点也不是拐点
    • x=af(x)的拐点,例如f(x)=x^3+x,由于f'(0)=1f''(0)=0f'''(0)=6,故x=0f(x)的拐点

    情形二:f'(a)=0f''(a)\not\equiv 0

    • x=af(x)的极值点,例如f(x)=x^2,满足f'(0)=0f''(0)=2,显然x=0f(x)的极(小)值点

    情形三:f'(a)=0f''(a)=0

    • x=af(x)的极值点。例如f(x)=x^4满足f'(0)=f''(0)=0,显然x=0f(x)的极小值点
    • x=af(x)的拐点。例如f(x)=x^3,满足f'(0)=f''(0)=0,显然x=0f(x)的拐点
    • x=a既不是f(x)的极值点也不是拐点。例如f(x)=C(常值函数),显然任意点处一、二阶导数都等于0,但f(x)既无极值点也无拐点

    情形四:f'(a)\neq 0f''(a)\neq 0

    • 这是平凡的情形,显然x=a既不是f(x)的极值点也不是拐点。

     

     


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  • 无约束问题的极值条件

    千次阅读 2014-03-25 18:37:15
    有时候,我们希望根据一定的条件找到优化问题的极值点;另外一些时候,我们得到若干候选解,希望判断候选...1. 极值的必要条件和充分条件  一阶必要条件 设实值函数 在点 处可微,若是无约束优化问题 的局部极小点

        有时候,我们希望根据一定的条件找到优化问题的极值点;另外一些时候,我们得到若干候选解,希望判断候选解中哪些是真正的极值点。这其中涉及非线性规划的极值条件问题。所谓非线性规划的极值条件,是指非线性规划模型最优解所要满足的必要或充分条件。本文介绍无约束非线性规划问题的极值条件。

    1. 极值点的必要条件和充分条件

        一阶必要条件  设实值函数 在点 处可微,若是无约束优化问题 的局部极小点,则有

                                  

        其中,表示函数 在点 处的梯度。


        二阶必要条件  设实值函数在点处二阶可微,若是无约束优化问题 的局部极小点,则有

                                    且  

        其中,表示函数 在点 处的梯度,表示函数 在点 处的海赛矩阵,表示矩阵是半正定的。

        二阶充分条件  设实值函数在点处二阶可微,若  且  ,则为无约束问题严格局部极小值。(注:需要海赛矩阵正定

       

        以上结论对一般函数成立。针对凸函数(海赛矩阵恒正定),有以下充要条件

        充要条件  设为定义域上的可微凸函数,则为无约束问题全局极小点的充要条件是

    2. 驻点性质判定

        所谓驻点,即一阶导数值为0的点。如果函数在此点二阶可微,可利用该点处的海赛矩阵来判定驻点的性质。

        假定为函数的驻点,并且该驻点处的海赛矩阵为,则有以下结论:

    1.     若是正定的,则驻点为极小点(局部或全局);
    2.     若是负定的,则驻点为极大点(局部或全局);
    3.     若是不定的,则驻点为鞍点(即非极值点);
    4.     若是半定的(半正定或半负定),则驻点可能是极值点,也可能不是极值点,须视高阶导数性质而定。
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  • 一阶可导点是极值点的必要条件 设 f(x) 在 x=x0 处可导,且在点 x0 处取得极值,则必有 又是费马定理 判断极值的第一充分条件 判断极值的第二充分条件 判断极值的第三充分条件 设 f(x) 在 x=x0 处 n 阶可导,且 ...
  • 但首先,由拉格朗日乘数法确定的点不一定是极值点,而仅仅是取极值的必要条件。对于这一点,我们对高中的一个常见例子加以改造即可说明:设目标函数 ,约束条件 构造拉格朗日函数: 分别求偏导得到可能取极值的点为 ,...
  • 可导函数y=f(x)在某一点处取得极值的必要条件是这一点的导数。因此求可导函数y=f(x)的极值可以按照下列步骤进行:①先求函数y=f(x)的导数;②令求得根;③在附近左右两侧判断的符号,左正右负为极大值点,左负右正为...
  • KKT条件详解

    千次阅读 多人点赞 2019-05-07 15:55:41
    KKT条件详解 主要参考这篇文章和这个知乎回答。 KKT最优化条件是Karush[1939],以及Kuhn和Tucker[1951]先后...它是非线性规划领域的重要成果,是判断某点是极值的必要条件。对于凸规划,KKT条件就是充要条件了...
  • 这只是一个必要条件,而不是充分条件。所以拉格朗日乘子法,在设计时候,都会只能解出来唯一驻点,写时候只需要加上一句话,由实际意义得这个问题有最大值或者是最小值,这个点就是最大值点或者是最小点。如.....
  • KKT条件介绍

    2020-08-12 13:17:53
    KKT是非线性规划领域的重要成果,它是判断某点是极值的必要条件。对于凸规划,KKT条件就是充要条件了,只要满足就是一定是极值点,且一定得到是全局最优解。 问题模型 “等式约束+不等式约束” 优化问题。 设目标...
  • 文章目录考点一:罗尔定理罗尔...洛必达法则知识点笔记考点四:函数的单调性1、定义2、判断3、求单调区间4、利用单调性证明不等式笔记考点五:函数的极值1、极值的定义2、驻点3、极值的必要条件4、极值的充分条件(1)
  • 本节为高等数学复习笔记第二部分,一元函数微分学概念,计算以及几何应用,主要包括: 导数定义,高阶导数求解,极值判断的充分条件,凹凸性判断的充分条件,拐点判断的充分条件与必要条件,渐近线以及...
  • 简单复习下高数

    千次阅读 2013-10-06 22:13:58
    下面只是必要条件,即是极值一定要满足下列条件,满足下列条件不一定是极值。 推广: 【注】驻点不一定是极值极值一定是驻点。 【注】研究极值除了研究驻点外,还应该研究驻点不存在点。 充分条件: 2. ...
  • 优化方法(2020.08.04)

    2020-08-04 16:22:30
    优化方法前言数值优化问题凸优化和非凸优化区分凸优化和非凸优化凸优化和非凸优化的主要区别梯度和Hessian矩阵举个例子Karush-Huhn-Tucker(KKT)条件——判断x*是否为最优解的必要条件无约束条件下的极值等式约束条件...
  • 多元函数

    2020-06-13 10:19:11
    多变量情况下,需根据二阶偏导数构成海森矩阵正定性判断是否属于极值点 二元函数全微分 切平面近似表示 方向导数 & 梯度 偏导数 --任意方向变化率–> 方向导数(用于搜索函数极值,找最陡【局部最优...
  • 凸集与凸函数

    2019-09-25 13:25:21
    全局最小)的必要条件 3.3 局部极小的充分条件 注:(1)奇异局部最小 (2)如果有多个局部最小,怎样找到全局最小 补充:单峰函数的定义: (3)凸函数全局最小的充要条件 4 鞍点 4.1 定义...

空空如也

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判断极值的必要条件