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  • 判断极值的必要条件
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    2022-04-19 09:03:33

    一、拉格朗日乘数法简介

    在日常的生产生活中,当我们要要安排生产生活计划的时候,常常会在现实物理资源约束的条件下,计算得到收益最大或者损失最小的计划; 像这种对自变量有附加条件的极值称为条件极值;拉格朗日乘数法是一种直接计算解决条件极值的方法;

    拉格朗日乘数法的定义如下:

    设有 f ( x , y ) , φ ( x , y ) f(x, y), \varphi(x,y) f(x,y),φ(xy) 两个函数,并且两者都有一阶连续偏导数,则做拉格朗日函数为

    F ( x , y , λ ) = f ( x , y ) + λ φ ( x , y ) F(x, y, \lambda) = f(x, y) + \lambda \varphi(x,y) F(x,y,λ)=f(x,y)+λφ(xy)
    令函数F的各个偏导数 F x = 0 , F y = 0 , F λ = 0 F_{x} = 0, F_{y} = 0, F_{λ} = 0 Fx=0,Fy=0,Fλ=0,计算各个偏导数并联立方程得到

    { f x ( x , y ) + λ φ x ( x , y ) = 0 f y ( x , y ) + λ φ y ( x , y ) = 0 φ ( x , y ) = 0 \left\{\begin{matrix} f_{x}(x,y) + \lambda \varphi_{x}(x,y)=0 \\ f_{y}(x,y) + \lambda \varphi_{y}(x,y)=0 \\ \varphi(x,y)=0 \end{matrix}\right. fx(x,y)+λφx(x,y)=0fy(x,y)+λφy(x,y)=0φ(x,y)=0
    由此方程组解出拉格朗日函数稳定点 ( x 0 , y 0 , λ 0 ) (x_{0},y_{0},λ_{0}) (x0y0λ0),则 ( x 0 , y 0 ) (x_{0},y_{0}) (x0y0) 就是函数 f ( x , y ) f(x, y) f(x,y) 在附加条件 φ ( x , y ) = 0 \varphi(x,y)=0 φ(x,y)=0 下的可能极值点;

    二、拉格朗日乘数法的推导

    目标函数

    f ( x , y ) = 0 (1) f(x, y) = 0 \tag{1} f(x,y)=0(1)

    约束条件

    φ ( x , y ) = 0 (2) \varphi(x,y) = 0 \tag{2} φ(xy)=0(2)
    如果函数(1)在点 $ (x_{0}, y_{0}) $ 得到极值,那么首先会满足约束条件

    φ ( x 0 , y 0 ) = 0 (3) \varphi(x_{0},y_{0}) = 0 \tag{3} φ(x0y0)=0(3)
    f ( x , y ) f(x, y) f(x,y) φ ( x , y ) \varphi(x,y) φ(xy)在点 ( x 0 , y 0 ) (x_{0}, y_{0}) (x0,y0) 的某个邻域内有连续偏导数,且满足

    φ y ( x 0 , y 0 ) ≠ 0 \varphi_{y}(x_{0},y_{0}) \ne 0 φy(x0y0)=0
    由隐函数存在定理,式(2)在点 $(x_{0}, y_{0}) $ 的某邻域内能唯一确定一个单值可导且具有连续导数的函数 y = y ( x ) y=y(x) y=y(x) ,并且有 y 0 = f ( x 0 ) y_{0}=f(x_{0}) y0=f(x0),以及

    d y   d x ∣ x = x 0 = − φ x ( x 0 , y 0 ) φ y ( x 0 , y 0 ) (4) \left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=x_{0}}=-\frac{\varphi_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)}{\varphi_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)} \tag{4}  dxdyx=x0=φy(x0,y0)φx(x0,y0)(4)
    y = y ( x ) y=y(x) y=y(x) 带入公式(1)得到

    z = f ( x , y ( x ) ) (5) z = f(x, y(x)) \tag{5} z=f(x,y(x))(5)
    公式(5)也同公式(1)在 $(x_{0}, y_{0}) $ 处取的极值,有一元函数取得极值的必要条件可得

    d z   d x ∣ x = x 0 = f x ( x 0 , y 0 ) + f y ( x 0 , y 0 ) d y   d x ∣ x = x 0 = 0 (6) \left.\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=x_{0}}=f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)+\left.f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right) \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=x_{0}}=0 \tag{6}  dxdzx=x0=fx(x0,y0)+fy(x0,y0) dxdyx=x0=0(6)
    将公式(4)带入公式(6)得到

    f x ( x 0 , y 0 ) − f y ( x 0 , y 0 ) ⋅ φ x ( x 0 , y 0 ) φ y ( x 0 , y 0 ) = 0 (7) f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)-f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right) \cdot \frac{\varphi_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)}{\varphi_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)}=0 \tag{7} fx(x0,y0)fy(x0,y0)φy(x0,y0)φx(x0,y0)=0(7)
    为了解出 $(x_{0}, y_{0}) $ ,引入辅助变量

    λ 0 = − f y ( x 0 , y 0 ) φ y ( x 0 , y 0 ) \lambda_{0}=-\frac{f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)}{\varphi_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)} λ0=φy(x0,y0)fy(x0,y0)

    则公式(3)和公式(7)均成立等价于

    { f x ( x 0 , y 0 ) + λ 0 φ x ( x 0 , y 0 ) = 0 f y ( x 0 , y 0 ) + λ 0 φ y ( x 0 , y 0 ) = 0 φ ( x 0 , y 0 ) = 0 (8) \left\{\begin{array}{l} f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)+\lambda_{0} \varphi_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0 \\ f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)+\lambda_{0} \varphi_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0 \\ \varphi\left(x_{0}, y_{0}\right)=0 \end{array}\right. \tag{8} fx(x0,y0)+λ0φx(x0,y0)=0fy(x0,y0)+λ0φy(x0,y0)=0φ(x0,y0)=0(8)
    f ( x , y ) , φ ( x , y ) f(x, y), \varphi(x,y) f(x,y),φ(xy) 给定的前提下,我们可以通过公式(8)计算得到 ( x 0 , y 0 , λ 0 ) (x_{0}, y_{0}, \lambda_{0}) (x0,y0,λ0) ,我们可根据公式(8)的特点构造以下函数

    F ( x , y , λ ) = f ( x , y ) + λ ϕ ( x , y ) F(x, y, \lambda)=f(x, y)+\lambda \phi(x, y) F(x,y,λ)=f(x,y)+λϕ(x,y)

    可以看到公式(8)等价 F ( x , y , λ ) F(x, y, \lambda) F(x,y,λ) 的以下偏导数

    { F x ( x 0 , y 0 , λ 0 ) = 0 F y ( x 0 , y 0 , λ 0 ) = 0 F λ ( x 0 , y 0 , λ 0 ) = 0 \left\{\begin{array}{l} F_{x}\left(x_{0}, y_{0}, \lambda_{0}\right)=0 \\ F_{y}\left(x_{0}, y_{0}, \lambda_{0}\right)=0 \\ F_{\lambda}\left(x_{0}, y_{0}, \lambda_{0}\right)=0 \end{array}\right. Fx(x0,y0,λ0)=0Fy(x0,y0,λ0)=0Fλ(x0,y0,λ0)=0

    通过以上推演过程,函数 F ( x , y , λ ) F(x, y, \lambda) F(x,y,λ) 称为拉格朗日函数,参数λ称为拉格朗日乘数,点 ( x 0 , y 0 , λ 0 ) (x_{0}, y_{0}, \lambda_{0}) (x0,y0,λ0) 称为 F ( x , y , λ ) F(x, y, \lambda) F(x,y,λ) 的驻点或稳定点.

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    极值

    一阶可导点是极值点的必要条件

    设 f(x) 在 x=x0 处可导,且在点 x0 处取得极值,则必有

    又是费马定理

    判断极值的第一充分条件

    设 f(x) 在 x=x0 处连续,且在 x0 的某去心邻域 内可导

    判断极值的第二充分条件

    在这里插入图片描述

    判断极值的第三充分条件

    设 f(x) 在 x=x0 处 n 阶可导,且
    在这里插入图片描述

    当 n 为偶数时
    必须n为偶数。

    在这里插入图片描述
    证明:

    由于n为偶数,令 n=2k,构造极限
    在这里插入图片描述
    上述洛必达法则成立的依据是最后的结果存在.

    由函数极限的局部保号性可得:
    在这里插入图片描述
    x0 极大值点
    在这里插入图片描述
    x0 极小值点

    证毕

    拐点

    二阶可导点是拐点的必要条件

    设 f’'(x) 存在,且点 (x0,f(x0) ) 为曲线拐点,则
    在这里插入图片描述

    判断拐点的第一充分条件

    在这里插入图片描述

    判断拐点的第二充分条件

    在这里插入图片描述

    判断拐点的第三充分条件

    设 f(x) 在 x=x0 处 n 阶可导,且
    在n-1阶导数为0
    在n阶导数不为0

    当 n 为奇数时
    n只可以为奇数

    证明:

    由于n为奇数,令 n=2k+1,构造极限
    在这里插入图片描述
    上述洛必达法则成立的依据是最后的结果存在.

    由函数极限的局部保号性可得:
    在这里插入图片描述
    故点(x0,f(x0) ) 为曲线拐点

    证毕

    提醒

    对于极点来说,为一维所以只用表示出x=?即可
    对于拐点来说为二维所以要说出点的坐标
    如果是拐点值来说就是y的值了。

    极点和拐点相对来说就是维度的差别。和可导数的差别。

    展开全文
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    一阶可导点是极值点的必要条件

    设 f(x) 在 x=x0 处可导,且在点 x0 处取得极值,则必有 f'(x)=0

     

    判断极值的第一充分条件

    设 f(x) 在 x=x0 处连续,且在 x0 的某去心邻域 \mathring{U}(x_{0},\delta) 内可导

    (x_{0}-\delta,x_{0})(x_{0},x_{0}+\delta) 
    f'(x)<0f'(x)>0x0 极小值点
    f'(x)>0f'(x)<0x0 极大值点

     

    判断极值的第二充分条件

    设 f(x) 在 x=x0 处二阶可导,且 f'(x_{0})=0,f''(x_{0})\neq 0

    f''(x_{0})<0

    x0 极大值点

    f''(x_{0})>0

    x0 极小值点

     

    判断极值的第三充分条件

    设 f(x) 在 x=x0 处 n 阶可导,且 

    \\\\f^{(m)}(x_{0})=0\quad (m=1,2,\cdot\cdot\cdot,n-1) \\\\f^{(n)}(x_{0})\neq0\quad (n\geq 2)

    当 n 为偶数时

    f^{(n)}(x_{0})<0x0 极大值点
    f^{(n)}(x_{0})>0x0 极小值点

    证明:

    由于n为偶数,令 n=2k,构造极限

    \\\\\\\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{(x-x_{0})^{2k}} \\\\\\\Rightarrow \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f'(x)}{2k(x-x_{0})^{2k-1}} \\\\\\\cdot\cdot\cdot \\\\\\\Rightarrow \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f^{(2k-1)}(x)}{(2k)!(x-x_{0})} \\\\\\\Rightarrow \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f^{(2k-1)}(x)-f^{(2k-1)}(x_{0})}{(2k)!(x-x_{0})} \\\\\\=\frac{1}{(2k)!}f^{(2k)}(x_{0})\neq0

    上述洛必达法则成立的依据是最后的结果存在.

    由函数极限的局部保号性可得:

    f^{(2k)}(x_{0})<0\Rightarrow \frac{f(x)-f(x_{0}))}{(x-x_{0})^{2k}}<0\Rightarrow f(x)<f(x_{0})

    x0 极大值点

    f^{(2k)}(x_{0})>0\Rightarrow \frac{f(x)-f(x_{0}))}{(x-x_{0})^{2k}}>0\Rightarrow f(x)>f(x_{0})

    x0 极小值点

    证毕

     

     

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    2018全国卷三 ...这个定理不需要判断极值点附件的情况。 判别极值得第三充分条件 快速判别方法,将原函数中ln(1+x)泰勒展开,不能出现奇数次幂,因为这样x会变好,这个点就不是极值点。 ...

    f\left ( x \right ) = \left ( 2+x+ax^{2} \right )ln\left ( 1+x \right )-2x        

    我们知道,一个多项式多项式在0处有极值,且f(0)=0, 其一定是偶数项多项式,即偶函数。(这个很容易证明),即奇数次幂的系数要为0。我们取ln(1+x)的三阶泰勒展开

    ln(1+x) \sim x-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{3}x^{3} + O(x^{4})

    令x^3 系数为0, 立即得到 a = -1/6

    这种方法的令一种解释:我们想知道f(x) 在0处的n阶导数值有以下做法

    1. 直接暴力求导,令x=0即可

    2. 利用泰勒展开式(在x=0处展开)

    f\left ( x \right ) = f(0)+f'(0)x+f''(0)x^{2}/2!+f'''(0)x^3/3! + ...

    以上展开并不需要直接计算导数得到,可以通过已知展开函数的多项式运算得到。上面的等式中,通过展开ln(1+x)间接计算了f(x)的在0处的n阶导数。在根据极值的第三充分条件,立即得到三阶导数为0,即和前面一样。

    明白了这些,在试卷上直接可以这么写:、

    显然,f'(0)=0, f''(0)=0, f'''(0)=3!*(2/3-1/2+a)

    根据极限的第三充分条件,f'''(0)=0, 所以 a=-1/6。

    这种方法实际上绕开了直接对f(x)求导,利用泰勒展开简阶的计算了f'''(0)的值。在考研数学中这种方法很常见,仅针对这道题在高考考场上可能会被扣2分左右,但肯定有大量的分,因为这道题目的答案并不好算。

     

     

     

    2018全国卷三

    如果x=0为函数得极值点,求a得值

    求导会发现这个函数一阶导数和二阶导数均为零

    回顾几个重要定理

    这个定理需要判断一阶导数左右符号

    这个定理不需要判断极值点附件的情况。

    判别极值得第三充分条件

    快速判别方法,将原函数中ln(1+x)泰勒展开,不能出现奇数次幂,因为这样x会变好,这个点就不是极值点。

     

     

     

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