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  • 借助于齐次微分方程的做法,根据函数f(x,y)自身的特点,给出二元函数极限存在的三种判断方法
  • 高等数学 极限存在 与 极限不存在

    万次阅读 2018-01-30 22:30:53
    在高等数学中,求解极限的时候,会有两种结果,第一种是极限存在,第二种是极限不存在; 那么如何进行判断呢? 极限存在的简单理解:  如果能够最终 计算出一个值,并且 这个值 不是无穷 ,那么极限就是...

    在高等数学中,求解极限的时候,会有两种结果,第一种是极限存在,第二种是极限不存在;

    那么如何进行判断呢?


    极限存在的简单理解:

                  如果能够最终 计算出一个值并且 这个值 不是无穷 ,那么极限就是存在的;


    极限不存在的简单理解:

                  如果最终计算不出一个具体的值,或者 结果是 无穷,那么称作:极限不存在


    方面记忆,用图像表示上面的意思:

                  



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  • 多元函数极限存在性问题

    千次阅读 2021-05-14 22:14:30
    定义就是这个样子的,这里需要注意的是,所谓的二重极限存在,是指以任何方式趋近于时,f(x,y)都无限接近于A,因此,如果P(x,y)以某一特殊方式,例如沿着一条定直线或定曲线趋于时,即使f(x,y)无限接近某一确定值,...

    高等数学课本对多元函数极限的描述,用\varepsilon \mapsto \sigma描述如下:

    设二元函数

    f(P)=f(x,y)

    的定义域为D,P_0(x_0,y_0)是D的聚点,如果存在常数A,对于任意给定的正数\varepsilon,总存在正数\sigma,使得当点P(x,y)\in D\cap U(p_0,\sigma )时,都有

    \left | f(P)-A \right |=\left | f(x,y)-A \right | <\varepsilon

    成立,那么就称常数A为函数f(x,y)当(x,y)->(x_0, y_0)的极限,记作

    \lim_{(x,y)->(x_0, y_0)}f(x,y)=A

    定义就是这个样子的,这里需要注意的是,所谓的二重极限存在,是指P(x,y)以任何方式趋近于P_0(x_0,y_0)时,f(x,y)都无限接近于A,因此,如果P(x,y)以某一特殊方式,例如沿着一条定直线或定曲线趋于P_0(x_0,y_0)时,即使f(x,y)无限接近某一确定值,我们还不能由此断定函数的极限存在,但是反过来,如果当P(x,y)以不同方式趋于P_0(x_0,y_0)时,f(x,y)趋于不同的值,那么就可以断定这个函数的极限不存在,下面用例子来说明这种情况:

    函数

    f(x,y)=\left\{\begin{matrix} \frac{xy}{x^2+y^2}, &x^2+y^2\neq 0 \\ 0, & x^2+y^2=0 \end{matrix}\right.

    显然,当点P(x,y)沿x轴趋近于点(0,0)时,

    \lim_{(x,y)->(0, 0)}f(x,y)=\lim_{x->0}f(x,0)=\lim_{x->0}0=0

    当点P(x,y)沿y轴趋近于点(0,0)时,

    \lim_{(x,y)->(0, 0)}f(x,y)=\lim_{y->0}f(0,y)=\lim_{y->0}0=0

    虽然点P(x,y)以上述两种特殊方式(沿x轴或者y轴)趋于原点时函数的极限存在并且相等,但是,\lim_{(x,y)->(0, 0)}并不存在,这是因为当点P(x,y)沿着直线y=kx趋近于点(0,0)时,有

    \lim_{(x,y)->(0, 0),y=kx}\frac{xy}{x^2+y^2}=\lim_{x->0}\frac{kx^2}{x^2+k^2x^2}=\frac{k}{1+k^2}

    显然,它是随着k的值不同而改变的.

    我喜欢用图说明问题,我们用geogebra绘制出这个函数的图像,图中黑色直线和z轴的交点红色点B,就是当沿着y=kx直线趋近于原点时候函数的极限值,可以看到这个极限值在(-0.5,0.5)之间上下变化,也就是说极限不是固定值,原函数没有极限.

    B点的变化曲线如下图所示:

    关于这幅图像,另外一个有意思的事情是,它竟然也是一个直纹面,三维视图中的黑颜色直线可以看成直纹面的母线,前面已经介绍过小蛮腰了.直纹面有无数种.你拿着一个棍子在空中胡乱比划,形成的三维面也是直纹面.


    结束!

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  • 证明数列极限的方法,比较全面。在电子工程和计算机领域,如果进行算法复杂度分析,需要求问题规模趋近无穷大时所需的时间或空间量级,这时可以用到这些方法判断极限是否存在
  • 对于多元函数f(x)f(x)f(x)来说,证明其在某一点(x0,y0)(x_0,y_0)(x0​,y0​)处极限存在方法就是找到两条不同的趋于(x0,y0)(x_0,y_0)(x0​,y0​)的路径,使得f(x,y)f(x,y)f(x,y)在这两条路径上趋于不同的值。...

    对于多元函数 f ( x ) f(x) f(x)来说,证明其在某一点 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)处极限不存在的方法就是找到两条不同的趋于 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)的路径,使得 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在这两条路径上趋于不同的值。
    对于二元函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)来说, ( x , y ) (x,y) (x,y)沿任意路径趋于 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)时二元函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)趋于同一个值A,则重极限 lim ⁡ ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) f ( x , y ) \lim \limits_{(x, y) \rightarrow\left(x_{0}, y_{0}\right)} f(x, y) (x,y)(x0,y0)limf(x,y)存在且也等于A.
    这一性质常常用来证明二元函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)这点的极限不存在,即找到两条趋于 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)的路径,使得二元函数 f ( x ) f(x) f(x)在这两条路径上趋于不同的值。然而,在绝大多数的数学分析教科书中,常常只介绍利用相对简单的径向路径来证明一个二元函数在某一点的极限不存在,即当二元函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)沿着 y = k x y=kx y=kx这些路径趋于 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)时,若极限与径向的斜率 k k k相关,则二元函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)这点的极限不存在。而这种方法对些相对较为复杂的二元函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)通常是失效的例如,考虑二元函数 f ( x , y ) = x 2 y 2 x 3 + y 3 f(x, y)=\frac{x^{2} y^{2}}{x^{3}+y^{3}} f(x,y)=x3+y3x2y2 ( x , y ) (x,y) (x,y)趋于 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)的极限时,不难发现 ( x , y ) (x,y) (x,y)沿着径向路径 y = k x y=kx y=kx的极限都为0.然而 f ( x , y ) = x 2 y 2 x 3 + y 3 f(x, y)=\frac{x^{2} y^{2}}{x^{3}+y^{3}} f(x,y)=x3+y3x2y2 ( x , y ) (x,y) (x,y)趋于 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)是不存在极限的,若考虑路径 y = − x + α 2 x 2 y=-x+\frac{\alpha}{2} x^{2} y=x+2αx2,则
    lim ⁡ ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x 2 y 2 x 3 + y 3 = lim ⁡ y = − x + α 2 x 2 + 2 ( α 2 ) 3 x 3 − α x 2 + x ( α 2 ) 3 x 3 − 3 ( α 2 ) 2 x 2 + 3 α 2 x = 2 3 α \begin{aligned} &\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2} y^{2}}{x^{3}+y^{3}}=\lim _{y=-x+\frac{\alpha}{2} x^{2}+2} \frac{\left(\frac{\alpha}{2}\right)^{3} x^{3}-\alpha x^{2}+x}{\left(\frac{\alpha}{2}\right)^{3} x^{3}-3\left(\frac{\alpha}{2}\right)^{2} x^{2}+3 \frac{\alpha}{2} x}\\ &=\frac{2}{3 \alpha} \end{aligned} (x,y)(0,0)limx3+y3x2y2=y=x+2αx2+2lim(2α)3x33(2α)2x2+32αx(2α)3x3αx2+x=3α2

    下面我们老考虑这些极限是怎样计算出来的

    事实上,从解析几何的观点来看, ( x , y ) (x,y) (x,y)沿某一路径趋于 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)可以被理解为 ( x , y ) (x,y) (x,y)在趋于 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)的过程中,变量y是一个关于变量x的函数,即 y = y ( x ) y=y(x) y=y(x),而且这个函数还满足 y 0 = y ( x 0 ) y_{0}=y\left(x_{0}\right) y0=y(x0)。因此, ( x , y ) (x,y) (x,y)沿某一路径趋于 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)时, f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)的极限可以理解为复合函数 £ f ( x , y ( x ) ) £ f(x, y(x)) £f(x,y(x)) x ⟶ x 0 x \longrightarrow x_{0} xx0时的极限。在这种观点下,我们将利用一元函数的洛必达法则来探索上述这些路径是如何被发现的。

    首先考虑 f ( x , y ) = x 3 + y 3 x 2 + y f(x, y)=\frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y} f(x,y)=x2+yx3+y3,由于此时我们将 y y y看成是一个 x x x的函数,故当 y = − x 2 + g ( x ) y=-x^{2}+g(x) y=x2+g(x) lim ⁡ x → 0 g ( x ) = 0 \lim \limits_{x \rightarrow 0} g(x)=0 x0limg(x)=0时, lim ⁡ ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x 3 + y 3 x 2 + y \lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y} (x,y)(0,0)limx2+yx3+y3是一个关于变量 x x x 0 0 \frac{0}{0} 00极限,我们知道, 0 0 \frac{0}{0} 00不定式的极限与分子和分母两个因子的阶数有关。我们假设 y = − x 2 + g ( x ) y=-x^{2}+g(x) y=x2+g(x),分子分母同时求导可得:
    lim ⁡ x → 0 3 x 2 + 3 y 2 y 2 x + y ′ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{3 x^{2}+3 y^{2} y}{2 x+y^{\prime}} x0lim2x+y3x2+3y2y
    若进一步,还有 lim ⁡ x → 0 g ′ ( x ) = 0 \lim \limits_{x \rightarrow 0} g^{\prime}(x)=0 x0limg(x)=0,再次进行求导,可得
    lim ⁡ x → 0 6 x + 6 y y ′ + 3 y 2 y ′ ′ 2 + y ′ ′ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{6 x+6 y y^{\prime}+3 y^{2} y^{\prime \prime}}{2+y^{\prime \prime}} x0lim2+y6x+6yy+3y2y
    若再一次假设 lim ⁡ x → 0 g ′ ′ ( x ) = 0 \lim \limits_{x \rightarrow 0} g^{\prime \prime}(x)=0 x0limg(x)=0,再次求导得

    lim ⁡ x → 0 6 + 6 ( y ) 2 + 12 y y ′ ′ + 3 y 2 y ′ ′ ′ y ′ ′ ′ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{6+6(y)^{2}+12 y y^{\prime \prime}+3 y^{2} y^{\prime \prime \prime}}{y^{\prime \prime \prime}} x0limy6+6(y)2+12yy+3y2y
    由于 lim ⁡ x → 0 g ( x ) = lim ⁡ x → 0 g ( x ) = lim ⁡ x → 0 g ′ ′ ( x ) = 0 \lim \limits_{x \rightarrow 0} g(x)=\lim \limits_{x \rightarrow 0} g(x)=\lim \limits_{x \rightarrow 0} g^{\prime \prime}(x)=0 x0limg(x)=x0limg(x)=x0limg(x)=0,我们对上式进行积分,可得 y = − x 2 + α 6 x 3 y=-x^{2}+\frac{\alpha}{6} x^{3} y=x2+6αx3

    下面几个例题都可以采用上述方法

    例题一:求极限 lim ⁡ ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x − y x + y \lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x-y}{x+y} (x,y)(0,0)limx+yxy
    解析:当 ( x , y ) (x,y) (x,y)沿 y = k x y=kx y=kx趋向于 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)时,有
    lim ⁡ x → 0 y → 0 x − y x + y = lim ⁡ x → 0 y = k x x − y x + y = lim ⁡ x → 0 x − k x x + k x = 1 − k 1 + k \lim _{x \rightarrow 0 \atop y \rightarrow 0} \frac{x-y}{x+y}=\lim _{x \rightarrow 0 \atop y=k x} \frac{x-y}{x+y}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-k x}{x+k x}=\frac{1-k}{1+k} y0x0limx+yxy=y=kxx0limx+yxy=x0limx+kxxkx=1+k1k
    所以极限不存在。

    例题二:求极限 lim ⁡ ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x 2 y 2 x 2 y 2 + ( x − y ) 2 \lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2} y^{2}}{x^{2} y^{2}+(x-y)^{2}} (x,y)(0,0)limx2y2+(xy)2x2y2

    解析:当 ( x , y ) (x,y) (x,y)沿着 y = x y=x y=x趋向于 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)时,有
    lim ⁡ ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x 2 y 2 x 2 y 2 + ( x − y ) 2 = lim ⁡ x → 0 x 2 y 2 x 2 y 2 + ( x − y ) 2 = lim ⁡ x → 2 x 2 x 2 x 2 x 2 + ( x − x ) 2 = 1 \begin{aligned} \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2} y^{2}}{x^{2} y^{2}+(x-y)^{2}} &=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2} y^{2}}{x^{2} y^{2}+(x-y)^{2}} \\ &=\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2} x^{2}}{x^{2} x^{2}+(x-x)^{2}}=1 \end{aligned} (x,y)(0,0)limx2y2+(xy)2x2y2=x0limx2y2+(xy)2x2y2=x2limx2x2+(xx)2x2x2=1
    ( x , y ) (x,y) (x,y)沿着 y = 0 y=0 y=0趋向于 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)时,有
    lim ⁡ ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x 2 y 2 x 2 y 2 + ( x − y ) 2 = lim ⁡ x → 0 x 2 y 2 x 2 y 2 + ( x − y ) 2 = lim ⁡ x → 0 x 2 0 2 x 2 0 2 + ( x − 0 ) 2 = 0 \begin{aligned} \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2} y^{2}}{x^{2} y^{2}+(x-y)^{2}} &=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2} y^{2}}{x^{2} y^{2}+(x-y)^{2}} \\ &=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2} 0^{2}}{x^{2} 0^{2}+(x-0)^{2}}=0 \end{aligned} (x,y)(0,0)limx2y2+(xy)2x2y2=x0limx2y2+(xy)2x2y2=x0limx202+(x0)2x202=0
    因此极限不存在。

    例题三:求极限 lim ⁡ ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x 3 + y 3 x 2 + y \lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y} (x,y)(0,0)limx2+yx3+y3

    解析:当 ( x , y ) (x,y) (x,y)沿着 y = k x 3 − x 2 y=k x^{3}-x^{2} y=kx3x2趋向于 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)时,有
    lim ⁡ ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x 3 + y 3 x 2 + y = lim ⁡ x → 0 x 3 + y 3 x 2 + y = lim ⁡ x = k x 3 − x 2 x 3 + ( k x 3 − x 2 ) 3 x 2 + k x 3 − x 2 = 1 k \begin{aligned} \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y} &=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y} \\ &=\lim _{x=k x^{3}-x^{2}} \frac{x^{3}+\left(k x^{3}-x^{2}\right)^{3}}{x^{2}+k x^{3}-x^{2}} \\ &=\frac{1}{k} \end{aligned} (x,y)(0,0)limx2+yx3+y3=x0limx2+yx3+y3=x=kx3x2limx2+kx3x2x3+(kx3x2)3=k1
    显然其随着k值得变化而变化,所以不是极值。

    例题四:求极限 lim ⁡ ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x ln ⁡ ( 1 + x y ) x + y \lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)} x \frac{\ln (1+x y)}{x+y} (x,y)(0,0)limxx+yln(1+xy)
    解析:当 ( x , y ) (x,y) (x,y)沿着 y = x α − x y=x^{\alpha}-x y=xαx趋向于 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)时,
    lim ⁡ ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x ln ⁡ ( 1 + x y ) x + y = lim ⁡ ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x 2 y x + y = lim ⁡ x → 0 y = x α − x x 2 y x + y = lim ⁡ x → 0 x α + 2 − x 3 x α = lim ⁡ x → 0 ( x 2 − x 3 − α ) = { − 1 , α = 3 0 , α < 3 0 , α > 3 \begin{aligned} \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} x \frac{\ln (1+x y)}{x+y} &=\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2} y}{x+y} \\ &=\lim _{x \rightarrow 0 \atop y=x^{\alpha}-x} \frac{x^{2} y}{x+y}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{\alpha+2}-x^{3}}{x^{\alpha}} \\ &=\lim _{x \rightarrow 0}\left(x^{2}-x^{3-\alpha}\right)=\left\{\begin{array}{ll} -1, & \alpha=3 \\ 0, & \alpha<3 \\ 0, & \alpha>3 \end{array}\right. \end{aligned} (x,y)(0,0)limxx+yln(1+xy)=(x,y)(0,0)limx+yx2y=y=xαxx0limx+yx2y=x0limxαxα+2x3=x0lim(x2x3α)=1,0,0,α=3α<3α>3
    故极限不存在。

    例题五:求极限 lim ⁡ ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x y x + y \lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y}{x+y} (x,y)(0,0)limx+yxy

    解析:当 ( x , y ) (x,y) (x,y)沿着 y = x 2 − x y=x^{2}-x y=x2x趋向于 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)时,有
    lim ⁡ ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x y x + y = lim ⁡ x → 0 y = x 2 − x x y x + y = lim ⁡ x → 0 x ( x 2 − x ) x + x 2 − x = lim ⁡ x → 0 ( x − 1 ) = − 1 \begin{aligned} \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y}{x+y} &=\lim _{x \rightarrow 0 \atop y=x^{2}-x} \frac{x y}{x+y} \\ &=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x\left(x^{2}-x\right)}{x+x^{2}-x} \\ &=\lim _{x \rightarrow 0}(x-1)=-1 \end{aligned} (x,y)(0,0)limx+yxy=y=x2xx0limx+yxy=x0limx+x2xx(x2x)=x0lim(x1)=1
    ( x , y ) (x,y) (x,y)沿着 y = x y=x y=x趋向于 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)时,有
    lim ⁡ ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x y x + y = lim ⁡ x → 0 y = x x y x + y = lim ⁡ x → 0 x 2 2 x = 0 \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y}{x+y}=\lim _{x \rightarrow 0 \atop y=x} \frac{x y}{x+y}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}}{2 x}=0 (x,y)(0,0)limx+yxy=y=xx0limx+yxy=x0lim2xx2=0
    故极限不存在。

    例题六:求证 lim ⁡ ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x y \lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)} x^y (x,y)(0,0)limxy不存在
    证明:当 ( x , y ) (x,y) (x,y)沿着 y = k ln ⁡ x y=\frac{k}{\ln x} y=lnxk趋向于 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)时,有
    lim ⁡ ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x y = e k \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} x^y=e^k (x,y)(0,0)limxy=ek
    所以极限不存在

    例题七:求证 lim ⁡ ( x , y ) → ( 1 , 1 3 ) tan ⁡ 3 π y 12 y − 4 − arctan ⁡ x 1 − x 4 \lim \limits_{(x, y) \rightarrow\left(1, \frac{1}{3}\right)} \frac{\frac{\tan 3 \pi y}{12 y-4}-\arctan x}{1-x^{4}} (x,y)(1,31)lim1x412y4tan3πyarctanx不存在
    证明:
    因为
    tan ⁡ 3 π y 12 y − 4 = π 4 + π 3 12 ( 3 y − 1 ) 2 + O ( ( 3 y − 1 ) 4 ) \frac{\tan 3 \pi y}{12 y-4}=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi^{3}}{12}(3 y-1)^{2}+O\left((3 y-1)^{4}\right) 12y4tan3πy=4π+12π3(3y1)2+O((3y1)4)
    x = 3 y x=3y x=3y,则
    tan ⁡ 3 π y 12 y − 4 − arctan ⁡ x = 1 − x 2 + o ( 1 − x ) lim ⁡ ( x , y ) → ( 1 , 1 3 ) tan ⁡ 3 π y 12 y − 4 − arctan ⁡ x 1 − x 4 = lim ⁡ x → 1 1 − x 2 + o ( 1 − x ) 1 − x 4 = 1 8 \begin{array}{l} \frac{\tan 3 \pi y}{12 y-4}-\arctan x=\frac{1-x}{2}+o(1-x) \\ \lim _{(x, y) \rightarrow\left(1, \frac{1}{3}\right)} \frac{\frac{\tan 3 \pi y}{12 y-4}-\arctan x}{1-x^{4}}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\frac{1-x}{2}+o(1-x)}{1-x^{4}}=\frac{1}{8} \end{array} 12y4tan3πyarctanx=21x+o(1x)lim(x,y)(1,31)1x412y4tan3πyarctanx=limx11x421x+o(1x)=81
    3 y − 1 = 1 − x 3 3 y-1=\sqrt[3]{1-x} 3y1=31x
    则有
    KaTeX parse error: Expected group after '_' at position 239: …{1-x^{4}}=\lim _̲\limits{x \righ…
    故极限不存在。

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  • 极限存在的情况

    万次阅读 2020-02-23 13:29:22
    极限不存在有三种情况:1.极限为无穷,很好理解,明显...2极限存在与否的判断 1、结果若是无穷小,无穷小就用0代入,0也是极限。 2、若是分子的极限是无穷小,分母的极限不是无穷小,答案就是0,整体的极限存在。 ...

    极限不存在有三种情况:1.极限为无穷,很好理解,明显与极限存在定义相违。2.左右极限不相等,例如分段函数。3.没有确定的函数值,例如lim(sinx)从0到无穷。

    极限不存在三种情况

    1极限不存在

    ①极限为无穷大时,极限不存在。

    ②左右极限不相等。

    2极限存在与否的判断

    1、结果若是无穷小,无穷小就用0代入,0也是极限。

    2、若是分子的极限是无穷小,分母的极限不是无穷小,答案就是0,整体的极限存在。

    3、如果分子的极限不是无穷小,而分母的极限是无穷小,答案不是正无穷大,就是负无穷大,整体的极限不存在。

    4、若分子分母各自的极限都是无穷小,那就必须用罗毕达方法确定最后的结果。

    3极限的存在准则

    有些函数的极限很难或难以直接运用极限运算法则求得,需要先判定。下面介绍几个常用的判定数列极限的定理。

    1.夹逼定理:(1)当x∈U(Xo,r)(这是Xo的去心邻域,有个符号打不出)时,有g(x)≤f(x)≤h(x)成立

    (2)g(x)—>Xo=A,h(x)—>Xo=A,那么,f(x)极限存在,且等于A。不但能证明极限存在ÿ

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  • 1.5 极限存在准则和两个重要极限

    千次阅读 2020-08-28 15:47:47
    本篇为极限部分最为重要的重点,极限存在准则和两个重要极限 一、极限存在准则 准则1:通敛定理(夹逼定理) 数列应用 通敛定理求数列极限的两件事: 找出一个比原数列小的数列,找出一个比原数列大的数列...
  • 1. 问题引入 2. 函数极限与数列极限的关系(海涅定理(极限的归一性)) 3. (函数极限)夹逼定理 4. 两个重要极限的证明和应用 ...
  • 一、极限的概念与性质(一)极限的定义(二)极限的性质(三)两个重要极限二、极限存在性的判别(一)极限存在的两个准则(二)极限存在的一个充要条件(三)证明函数极限不存在的常用方法三、求极限的方法(一)...
  • 数列极限存在的条件

    千次阅读 2019-08-08 10:40:56
    实数系,数列有界+单调⇒\Rightarrow⇒数列必有极限 任何数列都存在单调子列(P39 例5) 致密性定理 任何有界数列必有收敛的子列 柯西收敛准则(柯西条件) {an}\{a_n\}{an​}收敛⇔\Leftrightarrow⇔ 对∀ε&gt...
  • 高数极限求解方法

    千次阅读 2019-05-15 12:49:40
    高数极限求解方法(入门) 极限的定义这里就不多说了,这里主要讲求解极限方法极限的形极主要跟0,1,a,∞0,1,a,\infty0,1,a,∞相关,其中aaa是不等于0,1,∞0,1,\infty0,1,∞的实数。对于与aaa相关的极限求解不需要...
  • 高数篇:11.01多元函数求极限方法

    千次阅读 2021-04-07 15:40:53
    高数篇:11.01多元函数求极限方法高数篇:11.01多元函数求极限方法转化为极坐标转化为一元函数夹逼定理无穷小替换定义法证明极限存在转载需注明出处 高数篇:11.01多元函数求极限方法 转化为极坐标 ρ趋于0时与θ...
  • 非线性系统极限

    2015-11-21 19:54:36
    预备知识 极限环的有关背景 极限环的有关概念 极限环的存在性 判定函数法
  • 第三十二讲 极限

    千次阅读 2019-02-07 15:28:38
    判断是否存在:目前还没有办法判断一个方程组是否极限环。庞加莱-本迪克松定理已经过时,找极限环困难的地方是:你不知道在什么地方找它们,除非方程组背后的物理系统暗示存在某种周期性的现象。因此目前找极限环...
  • 1、如果函数z=f(x, y) 在(x, y)处的全增量Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)可以表示为 Δz=AΔx+BΔy+o(ρ),则该函数全微分存在,可以证明,此时A=?z/?x,B=?z/?y,因此.这类问题一般都是证明在某点处偏导数存在,注意这时...
  • 考研数学——求极限方法总结

    千次阅读 多人点赞 2020-02-11 10:34:41
    常用求极限方法说明等价无穷小用法要点使用条件以及原理例子洛必达法则用法要点合理的创建标题,有助于目录的生成如何改变文本的样式插入链接与图片如何插入一段漂亮的代码片生成一个适合你的列表创建一个表格设定...
  • 概率论中的一些定律,尤其在贝叶斯分类器中的独立同分布的中心极限定理
  • 数列极限的性质与判定

    千次阅读 2020-10-06 18:57:35
    从上篇博文给出的收敛数列严格定义上来看,收敛数列一定是依赖于他的...那么从定义出发,如此严格才能定义出来的收敛数列具有哪些性质,又有哪些性质能够脱离收敛值而独立存在的呢,这就是这篇博客中我们要讨论的内容
  • 级数收敛判断方法

    千次阅读 2020-11-03 16:47:09
    级数收敛判断方法正项级数比较判别法极限判别法的极限形式Cauchy 判别法(柯西判别法)d'Alembert 判别法(达朗贝尔判别法)Raabe 判别法 (拉比判别法) 正项级数 比较判别法 设 ∑n=1∞xn\sum_{n=1}^{\infty} x_n...
  • 今天的文章聊聊高等数学当中的极限,我们跳过极限定义以及一些常用极限计算的部分。我想对于一些比较常用的函数以及数列的极限,大家应该都非常熟悉。 大部分比较简单的函数或者数列,我们可以很直观地看出来它们的...
  • 不定型极限的计算问题

    万次阅读 多人点赞 2017-01-20 01:19:07
    - 00\frac{0}{0}型常用的计算方法:等价无穷小替换法、洛必达法则、麦克劳林公式 - 出现u(x)h(x)u(x)^{h(x)},化为eh(x)⋅lnu(x)e^{h(x)\cdot\ln{u(x)}} - 出现ln(1+Δ)\ln{(1+\Delta)},使用ln(1+Δ)∼Δ\ln{(1+\...
  • 复合函数的极限存在性,x->x0,g(x)->u x->u,f(x)->A; x->x0,f(g(x))->A需要一个条件:g(x)在x0的去心领域内不等于g(x0) 解释:x->u,f(x)->A是x->u的时候,不包括x=u的情况比如f(x)=x*sin(1/x),x->0的时候,f(x)...
  • 极限什么情况可以拆开?

    千次阅读 2021-10-30 20:11:33
    总结:就是极限为加减形式时,只要有一个存在就可以拆,乘除时如果没有出现无穷小,只要有一个存在就可以拆,但如果出现无穷小,就要慎重考虑另一个函数是否存在,如果不存在就不能拆。 (我的理解:乘除也许说的是这...
  • 本文介绍利用MATLAB求解函数或...目录单变量函数的极限极限的定义普通极限L=lim⁡x→x0f(x)L=\lim_{x \rightarrow x_0} {f(x)}L=x→x0​lim​f(x)左极限L=lim⁡x→x0−f(x)L=\lim_{x \rightarrow x_0^-} {f(x)}L=...
  • 极限求解--递推型数列

    千次阅读 2020-07-23 16:58:24
      递推型数列,一般可以表示为x(n+1)=f(x(n)),这一类题目的基本思想都是“先证明数列的极限存在,然后再求出极限值”,求极限值比较简单,设极限求等式就行了,难点在于证明极限存在。通常采用的方法是单调有界...
  • 展开全部方法有3个:1.理论法:若f(x)在定义域[a,b]上连续,或者放宽到常义可e68a84e8a2ad62616964757a686964616f31333365666137积(有限个第一类间断点),则f(x)在[a,b]上必然有界。2.计算法:切分(a,b)内连续limx→...
  • 关于高数中导数极限与函数可导性的关系相关定义导数在一个点的极限的连续性与函数在一个点的可导性的关系推导导数的连续性证明导数极限的情况...首先要分清楚,导数在一个点(x=x0)的极限是否存在,与函数在一个点
  • 通常我们说的加减法进位方式判断是否溢出一般指的都是补码方式运算下的。无论是一位符号位还是两位符号位,逻辑是相同的。先由一位符号位说起。假设是5位机器位,一位用作符号位,四位用作数据位,那么数据的表示...
  • 极限及简单例题

    千次阅读 2021-03-23 18:25:54
    极限存在性问题4.4题型六 含参极限问题五 接力题典 一 极限 1.1 极限定义 函数极限存在的充要条件是左右极限都存在且相等 1.2 极限的一般性质 唯一性 极限若存在,则极限一定唯一 保号性 存在去心邻域使得f(x)...

空空如也

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