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  • 判断椭圆焦点位置
    2021-03-09 20:23:22
    画椭圆

    .wrapper{margin:0 auto;width: 500px; margin: 0 auto;border: 1px solid #000000;}

    .content{position: relative;height: 500px;}

    .dot{position: absolute;width:1px;height: 1px;overflow: hidden;font-size:0;line-height: 0; background: #333;}

    画一个椭圆并判断点击是否在椭圆内

    //*********定义加载模块方法 start **************//

    (function(window, undefined) {if(window.define) {return}functionisFunction(obj) {return Object.prototype.toString.call(obj) === "[object Function]"}var MM ={};var initModuleName = "initRun";functionrequire(name) {if (!MM[name]) {throw new Error("Module " + name + " is not defined.")

    }var module =MM[name];if (module.inited === false) {

    runModule(name)

    }returnmodule.ret

    }functionrunModule(name) {var exports ={};var module =MM[name];if(isFunction(MM[name].factory)) {var ret =MM[name].factory.apply(undefined, [require, exports, undefined]);

    module.ret= ret === undefined ?exports : ret

    }else{

    module.ret=MM[name].factory

    }

    module.inited= true}functiondefine(name, deps, factory) {if(MM[name]) {throw new Error("Module " + name + " has been defined already.")

    }if(isFunction(deps)) {

    factory=deps

    }

    MM[name]= {factory:factory, inited:false};if (name ===initModuleName) {

    runModule(name)

    }

    }

    window.define=define

    })(window);//*********定义加载模块方法 end **************//

    /**

    * @author ruby

    * @despretion 画椭圆并判断点击是否在椭圆内

    * @return*/(function(){/**

    * @dec 可以进行缓存的节点

    * @type {Object}*/

    var $dom ={

    content : $('#content')

    }/**

    * @despretion定义 画椭圆函数*/define('mode/drawEliplse',function(require){var ElipObj ={

    draw :function(el,a,b){var dotHtmlArr = [],//储存 画点的 html元素

    leftStyle , rightStyle; //左右的样式值

    var widthEl = el && el[0].offsetWidth ,

    heightEl= el && el[0].offsetHeight;for(var i = 0; i < 360;i++){

    leftStyle= (a*Math.sin(i) + (widthEl-2)/2) + "px";

    rightStyle = (b*Math.cos(i) + (heightEl-2)/2) + "px";

    dotHtmlArr.push('

    }

    el.html(dotHtmlArr.join(""));

    }

    ,/**

    * @desc 判断点击是否在椭圆内 算法在椭圆内点 左边点带入 后值小于1

    * @param a 椭圆长

    * @param b 椭圆宽

    * @param x 鼠标x坐标

    * @param y 鼠标y坐标

    * @parm true 在椭圆内 false 不在椭圆内*/prove :function(a,b,x,y){return Math.pow((x/a),2) + Math.pow((y/b),2) < 1 ? true : false;

    }

    }returnElipObj;

    });/**

    * @desc需要进行绑定的事件*/define('view/bindFun',function(require){var drawMode = require("mode/drawEliplse");

    $dom.content.bind('click',function(e){if (e.pageX ||e.pageY) {var x =e.pageX,

    y=e.pageY;

    }else{var x = e.clientX + document.body.scrollLeft -document.body.clientLeft,

    y= e.clientY + document.body.scrollTop -document.body.clientTop;

    }var offsetX = $(this).offset().left,

    offsetY= $(this).offset().top;//鼠标所在点位置相对与中心点

    x = x - offsetX - ($(this)[0].offsetWidth -2)/2;

    y = y - offsetY - ($(this)[0].offsetHeight -2)/2;

    if( drawMode.prove(100,80,x,y) ){

    alert("点击在椭圆内");

    }

    });

    });/**

    * @desc 模块启动函数*/define('initRun',function(require){var drawMode = require("mode/drawEliplse");

    drawMode.draw($dom.content,100,80);

    require("view/bindFun");

    })

    })()

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    问题描述 : 如上图所示,我们的目的是判断在二维空间中任意一椭圆与任意一点pi(xi,yi)p_i(x_i,y_i)pi​(xi​,yi​)的位置关系,这样的位置关系有三种 : 1 点在椭圆上; 2 点在椭圆中; 3 点在椭圆外。 解决思路 : 从最...

    平面上任意椭圆与点的位置关系

    未标题-1.png-32.6kB

    问题描述 : 如上图所示,我们的目的是判断在二维空间中任意一椭圆与任意一点 p i ( x i , y i ) p_i(x_i,y_i) pi(xi,yi)的位置关系,这样的位置关系有三种 : 1 点在椭圆上; 2 点在椭圆中; 3 点在椭圆外。

    解决思路 :

    从最简单的开始讲起, 在初中时候学到过,对于一个焦点在 x x x轴或 y y y轴的椭圆来讲有标准方程 :
    x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 a2x2+b2y2=1
    或者
    y 2 a 2 + x 2 b 2 = 1 \frac{y^2}{a^2} + \frac{x^2}{b^2} = 1 a2y2+b2x2=1
    利用标准方程,判断点与椭圆的位置关系十分容易,以焦点在 x x x轴上的椭圆为例, ∀ p ( x i , y i ) ∈ R 2 \forall p(x_i,y_i)\in R^2 p(xi,yi)R2,这里不加证明的给出位置关系的判别式 :
    (1) 若
    x i 2 a 2 + y i 2 b 2 &lt; 1 \frac{x_i^2}{a^2} + \frac{y_i^2}{b^2} &lt; 1 a2xi2+b2yi2<1
    点在椭圆内;
    (2) 若
    x i 2 a 2 + y i 2 b 2 = 1 \frac{x_i^2}{a^2} + \frac{y_i^2}{b^2} = 1 a2xi2+b2yi2=1
    点在椭圆上;
    (3) 若
    x i 2 a 2 + y i 2 b 2 &gt; 1 \frac{x_i^2}{a^2} + \frac{y_i^2}{b^2} &gt; 1 a2xi2+b2yi2>1
    点在椭圆外。
    这一块证明的资料很多,在此就不再赘述了。


    现在将问题泛化 : 对于任意的一个椭圆如何求其与点 p i p_i pi的关系。根据上面的结论我们可以很自然的思考,如果通过一种坐标系的变换,将任意的椭圆都变为焦点在 x x x轴,或 y y y轴的椭圆,那么其与点 p i p_i pi位置关系的判断将是十分容易,只需要带入已知公式即可,根据这样的思路,我们建立如下坐标系。
    image_1da8epiv1phogiqemb1lrqi863i.png-57.6kB

    如上图所示,在新的坐标系 x ′ 0 ′ y ′ x&#x27;0&#x27;y&#x27; x0y中,椭圆的焦点处于坐标轴上,可以使用椭圆的标准方程进行求解,唯一的问题是如何将任给一点 p i p_i pi变换到 x ′ 0 ′ y ′ x&#x27;0&#x27;y&#x27; x0y,证明的方式有很多种,在此选用基变换.
    下述方法中,变换后向量的起点 0 ′ 0&#x27; 0的坐标是 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)点,为了满足这个条件,首先对 p i p_i pi进行简单的平移变换,
    x i = x i − x 0 y i = y i − y 0 x_i = x_i - x_0 \\ y_i = y_i - y_0 xi=xix0yi=yiy0
    注 : ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0) 是椭圆圆心坐标.

    求解 :
    在原始坐标系 x 0 y x0y x0y中选取一组单位正交基 { e 1 ⃗ , e 2 ⃗ } , e 1 ⃗ = ( 1 , 0 ) , e 2 ⃗ = ( 0 , 1 ) \{ \vec{e_1},\vec{e_2} \},\vec{e_1} = (1,0),\vec{e_2} = (0,1) {e1 ,e2 },e1 =(1,0),e2 =(0,1),显然 p i ⃗ = x i e 1 ⃗ + y i e 2 ⃗ \vec{p_i} = x_i \vec{e_1} + y_i \vec{e_2} pi =xie1 +yie2 .
    如上图先将 e 1 ⃗ , e 2 ⃗ \vec{e_1},\vec{e_2} e1 ,e2 旋转 θ \theta θ角,根据向量旋转公式:
    ( e 1 ′ ⃗ ) T = [ cos ⁡ ( θ ) − sin ⁡ ( θ ) sin ⁡ ( θ ) cos ⁡ ( θ ) ] ⋅ [ 1 0 ] ( e 2 ′ ⃗ ) T = [ cos ⁡ ( θ ) − sin ⁡ ( θ ) sin ⁡ ( θ ) cos ⁡ ( θ ) ] ⋅ [ 0 1 ] (\vec{e_1&#x27;})^T = \begin{bmatrix} \cos(\theta)&amp; -\sin(\theta)\\ \sin(\theta) &amp; \cos(\theta) \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \\ (\vec{e_2&#x27;})^T = \begin{bmatrix} \cos(\theta)&amp; -\sin(\theta)\\ \sin(\theta) &amp; \cos(\theta) \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} (e1 )T=[cos(θ)sin(θ)sin(θ)cos(θ)][10](e2 )T=[cos(θ)sin(θ)sin(θ)cos(θ)][01]
    综上 e 1 ′ ⃗ = ( cos ⁡ θ , sin ⁡ θ ) , e 2 ′ ⃗ = ( − s i n θ , c o s θ ) \vec{e_1&#x27;} = \left ( \cos \theta ,\sin\theta \right ),\vec{e_2&#x27;} = (-sin\theta,cos\theta) e1 =(cosθ,sinθ),e2 =(sinθ,cosθ), 显然其满足这几点 :
    (1) e 1 ′ ⃗ , e 2 ′ ⃗ \vec{e_1&#x27;},\vec{e_2&#x27;} e1 ,e2 线性无关
    (2) e 1 ′ ⃗ ⋅ e 2 ′ ⃗ = 0 \vec{e_1&#x27;}\cdot\vec{e_2&#x27;} = 0 e1 e2 =0
    (3) ∣ e 1 ′ ⃗ ∣ = ∣ e 2 ′ ⃗ ∣ = 1 \left | \vec{e_1&#x27;} \right | = \left | \vec{e_2&#x27;} \right | = 1 e1 =e2 =1
    以上通过旋转矩阵求出了新坐标系下的一组正交基,下面只需要求 p i ⃗ \vec{p_i} pi 在新的基下的表示即可,解法有多种,下面展示一种通过求过度矩阵来进行求解的方法 :
    e 1 ′ ⃗ , e 2 ′ ⃗ \vec{e_1&#x27;},\vec{e_2&#x27;} e1 ,e2 通过 e 2 ⃗ , e 2 ⃗ \vec{e_2},\vec{e_2} e2 ,e2 进行表示 :
    e 1 ′ ⃗ = cos ⁡ θ ⋅ e 1 ⃗ + sin ⁡ θ ⋅ e 2 ⃗ e 2 ′ ⃗ = − sin ⁡ θ ⋅ e 1 ⃗ + cos ⁡ θ ⋅ e 2 ⃗ \vec{e_1&#x27;} = \cos\theta \cdot \vec{e_1} + \sin\theta \cdot \vec{e_2} \\ \vec{e_2&#x27;} = -\sin\theta \cdot \vec{e_1} + \cos\theta \cdot \vec{e_2} \\ e1 =cosθe1 +sinθe2 e2 =sinθe1 +cosθe2
    由上可以求出过渡矩阵
    C = [ cos ⁡ ( θ ) − sin ⁡ ( θ ) sin ⁡ ( θ ) cos ⁡ ( θ ) ] C = \begin{bmatrix} \cos(\theta)&amp; -\sin(\theta)\\ \sin(\theta) &amp; \cos(\theta) \end{bmatrix} C=[cos(θ)sin(θ)sin(θ)cos(θ)]
    所以 e 1 ⃗ , e 2 ⃗ \vec{e_1},\vec{e_2} e1 ,e2 e 1 ′ ⃗ , e 2 ′ ⃗ \vec{e_1&#x27;},\vec{e_2&#x27;} e1 ,e2 的坐标变换表示为 :
    [ x i ′ y i ′ ] = C − 1 ⋅ [ x i y i ] \begin{bmatrix} x_i&#x27;\\ y_i&#x27; \end{bmatrix} = C^{-1}\cdot \begin{bmatrix} x_i \\ y_i \end{bmatrix} [xiyi]=C1[xiyi]
    整理可以得到 :
    x ′ = cos ⁡ θ ⋅ x + sin ⁡ θ ⋅ y y ′ = − sin ⁡ θ ⋅ x + cos ⁡ θ ⋅ y x&#x27; = \cos\theta \cdot x + \sin\theta \cdot y \\ y&#x27; = -\sin\theta \cdot x + \cos\theta \cdot y x=cosθx+sinθyy=sinθx+cosθy
    上述关系式还可以通过向量间的投影关系得到.

    最后将变换后的 ( x i ′ , y i ′ ) (x&#x27;_i,y&#x27;_i) (xi,yi)带入判别式,计算即可。

    展开全文
  • 我想找到图像中每个像素坐标到椭圆的距离 .为了找到距离,我使用下面的公式,其中p是像素的点,h是椭圆 . x,y是像素坐标,x(c),y(c)是椭圆中心,θ是椭圆角,α和β分别是椭圆的长轴和短轴 .确定每个点到椭圆的...

    我想找到图像中每个像素坐标到椭圆的距离 .

    为了找到距离,我使用下面的公式,其中p是像素的点,h是椭圆 . x,y是像素坐标,x(c),y(c)是椭圆中心,θ是椭圆角,α和β分别是椭圆的长轴和短轴 .

    hDgjM.png

    确定每个点到椭圆的距离的代码如下所示 . 如果距离D <1则表示该点在椭圆内,在这种情况下我将其变为灰色 . 如果D> 1则表示该点位于椭圆之外,在这种情况下,我将其保留原样 . 下面是我得到的输出图像 . 出于某种原因,我认为我的距离计算是正确的,但我的轮换有问题 . 对我来说,一切看起来都正确,我无法看到问题 . 请帮忙 . 我需要的是椭圆中的所有像素都应该是灰色的,但对我来说,灰色区域形成一个椭圆,但似乎我在某处旋转时出错了 .

    Mat distance2ellipse(Mat image, RotatedRect ellipse){

    float distance = 2.0f;

    float angle = ellipse.angle;

    Point ellipse_center = ellipse.center;

    float major_axis = ellipse.height;

    float minor_axis = ellipse.width;

    Point pixel;

    float a,b,c,d;

    for(int x = 0; x < image.cols; x++)

    {

    for(int y = 0; y < image.rows; y++)

    {

    Scalar intensity = image.at(Point(x, y));

    pixel.x=x;

    pixel.y=y;

    a = (cos(angle*PI/180)*(pixel.x-ellipse_center.x))/(major_axis);

    b = (sin(angle*PI/180)*(pixel.y-ellipse_center.y))/(minor_axis);

    c = (sin(angle*PI/180)*(pixel.x-ellipse_center.x))/(major_axis);

    d = (cos(angle*PI/180)*(pixel.y-ellipse_center.y))/(minor_axis);

    distance = sqrt(pow((a-b),2)+pow((c+d),2));

    if(distance<1)

    {

    image.at(Point(x,y)) = 140;

    }

    }

    }

    return image;}

    这是我得到的输出 . 灰色区域应为粉红色椭圆 .

    22d804eeff89bf9b19a79ce12b8f0a5f.png

    展开全文
  • 本文主要讲解了从椭圆的定义及表达式多重入手判断一个点是否在椭圆内部,再结合processing编程编写判断程序,并且列出了processing如何画椭圆、圆、三角形、矩形的多种方法,图文并茂,

    第二篇更新啦!!!!

    上一篇我们详细地讲了processing判断点击是否在三角形和圆内,这一期我们主要讲如何判断点击在椭圆和矩形内部,喜欢就麻烦点赞加关注吧,谢谢噢,你的支持是我继续创作的动力!!!

    上一期:http://t.csdn.cn/2gBLthttp://t.csdn.cn/2gBLt(上一期主要是圆和三角形)

    最新一期:直接上processing+Arduino代码,实现软硬件结合

    http://t.csdn.cn/yCWMf

    目录

    一:如何判断点击是否在椭圆内:

    (一)椭圆与点的关系:

    方法一:

    方法二: 

    (二)实现

    在这里有一个易错点:

    x轴——方法一代码:(表达式实现)

    x轴——方法二代码:(|MF1|+|MF2|=2a实现)

    y轴——方法一代码:(表达式实现)

    y轴——方法二代码:(|MF1|+|MF2|=2a实现)

    二、如何判断点击点是否在矩形内


    强调一下噢,上一篇是重点讲解processing判断点击是否在三角形和圆内,这一篇重点讲解如何判断点击是否在椭圆和矩形内部,

    话不多说,上干货:

    一:如何判断点击是否在椭圆内:

    我们在高中都学过椭圆的表达式:b%5E2%3D1%2C%28a%3Eb%3E0%29%3B(焦点在x轴,后面我们都是以焦点在x轴作讲解,焦点在y轴同理)

    那么我们是否可以根据此表达式算出点与椭圆的关系呢?

    当然可以啦,如果大家忘记椭圆的相关信息了,没关系,下面我会详细讲解,不用担心!!!

    (一)椭圆与点的关系:

    无非就三点:1、点在椭圆上;2、点在椭圆内;3、点在椭圆外。

    方法一:

    1、点在椭圆上:

    把点的坐标(x,y)代入椭圆表达式,如果结果等于1,那么就在椭圆的边上

    2、点在椭圆内:

    把点的坐标(x,y)代入椭圆表达式,如果结果小于1,那么就在椭圆的里面。

    3、点在椭圆外:

    把点的坐标(x,y)代入椭圆表达式,如果结果大于1,那么就在椭圆的外面。

    方法二: 

     除了用表达式,我们还可以用距离:

    我们知道椭圆两个焦点F1(-c,0),F2(c,0),如果此时有椭圆上一个点M(x1,y1)那么就有:

    |MF1|+|MF2|=2a

    如果一个点不在椭圆上即在椭圆外或内是什么样呢?

    椭圆外:

     明显当点在椭圆外:|MF1|+|MF2| > 2a

    椭圆内:

      明显当点在椭圆外:|MF1|+|MF2| < 2a

    综合上述,我们也可以用椭圆的定义做

    (二)实现

    我们又知道在processing中画椭圆与画圆是同一个函数:

    ellipse(x,y,2a,2b);//y轴:ellipse(x,y,2b,2a);

    那么在(一)中叙述的方法,不管是方法一还是方法二,都只需要知道点击点的坐标(mouseX,mouseY)和椭圆的,a、b/c即可,那么这个我们能不能知道呢?当然可以

    由上面那个代码我们看到第一二个参数是我们椭圆的中心点,而第三四个参数就是椭圆的2a,2b,(记住是二倍窝) ,又有:a^2-b^2=c^2,那么c我们也可以直接求出来啦,当然方法一并不需要求c,所以我这里的代码就重点展示方法一,对于方法二的话,各位朋友只需要代入公式求出c,然后再像我上一篇讲的那样,用两点距离公式求线段长度,再套入公式计算比较就可以啦,非常容易实现!!!

    在这里有一个易错点:

    我们的表达式是基于椭圆中心点是在原点,焦点是在x轴上实现的,而processing中的坐标原点是在左上角的,所以在编写代码的时候要注意把鼠标点击的坐标减去中心点的值也就是mouseX-x(中心点坐标),mouseY-y(中心点坐标),可以理解就是将我们的抽象地认为我们已经把椭圆、鼠标挪回了原点,因为我们的a,b是一个静值,所以挪的只是鼠标点就可以了,mouseX-x(中心点坐标),mouseY-y(中心点坐标)就是一个把点击点mouse往x轴移动了x,往y轴移动了y,从而回到了相对坐标系的原点,话不多说,上代码:

    x轴——方法一代码:(表达式实现)

    void setup(){
      size(300,300);//300*300的画布
    }
    void draw() {
      fill(0,0,255);//蓝色
      ellipse(150,150,80,50);//画了一个中心点在(150,150),a=40,b=25的椭圆
    }
    void mouseClicked(){
      float x1=mouseX-150;//抽象挪回原点,一定要用float
      float y1=mouseY-150;
      float tuo=sq(x1/40)+sq(y1/25);//表达式计算
      println(mouseX,mouseY,tuo);//输出鼠标点击位置,及计算结果
      if(tuo<=1){//在椭圆内
        println("Inside ellipse");
      }else{//在椭圆外
          println("Outside ellipse");
        }
      
    }

    有我没说明白的部分请后台私信我噢,也欢迎大家找我交流学习!!!谢谢!!!

    运行效果:

    x轴——方法二代码:(|MF1|+|MF2|=2a实现)

    这个就不如方法一简单了,首先要用公式a^2-b^2=c^2计算出c,从而确定F1,F2的坐标,再用公式gif.latex?s%3D%5Csqrt%7B%28x1-x2%29%5E2&plus;%28y1-y2%29%5E2%7D计算 |MF1| 和 |MF2| ,最后再用判断语句判断与2a的关系,这就是编程思路,当然还要注意坐标系的问题,上代码:

    void setup(){
      size(300,300);
    }
    void draw() {
      fill(0,0,255);
      ellipse(150,150,80,50);
    }
    void mouseClicked(){
      float x1=mouseX-150;
      float y1=mouseY-150;
      float c=sqrt(sq(80/2)-sq(50/2));
      float MF1=sqrt(sq(x1+c)+sq(y1-0));
      float MF2=sqrt(sq(x1-c)+sq(y1-0));
      println(mouseX,mouseY,MF1,MF2,c);
      if(MF1+MF2<=80){
        println("Inside ellipse");
      }else{
          println("Outside ellipse");
        }
      
    }

    运行效果:

    一样正常判断

     以上就是基于processing判断鼠标点击点是否在一个焦点在x轴的过程啦!!!

    y轴——方法一代码:(表达式实现)

    表达式:y^2/a^2+x^2/b^2=1;(a>b>0);所以就只需要换一下x,y的计算位置就好啦!!!

    void setup(){
      size(300,300);
    }
    void draw() {
      fill(0,0,255);
      //ellipse(150,150,80,50);
      ellipse(150,150,50,80);
    }
    void mouseClicked(){
      float a=mouseX-150;
      float b=mouseY-150;
      //float tuo=sq(a/40)+sq(b/25);
      float tuo=sq(b/40)+sq(a/25);//表达式计算改了
      println(mouseX,mouseY,tuo);
      if(tuo<=1){
        println("Inside ellipse");
      }else{
          println("Outside ellipse");
        }
      
    }

    运行效果:

    y轴——方法二代码:(|MF1|+|MF2|=2a实现)

    void setup(){
      size(300,300);
    }
    void draw() {
      fill(0,0,255);
      //ellipse(150,150,80,50);
      ellipse(150,150,50,80);
    }
    void mouseClicked(){
      float x1=mouseX-150;
      float y1=mouseY-150;
      float c=sqrt(sq(80/2)-sq(50/2));
      float MF1=sqrt(sq(x1-0)+sq(y1+c));//只改坐标即可
      float MF2=sqrt(sq(x1-0)+sq(y1-c));
      println(mouseX,mouseY,MF1,MF2,c);
      if(MF1+MF2<=80){
        println("Inside ellipse");
      }else{
          println("Outside ellipse");
        }
      
    }

    运行效果:

    以上就是基于processing判断鼠标点击点是否在一个焦点在y轴的过程啦!!!

     至此判断点击点是否在椭圆内部的讲解到此结束啦,有疑惑的记得私信我噢,进我主页说不定后面也有更新!!!

    前调一次:想看判断一个点是否在三角形、圆内部的请看我的另一篇:http://t.csdn.cn/2gBLthttp://t.csdn.cn/2gBLt

    二、如何判断点击点是否在矩形内

    矩形就相对比较简单啦,不像前面介绍的那么复杂,因为矩形是一个非常规则的图形,只需要掌握其x,y坐标的范围就已经可以直接确定他的位置啦,直接上代码:

    画矩形的两种方法:

    rect(x, y, a, b);
    quad(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4);

    说明:rect这个方法的第一二个参数是矩形左上角坐标值,a,b分别是x,y轴上的长度

    quad:比较复杂,如图:

     代码:

    void setup(){
      size(300,300);
    }
    void draw() {
      fill(255,0,0);
      rect(100, 100, 10, 100);
    }
    void mouseClicked(){
      if((mouseX>=100)&(mouseX<=200)&(mouseY>=100)&(mouseY<=200)){
      println("Inside rectangle");
      }else{
          println("Outside rectangle");
        }
    }

    运行效果:

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判断椭圆焦点位置