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  • 平面上任意椭圆与点的位置关系

    千次阅读 2019-05-07 16:09:46
    问题描述 : 如上图所示,我们的目的是判断在二维空间中任意一椭圆与任意一点pi(xi,yi)p_i(x_i,y_i)pi​(xi​,yi​)的位置关系,这样的位置关系有三种 : 1 点在椭圆上; 2 点在椭圆中; 3 点在椭圆外。 解决思路 : 从最...

    平面上任意椭圆与点的位置关系

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    问题描述 : 如上图所示,我们的目的是判断在二维空间中任意一椭圆与任意一点pi(xi,yi)p_i(x_i,y_i)的位置关系,这样的位置关系有三种 : 1 点在椭圆上; 2 点在椭圆中; 3 点在椭圆外。

    解决思路 :

    从最简单的开始讲起, 在初中时候学到过,对于一个焦点在xx轴或yy轴的椭圆来讲有标准方程 :
    x2a2+y2b2=1 \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
    或者
    y2a2+x2b2=1 \frac{y^2}{a^2} + \frac{x^2}{b^2} = 1
    利用标准方程,判断点与椭圆的位置关系十分容易,以焦点在xx轴上的椭圆为例,p(xi,yi)R2\forall p(x_i,y_i)\in R^2,这里不加证明的给出位置关系的判别式 :
    (1) 若
    xi2a2+yi2b2<1 \frac{x_i^2}{a^2} + \frac{y_i^2}{b^2} < 1
    点在椭圆内;
    (2) 若
    xi2a2+yi2b2=1 \frac{x_i^2}{a^2} + \frac{y_i^2}{b^2} = 1
    点在椭圆上;
    (3) 若
    xi2a2+yi2b2>1 \frac{x_i^2}{a^2} + \frac{y_i^2}{b^2} > 1
    点在椭圆外。
    这一块证明的资料很多,在此就不再赘述了。


    现在将问题泛化 : 对于任意的一个椭圆如何求其与点pip_i的关系。根据上面的结论我们可以很自然的思考,如果通过一种坐标系的变换,将任意的椭圆都变为焦点在xx轴,或yy轴的椭圆,那么其与点pip_i位置关系的判断将是十分容易,只需要带入已知公式即可,根据这样的思路,我们建立如下坐标系。
    image_1da8epiv1phogiqemb1lrqi863i.png-57.6kB

    如上图所示,在新的坐标系x0yx'0'y'中,椭圆的焦点处于坐标轴上,可以使用椭圆的标准方程进行求解,唯一的问题是如何将任给一点pip_i变换到x0yx'0'y',证明的方式有很多种,在此选用基变换.
    下述方法中,变换后向量的起点00'的坐标是(x0,y0)(x_0,y_0)点,为了满足这个条件,首先对pip_i进行简单的平移变换,
    xi=xix0yi=yiy0 x_i = x_i - x_0 \\ y_i = y_i - y_0
    注 :(x0,y0)(x_0,y_0) 是椭圆圆心坐标.

    求解 :
    在原始坐标系x0yx0y中选取一组单位正交基{e1,e2},e1=(1,0),e2=(0,1)\{ \vec{e_1},\vec{e_2} \},\vec{e_1} = (1,0),\vec{e_2} = (0,1),显然pi=xie1+yie2\vec{p_i} = x_i \vec{e_1} + y_i \vec{e_2}.
    如上图先将e1,e2\vec{e_1},\vec{e_2}旋转θ\theta角,根据向量旋转公式:
    (e1)T=[cos(θ)sin(θ)sin(θ)cos(θ)][10](e2)T=[cos(θ)sin(θ)sin(θ)cos(θ)][01](\vec{e_1'})^T = \begin{bmatrix} \cos(\theta)& -\sin(\theta)\\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \\ (\vec{e_2'})^T = \begin{bmatrix} \cos(\theta)& -\sin(\theta)\\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}
    综上e1=(cosθ,sinθ),e2=(sinθ,cosθ)\vec{e_1'} = \left ( \cos \theta ,\sin\theta \right ),\vec{e_2'} = (-sin\theta,cos\theta), 显然其满足这几点 :
    (1) e1,e2\vec{e_1'},\vec{e_2'} 线性无关
    (2) e1e2=0\vec{e_1'}\cdot\vec{e_2'} = 0
    (3) e1=e2=1\left | \vec{e_1'} \right | = \left | \vec{e_2'} \right | = 1
    以上通过旋转矩阵求出了新坐标系下的一组正交基,下面只需要求pi\vec{p_i}在新的基下的表示即可,解法有多种,下面展示一种通过求过度矩阵来进行求解的方法 :
    e1,e2\vec{e_1'},\vec{e_2'}通过e2,e2\vec{e_2},\vec{e_2}进行表示 :
    e1=cosθe1+sinθe2e2=sinθe1+cosθe2 \vec{e_1'} = \cos\theta \cdot \vec{e_1} + \sin\theta \cdot \vec{e_2} \\ \vec{e_2'} = -\sin\theta \cdot \vec{e_1} + \cos\theta \cdot \vec{e_2} \\
    由上可以求出过渡矩阵
    C=[cos(θ)sin(θ)sin(θ)cos(θ)]C = \begin{bmatrix} \cos(\theta)& -\sin(\theta)\\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix}
    所以e1,e2\vec{e_1},\vec{e_2}e1,e2\vec{e_1'},\vec{e_2'}的坐标变换表示为 :
    [xiyi]=C1[xiyi] \begin{bmatrix} x_i'\\ y_i' \end{bmatrix} = C^{-1}\cdot \begin{bmatrix} x_i \\ y_i \end{bmatrix}
    整理可以得到 :
    x=cosθx+sinθyy=sinθx+cosθy x' = \cos\theta \cdot x + \sin\theta \cdot y \\ y' = -\sin\theta \cdot x + \cos\theta \cdot y
    上述关系式还可以通过向量间的投影关系得到.

    最后将变换后的(xi,yi)(x'_i,y'_i)带入判别式,计算即可。

    展开全文
  • 在平面直角坐标系中,已知A、B两点坐标,并且画以AB为对角线的矩形的内接椭圆哦O,判断光标是否在椭圆上(选中该椭圆对象,椭圆高亮)。 首先,复习下焦点不在坐标轴的椭圆的方程: 点O(c,d)即为该椭圆中心点。 这里...

    最近,在工作中遇到需要处理鼠标选中椭圆的问题,思来想去,最后老老实实使用标准方程来解决的。今天,一起假装高中生 _

    不多废话,直接上图:
    在这里插入图片描述
    场景描述:
    在平面直角坐标系中,已知A、B两点坐标,并且画以AB为对角线的矩形的内接椭圆哦O,判断光标是否在椭圆上(选中该椭圆对象,椭圆高亮)。
    首先,复习下焦点不在坐标轴的椭圆的方程:
    在这里插入图片描述
    点O(c,d)即为该椭圆中心点。

    这里,我在实际项目中,为了鼠标选中椭圆明显,设置10%的上下浮动。
    来看看具体实现:

    bool PtInEllipse(CPoint pt1, CPoint pt2, CPoint pt0)
    {
    	CPoint ptCenter((pt2.x + pt1.x) / 2, (pt2.y + pt1.y) / 2);
    
    	const int nLengthHorizon = abs(pt2.x - pt1.x) / 2;//a
    	const int nLengthVertical = abs(pt2.y - pt1.y) / 2;//b
    
    	float fRate = ((float)(pow(pt0.x - ptCenter.x, 2)) / pow(nLengthHorizon, 2)) +
    		((float)(pow(pt0.y - ptCenter.y, 2)) / pow(nLengthVertical, 2));
    
    	if (0.9 <= fRate&&fRate <= 1.1)//10%浮动,选中效果明显
    	{
    		return true;
    	}
    
    	return false;
    }
    
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  • 标准椭圆方程推导

    千次阅读 2018-01-21 18:10:49
    我首先想到的办法是将被拟合点带入椭圆方程 f(x,y)=Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+Ff(x,y)=Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+Ff(x, y) =Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F,如果一个点正好在椭圆上,那么 f(x,y)=0f(x,y)=0f(x, y) =0,而一个点偏离椭圆越...

    初衷

    用opencv拟合椭圆后,想评估一下拟合的质量,即被拟合点与拟合结果的接近程度。我首先想到的办法是将被拟合点带入椭圆方程 f(x,y)=Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+Ff(x, y) =Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+Ff(x,y)=Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F,如果一个点正好在椭圆上,那么 f(x,y)=0f(x, y) =0f(x,y)=0,而一个点偏离椭圆越多,则其计算值越大,因此可以用来评估被被拟合点的偏差。 opencv 中 fitEllipse() 函数计算得到的是椭圆的中心坐标、长短轴的长度和长轴与 +x+x+x 轴的夹角(需要注意的是,拟合结果的 height 才是长轴),需要根据这些信息推导椭圆的标准方程。


    推导

    中心在原点且长轴在x轴上的椭圆方程为:
    x2a2+y2b2=1(1) \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \tag 1 a2x2+b2y2=1(1)其中,aaabbb分别是长半轴和短半轴。若椭圆长轴与正x轴夹角为θ\thetaθ(逆时针),且中心坐标为(x0,y0)(x_0,y_0)(x0,y0)。其任意一点平移(−x0,−y0)(-x_0,-y_0)(x0,y0)再旋转−θ-\thetaθ即满足标准椭圆方程。

    首先考虑点(x,y)(x,y)(x,y)绕原点顺时针旋转角度θ\thetaθ(x′,y′)(x',y')(x,y)
    用参数方程表示点(x,y)(x,y)(x,y)和点(x′,y′)(x',y')(x,y)
    {x=tcos⁡ϕy=tsin⁡ϕ(2) \begin{cases} x = t\cos\phi\\ y = t\sin\phi \end{cases} \tag 2 {x=tcosϕy=tsinϕ(2){x′=tcos⁡(ϕ−θ)=t(cos⁡ϕcos⁡θ+sin⁡ϕsin⁡θ)y′=tsin⁡(ϕ−θ)=t(sin⁡ϕcos⁡θ−cos⁡ϕsin⁡θ)(3) \begin{cases} x' = t\cos(\phi-\theta)=t(\cos\phi\cos\theta+\sin\phi\sin\theta)\\ y' = t\sin(\phi-\theta)=t(\sin\phi\cos\theta-\cos\phi\sin\theta) \end{cases} \tag 3 {x=tcos(ϕθ)=t(cosϕcosθ+sinϕsinθ)y=tsin(ϕθ)=t(sinϕcosθcosϕsinθ)(3)因此:
    {x′=xcos⁡θ+ysin⁡θy′=−xsin⁡θ+ycos⁡θ(4) \begin{cases} x' = x\cos\theta+y\sin\theta\\ y' = -x\sin\theta+y\cos\theta \end{cases} \tag 4 {x=xcosθ+ysinθy=xsinθ+ycosθ(4)继而可得一般椭圆方程为:
    [(x−x0)cos⁡θ+(y−y0)sin⁡θ]2a2+[(x−x0)sin⁡θ−(y−y0)cos⁡θ]2b2=1 \dfrac{\left[(x-x_0)\cos\theta+(y-y_0)\sin\theta\right]^2}{a^2}+ \dfrac{\left[(x-x_0)\sin\theta-(y-y_0)\cos\theta\right]^2}{b^2}=1 a2[(xx0)cosθ+(yy0)sinθ]2+b2[(xx0)sinθ(yy0)cosθ]2=1化简为 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 的形式可得:
    A=cos⁡2θa2+sin⁡2θb2B=2sin⁡θcos⁡θ(1a2−1b2)C=sin⁡2θa2+cos⁡2θb2D=−2[cos⁡θ(x0cos⁡θ+y0sin⁡θ)a2+sin⁡θ(x0sin⁡θ−y0cos⁡θ)b2]E=−2[sin⁡θ(x0cos⁡θ+y0sin⁡θ)a2−cos⁡θ(x0sin⁡θ−y0cos⁡θ)b2]F=(x0cos⁡θ+y0sin⁡θ)2a2+(x0sin⁡θ−y0cos⁡θ)2b2−1(5) \begin{aligned} A=&\dfrac{\cos^2\theta}{a^2}+\dfrac{\sin^2\theta}{b^2} \\ B=&2\sin\theta\cos\theta\left(\frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2}\right) \\ C=&\dfrac{\sin^2\theta}{a^2}+\dfrac{\cos^2\theta}{b^2} \\ D=&-2\left[\dfrac{\cos\theta(x_0\cos\theta+y_0\sin\theta)}{a^2}+ \dfrac{\sin\theta(x_0\sin\theta-y_0\cos\theta)}{b^2}\right] \\ E=&-2\left[\dfrac{\sin\theta(x_0\cos\theta+y_0\sin\theta)}{a^2}- \dfrac{\cos\theta(x_0\sin\theta-y_0\cos\theta)}{b^2}\right] \\ F=&\dfrac{(x_0\cos\theta+y_0\sin\theta)^2}{a^2}+ \dfrac{(x_0\sin\theta-y_0\cos\theta)^2}{b^2}-1 \end{aligned} \tag 5 A=B=C=D=E=F=a2cos2θ+b2sin2θ2sinθcosθ(a21b21)a2sin2θ+b2cos2θ2[a2cosθ(x0cosθ+y0sinθ)+b2sinθ(x0sinθy0cosθ)]2[a2sinθ(x0cosθ+y0sinθ)b2cosθ(x0sinθy0cosθ)]a2(x0cosθ+y0sinθ)2+b2(x0sinθy0cosθ)21(5)


    代码

    在 C++ 中实现上述计算的函数为:

    cv::Mat normEllipseParams(cv::RotatedRect box)
    {
        double params[6];
        cv::Mat rst(6, 1, CV_64FC1, params);
        double theta = box.angle / 180 * CV_PI;
        double st = sin(theta);
        double ct = cos(theta);
        double a = box.size.width / 2;
        double b = box.size.height / 2;
        double a2 = a * a;
        double b2 = b * b;
        double x0 = box.center.x;
        double y0 = box.center.y;
        double xcys = x0 * ct + y0 * st;
        double xsyc = x0 * st - y0 * ct;
        params[0] = ct * ct / a2 + st * st / b2;
        params[1] = 2 * st * ct * (1 / a2 - 1 / b2);
        params[2] = st * st / a2 + ct * ct / b2;
        params[3] = -2 * (ct * xcys / a2 + st * xsyc / b2);
        params[4] = -2 * (st * xcys / a2 - ct * xsyc / b2);
        params[5] = xcys * xcys / a2 + xsyc * xsyc / b2 - 1;
        return rst.clone();
    }
    

    返回的 Mat 即 A~F 六个参数。


    后记

    测试后发现一个问题,计算椭圆方程的方法计算比较复杂,而且计算结果受椭圆大小的影响,难以直观地反应点的偏差值。后来我发现其实可以利用“椭圆上的点到其两个焦点的距离之和不变”这一性质来判断一个点偏离椭圆的程度。

    1. 椭圆的两个焦点在其长轴上,且与中心的距离为 a2+b2\sqrt{a^2+b^2}a2+b2;
    2. 椭圆上的点到两个焦点的距离之和为 2a2a2a.

    计算椭圆焦点的函数为:

    std::array<cv::Point2f, 2> calcFocal(cv::RotatedRect& ellipse)
    {
        if (ellipse.size.width < ellipse.size.height) {
            swap(ellipse.size.width, ellipse.size.height);
            ellipse.angle -= 90;
        }
        float a = ellipse.size.width / 2;
        float b = ellipse.size.height / 2;
        float c = sqrt(a * a - b * b);
        float theta = ellipse.angle / 180 * CV_PI;
        cv::Point2f delta(c * cos(theta), c * sin(theta));
        return {ellipse.center + delta, ellipse.center - delta};
    }
    

    对于任意一个被拟合的点,只要计算其到两焦点的距离之和与 2a2a2a 的差值,即可知道它与椭圆的像素偏差大小。

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  • 椭圆相交问题

    千次阅读 2013-08-16 09:04:54
    我们知道,卫星通常以椭圆轨道移动,A和B也一样。但是他们的轨迹非常特殊: (1)他们的轨迹在同一平面,具有相同的圆心。 (2)连接两个焦点组成的部分互相垂直。 如果我们将中心标为O,A的焦点为F1和F2,我们就...

    描述

    最近天文学家发现了一对奇特的卫星,分别命名为AB。我们知道,卫星通常以椭圆轨道移动,AB也一样。但是他们的轨迹非常特殊: 
    1)他们的轨迹在同一平面,具有相同的圆心。 
    2)连接两个焦点组成的部分互相垂直。 
    如果我们将中心标为OA的焦点为F1F2,我们就可以建立笛卡尔坐标,O点为圆心,通过F1F2的为X轴。 
    下面是一个例子: 

    椭圆相交问题 -   张先生 - 小喇叭
     


    天文学家想了解卫星更多东西,他们决定计算其相交面积。不幸的是,计算相交的面积有点难,且他们不会计算,他们求助于天才程序员的你帮忙。现在你的任务是:给定两个满足上述要求的椭圆,计算相交面积。 

    输入

    输入包括多个测试用例。第一行为测试用例个数nn<=100)。 
    在每一个测试用例包含两行,第一行A的描述轨迹,另一行描述B的轨迹,每一个描述包含两个整数abab<=100)表示椭圆方程X2/a2+Y2/b2=1,并保证A的焦点在X轴上,B的焦点在Y轴上。

    输出

    对每个测试用例,用一行输出相交面积,用实型数表示,要求精确到小数点后三位。

    样例输入

    1
    2 1
    1 2

    样例输出

    3.709


    #include<stdio.h>
    #include<math.h>
    const double pi=acos(-1.0);//计算圆周率
    double a1,b1,a2,b2;//a1,a2和b1,b2分别是两个椭圆的x轴和y轴
    double solve(){
    	if(a1<=a2)
    		return pi*a1*b1;//椭圆B包含椭圆A
    	if(b1>=b2)
    		return pi*a2*b2;//椭圆A包含椭圆B
    	double ans=0.0;//相交部分面积
    	double x,y;//两椭圆在第一象限的交点坐标
    	x=sqrt((b1*b1-b2*b2)*a1*a1*a2*a2/(b1*b1*a2*a2-b2*b2*a1*a1));
    	y=sqrt((a1*a1-a2*a2)*b1*b1*b2*b2/(a1*a1*b2*b2-b1*b1*a2*a2));
    	//下面计算相交部分面积
    	double theta1=asin(y/b1),theta2=asin(y/b2);
    	ans=a1*b1*((pi-2*theta1)+sin(2*theta1))+a2*b2*(2*theta2+sin(2*theta2))-4*x*y;
    	return ans;
    }
    int main(){
    	int n;
    	scanf("%d",&n);
    	while(n--){
    		scanf("%lf%lf%lf%lf",&a1,&b1,&a2,&b2);//读入数据
    		printf("%.3lf\n",solve());//计算相交面积
    	}
    	return 0;
    }
    


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  • 003_《Delphi6开发人员指南》

    千次阅读 2010-11-18 08:42:00
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空空如也

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判断椭圆焦点位置