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  • 时间序列数据是相对稳定的,总体基本不存在一定的上升或者下降趋势,如果不稳定可以通过差分的方式来使其变稳定。 非线性关系处理不好,只能处理线性关系 判断时序数据稳定 基本判断方法:稳定的数据,总体上是...
  • 时间序列预测常见模型总结

    千次阅读 2019-09-08 09:59:29
    1.定义 时间序列是一组与时间关联的数据序列。 2.分类 ...如果序列的一二阶矩存在,且对任意时刻满足:1.均值为常数;2.协方差为时间间隔的函数;则称该序列为广义平稳时间序列。 按照时间序列...

    1.定义

    时间序列是一组与时间关联的数据序列。

    2.分类

    按照研究对象可分为一元时间序列、多元时间序列;

    按照连续性可分为离散时间序列、连续时间序列;

    按照统计特性分为平稳时间序列、非平稳时间序列。其中,序列概率分布与时间无关,则称该序列为狭义平稳时间序列;如果序列的一二阶矩存在,且对任意时刻满足:1.均值为常数;2.协方差为时间间隔的函数;则称该序列为广义平稳时间序列。

    按照时间序列的分布规律可分为高斯型时间序列、非高斯型时间序列。

    3.方法概述

    时间序列的预测往往是以下几种预测手段的叠加或者耦合:

    1.长期趋势变动,即变化具有总体趋势。

    2.季节变动,即一年内随季节变化而有规律的周期变化。

    3.循环变动,即几年内呈现出的周期性变化。

    4.不规则变动,包含随机波动与不规则的突发性变化。

    4.常用方法

    4.1移动平均法

    移动分析法包括:简单移动分析法、加权移动分析法、趋势移动分析法。主要是分析、预测序列的长期趋势用。

    1.简单移动分析法,公式如下:

    方程左边是t时刻的估计值,右边是t时刻前N个时刻的平均值。N的选定视问题而定,如果数据呈现一旦的周期性,那么就选为周期的时间点数;如果趋势变化不大,那么N相对可以大一些,反之则要取小一点。

    衡量它预测程度好坏的指标用标准差:,由于计算是前N项的平均,所以对于序列开始的1--N项是没有值的,所以分母是T-N。

    模型构成简单,适合平稳趋势,对于复杂情况难以预测,只能描绘大致趋势,不适合做长期预测。

    2.加权移动分析法,公式如下:

    其实就是1的拓展,1也可以视为2的特例——所有权系数取1。方程左边是对t+1时刻的预测,右边是t+1时刻前N个时刻的加权平均。权系数是人为确定,一般是近期取得大。

    权系数的确定具有经验性的缺点,需要对模型有足够的了解。适合平稳趋势,也不太适合做长期的预测。

    3.趋势移动分析法

    公式1:

    公式2:

    公式3:

    公式4:

    公式3就是最终预测序列的函数,可以观察到序列的基本模型是线性的,因此适用于总体趋势为线性。

    滞后性依然存在,而且相比于方法2而言,缺失项更多了(从0--2N项都是缺失的)。好处就是预测更加平滑。对于既有直线又有周期波动的趋势可以很好拟合。

    4.2指数平滑法

    指数平滑法包括:一次指数平滑法、二次指数平滑法,三次指数平滑法。

    1.一次指数平滑法,公式如下:

    这里说明一下:带^的都是估计量,不带^的是真实值。实际上这个公式就是4.2.1的一个延申,推导过程如下:

    这里我们取N=1,并用Mt-1去估计yt-1,进一步整理得到:

    然后1/N可替换成α,就得到了一次指数平滑的公式(Mt就是对yt的估计),至于它为什么叫一次指数平滑,是因为它的权系数呈现指数的特点

    改写一次指数平滑公式形式:从该式子可以看出α的实际意义——误差修正程度,α越大,模型越灵敏,反之则不。α的范围在0-1之间,如果数据较平稳,就可以选小一点,例如0.1-0.4,如果数据波动大,就可以选大一点,例如0.6-0.8。除了α的确定,这个模型中还要确定一个初始估计值y0,当数据量较大而前期又不是很重要的时候,y0可以选0,而如果数据量很少,就需要人为地选择一个合适的y0.

    这种预测模型比较灵活,适合短期、长期的预测(由α确定)。

    2.二次指数平滑法,公式如下:

    推导过程如下:

    其中S(2)t就是对yt时刻的估计。其实就是用了两次一次指数平滑,同移动趋势分析法相似的套路。

    当时间序列呈现线性模型的特点时,使用一次指数平滑会出现“滞后误差”的现象。这里解释一下“滞后误差”,所谓误差就是估计的值与实际的值的差距,而这种差距在图像上表现为延迟,也就是说估计的图像变化要晚于实际的图像变化。而二次指数平滑修正了“滞后偏差”,它的详细推导过程是首先假定时间序列模型是线性的(这是根据已有数据做的判断),然后利用线性的模型假设推导出直线模型中a、b的参数,具体推导详见:https://wenku.baidu.com/view/11f087f5f90f76c661371a2e.html

    3.三次指数平滑法,公式如下:

    其实就是用了三次一次指数平滑法。具体推导过程同4.2.2。

    适用于二次曲线模型的时间序列的预测,也是修正了滞后误差。

    总结起来,二次、三次指数平滑法都可以一定程度地减小滞后误差,但是都又限定了适用范围。

    4.3差分指数平滑法

    分为一阶差分指数平滑法、二阶差分指数平滑法。

    1.一阶差分指数平滑法,公式如下:

    其推导过程如下:

    其中,▽代表差分。为了估计yt+1,将差分项套用一次指数平滑,就得到了一阶差分指数平滑。

    适用于直线模型的时间序列预测,且能较好地减小滞后偏差。

    2.二阶差分指数平滑法,公式如下:

    推导过程如下:

    显而易见,二阶差分指数平滑就是将二阶差分项、一阶差分项套用一次指数平滑。

    适用于二次曲线模型的时间序列预测,且能较好地减小滞后误差。

    总结起来,差分指数平滑法能更好地消除滞后偏差的问题,缺点在于适用范围限定了。这种方法下,初始值的选取问题也被改善。这点在公式中可以体现出来,比如二阶差分中,yt+1的估计量很大程度依赖于yt的真实量。

    4.4自适应滤波法

    自适应滤波法公式如下:

    这个公式就像是抄的4.1.2的公式一样。但是它改进的地方在于,它的权系数的确定是有依据的:通过不断地调整权系数以使得预测误差减少,直到得到一个“最佳”的权系数。权系数更新公式如下:

    其中,公式左边是更新后的第i项权系数wi,公式右边分别是更新前的权系数wi,学习常数k,yt+1的预测误差ei+1,wi权系数对应的项yt-i+1.

    尽管权系数可以计算得出,向前计算项数N与学习常数k仍需要人为确定。一般的,N选为周期数,10个点一个变化周期,那么就取N=10;k一般取为1/N。这两个参数的取值都不是绝对的,也就是说具有偶然性。

    自适应滤波法有点1层神经网络的味道,但是与神经网络区别在于,自适应滤波的输入包含了输出。自适应滤波法由于实现方式简单,方便计算机实现,因此也被广泛使用。

    4.5平稳时间序列模型

    分为自回归模型(Auto Regressive)、移动平均模型(Moving Average)、自回归移动平均模型(Auto Regressive Moving Average)。

    1.自回归模型(AR(p)),公式如下:

     

    2.移动平均模型(MA(q)),公式如下:

    其中Xt被认为与t时刻之前的m个噪声量有线性关系。

    3.自回归移动平均模型(ARMA(p,q)),公式如下:

     

    以上三个模型的求解以及推导不久后我会后续列出。

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  • 序列标注模型综述

    千次阅读 2018-11-09 17:55:45
    命名实体识别是序列标注的子问题,需要将元素进行定位和分类,如人名、组织名、地点、时间、质量等。命名实体识别的任务就是识别出待处理文本中三大类(实体类、时间类和数字类)、七小类(人名、机构名、地名、时间...

    命名实体识别是序列标注的子问题,需要将元素进行定位和分类,如人名、组织名、地点、时间、质量等。命名实体识别的任务就是识别出待处理文本中三大类(实体类、时间类和数字类)、七小类(人名、机构名、地名、时间、日期、货币和百分比) 命名实体。

    一般来说进行命名实体识别的方法可以分成两大类:基于规则的方法和基于统计的方法。
    基于规则的方法是要人工建立实体识别规则,存在着成本高昂的缺点。
    基于统计的方法一般需要语料库来进行训练,常用的方法有最大熵、CRF、HMM、神经网络等方法。

    逐一介绍。

    1. 必备知识点

    1.1 概率图

    1.1.1 概览

    在统计概率图(probability graph models)中,参考宗成庆老师的书,是这样的体系结构:
    在这里插入图片描述
    在概率图模型中,数据(样本)由公式 G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E)建模表示:

    • V V V表示节点,即随机变量(可以是一个token或者一个label),具体地,用 Y = ( y 1 , y 2 , . . . y n ) Y=(y_1,y_2,...y_n) Y=(y1,y2,...yn)为随机变量建模,注意 Y Y Y现在是代表了一批随机变量(想象对应一条sequence,包含了很多的token), P ( Y ) P(Y) P(Y)为这些随机变量的分布;
    • E E E表示边,即概率依赖关系。后面结合HMM或CRF的graph具体解释。

    1.1.2 有向图 vs 无向图

    上图可以看到,贝叶斯网络(信念网络)都是有向的,马尔可夫网络无向。所以,贝叶斯网络适合为有单向依赖的数据建模,马尔可夫网络适合实体之间互相依赖的建模。具体地,他们的核心差异表现在如何求 P = ( Y ) P=(Y) P=(Y),即怎么表示 Y = ( y 1 , ⋯   , y n ) Y=(y_{1},\cdots,y_{n}) Y=(y1,,yn 这个的联合概率。

    1. 有向图
      对于有向图模型,这么求联合概率:
      在这里插入图片描述
      举个例子,对于下面的这个有向图的随机变量:
      在这里插入图片描述
      应该这样表示他们的联合概率:
      在这里插入图片描述

    2. 无向图
      对于无向图,一般就指马尔可夫网络。
      在这里插入图片描述
      如果一个图太大,可以用因子分解将 P=(Y) 写为若干个联合概率的乘积。将一个图分为若干个“小团”,注意每个团必须是“最大团”。则有:
      在这里插入图片描述
      其中:
      在这里插入图片描述
      所以像上面的无向图:
      在这里插入图片描述
      其中, ψ c ( Y c ) \psi_{c}(Y_{c} ) ψc(Yc) 是一个最大团 C 上随机变量们的联合概率,一般取指数函数的:
      在这里插入图片描述
      上面的函数叫做势函数。注意 e ∑ k λ k f k ( c , y ∣ c , x ) e^{\sum_{k}\lambda_{k}f_{k}(c,y|c,x)} ekλkfk(c,yc,x) 即有CRF的影子~

      那么概率无向图的联合概率分布可以在因子分解下表示为:
      在这里插入图片描述
      上述公式是CRF的开端~

    1.1.3 齐次马尔可夫假设&马尔可夫性

    1. 齐次马尔科夫假设
      齐次马尔科夫假设,这样假设:马尔科夫链 ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) (x_1,x_2,...,x_n) (x1,x2,...,xn) 里的 x i x_i xi总是只受 x i − 1 x_{i-1} xi1一个参数的影响。
      马尔科夫假设这里相当于就是个1-gram。

      马尔科夫过程呢?即,在一个过程中,每个状态的转移只依赖于前n个状态,并且只是个n阶的模型。最简单的马尔科夫过程是一阶的,即只依赖于其哪一个状态。

    2. 马尔科夫性马尔科夫性是是保证或者判断概率图是否为概率无向图的条件。
      三点内容:a. 成对,b. 局部,c. 全局。

    1.2 判别式(discriminative)模型 vs. 生成式(generative)模型

    在监督学习下,模型可以分为判别式模型与生成式模型。
    根据经验,A批模型(神经网络模型、SVM、perceptron、LR、DT……)与B批模型(NB、LDA……)的区别:

    1. A批模型是这么工作的,他们直接将数据的Y(或者label),根据所提供的features,学习,最后画出了一个明显或者比较明显的边界(具体怎么做到的?通过复杂的函数映射,或者决策叠加等等mechanism),这一点线性LR、线性SVM很明显。
    2. B批模型是这么工作的,他们先从训练样本数据中,将所有的数据的分布情况摸透,然后最终确定一个分布,来作为所有的输入数据的分布,并且他是一个联合分布 P ( X , Y ) P(X,Y) P(X,Y) (注意 X X X包含所有的特征 x i x_i xi Y Y Y包含所有的label)。然后来了新的样本数据(inference),通过学习来的模型的联合分布 P ( X , Y ) P(X,Y) P(X,Y) ,再结合新样本给的 X X X,通过条件概率就能出来 Y Y Y
      在这里插入图片描述
    • 判别式模型

      A批模型对应了判别式模型。根据上面的两句话的区别,可以知道判别模型的特征了,所以有句话说:判别模型是直接对 P ( Y ∣ X ) P(Y|X) P(YX)建模,即直接根据X特征来对Y建模训练
      具体地,训练过程是确定构件 P ( Y ∣ X ) P(Y|X) P(YX) 模型里面“复杂映射关系”中的参数,然后再去inference一批新的sample。

      • 所以判别式模型的特征总结如下:
      1. 对 P(Y|X) 建模
      2. 对所有的样本只构建一个模型,确认总体判别边界
      3. 根据新输入数据的特征,预测最可能的label
      4. 判别式的优点是:对数据量要求没生成式的严格,速度也会快,小数据量下准确率也会好些。
    • 生成式模型
      B批模型对应了生成式模型。并且需要注意的是,在模型训练中,学习到的是X与Y的联合模型 P ( X , Y ) P(X,Y) P(X,Y) ,也就是说,在训练阶段是只对 P ( X , Y ) P(X,Y) P(X,Y) 建模,需要确定维护这个联合概率分布的所有的信息参数。完了之后在inference再对新的sample计算 P ( Y ∣ X ) P(Y|X) P(YX) ,导出 Y Y Y ,但这已经不属于建模阶段了。

      结合NB过一遍生成式模型的工作流程。学习阶段,建模: P ( X , Y ) = P ( X ∣ Y ) P ( Y ) P(X,Y)=P(X|Y)P(Y) P(X,Y)=P(XY)P(Y),然后 P ( Y ∣ X ) = P ( X , Y ) P ( X ) P(Y|X) = \frac{P(X,Y)}{P(X)} P(YX)=P(X)P(X,Y) 。另外,LDA也是这样,只是需要确定很多个概率分布,并且建模抽样都比较复杂。

      • 所以生成式总结下有如下特点:
      1. P ( X , Y ) P(X,Y) P(X,Y) 建模
      2. 这里我们主要讲分类问题,所以是要对每个label( y i y_i yi)都需要建模,最终选择最优概率的label为结果,所以 没有什么判别边界。(对于序列标注问题,那只需要构件一个model)
      3. 中间生成联合分布,并可生成采样数据。
      4. 生成式模型的优点在于,所包含的信息非常齐全,所以不仅可以用来输出label,还可以干其他的事情。生成式模型关注结果是如何产生的。但是生成式模型需要非常充足的数据量以保证采样到了数据本来的面目,所以速度相比之下,慢。

    最后identity the picture below:
    在这里插入图片描述

    1.3 序列建模

    常见的序列有如:时序数据、本文句子、语音数据等等。广义下的序列有这些特点:

    • 节点之间有关联依赖性/无关联依赖性序列的
    • 节点是随机的/确定的
    • 序列是线性变化/非线性的……

    对不同的序列有不同的问题需求,常见的序列建模方法总结有如下:

    1. 拟合,预测未来节点(或走势分析):
      a. 常规序列建模方法:AR、MA、ARMA、ARIMA
      b. 回归拟合
      c. Neural Networks

    2. 判断不同序列类别,即分类问题:HMM、CRF、General Classifier(ML models、NN models)

    3. 不同时序对应的状态的分析,即序列标注问题:HMM、CRF、RecurrentNNs

    本文只关注在2. & 3. 类问题下的建模过程和方法。

    1. 最大熵模型

    2. 隐马尔可夫模型HMM

    2.1理解HMM

    HMM属于典型的生成式模型。对照1.2的讲解,是要从训练数据中学到数据的各种分布,这正是HMM的5要素,其中有3个就是整个数据的不同角度的概率分布:

    • Q Q Q, 隐藏状态集 N = { q 1 , q 2 , . . . , q N } N=\{q_1,q_2,...,q_N\} N={q1,q2,...,qN} , 隐藏节点不能随意取,只能限定取包含在隐藏状态集中的符号。 ,
    • V V V, 观测集 M = { v 1 , v 2 , . . . v M } M=\{v_1,v_2,...v_M\} M={v1,v2,...vM} , 同样观测节点不能随意取,只能限定取包含在观测状态集中的符号。
    • A ,状态转移概率矩阵,这是其中一个概率分布。 A = [ a i j ] N ∗ M A=[a_{ij}]_{N*M} A=[aij]NM (N为隐藏状态集元素个数),其中 a i j = P ( i t + 1 = q j ∣ i t = q i ) a_{ij}=P(i_{t+1}=q_j|i_t=q_i) aij=P(it+1=qjit=qi)即第i个隐状态节点在t时刻处于状态 q i q_i qi的条件下在t+1转移到 q j q_j qj的概率。
    • B,观测概率矩阵,这个就是另一个概率分布。 B = [ b i j ] N ∗ M B=[b_{ij}]_{N*M} B=[bij]NM(N为隐藏状态集元素个数,M为观测集元素个数),其中 b i j = P ( o t = v k ∣ i t = q j ) b_{ij}=P(o_t=v_k|i_t=q_j) bij=P(ot=vkit=qj) 即第i个观测节点时刻t处于状态 q j q_j qj的条件下生成观测 v k v_k vk的概率。
    • π π π,初始状态概率向量: π = ( π i ) π=(π_i) π=(πi),其中, π i = P ( i 1 = q i ) π_i=P(i_1=q_i) πi=P(i1=qi),是时刻t=1处于状态 q i q_i qi的概率。

    隐马尔科夫模型由初始状态向量 π π π,状态转移矩阵A和观测概率矩阵B决定。。 π π π和A决定状态序列,B决定观测序列。因此,马尔科夫模型可以用三元符号表示,即 λ \lambda λ=(A,B, π π π),A,B, π π π称为隐马尔科夫模型的三要素。

    状态转移概率矩阵A与初始状态概率向量 π π π确定了隐藏的马尔科夫链,生成不可观测的状态序列。
    观测概率矩阵B与状态序列综合确定了如何产生观测序列。

    在这里插入图片描述

    模型先去学习确定以上5要素,之后在inference阶段的工作流程是:首先,隐状态节点 i t i_t it是不能直接观测到的数据节点, o t o_t ot才是能观测到的节点,并且注意箭头的指向表示了依赖生成条件关系, i t i_t it在A的指导下生成下一个隐状态节点 i t + 1 i_{t+1} it+1,并且 i t i_t it 在 B 的指导下生成依赖于该 i t i_t it 的观测节点 , 并且只能观测到序列 ( o 1 , o 2 , . . . o i ) (o_1,o_2,...o_i) (o1,o2,...oi)
    举例子说明(序列标注问题,POS,标注集BES):
    input: “学习出一个模型,然后再预测出一条指定”
    expected output: 学/B 习/E 出/S 一/B 个/E 模/B 型/E ,/S 然/B 后/E 再/E 预/B 测/E ……
    其中,input里面所有的char构成的字表,形成观测集 ,因为字序列在inference阶段是我所能看见的;
    标注集BES构成隐藏状态集 ,这是无法直接获取的,也是预测任务;至于A,B, π π π ,这些概率分布信息都是在学习过程中所确定的参数。

    高层次的理解:

    1. 根据概率图分类,可以看到HMM属于有向图,并且是生成式模型,直接对联合概率分布建模:
      在这里插入图片描述
      (注意,这个公式不在模型运行的任何阶段能体现出来,只是都这么来表示HMM是个生成式模型,他的联合概率 P ( O , I ) P(O,I) P(O,I)就是这么计算的)。
    2. 并且B中 b i j = P ( o t ∣ i t ) b_{ij}=P(o_t|i_t) bij=P(otit) ,这意味着o对i有依赖性。
    3. 在A中, a i j = P ( i t + 1 ∣ i t ) a_{ij}=P(i_{t+1|i_t}) aij=P(it+1it),也就是说只遵循了一阶马尔科夫假设,1-gram。试想,如果数据的依赖超过1-gram,那肯定HMM肯定是考虑不进去的。这一点限制了HMM的性能。

    2.2 模型运行过程

    模型的运行过程(工作流程)对应了HMM的3个问题。
    2.2.1 学习训练过程
    对照1.2的讲解,HMM学习训练的过程,就是找出数据的分布情况,也就是模型参数的确定。
    主要学习算法按照训练数据除了观测状态序列 ( o 1 , o 2 , . . . o i ) (o_1,o_2,...o_i) (o1,o2,...oi) 是否还有隐状态序列 ( i 1 , i 2 , . . . i i ) (i_1,i_2,...i_i) (i1,i2,...ii) 分为:

    • 极大似然估计, with 隐状态序列
    • Baum-Welch(前向后向), without 隐状态序列
      这里不展开讲~

    3. 条件随机场CRF

    4. Bi-LSTM+CRF

    该命名实体识别方法是一种将深度学习方法和机器学习方法相结合的模型。
    BI-LSTM+CRF
    Bi-LSTM+CRF模型结构图

    如图:

    1. 输入层是一个将文本序列中的每个汉字利用预先训练好的字向量进行向量化,作为Bi-LSTM层的输入。
    2. 利用一个双向的LSTM(Bi-LSTM)对输入序列进行encode操作,也就是进行特征提取操纵。采用双向LSTM的效果要比单向的LSTM效果好,因为双向LSTM将序列正向和逆向均进行了遍历,相较于单向LSTM可以提取到更多的特征。
    3. 在经过双向LSTM层之后,我们这里使用一个CRF层进行decode,将Bi-LSTM层提取到的特征作为输入,然后利用CRF从这些特征中计算出序列中每一个元素的标签。

    CRF是机器学习的方法,机器学习中困难的一点就是如何选择和构造特征。Bi-LSTM属于深度学习方法,深度学习的优势在于不需要人为的构造和选择特征,模型会根据训练语料自动的选择构造特征。因此采用Bi-LSTM进行特征的选择构造,然后采用CRF根据得到的特征进行decode,得到最终的序列标注的结果。这样讲深度学习和机器学习相结合的,互相取长补短。

    参考:https://www.zhihu.com/search?type=content&q=条件随机场
    https://www.zhihu.com/question/35866596/answer/236886066

    展开全文
  • 时间序列分析模型——ARIMA模型

    千次阅读 多人点赞 2019-09-13 21:56:52
    时间序列分析模型——ARIMA模型 一、研究目的 传统的经济计量方法是以经济理论为基础来描述变量关系的模型。但经济理论通常不足以对变量之间的动态联系提供一个严密的说明,而且内生变量既可以出现在方程的左端又...

    时间序列分析模型——ARIMA模型

    一、研究目的

    传统的经济计量方法是以经济理论为基础来描述变量关系的模型。但经济理论通常不足以对变量之间的动态联系提供一个严密的说明,而且内生变量既可以出现在方程的左端又可以出现在方程的右端使得估计和推断变得更加复杂。为了解决这些问题而出现了一种用非结构方法来建立各个变量之间关系的模型,如向量自回归模型(vector autoregression,VAR)和向量误差修正模型(vector error correction model,VEC)。

    在经典的回归模型中,主要是通过回归分析来建立不同变量之间的函数关系(因果关系),以考察事物之间的联系。本案例要讨论如何利用时间序列数据本身建立模型,以研究事物发展自身的规律,并据此对事物未来的发展做出预测。研究时间序列数据的意义:在现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。在现实中很多问题,如利率波动、收益率变化、反映股市行情的各种指数等通常都可以表达为时间序列数据,通过研究这些数据,发现这些经济变量的变化规律(对于某些变量来说,影响其发展变化的因素太多,或者是主要影响变量的数据难以收集,以至于难以建立回归模型来发现其变化发展规律,此时,时间序列分析模型就显现其优势——因为这类模型不需要建立因果关系模型,仅需要其变量本身的数据就可以建模),这样的一种建模方式就属于时间序列分析的研究范畴。而时间序列分析中,ARIMA模型是最典型最常用的一种模型。

     

    二、ARIMA模型的原理

    1、ARIMA的含义。ARIMA包含3个部分,即AR、I、MA。AR——表示auto  regression,即自回归模型;I——表示integration,即单整阶数,时间序列模型必须是平稳性序列才能建立计量模型,ARIMA模型作为时间序列模型也不例外,因此首先要对时间序列进行单位根检验,如果是非平稳序列,就要通过差分来转化为平稳序列,经过几次差分转化为平稳序列,就称为几阶单整;MA——表示moving average,即移动平均模型。可见,ARIMA模型实际上是AR模型和MA模型的组合。

        ARIMA模型与ARMA模型的区别:ARMA模型是针对平稳时间序列建立的模型。ARIMA模型是针对非平稳时间序列建模。换句话说,非平稳时间序列要建立ARMA模型,首先需要经过差分转化为平稳时间序列,然后建立ARMA模型。

    2、ARIMA模型的原理。正如前面介绍,ARIMA模型实际上是AR模型和MA模型的组合。

    AR模型的形式如下:

     

    其中:参数为常数,是阶自回归模型的系数;为自回归模型滞后阶数;是均值为0,方差为的白噪声序列。模型记做——表示阶自回归模型。

    MA模型的形式如下:

     

    其中:参数为常数;参数是阶移动平均模型的系数;为移动平均模型滞后阶数;是均值为0,方差为的白噪声序列。模型记做——表示阶移动平均模型。

    ARIMA模型的形式如下:

     

    模型记做。为自回归模型滞后阶数,为时间序列单整阶数,为阶移动平均模型滞后阶数。当时,,此时ARIMA模型退化为MA模型;当时,,ARIMA模型退化为AR模型。

    3、建立ARIMA模型需要解决的3个问题。由以上分析可知,建立一个ARIMA模型需要解决以下3个问题:

    (1)将非平稳序列转化为平稳序列。

    (2)确定模型的形式。即模型属于AR、MA、ARMA中的哪一种。这主要是通过模型识别来解决的。

    (3)确定变量的滞后阶数。即和的数字。这也是通过模型识别完成的。

    4、ARIMA模型的识别

    ARIMA模型识别的工具为自相关系数(AC)和偏自相关系数(PAC)。

    自相关系数:时间序列滞后k阶的自相关系数由下式估计:

     

    其中是序列的样本均值,这是相距k期值的相关系数。称为时间序列的自相关系数,自相关系数可以部分的刻画一个随机过程的形式。它表明序列的邻近数据之间存在多大程度的相关性。 

    偏自相关系数:偏自相关系数是在给定的条件下,之间的条件相关性。其相关程度用偏自相关系数度量。在k阶滞后下估计偏自相关系数的计算公式为:

     

    其中是在k阶滞后时的自相关系数估计值。称为偏相关是因为它度量了k期间距的相关而不考虑k-1期的相关。如果这种自相关的形式可由滞后小于k阶的自相关表示,那么偏相关在k期滞后下的值趋于0。

    识别:

    AR(p)模型的自相关系数是随着k的增加而呈现指数衰减或者震荡式的衰减,具体的衰减形式取决于AR(p)模型滞后项的系数;AR(p)模型的偏自相关系数是p阶截尾的。因此可以通过识别AR(p)模型的偏自相关系数的个数来确定AR(p)模型的阶数p。

    MA(q)模型的自相关系数在q步以后是截尾的。MA(q)模型的偏自相关系数一定呈现出拖尾的衰减形式。

    ARMA(p,q)模型是AR(p)模型和MA(q)模型的组合模型,因此ARMA(p,q)的自相关系数是AR(p)自相关系数和MA(q)的自相关系数的混合物。当p=0时,它具有截尾性质;当q=0时,它具有拖尾性质;当p,q都不为0,它具有拖尾性质。
        通常,ARMA(p,q)过程的偏自相关系数可能在p阶滞后前有几项明显的尖柱,但从p阶滞后项开始逐渐趋于0;而它的自相关系数则是在q阶滞后前有几项明显的尖柱,从q阶滞后项开始逐渐趋于0。

     

    三、数据和变量的选择

    本案例选取我国实际GDP的时间序列建立ARIMA模型,样本区间为1978—2001。数据来源于国家统计局网站上各年的统计年鉴,GDP数据均通过GDP指数换算为以1978年价格计算的值。见表1:

    表1:我国1978—2003年GDP(单位:亿元)

    年度

    GDP

    年度

    GDP

    年度

    GDP

    1978

    3605.6

    1986

    10132.8

    1994

    46690.7

    1979

    4074

    1987

    11784.7

    1995

    58510.5

    1980

    4551.3

    1988

    14704

    1996

    68330.4

    1981

    4901.4

    1989

    16466

    1997

    74894.2

    1982

    5489.2

    1990

    18319.5

    1998

    79003.3

    1983

    6076.3

    1991

    21280.4

    1999

    82673.1

    1984

    7164.4

    1992

    25863.7

    2000

    89340.9

    1985

    8792.1

    1993

    34500.7

    2001

    98592.9

     

    四、ARIMA模型的建立步骤

    1、单位根检验,确定单整阶数。

    由单位根检验的案例分析可知,GDP时间序列为2阶单整的。即d=2。通过2次差分,将GDP序列转化为平稳序列 。利用序列来建立ARMA模型。

    2、模型识别

    确定模型形式和滞后阶数,通过自相关系数(AC)和偏自相关系数(PAC)来完成识别。

    首先将GDP数据输入Eviews软件,查看其二阶差分的AC和PAC。打开GDP序列窗口,点击View按钮,出现下来菜单,选择Correlogram(相关图),如图:

    打开相关图对话框,选择二阶差分(2nd difference),点击OK,得到序列的AC和PAC。(也可以将GDP序列先进行二阶差分,然后在相关图中选择水平(Level))

     

    从图中可以看出,序列的自相关系数(AC)在1阶截尾,偏自相关系数(PAC)在2阶截尾。因此判断模型为ARMA模型,且,。即:

     

    3、建模

    由以上分析可知,建立模型。首先将GDP序列进行二次差分,得到序列。然后在Workfile工作文件簿中新建一个方程对话框,采用列表法的方法对方程进行定义。自回归滞后项用ar表示,移动平均项用ma表示。本例中自回归项有两项,因此用ar(1)、ar(2)表示,移动平均项有一项,用ma(1)表示,如图:

     

     

    点击确定,得到模型估计结果:

     

     

    从拟合优度看,,模型拟合效果较好,DW统计量为2.43,各变量t统计量也通过显著性检验,模型较为理想。对残差进行检验,也是平稳的,因此判断模型建立正确。

     

    残差的自相关系数(AC)和偏自相关系数(PAC)

    残差单位根检验结果

     

    最终确定GDP时间序列的ARIMA模型为:

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  • 1 概念 ARIMA模型,全称为自回归积分滑动平均模型(Autoregressive ...ARIMA模型是指在将非平稳时间序列转化为平稳时间序列过程中,将因变量仅对它的滞后值以及随机误差项的现值和滞后值进行回归所建立的模型。 ...

    1 概念

           ARIMA模型,全称为自回归积分滑动平均模型(Autoregressive Integrated Moving Average Model),是由博克思(Box)和詹金斯(Jenkins)于20世纪70年代初提出的一种时间序列预测方法。ARIMA模型是指在将非平稳时间序列转化为平稳时间序列过程中,将因变量仅对它的滞后值以及随机误差项的现值和滞后值进行回归所建立的模型。

    注:时间序列模型适用于做短期预测,即统计序列过去的变化模式还未发生根本性变化。


    2 基本思想

            ARIMA模型的基本思想是:将预测对象随时间推移而形成的数据序列视为一个随机序列,用一定的数学模型来近似描述这个序列。这个模型一旦被识别后就可以从时间序列的过去值及现在值来预测未来值。现代统计方法、计量经济模型在某种程度上已经能够帮助企业对未来进行预测。


    3 原理

            ARIMA(p,d,q) 称为差分自回归移动平均模型,根据原序列是否平稳以及回归中所含部分的不同,包括移动平均过程(MA)、自回归过程(AR)、自回归移动平均过程(ARMA)和自回归滑动平均混合过程(ARIMA)。

    移动平均过程(MA(q))

    自回归过程(AR(p))

    自回归移动平均过程(ARMA(p,q))

    自回归积分滑动平均过程 (ARIMA(p,d,q))

            AR是自回归,p为自回归项;MA为移动平均,q为移动平均项数,d为时间序列变为平稳时间序列时所做的差分次数。

    3.1 模型预测步骤

    1.获取被观测系统时间序列数据;

    2.对数据绘图,观测是否为平稳时间序列;对于非平稳时间序列要先进行d阶差分运算,化为平稳时间序列;若为平稳序列,则直接用ARMA(p,q)模型。

    3.经过第二步处理,已经得到平稳时间序列。要对平稳时间序列分别求得其自相关系数ACF偏自相关系数PACF,通过对自相关图和偏自相关图的分析,得到最佳的阶层 p阶数 q

    4.由以上得到的d、q、p,得到ARIMA模型。然后开始对得到的模型进行模型检验。以证实所得模型确实与所观察到的数据特征相符。若不相符,重新回到第3步。


    4 预测实例

           目前常用的数据分析语言为R和python,本文先采用Python在测试数据上实现预测过程。在后期编辑阶段补充R语言的实现过程。

    4.1 获取数据

          具有周期性(7天)的测试数据,即每连续的7个数据属于一个周期内,具体数据如下所示:

    绘制测试数据的时间序列图,如图1所示:

    dta=pd.Series(dta)

    dta.index = pd.Index(sm.tsa.datetools.dates_from_range('2001','2100'))

    dta.plot(figsize=(12,8))

    图1 数据的时间序列图

    4.2  时间序列的差分

          ARIMA 模型对时间序列的要求是平稳型。因此,当你得到一个非平稳的时间序列时,首先要做的即是做时间序列的差分,直到得到一个平稳时间序列。

          平稳:就是围绕着一个常数上下波动且波动范围有限,即有常数均值和常数方差。如果有明显的趋势或周期性,那它通常不是平稳序列。一般有三种方法:

    (1)直接画出时间序列的趋势图,看趋势判断。

    (2)画自相关和偏自相关图:平稳的序列的自相关图(Autocorrelation)和偏相关图(Partial Correlation)要么拖尾,要么是截尾。

    (3)单位根检验:检验序列中是否存在单位根,如果存在单位根就是非平稳时间序列。

           不平稳序列可以通过差分转换为平稳序列。d阶差分就是相距d期的两个序列值之间相减。如果一个时间序列经过差分运算后具有平稳性,则该序列为差分平稳序列,可以使用ARIMA模型进行分析。如果你对时间序列做d次差分才能得到一个平稳序列,那么可以使用ARIMA(p,d,q)模型,其中d是差分次数。

    fig = plt.figure(figsize=(12,8))

    ax1= fig.add_subplot(111)

    diff1 = dta.diff(1)  #一阶差分序列转化

    diff1.plot(ax=ax1)

    图2 一阶差分后的时间序列趋势图

     

    fig = plt.figure(figsize=(12,8))

    ax2= fig.add_subplot(111)

    diff2 = dta.diff(2)  #二阶差分序列转化

    diff2.plot(ax=ax2)

          一阶差分的时间序列的均值和方差已经基本平稳,二阶差分后的时间序列与一阶差分相差不大,并且二者随着时间推移,时间序列的均值和方差保持不变。因此可以将差分次数d设置为1。

          稳定性的标准非常严格,可以通过两种方式判断。

        (1) 如果时间序列随着时间产生恒定的统计特征,根据实际目的我们可以假设该序列是稳定的。如下:

    a. 恒定的平均数

    b. 恒定的方差

    c. 不随时间变化的自协方差

        (2)针对平稳的检验,叫“ADF单位根平稳型检验”,这是一种检查数据稳定性的统计测试。无效假设:时间序列是不稳定的。测试结果由测试统计量和一些置信区间的临界值组成。如果“测试统计量”少于“临界值”,我们可以拒绝无效假设,并认为序列是稳定的。本文暂时不做讨论,以后会更新。

    4.3 确定合适的 q

    经过第2步,我们已经得到了一个稳定的时间序列,现在需要获得p和q,从而确定选择使用哪种模型更合适。

    4.3.1 绘制平稳时间序列的自相关图和偏自相关图。

    dta= dta.diff(1)

    fig = plt.figure(figsize=(12,8))

    ax1=fig.add_subplot(211)

    fig = sm.graphics.tsa.plot_acf(dta,lags=40,ax=ax1)   #lags代表阶数

    ax2 = fig.add_subplot(212)

    fig = sm.graphics.tsa.plot_pacf(dta,lags=40,ax=ax2)

    图3 自相关图、偏相关图

    通过观察图3中的acf图和pacf图,可以得到:

    * 自相关图显示滞后有三个阶超出了置信边界(第一条线代表起始点,不在滞后范围内);

    * 偏相关图显示在滞后1至7阶(lags 1,2,…,7)时的偏自相关系数超出了置信边界,从lag 7之后偏自相关系数值缩小至0

    则有以下模型可以供选择:

    1. ARMA(0,1)模型:即自相关图在滞后1阶之后缩小为0,且偏自相关缩小至0,则是一个阶数q=1的移动平均模型;

    2. ARMA(7,0)模型:即偏自相关图在滞后7阶之后缩小为0,且自相关缩小至0,则是一个阶层p=7的自回归模型;

    3. ARMA(7,1)模型:即使得自相关和偏自相关都缩小至零。则是一个混合模型。

    4. …其他供选择的模型。

    补充:(1) 分析得到的自相关图和偏自相关图,确定用AR(p)模型还是MA(q)模型亦或是ARMA(p,q)模型依据为

    表1  ARMA模型定阶的基本原则

    (2) 若都拖尾,得到ARMA(p,q)模型,自相关图有几个在两倍标准差之外就能确定p,偏自相关图突出两倍标准差的确定q。

    4.3.2 模型选择/参数选择

    对于上述可供选择的模型,通常采用AIC或者SBC来判断得到的p和q参数值的好坏。我们知道:增加自由参数的数目提高了拟合的优良性,AIC鼓励数据拟合的优良性但是尽量避免出现过度拟合(Overfitting)的情况。所以优先考虑的模型应是AIC值最小的那一个。赤池信息准则的方法是寻找可以最好地解释数据但包含最少自由参数的模型。不仅仅包括AIC准则,目前选择模型常用如下准则:

    AIC=-2 ln(L) + 2 k 中文名字:赤池信息量 akaike information criterion

    BIC=-2 ln(L) + ln(n)*k 中文名字:贝叶斯信息量 bayesian information criterion

    HQ=-2 ln(L) + ln(ln(n))*k hannan-quinn criterion

    SBC=-2*ln(模型中的极大似然函数值)+ln(n)(模型中的未知参数的个数)

    SBC是对AIC的修正,并且这四个指标越小则表示模型参数越好。构造这些统计量所遵循的统计思想是一致的,就是在考虑拟合残差的同时,依自变量个数施加“惩罚”。但要注意的是,这些准则不能说明某一个模型的精确度,也即是说,对于三个模型A,B,C,我们能够判断出C模型是最好的,但不能保证C模型能够很好地刻画数据,因为有可能三个模型都是糟糕的。

    在本文中ARMA(7,0)的aic,bic,hqic均最小,因此是最佳模型。

    arma_mod20 = sm.tsa.ARMA(dta,(7,0)).fit()

    print(arma_mod20.aic,arma_mod20.bic,arma_mod20.hqic)

    4.4 模型检验

    在指数平滑模型下,观察ARIMA模型的残差是否是平均值为0且方差为常数的正态分布(服从零均值、方差不变的正态分布),同时也要观察连续残差是否(自)相关。

    4.4.1 自相关图

    对ARMA(7,0)模型所产生的残差做自相关图。 

    fig = sm.graphics.tsa.plot_acf(resid.values.squeeze(), lags=40, ax=ax1)

    fig = sm.graphics.tsa.plot_pacf(resid, lags=40, ax=ax2)

    图4 残差自相关、偏自相关图

    4.4.2 观察是否符合正态分布

    这里使用QQ图,它用于直观验证一组数据是否来自某个分布,或者验证某两组数据是否来自同一(族)分布。

    print(stats.normaltest(resid))
    fig = plt.figure(figsize=(12,8))
    ax = fig.add_subplot(111)
    fig = qqplot(resid, line='q', ax=ax, fit=True)
    #plt.show()

    结果表明基本符合正态分布

    4.4.3 D-W检验

    德宾-沃森(Durbin-Watson)检验。德宾-沃森检验,简称D-W检验,是目前检验自相关性最常用的方法,但它只使用于检验一阶自相关性。因为自相关系数ρ的值介于-1和1之间,所以 0≤DW≤4。并且DW=O=>ρ=1   即存在正自相关性

    DW=4<=>ρ=-1 即存在负自相关性

    DW=2<=>ρ=0  即不存在(一阶)自相关性

    因此,当DW值显著的接近于O或4时,则存在自相关性,而接近于2时,则不存在(一阶)自相关性。这样只要知道DW统计量的概率分布,在给定的显著水平下,根据临界值的位置就可以对原假设H0进行检验。

    sm.stats.durbin_watson(arma_mod20.resid.values)

    检验结果是2.02424743723,说明不存在自相关性。

    4.5 模型预测

    利用确定好的模型,预测未来十年的情况。

    predict_df = arma_mod04.predict()
    print(predict_df)
    fig,ax = plt.subplots(figsize=(12,6))
    ax = df.ix['2014-12-04':].plot(ax=ax)
    predict_df.plot(ax=ax)
    fig = arma_mod04.plot_predict('2014-12-04', '2014-12-08',dynamic=True, ax=ax, plot_insample=False)
    plt.show()

    前面38个数据为测试数据,最后5个为预测数据;从图形来,预测结果较为合理。

    图5 历史数据与预测结果

    但是采用LSTM也能进行该数据的预测,大家可以自行实现。

    参考文献资料

    [1] ARIMA模型. 百度百科.

    [2] Arima预测模型(R语言). http://blog.csdn.net/desilting/article/details/39013825.

    [3] Jonathan D. Cryer.时间序列分析及应用. 原书第二版. 

    [4] ARIMA时间序列建模,https://www.jianshu.com/9a05472b0e7d

     

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