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  • 我是韩酸菜鱼~与你一起成长由于知乎的排版限制,下方文章的阅读体验可能有所欠缺,更好的阅读体验,可以点击下方链接~微积分级数专题一:判断级数敛散性​mp.weixin.qq.com众所周知,高等数学中的级数部分涉及很广,...

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    我是韩酸菜鱼~与你一起成长

    由于知乎的排版限制,下方文章的阅读体验可能有所欠缺,更好的阅读体验,可以点击下方链接~

    微积分级数专题一:判断级数敛散性mp.weixin.qq.com
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    众所周知,高等数学中的级数部分涉及很广,处理级数判断收敛问题时可以依据以下模板

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    对于上图涉及的方法的具体定义,在此不再累述。下面将主要针对方法中的部分技巧进行归纳。


    Part1 正项级数

    39db6509e097a72d45c50d79b08fa257.png
    是正项级数收敛的必要非充分条件

    当遇到正项级数时,首先判断其Un在n趋近于无穷时极限是否等于0,若不等于0,则可直接断定级数发散;若等于0,则进一步通过其他方法去判定。

    ②比值/根值审敛法

    这两种审敛法的本质都是Un自身的比较,只不过一个是相邻项相除,一个是取根号。

    在这一部分里,涉及到的主要问题是判断用哪种方法的标准

    • 当Un是含有n+1类似形式的分式时,可以尝试用比值审敛法
    • 当Un是含有指数如xn、xna+m等形式时,可以尝试根值审敛法

    注意:当所得结果为1时,这两种审敛法失效,只能选用比较审敛法来判断

    ③比较审敛法及其极限形式下的应用

    这一部分相对前面的两部分来说更为灵活,涉及到的比较标准主体有三个

    1f0793c1685f2d230f2e7ae2dd701bc3.png

    Un=1/n,始终发散

    Un是等比数列,当公比小于1时,收敛;当公比大于1时,发散

    依据这三个标准,通常用以下技巧进行解答

    08d9e293865dbbc93759fa0bc3cb17a0.png

    Part2 非正项级数

    在判断非正项级数的收敛性时,有两大分支,一是交错级数,二是任意项级数

    • 交错级数:正负项交替出现的级数

    判断方法:莱布尼兹判别法

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    • 任意项级数:级数各项可正可负可为0

    方法:

    1. 判断|Un|对应级数是否收敛
    2. 若收敛,则该级数绝对收敛;若发散,但Un对应级数收敛,则为条件收敛
    3. 既不是条件收敛又不是绝对收敛,可判断级数发散

    结束语:以上是小鱼在学习中总结的一些干货,我会继续更新系列文章,并且更新典型题库(づ ●─● )づ,可以关注我哦

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  • 几个用于更精细判断敛散性的级数

    千次阅读 2016-11-05 12:45:51
    几个用于更精细判断敛散性的级数@(微积分)∑+∞n=11np,p>1时收敛;p≤1时发散\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^p}, p\gt 1时收敛; p\leq 1时发散∑+∞n=21n(lnn)p,p>1时收敛;p≤1时发散\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1...

    几个用于更精细判断敛散性的级数

    @(微积分)

    +n=11np,p>1p1

    +n=21n(lnn)p,p>1p1

    +n=31nlnn(lnlnn)p,p>1p1

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  • 上一章中,利用某些函数能积分的性质,可以应用积分判别法(Integral Tests)判断级数的收敛。现在有一些级数对应的函数不能积分,必须换一种方式来判断。比较判别法(Comparison Tests)是一种像夹逼定理的判别方法。...

    上一章中,利用某些函数能积分的性质,可以应用积分判别法(Integral Tests)判断级数的收敛。现在有一些级数对应的函数不能积分,必须换一种方式来判断。

    比较判别法(Comparison Tests)是一种像夹逼定理的判别方法。

    比较判别法Comparison Test

    The Comparison Test Definition: let

    and
    be series with
    nonnegative terms. Suppose that for some integer
    for all

    (a) if

    converges, then
    also converges;

    (b) if

    diverges, then
    also diverges.

    这里要注意这个nonnegative(非负)的条件,另外,和积分判别法不同的是,这里的三连不等式是分段判断收敛or发散的,而积分判别法是同时发散or收敛的(如果积分发散,则级数也发散)。刚开始我觉得难以理解。

    Example: prove that

    diverges.
    因为
    发散,所以原级数发散,

    Example: prove that

    converges.
    不看前两项(有限项不会影响无穷级数的收敛性),因为
    收敛,因此原级数收敛。

    极限比较法 Limit Comparison Test

    这个方法是比较判别法推导(作除法)而来:

    Definition: suppose that

    and
    for all

    (a) if

    then
    and
    both converge or both diverge.

    (b) if

    and
    converges, then
    converges.

    (c) if

    and
    diverges, then
    diverges.

    这三类分类是特意安排的,尤其是

    的收敛和发散不能记反(推理一下很简单)。此外,寻找这个关键的
    是解题关键点,它必须。

    Example: find if

    converges.
    这道题借用p级数的敛散性来解决的。当n足够大时,
    因此需要找到一个合适的k进行缩放。本题按照标准做法,取
    运用(b),因为
    收敛,所以原级数收敛。

    注意,如果取到一个不合适的值,例如
    结果就是求不出来了。

    极限比较法需要判断两个内容:1、

    的值,2、
    敛散性(积分判别法或别的简单方法)。这两者不要搞混了,前者求值,后者判断敛散性。另外写题目的时候极限符号别漏了。

    Example: find if

    converges.
    是一个收敛的p级数。
    所以原级数收敛。

    往期回顾

    Jerry:微积分II 积分判别法(The Integral Test) 10.3 (34)

    Jerry:微积分II 无穷级数(Infinite Series) 10.2 (33)

    Jerry:微积分II 数列(Sequences)和级数(Series) 10.1 (32)

    查看更多内容欢迎关注我的专栏。

    Reference

    Thomas, G., Weir, M., & Hass, J. (2014).Thomas' calculus(Thirteenth ed.).

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  • 如何用matlab快速判断级数敛散性

    千次阅读 2020-06-20 08:39:22
    例子:判断下面函数敛散性 >> syms n a k s2=symsum((-1)^k*a*sin(k),k,0,n-1) s2 = -1/2*(-1)^n*a*sin(n)+1/2*a*sin(1)/(cos(1)+1)* (-1)^n*cos(n)-1/2*a*sin(1)/(cos(1)+1) >>

    matlab用symsum函数,直接判断。

    函数格式

    是采用符号函数格式,

    symsum(函数第k项表示,第k项,从第几项开始,从第几项结束(一般用n))
    

    例子:判断下面函数敛散性

    在这里插入图片描述

    >> syms n a k
    s2=symsum((-1)^k*a*sin(k),k,0,n-1)
     
    s2 =
     
    -1/2*(-1)^n*a*sin(n)+1/2*a*sin(1)/(cos(1)+1)*
    (-1)^n*cos(n)-1/2*a*sin(1)/(cos(1)+1)
     
     
    >> 
    

    说明不敛散

    例子:判断下列函数列散性

    在这里插入图片描述

     
     
    >> syms n
    >> s=symsum((-1)^n,n,1,inf)
     
    s =
     
    NaN
     
     
    >> 
    

    NaN就是发散的意思,因此大家在使用的时候根据相应自身问题依葫芦画瓢就行了

    展开全文
  • 级数形式套级数的敛散性判断

    千次阅读 2016-11-09 19:51:28
    级数形式套级数的敛散性判断@(微积分)已知级数(1): ∑∞n=1(1−12+13−14+..+(−1)n+1n)\sum_{n=1}^{\infty}(1-\frac{1}{2} + \frac{1}{3}-\frac{1}{4}+..+\frac{(-1)^{n+1}}{n})级数(2): ∑∞n=1(1+12+13+14+..+1...
  • 比较判别法比较判别法推论1推论2推论例题 比较判别法 推论1 推论2 推论 例题
  • 级数的敛散性

    2020-11-27 10:01:18
    级数的审准则 正项级数 比较判别法 比较法极限形式 p级数 等比级数 比值法 根值法 积分判别法 交错级数 莱布尼茨准则 任意项级数 判断绝对收敛还是条件收敛:先看绝对值函数,...
  • 交错级数敛散性判别方法总结III:研究加括号后的级数敛散性 【例1】.(2005华南师范大学) 判断级数的敛散性。 分析: 此级数是交错级数,将第一项和第二项加括号,第三项和第四项加括号.....,即 即考虑级数【岩宝...
  • 「注意」若分母,分子关于的最高次数分别为,则若当时,则与具有相同敛散性.当时,,后者较前者趋于的速度快.2.两个重要级数几何级数级数3.比值/根值判别法4.积分判别法若在上非负单调连续,则与具有相同敛散性.5.任...
  • PART 1 对于十一种(级数敛散性)判别法的粗糙总结→(我会在part1的结尾写出我对于这11种判别法使用顺序或是优先选择哪个方法的流程图,如果您对哪个方法印象不深可以跳着看,如果您对这11种...
  • 当公式或文字展示不完全时,记得向左←滑动哦!摘要: 当交错级数中的项比较复杂时,往往可以利用泰勒展开成几部分去做,此时展开的部分往往会有一个确定的收敛级数,然后利用...交错级数敛散性判别方法总结II:泰勒...
  • 摘要: 本文讲解了常见单调数列五个模型以及在交错级数中的应用,其中模型4的单调性并不是很容易证明,例6的敛散性证明需要用到拉贝模型。【岩宝数学考研】常见单调数列模型模型1当时,单调递减趋于1.模型2单调递增...
  • 注记: 教材中判别无穷级数敛散性方法有:(1)定义法:先计算部分和, 再求. 极限存在,收敛,不存在,发散。计算的技巧有裂项技巧,等比数列求和技巧,加减技巧,见推文:无穷级数考研怎么考(两个考研题)?本题采用反...
  • 第四讲 比值、根值和积分审

    万次阅读 2018-11-29 08:25:51
    若或不存在,则无法判断敛散性 例题,如图: 二,正项级数的根值审敛法 设是正项级数,且, 若,则收敛 若,则发散 若或不存在,则无法判断敛散性 , 例题,如图: 三,正项级数的积分审敛法 设函数...
  • 我们知道,对于正项级数可以利用所谓的通项等价关系进行审敛,即 若 是两个正项级数,且 ,则 有相同的敛散性。事实上,这是正项级数比较判别法(极限形式)的一个推论,即 时的结论。但是,这个判别法是不能推广到...
  • 2020-09-14

    2020-09-14 15:15:31
    比值函数 一,正项级数的比值审敛法 ... 若或不存在,则无法判断敛散性 二,正项级数的积分审敛法 设函数在区间连续,非负,单调递减 则级数与广义积分具有相同的敛散性 ...
  • 前面学了级数的概念与基本性质,今天主要讲正项级数的概念及判别收敛...利用比较判别法,常要在讨论不等式上花费很大精力同时要对所讨论的级数的敛散性有大致的估计,才能决定是证明级数收敛或是发散.太烦人了!为应...
  • 【5】广义积分和比较判定定理(判断敛散性) 【6】瑕积分 1. 不定积分 1.1 不定积分的定义 所谓积分就是求导函数的反操作。说白了已知导函数求原函数的过程。 对于一个导函数而言,他的原函数.
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  • 级数这一章大题的考点主要有如下四个:(1)常数项级数的敛散性的判别; 对常数项级数的考查,考研考查的方法重点是比较判别法,而作为基准级数的是P-级数(2)幂级数的收敛域及和函数; 对级数这一章,数一的同学要将幂...
  • 正项级数敛散性判断 交错级数敛散性判断 任意项级数 绝对收敛和条件收敛 任意项级数敛散性判断 幂级数(幂函数级数) 幂级数的收敛域和收敛半径 和函数的求法与展开 微积分法求和函数 和函数的展开 马克劳林...
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  • 级数笔记

    2017-11-18 14:26:00
    广义积分与级数,学习过程中可以相互映照 定义以及方法都是:  1....  有限项和Sn / 有限域的定积分∫ ...【敛散性】  广义积分积分敛散/判断级数敛散 转载于:https://www.cnblogs.com/dejunwang/p/7856602.html...
  • 级数敛散性判断 级数求和(麦克劳林展开式秒杀) 反常积分敛散性判断 二元复合偏导 二阶常系数线性齐次微分方程通解形式 二阶常系数线性非齐次微分方程特解形式 多重积分的轮换对称法 柱面/球面坐标转换 第一/二类.....
  • STOPPING THE HEAT先来看...(4)复变函数在不同区域和不同形式的积分(5)级数:有复数项级数的敛散性到幂级数敛散性判断,再到泰勒级数和洛朗级数把把函数展开为级数。经典例题一个关于映射的题目证明极限不存在,思路...

空空如也

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判断敛散性