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  • 无偏性、有效性

    千次阅读 2021-05-24 21:01:04
    无偏性 定义式: 也即:估计量的数学期望等于被估计参数的真实值,则称此此估计量为被估计参数的偏估计,即具有无偏性,是一种用于评价估计量优良性的准则。 通俗说,就是只要你对估计量求完了期望,这个...

    无偏性

    定义式:

    E\left ( \hat{\Theta } \right )=\Theta \   

    也即:估计量的数学期望等于被估计参数的真实值,则称此此估计量为被估计参数的无偏估计,即具有无偏性,是一种用于评价估计量优良性的准则。

    通俗说,就是只要你对估计量求完了期望,这个期望值等于被估计参数的值,它就是个无偏估计量。注意,就是单纯的数学推导,推导出来上面那个定义式,那这个估计量就是无偏估计量。

    无偏估计的意义是:在多次重复下,它们的平均数接近所估计的参数真值,也即没有系统误差。

     

    有效性

    比较估计量的方差,方差越小越有效。

     

    一致性(相合性)

    随着样本数的增加,估计值接近真实值,那么这个估计量就满足一致性。

     

    参考:

    1. https://blog.csdn.net/weixin_38275649/article/details/80304317?utm_medium=distribute.pc_relevant_t0.none-task-blog-2%7Edefault%7EBlogCommendFromMachineLearnPai2%7Edefault-1.control&depth_1-utm_source=distribute.pc_relevant_t0.none-task-blog-2%7Edefault%7EBlogCommendFromMachineLearnPai2%7Edefault-1.control
    2. https://www.matongxue.com/madocs/808
    3. https://blog.csdn.net/SoftPoeter/article/details/78273117?utm_medium=distribute.pc_relevant.none-task-blog-2%7Edefault%7EBlogCommendFromMachineLearnPai2%7Edefault-2.control&depth_1-utm_source=distribute.pc_relevant.none-task-blog-2%7Edefault%7EBlogCommendFromMachineLearnPai2%7Edefault-2.control
    4. https://blog.csdn.net/qq_16587307/article/details/81328773?utm_medium=distribute.pc_relevant.none-task-blog-2%7Edefault%7EBlogCommendFromMachineLearnPai2%7Edefault-10.control&depth_1-utm_source=distribute.pc_relevant.none-task-blog-2%7Edefault%7EBlogCommendFromMachineLearnPai2%7Edefault-10.control
    5. https://kexue.fm/archives/6747
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  • 目录极大似然估计问题背景极大似然估计的计算方法参数估计的有偏性无偏性 极大似然估计 问题背景 以高斯分布引出问题,高斯分布的重要性体现于: 1.根据中心极限定理,当样本量足够大的时候,任意分布的均值都...

    极大似然估计

    问题背景

    以高斯分布引出问题,高斯分布的重要性体现于:

    • 1.根据中心极限定理,当样本量足够大的时候,任意分布的均值都趋近于一个高斯分布,高斯分布具有工程应用的普适性;
    • 2.高斯分布是许多模型的基础,比如线性高斯模型(卡尔曼滤波器),高斯过程等;

    假设有一组观测到的样本数据 X = ( x 1 , x 2 , . . . , x N ) X=(x_{1},x_{2},...,x_{N}) X=(x1,x2,...,xN),他们服从参数 θ = ( μ , σ 2 ) \theta=(\mu,\sigma^{2}) θ=(μ,σ2)的一元高斯分布,可以使用极大似然估计得到高斯分布的参数,首先回顾一元高斯分布概率密度函数的表达:
    p ( x ) = 1 2 π σ 2 e x p ( − ( x − μ ) 2 2 σ 2 ) p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}exp(-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}) p(x)=2πσ2 1exp(2σ2(xμ)2)
    极大似然估计(Maximum Likelihood Estimation,简称mle)的本质是估计参数 θ \theta θ,使得所观测样本 X X X出现的概率最大;此处需要熟悉一种数学格式 p ( x ∣ θ ) p(x|\theta) p(xθ),指的是明确了参数 θ \theta θ情况下,服从高斯分布的样本 x x x出现的概率,事实上,这个格式的写法和概率密度一致:
    p ( x ∣ θ ) = 1 2 π σ 2 e x p ( − ( x − μ ) 2 2 σ 2 ) p(x|\theta)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}exp(-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}) p(xθ)=2πσ2 1exp(2σ2(xμ)2)

    极大似然估计的计算方法

    假设样本 X = ( x 1 , x 2 , . . . , x N ) X=(x_{1},x_{2},...,x_{N}) X=(x1,x2,...,xN)中每个样本 x i x_{i} xi都是独立同分布的,即满足同一个高斯分布,且彼此间相互独立,则极大似然的优化目标可以写为:
    m a x θ p ( X ∣ θ ) = m a x θ ∏ i = 1 N p ( x i ∣ θ ) max_{\theta}p(X|\theta)=max_{\theta}\prod_{i=1}^{N}p(x_{i}|\theta) maxθp(Xθ)=maxθi=1Np(xiθ)
    取对数可以将乘积转为求和:
    l o g ( p ( X ∣ θ ) ) = ∑ i = 1 N l o g ( p ( x i ∣ θ ) ) = ∑ i = 1 N l o g ( 1 2 π σ 2 e x p ( − ( x i − μ ) 2 2 σ 2 ) ) = ∑ i = 1 N [ l o g 1 2 π + l o g 1 σ − ( x i − μ ) 2 2 σ 2 ] log(p(X|\theta))=\sum_{i=1}^{N}log(p(x_{i}|\theta))=\sum_{i=1}^{N}log(\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}exp(-\frac{(x_{i}-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}))=\sum_{i=1}^{N}[log\frac{1}{\sqrt{2\pi}}+log\frac{1}{\sigma}-\frac{(x_{i}-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}] log(p(Xθ))=i=1Nlog(p(xiθ))=i=1Nlog(2πσ2 1exp(2σ2(xiμ)2))=i=1N[log2π 1+logσ12σ2(xiμ)2]
    对上式求偏导,解出偏导为0的根即得到参数的取值:
    μ m l e = 1 N ∑ i = 1 N x i \mu_{mle}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_{i} μmle=N1i=1Nxi
    可以看出,样本的均值就是高斯分布参数 μ \mu μ的极大似然估计值;

    同样的方式得到:
    σ m l e 2 = 1 N ∑ i = 1 N ( x i − μ m l e ) 2 \sigma^{2}_{mle}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-\mu_{mle})^{2} σmle2=N1i=1N(xiμmle)2

    参数估计的有偏性和无偏性

    通过极大似然估计的参数是否与模型参数真实值存在差距,如何衡量它们是一个问题,所以引入无偏估计的概念:如果估计量的期望等于被估计量的真实值,则称估计值满足无偏性;

    对于上面的高斯分布参数估计,进行无偏性的检验,先从均值的估计值考虑,计算 μ m l e \mu_{mle} μmle的期望:
    E [ μ m l e ] = E [ 1 N ∑ i = 1 N x i ] = 1 N ∑ i = 1 N E [ x i ] = 1 N ∑ i = 1 N μ = μ E[\mu_{mle}]=E[\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_{i}]=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}E[x_{i}]=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\mu=\mu E[μmle]=E[N1i=1Nxi]=N1i=1NE[xi]=N1i=1Nμ=μ
    可以得到, E [ μ m l e ] = μ E[\mu_{mle}]=\mu E[μmle]=μ,即估计值的期望等于模型参数的真实值,因此,均值的极大似然估计 μ m l e \mu_{mle} μmle是无偏估计;

    然后,检验方差估计的无偏性,首先对表达式变形:
    σ m l e 2 = 1 N ∑ i = 1 N ( x i − μ m l e ) 2 = 1 N ∑ i = 1 N ( x i 2 − 2 x i μ m l e + μ m l e 2 ) = 1 N ∑ i = 1 N x i 2 + 1 N ∑ i = 1 N μ m l e 2 − 2 μ m l e 1 N ∑ i = 1 N x i \sigma^{2}_{mle}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-\mu_{mle})^{2}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_{i}^{2}-2x_{i}\mu_{mle}+\mu_{mle}^{2})=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_{i}^{2}+\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\mu_{mle}^{2}-2\mu_{mle}\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_{i} σmle2=N1i=1N(xiμmle)2=N1i=1N(xi22xiμmle+μmle2)=N1i=1Nxi2+N1i=1Nμmle22μmleN1i=1Nxi
    发现 1 N ∑ i = 1 N x i \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_{i} N1i=1Nxi就是 μ m l e \mu_{mle} μmle,所以进行替换:
    σ m l e 2 = 1 N ∑ i = 1 N x i 2 + 1 N ∑ i = 1 N μ m l e 2 − 2 μ m l e 1 N ∑ i = 1 N x i = 1 N ∑ i = 1 N x i 2 + μ m l e 2 − 2 μ m l e 2 = 1 N ∑ i = 1 N x i 2 − μ m l e 2 \sigma_{mle}^{2}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_{i}^{2}+\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\mu_{mle}^{2}-2\mu_{mle}\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_{i}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_{i}^{2}+\mu_{mle}^{2}-2\mu_{mle}^{2}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_{i}^{2}-\mu_{mle}^{2} σmle2=N1i=1Nxi2+N1i=1Nμmle22μmleN1i=1Nxi=N1i=1Nxi2+μmle22μmle2=N1i=1Nxi2μmle2
    因此,得到:
    E [ σ m l e 2 ] = E [ 1 N ∑ i = 1 N x i 2 − μ m l e 2 ] = E [ 1 N ∑ i = 1 N x i 2 − μ 2 − ( μ m l e 2 − μ 2 ) ] = E [ 1 N ∑ i = 1 N x i 2 − μ 2 ] − E [ μ m l e 2 − μ 2 ] E[\sigma_{mle}^{2}]=E[\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_{i}^{2}-\mu_{mle}^{2}]=E[\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_{i}^{2}-\mu^{2}-(\mu_{mle}^{2}-\mu^{2})]=E[\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_{i}^{2}-\mu^{2}]-E[\mu_{mle}^{2}-\mu^{2}] E[σmle2]=E[N1i=1Nxi2μmle2]=E[N1i=1Nxi2μ2(μmle2μ2)]=E[N1i=1Nxi2μ2]E[μmle2μ2]
    对于第一项 E [ 1 N ∑ i = 1 N x i 2 − μ 2 ] E[\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_{i}^{2}-\mu^{2}] E[N1i=1Nxi2μ2]
    E [ 1 N ∑ i = 1 N x i 2 − μ 2 ] = E [ 1 N ∑ i = 1 N x i 2 − 1 N ∑ i = 1 N μ 2 ] = 1 N E [ ∑ i = 1 N ( x i 2 − μ 2 ) ] = 1 N ∑ i = 1 N E [ ( x i 2 − μ 2 ) ] E[\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_{i}^{2}-\mu^{2}]=E[\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_{i}^{2}-\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\mu^{2}]=\frac{1}{N}E[\sum_{i=1}^{N}(x_{i}^{2}-\mu^{2})]=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}E[(x_{i}^{2}-\mu^{2})] E[N1i=1Nxi2μ2]=E[N1i=1Nxi2N1i=1Nμ2]=N1E[i=1N(xi2μ2)]=N1i=1NE[(xi2μ2)]
    注意到:
    E [ ( x i 2 − μ 2 ) ] = E [ x i 2 ] − μ 2 = E [ x i 2 ] − E [ x i ] 2 = v a r ( x i ) = σ 2 E[(x_{i}^{2}-\mu^{2})]=E[x_{i}^{2}]-\mu^{2}=E[x_{i}^{2}]-E[x_{i}]^{2}=var(x_{i})=\sigma^{2} E[(xi2μ2)]=E[xi2]μ2=E[xi2]E[xi]2=var(xi)=σ2
    所以:
    E [ 1 N ∑ i = 1 N x i 2 − μ 2 ] = 1 N ∑ i = 1 N E [ ( x i 2 − μ 2 ) ] = σ 2 E[\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_{i}^{2}-\mu^{2}]=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}E[(x_{i}^{2}-\mu^{2})]=\sigma^{2} E[N1i=1Nxi2μ2]=N1i=1NE[(xi2μ2)]=σ2
    处理第二项 E [ μ m l e 2 − μ 2 ] E[\mu_{mle}^{2}-\mu^{2}] E[μmle2μ2]
    E [ μ m l e 2 − μ 2 ] = E [ μ m l e 2 ] − E [ μ 2 ] = E [ μ m l e 2 ] − μ 2 E[\mu_{mle}^{2}-\mu^{2}]=E[\mu_{mle}^{2}]-E[\mu^{2}]=E[\mu_{mle}^{2}]-\mu^{2} E[μmle2μ2]=E[μmle2]E[μ2]=E[μmle2]μ2
    之前已经证明,均值的极大似然估计是无偏的,因此 μ = E [ μ m l e ] \mu=E[\mu_{mle}] μ=E[μmle],因此可以替换得到:
    E [ μ m l e 2 ] − μ 2 = E [ μ m l e 2 ] − E [ μ m l e ] 2 = v a r ( μ m l e ) = v a r ( 1 N ∑ i = 1 N x i ) = 1 N σ 2 E[\mu_{mle}^{2}]-\mu^{2}=E[\mu_{mle}^{2}]-E[\mu_{mle}]^{2}=var(\mu_{mle})=var(\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_{i})=\frac{1}{N}\sigma^{2} E[μmle2]μ2=E[μmle2]E[μmle]2=var(μmle)=var(N1i=1Nxi)=N1σ2
    合并结果:
    E [ σ m l e 2 ] = σ 2 − 1 N σ 2 = N − 1 N σ 2 E[\sigma_{mle}^{2}]=\sigma^{2}-\frac{1}{N}\sigma^{2}=\frac{N-1}{N}\sigma^{2} E[σmle2]=σ2N1σ2=NN1σ2
    方差的极大似然估计值的期望不等于真实值,所以是有偏的,为了变成无偏,需要进行修正:
    σ ^ 2 = N N − 1 σ m l e 2 = 1 N − 1 ∑ i = 1 N ( x i − μ m l e ) 2 \widehat{\sigma}^{2}=\frac{N}{N-1}\sigma_{mle}^{2}=\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-\mu_{mle})^{2} σ 2=N1Nσmle2=N11i=1N(xiμmle)2

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  • 参数估计:对无偏性的理解

    千次阅读 2020-05-26 11:45:39
    无偏性 一般书上讲到的第一个性质就是这个,初看很让人头大,如果不弄清楚的话对于后续内容的理解是很大的阻碍 按照书上(浙大概率论)的定义,无偏性是指: 设 X1,X2,...,XnX_1, X_2, ..., X_nX1​,X2​,...,Xn​ ...

    在学习概率论的"参数估计"一章时有一些概念没能理解清楚,尤其是参数估计量的性质。在反复翻书的过程中总算搞清楚了一些,在这里记录一下我的理解

    无偏性

    一般书上讲到的第一个性质就是这个,初看很让人头大,如果不弄清楚的话对于后续内容的理解是很大的阻碍


    按照书上(浙大概率论)的定义,无偏性是指:

    X 1 , X 2 , . . . , X n X_1, X_2, ..., X_n X1,X2,...,Xn 是总体 X X X的一个样本, θ ∈ Θ \theta\in\Theta θΘ是包含在总体 X X X的分布中的待估参数,其中 Θ \Theta Θ θ \theta θ的取值范围
    若估计量 θ ^ = θ ^ ( X 1 , X 2 , . . . , X n ) \hat{\theta}=\hat{\theta}(X_1, X_2, ..., X_n) θ^=θ^(X1,X2,...,Xn)的数学期望 E ( θ ^ ) E(\hat\theta) E(θ^)存在,且对于任意 θ ∈ Θ \theta\in\Theta θΘ
    E ( θ ^ ) = θ E(\hat\theta)=\theta E(θ^)=θ

    则称 θ ^ \hat\theta θ^ θ \theta θ的一个无偏估计量


    这个定义初看的话是很难理解的(至少对我来说),因为很难理解这个 θ ^ \hat\theta θ^到底指的是什么, θ ^ = θ ^ ( X 1 , X 2 , . . . , X n ) \hat{\theta}=\hat{\theta}(X_1, X_2, ..., X_n) θ^=θ^(X1,X2,...,Xn) 这个等式也是有点捉摸不透

    其实定义里已经提到, θ ^ \hat{\theta} θ^是一个估计量,更为具体的,是对样本的估计量。参数估计目的就是利用样本的估计量去估计真值,一个典型的例子就是用样本的均值去估计真正的均值。
    所以参数的点估计(与之对应的还有区间估计)指的就是,取 n n n个样本,对这 n n n个样本进行某种运算(比如: 取均值,这个运算就是 θ ^ \hat\theta θ^)可以得到一个估计值,用这个估计值去估算真值(这个真值就是 θ \theta θ)。但是我们知道,只取 n n n个样本存在随机性,估计出来的真值很可能是不准确的,所以我们再进行多次取样,如果这多次取样运算的均值与真值 θ \theta θ相等,那么这个运算 θ ^ \hat\theta θ^就是无偏的

    那么按照这样的理解去解释估计量的其他性质:

    • 有效性: 对于按不同的估算量 θ ^ 1 , θ ^ 2 \hat\theta_1, \hat\theta_2 θ^1,θ^2进行多次取样运算,可以得到两组值,方差较小者对应的 θ ^ \hat\theta θ^称为更有效
    • 相合性: 相合性指的是随着样本容量增大( n n n趋于正无穷时),估计量 θ ^ \hat\theta θ^稳定于真值 θ \theta θ, 也即 θ ^ ( X 1 , X 2 , . . . , X n ) \hat\theta(X_1, X_2, ..., X_n) θ^(X1,X2,...,Xn)依概率收敛于 θ \theta θ

    以上只是我的个人理解,如有错误,欢迎指出

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  • 点估计是参数估计的重要组成部分,点估计的常见方法有矩估计和极大似然估计,衡量一个点估计量的好坏的标准有很多,比较常见的有:无偏性(Unbiasedness)、有效性(Efficiency)和一致性(Consistency)。...

    假设检验是非常重要的内容,而抽样和估计又是做假设检验的基础。

    点估计是参数估计的重要组成部分,点估计的常见方法有矩估计和极大似然估计,衡量一个点估计量的好坏的标准有很多,比较常见的有:无偏性(Unbiasedness)、有效性(Efficiency)和一致性(Consistency)。

    由于抽样具有随机性。每次抽出的样本一般都不会相同,根据样本值得到的点估计的值也不尽相同。那么,如何来确定一个点估计的好坏呢?单凭某一次抽样的样本是不具有说服力的,必须要通过很多次抽样的样本来衡量。因此,我们最容易能想到的就是,经过多次抽样后,将所有的点估计值平均起来,也就是取期望值,这个期望值应该和总体参数一样。这就是所谓的无偏性(Unbiasedness)。

    有效性(Efficiency)是指,对同一总体参数,如果有多个无偏估计量,那么标准差最小的估计量更有效。因为一个无偏的估计量并不意味着它就非常接近被估计的参数,它还必须和总体参数的离散程度比较小。

    一致性(Consistency)是指随着样本量的增大,点估计的值越来越接近被估计的总体的参数。

    因为随着样本量增大,样本无限接近总体,那么,点估计的值也就随之无限接近总体参数的值。

    备注:充分性和必要性

    令:A是命题,B是结论
    必要性:A→B
    充分性:B→A
    A→B:A是B的充分条件
    A成立B一定成立,A不成立B不一定不成立
    B→A:A是B的必要条件
    A成立B不一定成立,A不成立B一定不成立
    A↔B:AB互为充要条件(充分必要),即B成立当且仅当A成立

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  • 判断一个估计量“好坏”,至少可以从以下三个方面来考虑: 无偏估计 有效 一致 参考内容: 如何理解无偏估计量?https://www.matongxue.com/madocs/808.html 衡量点估计量好坏的标准...
  • 关系: 题型: 解:
  • 二元函数判断凹凸

    万次阅读 2020-02-16 20:41:26
    二元函数凹凸性判断 二元函数凹凸性判断: 设f(x,y)f(x,y)f(x,y)在区域DDD上具有二阶连续导数,且分别记为:A=fxx′′(x,y),B=fxy′′(x,y),C=fyy′′(x,y)A=f_{xx}^{''}(x,y),B=f_{xy}^{''}(x,y),C=f_{yy}^{'...
  • 偏度与峰度的正态分布判断

    万次阅读 2019-10-02 22:34:56
    当我们应用统计方法对数据进行分析时,会发现许多分析方法如T检验、方差分析、相关分析以及线性回归等等,都要求数据服从正态分布或近似正态分布,正态分布在机器学习的重要后期会讲述。上一篇文章用Q-Q图来验证...
  • 1.贝叶斯法则,指向真正的概率 1.误一:忽略先验概率 2.误二:小树定理(赌徒谬误,热手谬误) 问题1: 假设每100个人中有一个人是坏人,有一个捐款测试可以检验人的好坏,并且这个实验的精度是99%,...形成判断...
  • 首先,安装依赖: sudo apt-get install libdw-dev 作者在README.md中的编译步骤为: ...download required code_utils;...put the ROS package imu_utils and code_utils into your workspace, usually named ...
  • 总结统计量的某个性质(比如无偏性)是否具有变换不变性(该性质在变换后保持不变),如果某一个统计量T(x)T(x)T(x)是某个参数θ\thetaθ的偏估计,将统计量经过hhh变换之后为h(T(x))h(T(x))h(T(x)),它是否也是...

空空如也

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判断无偏性