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  • 利用FFT计算并分析线性卷积与循环卷积。
  • 计算线性卷积

    2013-01-06 18:50:54
    1.掌握利用FFT计算线性卷积的原理及具体实现方法。 2.加深理解重叠相加法和重叠保留法。
  • 实验1 线性卷积与圆周卷积的计算利用FFT快速卷积 一、实验目的 实验一目的: 1、掌握计算机的使用方法和常用系统软件及应用软件的使用。 2、通过MATLAB编程,上机调试程序,进一步增强使用计算机解决问题的能力。 ...

    杭电_数字信号处理课程设计_实验1

    一、实验目的
    实验一目的:
    1、掌握计算机的使用方法和常用系统软件及应用软件的使用。
    2、通过MATLAB编程,上机调试程序,进一步增强使用计算机解决问题的能力。
    3、掌握线性卷积与循环卷积软件实现的方法,并验证二者之间的关系。

    实验三目的:
    1、通过这一实验,加深理解FFT在实现数字滤波(或快速卷积)中的重要作用,更好的利用FFT进行数字信号处理。
    2、进一步掌握循环卷积和线性卷积两者之间的关系。

    二、实验要求及内容
    实验一:
    在这里插入图片描述
    实验一代码:

    clear all
    x1 = [1 2 3 4 5];
    x2 = [1 2 1 2];
    
    N = 5;
    ycn1=circonv(x1,x2,N);
    ny1=[0:1:length(ycn1)-1];
    subplot(3,2,1);
    stem(ny1,ycn1);
    ylabel("循环卷积1:N=5")
    axis([0,9,0,25]);
    
    N = 6;
    ycn2=circonv(x1,x2,N);
    ny2=[0:1:length(ycn2)-1];
    subplot(3,2,2);
    stem(ny2,ycn2);
    ylabel("循环卷积2:N=6")
    axis([0,9,0,25]);
    
    N = 9;
    ycn3=circonv(x1,x2,N);
    ny3=[0:1:length(ycn3)-1];
    subplot(3,2,3);
    stem(ny3,ycn3);
    ylabel("循环卷积3:N=9")
    axis([0,9,0,25]);
    
    N = 10;
    ycn4=circonv(x1,x2,N);
    ny4=[0:1:length(ycn4)-1];
    subplot(3,2,4);
    stem(ny4,ycn4);
    ylabel("循环卷积4:N=10")
    axis([0,9,0,25]);
    
    y1n=conv(x1,x2);
    L_length = length(x1)+length(x2)-1-1;
    ny5 = [0:1:L_length];
    subplot(3,2,5);
    stem(ny5,y1n);
    ylabel("线性卷积")
    axis([0,9,0,25]);
    

    实验一循环卷积通用程序:

    function yc = circonv(x1,x2,N)
    if length(x1)>N
        error('N must not be less than length of x1');
    end
    if length(x2)>N
        error('N must not be less than length of x1');
    end
    %以上语句判断两个序列的长度是否小于N
    x1 = [x1,zeros(1,N-length(x1))]; %填充序列x1(n)使其长度为N1+N2-1
    x2 = [x2,zeros(1,N-length(x2))]; %填充序列x2(n)使其长度为N1+N2-1
    n = [0:1:N-1];
    x2 = x2(mod(-n,N)+1); %生成序列x2((-n))N
    H = zeros(N,N);
    for n = 1:1 :N
        H(n,:) = cirshiftd(x2,n-1,N); %该矩阵的k行为x2((k-1-n))N
    end
    yc = x1 * H'; %计算循环卷
    function y = cirshiftd(x,m,N)
    if length(x)>N
        error('length of x must be less than N');
    end
    x = [x,zeros(1,N-length(x))];
    n = [0:1:N-1];
    y = x(mod(n-m,N)+1);
    

    实验三:
    在这里插入图片描述
    实验三代码:

    clear all;
    N1 = 16;
    N2 = 17;
    N = N1 + N2 - 1;
    n = [0:1:N1-1];
    h = [0:1:N2-1];
    nx = [0:1:N-1];
    
    xn1 = ones(1,N1);
    xn2 = cos(2*pi/N1*n);
    xn3 = (1/3).^n;
    hn = (1/2).^h;
    
    yn1 = fft_conv(xn1,hn,N);
    yn2 = fft_conv(xn2,hn,N);
    yn3 = fft_conv(xn3,hn,N);
    
    subplot(3,1,1);
    stem(nx,yn1);
    ylabel("序列1")
    axis([0,32,0,2.5]);
    
    subplot(3,1,2);
    stem(nx,yn2);
    ylabel("序列2")
    axis([0,32,-2,2]);
    
    subplot(3,1,3);
    stem(nx,yn3);
    ylabel("序列3")
    axis([0,32,0,1.1]);
    

    实验三FFT数字滤波器通用程序:

    function yn = fft_conv(xn,hn,N)
    if length(xn)>N
        error('N must not be less than length of x1');
    end
    if length(hn)>N
        error('N must not be less than length of x1');
    end
    if rem(log2(N),1)~=0
         error('N must be the power of 2');
    end
    xn = [xn,zeros(1,N-length(xn))];
    hn = [hn,zeros(1,N-length(hn))];
    XK = fft(xn,N);
    HK = fft(hn,N);
    YK = XK.*HK;
    yn = ifft(YK,N);
    if (all(imag(xn)==0)) && (all(imag(hn)==0))
        yn = real(yn);
    else
        error('xn,hn may not be real array');
    end
    
    

    三、实验结果与分析:
    实验一结果:
    在这里插入图片描述
    该实验结果与笔算结果相同,符合题目要求。
    实验三结果:
    在这里插入图片描述
    该实验结果与笔算结果相同,符合题目要求。

    四、实验总结:
    本次实验使我认识到了用工具解决DSP问题的方便性,专业性及快捷性,使我对matlab的认识更加深入,对于数字信号处理的相关知识的领悟更加明白,但是我在编写代码的过程同样遇到了一些问题,比如定义函数的时候,文件名要和函数名相同,否则无法调用函数而运行报错。而且自定义的函数,和编写的主程序最好放在同一个文件夹,以免因为路径不同而导致运行出错。

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    此刻心情

    大学的时间有时候碎片化,大大小小的琐事间隔,一段小时间区间不知干啥,于是就做点思路整理工作

    重叠相加法介绍

    #由来

    在利用FFT计算线性卷积时,遇见长序列与短序列卷积时,FFT不一定具备简化计算的优势

    #思路
    分而治之的思想,可能很多情况下都使用,将大问题转为能解决的已知问题。既然一长一段不行,何不把长的分段
    我们设两个序列中短序列为s(n),长度为M;长序列为l(n),长度为L;可以测试,对长序列的分段点数不影响卷积结果,那我们设每段长度为N。那么,第一段的下标应该是0~N-1,第二段应该是N ->2N-1;由于我们采用每段分别求卷积,再将每段卷积通过合适的方法组合成目标结果,那么第二段应该往左移N点,以作DFT,也可以理解为周期延拓。为了让fft 或dft 代替线性卷积结果,需要有dft点数的要求,即points=2^r>=N+M-1。因此,我们要在N点基础上进行补零,往后加points-N个0即可。同时别忘了对s(n)也进行同样的补零处理。
    由于时域卷积可以频域相乘再反变换求得,我们将对s(n)和每个分段分别求卷积。在得到每个分段的卷积和后,我们要由此组织我们的结果。数学上已经给出结果了,就不赘述。对数学表达式的理解为,第一段的前N个点依旧代表结果,此后的M-1个点将与第二段的前M-个点相加,其他的类似。不严谨地说,每个分段产生N+M-1个点,第二段相当于右移N个点,必然产生混叠,第三段右移2N个点。。。看两张图,结合理解。
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述
    #matlab代码实现
    由于暂时不会动态分配变量或内存,我的程序只能将序列分3段,实际上你可以修改分段数目。从程序角度看,这份代码不能满足预期功能,但编程能力有待提高。

    function y=chongDieBaoLiuOf3seg(x1,x2,L)
    %L为分段点数
    %设x1长度小于x2
    len1=length(x1);
    len2=length(x2);
    %实现分段
    if 2*L+1<len2
    x21=x2(1:L);
    x22=x2(L+1:2*L);
    x23=x2(2*L+1:end);
    %补零
    m=ceil(log2(len1+len2-1));
    end
    N=2^m;
    if L<N
        x21=[x21,zeros(1,N-L)];
        x22=[x22,zeros(1,N-L)];
        x23=[x23,zeros(1,N-length(x23))];
    end
    if len1<N
        x1=[x1,zeros(1,N-len1)];
    end
    %卷积化为乘积
    X1=fft(x1);
    X22=fft(x22);
    X21=fft(x21);
    X23=fft(x23);
    Y22=X22.*X1;
    Y23=X23.*X1;
    Y21=X21.*X1;
    y21=ifft(Y21);
    y22=ifft(Y22);
    y23=ifft(Y23);
    %使维度一致
    y21=[y21,zeros(1,2*L)];
    y22=[zeros(1,L),y22,zeros(1,L)];
    y23=[zeros(1,2*L),y23];
    y=y21+y22+y23;
    %截取需要部分
    y=y(1:len1+len2-1)
    
    # 不知道怎么跳出代码模块
    小结一下,数学运算上,matlab优势很明显,
    
    
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  • 卷积

    2019-07-17 14:15:27
    卷积的一种计算方式: 将h分解为n个单位基向量乘上模后之和。每个单位基向量与x的乘积再乘上模,按行进行排列,再逐列相加,即得到y 利用fft快速计算线性卷积的原理 ...

    1. 基本概念

    1.1 预备知识

    1.1.1 自变量的时间尺度变换

    • 主要规则:
    •   1 x-x0延时和x+x0提前,时间反转只改变自变量x:f(x+1)的时间反转是f(-x+1),括号内的+1不用管。 
      
    • 基本的变换顺序:f(-ax+b),不对自变量进行综合,直接处理:
    •  先时移再缩放再反转:即      先延时b再缩放1/a再反转。此顺序不容易引起变换的错误。
      
    • 另一种变换顺序:
    •   先将f(-ax+b)变为f(- a(x-b/a))的形式,再对x由外到里的逐层变换: 先反转在缩放再时延。主要适合卷积运算定义h(n-k),k为自变量时(先反转,再时延移位)这类。
      
    • 即:!!! 重要: f(-x+b)=f( -(x-b))。根据需要先反转还是先时移来决定用那种形式。

    1.2 离散卷积表达式的两种理解

    在这里插入图片描述
    k只是一个时间间隔,符号±都可以。不要拘泥于k必须是-号。但是x和h的自变量k总是在时间上反转的,这一点不变。(x为+k时h为-k,x为-k时h为+k)
    假设x的长度为m,h的长度为L。

    1.2.1 求卷积y的全局结果(视n为自变量,k为单位基)

    • 此方式适合m或者L较短的情况,快速列举出所有y的结果。
    • 优点:不需要反转信号,直接相乘,运算简单。
    • 缺点:一次计算无法得到y(n0),需要将所有行算完,结果相加后才可得到每个点的卷积结果值。
    • 过程: 信号x(n)可表示为: ,x(k)视为信号x(n)的第k个基向量,在这里插入图片描述
      所以x(k)*h(n-k)可理解为基向量的模xk乘以 h(n)右移k个点后的向量,得到各个y(n)点在第k个基向量下的模值行向量。将所有基向量与h相乘得到的m个行向量的结果相加,即可得到全局的y(n)。
      亦可以将x视为m个单位冲击函数的和。,在这里插入图片描述分别与h卷积,得到h的各阶延时结果。
    • 实例:audio book -mit中提到的
      • 将f分解为n个单位基向量乘上模后之和。每个单位基向量与g的乘积再乘上模,按行进行排列,再逐列相加,即得到y。
        在这里插入图片描述 在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    • 从上图去理解为何卷积结果长度为M+L-1:
      第一行为h的长度L,共有M行,每行最后一个点的下标比上一行加1.故第M行最后一个点的下标为L+(M-1)

    1.2.2 直接求单点y(n0)的结果(视k为自变量,h反转移位相乘相加)

    • 优点:直接求卷积序列第n0个点的值。
    • 缺点:需要将h反转。
    • 过程: k为自变量,x(k)即信号x。h(n-k)即h(-(k-n)),即先将h反转,然后右移n个点得到。y(n0)可直接由序列x 乘上 序列h反转再右移n0个点的后的序列的结果再求和。
    • 理解y的长度为何是M+L-1: h每移动一次均产生一个y值,关键看h最多可以右移多少次,画图最便于理解。
      从图上可知,反转后,h的起始点为1-L,此点最终移动到了M-1处。共移动了L+M-1个点,因此产生了L+M-1个y值。

    1.2.3 用单位脉冲函数的级数来表示(奥本海姆信号与系统,P117,题2.64(a)所提及)

    在这里插入图片描述

    1.3 单位脉冲函数的筛选特性/时移特性/偶对称性

    在这里插入图片描述
    lti系统中,任何信号都可表示为单位脉冲函数的加权和。

    1.4 x与h时反的卷积的几个变换

    在这里插入图片描述

    1.4 卷积和滤波(差分方程)的关系

    • 对于fir滤波器,在这里插入图片描述完全可将圆括号内部分视为h(k)。可见fir滤波器的系数即系统的单位冲激响应函数。
    • 对于IIR滤波器,也可以等同于卷积的形式来计算,只是h(n)是无穷的。
      在这里插入图片描述
      在这里插入图片描述
      在这里插入图片描述

    2. 各类pc上的数值计算方法

    2.1 卷积的一种计算方式:()

    2.2 重叠相加和重叠保留_fft快速计算线性卷积(audio book -mit)

    2.2.1 mit book上的叙述

    重叠相加法与重叠保存法的原理实现
    博客上的文章,原理和程序都有。

    2.2.2mit book上的叙述

    在这里插入图片描述

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  • 4、利用编制的计算卷积计算程序,分别给出一下三组函数的卷积结果。 (1)file:///C:/Users/fengnuo/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-3320.png file:///C:/Users/fengnuo/AppData/Local/Temp/ksohtml...
  • 4、利用编制的计算卷积计算程序,分别给出一下三组函数的卷积结果。 (1)file:///C:/Users/fengnuo/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-3320.png file:///C:/Users/fengnuo/AppData/Local/Temp/ksohtml...
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空空如也

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利用fft计算线性卷积