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    每天十分钟,高考好成绩

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    高三每日一题(209):不同角度解决一道竞赛不等式最小值问题

    高三每日一题(208):目标为导向,巧焕主元解导数题

       高三每日一题(207):一道二元不等式的多解

      高三每日一题(206):由特殊根式联想三角,计算根式除法

    高三每日一题(205):小题大智慧,再看全国卷不等式

    高三每日一题(204):巧用指对恒等变形解函数问题两例

    高三每日一题(203):利用指均和对均不等式解几道近期模拟题

    高三每日一题(202):构造函数,解决选填压轴题

    高三每日一题(201): 降元解一系列三角形综合问题(4例题+4练习题)

    高三每日一题(200):大胆放缩,小心验证,证明明函数零点个数问题(配有练习题)

    高三每日一题(199):充分挖掘二次函数性质,解高考导数题(配有练习题)

    高三每日一题(198):利用偏导数法解决恒成立问题(配有练习题)

    高三每日一题(197):夹逼定理+放缩+取点,求一道恒成立问题参数取值范围

    高三每日一题(196):巧构圆解决向量最值问题(变式及配套练习)

    高三每日一题(195):极值点数列不等式

    高三每日一题(194):调整法求三角函数最大值

    高三每日一题(193):朝阳区高三期中导数压轴解答

    高三每日一题(192):妙取点,简证海淀高三导数压轴题

    高三每日一题(191):对海淀高三期中考试几道函数题的解答

    高三每日一题(190):必要探路求存在性成立问题参数取值范围

    高三每日一题(189):利用正弦定理 结合互质求三角形最小整数周长

    高三每日一题(188):构费马点利用海伦公式和均值证不等式

    高三每日一题(187):构图利用两次中线定理 ,求向量模的范围

    高三每日一题(186):整体构造换元,利用单调性解决恒成立问题

    高三每日一题(185):极限思想求参数的取值范围

    高三每日一题(184):主元思想 求导研究恒成立一例

    高三每日一题(183):巧变形 数形结合解一道恒成立问题

    高三每日一题(182):利用对均不等式,解一道极值点偏移问题

    高三每日一题(181):巧用柯西解恒成立问题一例

    高三每日一题(180):分离变量 +换元,求恒成立参数范围一例

    高三每日一题(179):整体构造,求一道三角函数的值域

    高三每日一题(178):利用中线定理+对勾函数,求三角形余弦值取值范围

    高三每日一题(177):从PQR和舒尔两个角度证一道不等式

    高三每日一题(176):从导数放缩,均值,贝努利三个角度研究一道数列乘积的上限问题

    高三每日一题(175):取参数倒数参变分离,导数研究恒成立一例

    三每日一题(174):极点极线应用一例

    高三每日一题(173):利用Bernoulli,证一道不等式

    高三每日一题(172):化曲为直 ,求二元和最小值

    高三每日一题(171):排序不等式+调整,证一道不等式

    高三每日一题(170):柯西+配方,证一道不等式

    高三每日一题(169):射影定理+均值,求一道三角形角的最大值

    高三每日一题(168):仿射变换解椭圆问题一例

    高三每日一题(167):基本不等+数学归纳法,证数列单调性和下界

    高三每日一题(166):利用函数不等式 ,研究数列差的范围

    高三每日一题(165):换元+极限,研究零点和的取值范围

    高三每日一题(164):利用对数平均不等式,证一道零点积的范围

    高三每日一题(163):平面图形立体化,求一道平面图形线段和的最小值

    高三每日一题(162):切线法,割线法证几道不等式(六例)

    高三每日一题(161):琴生不等式应用几例

    高三每日一题(160):柯西不等式应用6例

    高三每日一题(159):均值定理应用几例

    高三每日一题(158):母函数法,求数列通项公式

    高三每日一题(157):导数积分法,求数列通项公式

    高三每日一题(156):利用柯西方程,求抽象函数解析式

    高三每日一题(155):不动点+数学归纳法,研究递推数列

    高三每日一题(154):不动点法, 求一道二次迭代函数参数取值范围

    高三每日一题(153):构造三角形 求三角函数值

    高三每日一题(152):利用单调递性,巧求余弦值

    高三每日一题(151):缩小范围三角换元,研究三次函数零点问题

    高三每日一题(150):利用张角公式求三角形边长和的最小值

    高三每日一题(149):转化是关键,三角形里求三角函数值比值的最大值

    高三每日一题(148):必要探路先猜后证,研究一道双元比值取值范围

    高三每日一题(147):求根式函数最值常见的几种解法

    高三每日一题(146):向量模方等于向量平方是解决向量问题的利器

    高三每日一题(145):切入点不同 则解法不同,2018上海12题解法的探究

    高三每日一题(144):必要探路 研究含参绝对值恒成立问题

    高三每日一题(143):切比雪夫最佳一次逼近,求最大值的最小值一例

    高三每日一题(142):构造二次函数,利用函数有两零点求二元和范围

    高三每日一题(141):减元构造二元不等式组,利用线性规划求比值取值范围

    高三每日一题(140):建系复数法是研究几何的有效手段之一

    高三每日一题(139):直线与圆关系引出二元和取值范围

    高三每日一题(138):多角度研究2018全国卷(1)16题(五个角度)

    高三每日一题(137):圆周上一道概率题

    高三每日一题(136):坐标法解三道向量小题

    高三每日一题(135):构造函数求导研究极值漂移,一道函数极值和下限题

    高三每日一题(134):构造函数求导研究极值点漂移,一道函数极值点题

    高三每日一题(133):构造函数求导研究零点漂移,一道函数零点题

    高三每日一题(132):向量几何运算是关键,一道三角形边长组合最大值问题

    高三每日一题(131):分离变量,一道任意与存在求参的小题

    高三每日一题(130):构造三角形高,解双曲线离心率取值范围

    高三每日一题(129):多角度研究东城二模理科18题解析几何

    高三每日一题(128):多角度思考一道小题,研究一道二元最最值问题

    高三每日一题(127):2018, 5 海淀高三二模第 18题分析(理科)

    高三每日一题(126):2018, 5 海淀高三二模第 14 题分析(理科)

    高三每日一题(125):利用三角形恒等式求一个二元最值

    高三每日一题(124):利用海伦公式+均值定理,求三角形面积的最大值

    高三每日一题(123):先必要后充分+放缩,研究一道不等式恒成立问题

    高三每日一题(122):阿氏圆+等和线求向量模的最值,一道向量综合题

    高三每日一题(121):坐标法是研究向量的有效手段,向量模最值一例

    高三每日一题(120):解析几何要多研究其几何性质,直线与抛物线一例

    高三每日一题(119):分段研究函数零点问题,探究海淀高二期末理科导数题

    高三每日一题(118):建系解向量数量积最值问题

    高三每日一题(117):对称是关键,绝对值函数六个零点问题

    高三每日一题(116):方向不同则方法也不同,探究一道三角形内角正切乘积最大值.

    高三每日一题(115):双切线放缩证明一道恒成立问题.

    高三每日一题(114):K法与配凑法,一道二元不等式范围的多种解法

    高三每日一题(113):参变分离研究函数零点

    高三每日一题(112):利用极坐标求椭圆内接三角形面积的范围

    高三每日一题(111):切线放缩,对东城一模理科导数题再探究

    高三每日一题(110):琴生不等式证一道不等式的运用

    高三每日一题(109):换元拼凑求二元最大值

    高三每日一题(108):线性规划也是求二元最值得有效手段

    高三每日一题(107):待定系数法构造均值定理,求三元除法最小值

    高三每日一题(106):构造函数利用对称,通法解一道极值点偏移问题

    高三每日一题(105):控制公比范围+三边转一边,研究三角形两边数量积范围

    高三每日一题(104):另解海淀一模文压轴题

    高三每日一题(103):利用权方和不等式,求一道二元最值

    高三每日一题(102):构造目标函数解空间距离最短的问题,西城区理科一模14题

    高三每日一题(101):特殊化处理立体几何填空题,求动三棱锥体积

    高三每日一题(100):导数放缩+数列放缩,一道数列下界综合题

    高三每日一题(99):利用椭圆垂经定理求椭圆离心率

    高三每日一题(98):点差法求双曲线离心率

    高三每日一题(97):设而不求,导数研究不等式

    高三每日一题(96):先猜后证,恒成立参数积最值问题

    高三每日一题(95):构造目标函数,椭圆离心率取值范围

    高三每日一题(94):向量几何运算,丰台一模14题

    高三每日一题(93):理解题意+对称是关键,朝阳一模14题

    高三每日一题(92):向量基本定理运用,朝阳一模第八题

    高三每日一题(91):必要探路+放缩构造函数,不等式恒成立问题

    高三每日一题(90):双根式+两次均值,研究三次函数系数和取值范围

    高三每日一题(89):数形结合,恒成立一例

    高三每日一题(88):构造几何,解二元最值一例

    高三每日一题(87):观察结构+恰当放缩,证明数列上下界问题

    高三每日一题(86):减元是王道,三角形边长和最值问题

    高三每日一题(85):恒等转化是关键,图解绝对值嵌套绝对值恒成立问题

    高三每日一题(84):二次函数全等是关键,解函数恒成立

    高三每日一题(83):回归概念是王道+柯西不等式,解向量模和最值问题

    高三每日一题(82):必要探路或分离参数,解一道导数综合题

    高三每日一题(81):分离参数+夹逼取等,解三角综合一题

    高三每日一题(80):三角换元+三倍角,研究一元三次方程根

    高三每日一题(79):矩形大法+相交线定理,求四边形面积最大值

    高三每日一题(78):对称换元,研究不等式恒成立

    高三每日一题(77):除法变减法,求导放缩研究最值

    高三每日一题(76):分类讨论是王道,导数研究多参恒成立问题

    高三每日一题(75):三种方法解直线与三次函数交点距离问题

    高三每日一题(74):换元+研究函数性质,研究方程零点问题

    高三每日一题(73):利用共圆角互补,求向量数量积

    高三每日一题(72):张角公式+正弦定理,解边长最值问题

    高三每日一题(71):单调+零点定理,解零点平移区间最值问题

    高三每日一题(70):利用对称,求两函数之间最短距离

    高三每日一题(69):利用绝对值不等式,解决向量取值范围

    高三每日一题(68):函数思想,解分段数列问题

    高三每日一题(67):构造函数 换底公式,比较三数大小

    高三每日一题(66):换元或平方,求取值范围

    高三每日一题(65):先猜后证,恒成立求二元参数值

    高三每日一题(64):单调放缩,求数列和上限

    高三每日一题(63):变形出目标,恒成立一例

    高三每日一题(62):数形结合,解分段嵌套函数零点

    高三每日一题(61):巧取点,判断极值正负

    高三每日一题(60):形直译数解释,动圆问题

    高三每日一题(59):利用数量积,化为实数

    高三每日一题(58):齐次化,求三元最值

    高三每日一题(57):挖掘内涵,直线与圆

    高三每日一题(56):构建几何,二元最值

    高三每日一题(55):紧给目标,均值换元导数一题

    高三每日一题(54):另解网上热议的一道题恒成立问题

    高三每日一题(53):认清凸凹,分离变量

    高三每日一题(52):降维构图,空间最值

    高三每日一题(51)几何思想,向量最值

    高三每日一题(50)极化恒等,向量最值

    高三每日一题(49)任意存在,换元分类

    高三每日一题(48)辅助构图,解决向量

    高三每日一题(47)动中有静,圆中求角

    高三每日一题(46)恰当换元,数列通项

    高三每日一题(45)构建椭圆,三角最值

    高三每日一题(44)构造函数,拐点偏移

    高三每日一题(43)理解透彻,巧解导数

    高三每日一题(42)细致分类,倍值区间

    高三每日一题(41)小题大做,五法解最值

    高三每日一题(40)抓住核心 ,向量最值

    高三每日一题(39)合理化归 ,研究数列

    高三每日一题(38)直线过定点 ,巧用阿氏圆

    高三每日一题(37)由定义求离心率

    高三每日一题(36)换元求导,研究零点

    高三每日一题(35)合理赋值,抽象求值

    高三每日一题(34)嵌套函数,零点最值

    高三每日一题(33)夹逼取等,解三角形

    高三每日一题(32)步步为营,三角一题   

    高三每日一题(31):取点放缩,函数零点

    高三每日一题(30):数列充要,先猜后证

    高三每日一题(29):直角距离,数形解释

    高三每日一题(28):幂指变换,赋值解决函数零点问题

    高三每日一题(27):保值函数

    高三每日一题(26):分离函数,巧解交点问题

    高三每日一题(25):抽象函数零点问题

    高三每日一题(24):换元巧解V函数一题

    高三每日一题(23):换元求导 解三角函数最值

    高三每日一题(22):一道网上热议的向量题

    高三每日一题(21):几何法巧解三角函数最值

    高三每日一题(20):引线转换

    高三每日一题(19):根式值域,一题三解

    高三每日一题(18):嵌套函数

    高三每日一题(17):换位思考,巧解距离

    高三每日一题(16):均值在圆锥曲线中的应用

    高三每日一题(15):关羽开门 刀举成功

    高三每日一题(14):小刀开门 切口启封

    高三每日一题(13):极限思想

    高三每日一题(12):一道题弄明白极值点偏移

    高三每日一题(11):代换简化问题

    高三每日一题(10):一题七解

    高三每日一题(9):巧设参数

    高三每日一题(7):对称换元

    高三每日一题(6):几何分析法

    高三每日一题(5):降元构造线性规划

    高三每日一题(4):双主元法

    高三每日一题(3):设三角点解圆锥曲线

    高三每日一题(2):乔装圣裹贺岁题

    高三每日一题(1):解三角形+不等式

    展开全文
  • 粒子群算法粒子群算法(PSO,Particle Swarm Optimization),也称粒子群优化算法...粒子群优化算法基本思想是利用群体中个体之间信息共享,从而使得整个群体运动在问题求解空间中产生从无序到有序演化过程,...

    3d595ee44b6a9bca6f1761d7fb0de34f.png

    粒子群算法

    粒子群算法(PSO,Particle Swarm Optimization),也称粒子群优化算法或鸟群觅食算法。1995年由J. Kennedy和R. C. Eberhart等开发的一种新的进化算法(Evolutionary Algorithm - EA)。

    粒子群优化算法的基本思想是利用群体中个体之间的信息共享,从而使得整个群体的运动在问题求解空间中产生从无序到有序的演化过程,从而获得问题的最优解。

    粒子群算法的详细介绍,网上已经有很多资料,这里就不再赘述。画个标准算法的流程图吧。

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    然后推荐几个学习链接:

    https://mp.weixin.qq.com/s/Vz6BFqzFmQLwgQz6agjG0A

    https://mp.weixin.qq.com/s/axln8SohDXpHDAeJ2EhKQg

    https://mp.weixin.qq.com/s/3Os2ZxLkFM6wKzY6wLQ9zA

    ……

    本文要求解极值的非线性函数为

    c23e048a44e927da2a488ee2e72ec276.png

    下面直接上代码:

    程序中种群规模为50,迭代次数为500,位置范围为[-2, 2],速度范围为[-0.5, 0.5],两个加速因子均为1.49445。
    /* 参考资料:https://blog.csdn.net/hcc199521/article/details/53445656?utm_medium=distribute.pc_relevant.none-task-blog-title-2&spm=1001.2101.3001.4242求解以下二元函数的最大值f(x,y) = sin(sqrt(x^2+y^2))/(sqrt(x^2+y^2)) + exp((cos(2*PI*x)+cos(2*PI*y))/2) - 2.71289s.t. x∈[-2, 2]     y∈[-2, 2]*/#include #include #include #include #include #include #include #define g_dC1 1.49445   /* 加速因子 */#define g_dC2 1.49445   /* 加速因子 */#define g_nG 500                 /* 迭代次数 */#define g_nPopulationNum 50     /* 种群大小 */#define g_nXMin -2#define g_nXMax 2#define g_nYMin -2#define g_nYMax 2#define g_dVMin -0.5#define g_dVMax 0.5#define PI 3.1415926typedef struct stParticle_s{    double dX;    double dY;    double dVX;    double dVY;    double dFitness;}stParticle_t;stParticle_t g_astParticles[g_nPopulationNum];   /* 每一代种群数据 */stParticle_t g_astPBestParticle[g_nPopulationNum];   /* 各粒子极值数据 */stParticle_t g_stGBestParticle;   /* 群体全局极值数据 *//* 计算粒子的适应度值 */void CalFitnessPerParticle(stParticle_t *stParticle){    stParticle->dFitness         = sin(sqrt(stParticle->dX * stParticle->dX + stParticle->dY * stParticle->dY))/(sqrt(stParticle->dX * stParticle->dX + stParticle->dY * stParticle->dY))         + exp((cos(2 * PI * stParticle->dX) + cos(2 * PI * stParticle->dY))/2) - 2.71289;}void CalFitness(){    for (int i = 0; i < g_nPopulationNum; i++)    {        CalFitnessPerParticle(&(g_astParticles[i]));    }}/* 初始化 */void Initialization(){    /* 初始化种群数据 */    for (int i = 0; i < g_nPopulationNum; i++)    {        g_astParticles[i].dX = (((double)rand()) / RAND_MAX - 0.5) * 4; /* -2到2之间的随机数 */        g_astParticles[i].dY = (((double)rand()) / RAND_MAX - 0.5) * 4; /* -2到2之间的随机数 */        g_astParticles[i].dVX = ((double)rand()) / RAND_MAX - 0.5; /* -0.5到0.5之间的随机数 */        g_astParticles[i].dVY = ((double)rand()) / RAND_MAX - 0.5; /* -0.5到0.5之间的随机数 */    }    /* 初始化全局数据 */    g_stGBestParticle.dX = 0.0;    g_stGBestParticle.dY = 0.0;    g_stGBestParticle.dVX = 0.0;    g_stGBestParticle.dVY = 0.0;    g_stGBestParticle.dFitness = DBL_MIN;    for (int i = 0; i     {                g_astPBestParticle[i].dX = 0.0;        g_astPBestParticle[i].dY = 0.0;        g_astPBestParticle[i].dVX = 0.0;        g_astPBestParticle[i].dVY = 0.0;        g_astPBestParticle[i].dFitness = DBL_MIN;    }}/* 找到每个粒子各自的极值,以及整体的极值 */void SearchPGBestParticle(){    for (int i = 0; i < g_nPopulationNum; i++)    {        /* 找到每个粒子各自的极值(该粒子每代的极值进行比较) */        if (g_astPBestParticle[i].dFitness < g_astParticles[i].dFitness)        {            g_astPBestParticle[i].dX = g_astParticles[i].dX;            g_astPBestParticle[i].dY = g_astParticles[i].dY;            g_astPBestParticle[i].dVX = g_astParticles[i].dVX;            g_astPBestParticle[i].dVY = g_astParticles[i].dVY;            g_astPBestParticle[i].dFitness = g_astParticles[i].dFitness;        }                /* 找到全局最优粒子 */        if (g_stGBestParticle.dFitness < g_astParticles[i].dFitness)        {            g_stGBestParticle.dX = g_astParticles[i].dX;            g_stGBestParticle.dY = g_astParticles[i].dY;            g_stGBestParticle.dVX = g_astParticles[i].dVX;            g_stGBestParticle.dVY = g_astParticles[i].dVY;            g_stGBestParticle.dFitness = g_astParticles[i].dFitness;        }    }}/* 更新粒子的位置和速度 */void RefreshParticlePAndV(){    for (int i = 0; i < g_nPopulationNum; i++)    {        /* X方向速度(如果是多维的话,这里指第一维的速度) */        double dRand1 = (double)rand() / RAND_MAX;   /* 取0到1之间的随机数 */        double dRand2 = (double)rand() / RAND_MAX;        g_astParticles[i].dVX = g_astParticles[i].dVX             + g_dC1 * dRand1 * (g_astPBestParticle[i].dX - g_astParticles[i].dX)             + g_dC2 * dRand2 * (g_stGBestParticle.dX - g_astParticles[i].dX);        /* Y方向速度(如果是多维的话,这里指第一维的速度) */        dRand1 = (double)rand() / RAND_MAX;        dRand2 = (double)rand() / RAND_MAX;        g_astParticles[i].dVY = g_astParticles[i].dVY             + g_dC1 * dRand1 * (g_astPBestParticle[i].dY - g_astParticles[i].dY)             + g_dC2 * dRand2 * (g_stGBestParticle.dY - g_astParticles[i].dY);        /* 如果速度超过边界,则设为边界 */        if (g_astParticles[i].dVX < g_dVMin)        {            g_astParticles[i].dVX = g_dVMin;        }        if (g_astParticles[i].dVX > g_dVMax)        {            g_astParticles[i].dVX = g_dVMax;        }        if (g_astParticles[i].dVY < g_dVMin)        {            g_astParticles[i].dVY = g_dVMin;        }        if (g_astParticles[i].dVY > g_dVMax)        {            g_astParticles[i].dVY = g_dVMax;        }        /* 粒子位置更新 */        g_astParticles[i].dX = g_astParticles[i].dX + g_astParticles[i].dVX;        g_astParticles[i].dY = g_astParticles[i].dY + g_astParticles[i].dVY;        if (g_astParticles[i].dX > g_nXMax)        {            g_astParticles[i].dX = g_nXMax;        }        if (g_astParticles[i].dX < g_nXMin)        {            g_astParticles[i].dX = g_nXMin;        }        if (g_astParticles[i].dY > g_nYMax)        {            g_astParticles[i].dY = g_nYMax;        }        if (g_astParticles[i].dY < g_nYMin)        {            g_astParticles[i].dY = g_nYMin;        }    }}void main(){    clock_t start, finish;    start = clock();    srand((unsigned)time(NULL));    Initialization();    for (int i = 0; i < g_nG; i++)    {        /* 计算每个粒子的适应度值 */        CalFitness();        /* 找到每个粒子各自的极值,以及整体的极值 */        SearchPGBestParticle();        /* 更新粒子的位置和速度 */        RefreshParticlePAndV();        printf("第%d代,最优值位置为(%f, %f),最优值为:%f\n", i + 1, g_stGBestParticle.dX, g_stGBestParticle.dY, g_stGBestParticle.dFitness);    }    finish = clock();    double dTimeSpan = (double)(finish - start) / CLOCKS_PER_SEC;    printf("程序运行时间:%f\n", dTimeSpan);    system("pause");    return;}

    运行结果

    b8307966abf9114d078808c81762d9e0.png

    从运行结果可以看出,当迭代到54代时就达到了最大值。每次运行的结果可能不一样。

    粒子群算法和遗传算法的流程比较像,粒子群算法需要重点关注速度更新公式:

    b43c2fc8c4b99f02ddb60dc4935313f6.png

    参考资料

    https://blog.csdn.net/hcc199521/article/details/53445656?utm_medium=distribute.pc_relevant.none-task-blog-title-2&spm=1001.2101.3001.4242

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  • (一)线性方程组求解 包含n个未知数,由n个方程构成线性方程组为: 其矩阵表示形式为: 其中 一、直接解法 1、左除法 x=A\b; 如果A是奇异,或者接近奇异MATLAB会发出警告信息。 2、利用矩阵分解来...

    (一)线性方程组求解

    包含n个未知数,由n个方程构成的线性方程组为:

    image

    其矩阵表示形式为:image

    其中

    image

    一、直接求解法

    1、左除法

    x=A\b;

         如果A是奇异的,或者接近奇异的。MATLAB会发出警告信息的。

    2、利用矩阵的分解来求解线性方程组(比单单进行左除速度快)

    (1)LU分解(只有方阵可以使用)

         LU分解就是分解成一个交换下三角矩阵(也就是说进行一定的操作后才是下三角矩阵)和一个上三角矩阵(不需要变换)的乘积形式。只要A是非奇异的,就可以进行LU分解。

         MATLAB提供的LU分解函数对于矩阵进行LU分解:

    [L,U]=lu(X);      %X必须是方阵
    [L,U,P]=lu(X);    %PX=LU。X必须是方阵

         实现LU分解之后,线性方程组Ax=b的解就为x=U\(L\b)或x=U\(L\Pb)、

    (2)QR分解(A是非奇异的)

         QR分解就是分解成一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积形式。只要A是非奇异的,就可以进行QR分解。QR只能对方阵进行分解。

    [Q,R]=qr(X);        %X=QR
    [Q,R,E]=qr(X);      %XE=QR

        实现QR分解之后,解为x=R\(Q\b)或x=E(R\(Q\b))。

    (3)Cholesky分解(X是正定的)

         如果X是正定的。则将矩阵分解成一个下三角矩阵和上三角矩阵的乘积。上三角矩阵为R,下三角矩阵为其转置,X=R’R.

         MATLAB进行CHolesky分解方法:

    R=chol(X);
    [R,p]=chol(X);        %p=0则为正定矩阵,返回一个R,或者p为一个正整数q=p-1,满足R'R=X(1:q,1:q)

         则线性方程组的解为x=R\(R’\b)

    二、迭代法求解(求解大型系数矩阵的方程组)

    1、Jacobi迭代法

    (1)原理解释

        对于Ax=b,如果A为非奇异,那么A就可以分解成一个对角阵D,一个下三角阵L和一个上三角阵U,使得A=D-L-U。则

    image

        然后得到迭代公式为

    image

        如果收敛的话,就可得到方程的解。

    (2)MATLAB编程求解(= =,很简单的迭代。但是如果没有解的话,会得到NAN= = )

    function [y,n]=jacobi(A,b,x0,eps)
    %A为系数矩阵,b为向量,x0为初值。
    
    if nargin==3      %输入参数至少为3个
        eps=1.0e-6;
    elseif nargin<3
        error
        return
    end
    
    D=diag(diag(A));   %求A得对角矩阵
    L=-tril(A,-1);     %求A的下三角阵(没有对主对角线),由于是拆成A=D-L-U,所以前面加了“-”号,下同   
    U=-triu(A,1);      %求A的上三角阵(没有对主对角线)。
    
    B=D\(L+U);
    f=D\b;
    y=B*x0+f;
    n=1;        %迭代次数
    
    while norm(y-x0)>=eps
        x0=y;
        y=B*x0+f;
        n=n+1;
    end

    (3)一个demo

    image

    x =
    
        0.9958
        0.9579
        0.7916
    
    
    n =
    
        11

    2、Gauss-Serdel迭代法

    (1)原理说明

            由于每一次的x都已经算出来了,就没比较再从头算一次了。就是省略了无效的迭代次数,然后我们就得到一个新的迭代公式。

         image

    (2)MATLAB编程求解

    function [y,n]=gauseidel(A,b,x0,eps)
    %A为系数矩阵,b为列向量,x0为初值。
    
    if nargin==3
        eps=1.0e-6;
    elseif nargin<3
        error
        return
    end
    
    D=diag(diag(A)); %求A的对角矩阵
    L=-tril(A,-1);   %求A的下三角阵
    U=-triu(A,1);    %求A的上三角阵
    G=(D-L)\U;
    f=(D-L)\b;
    y=G*x0+f;
    n=1;
    
    while norm(y-x0)>=eps
        x0=y;
        y=G*x0+f;
        n=n+1;
    end

    PS: 

         使用迭代法,一般只能找到一组解(离初值最近的解)。然后使用迭代法,一定要能收敛才能够使用。

    (三)——常微分方程初值问题的数值解法

          一般是比较难解出来解析解,所以一般求得离散解就很不错了。

    一、龙格——库塔法简介

    1、由中值定理可得:

    image

         所以,根据上述递推式之后能够计算未知函数y在点image,i=0,1,……,n的一列的数值解。

         当然,使用的递推公式都会有一个误差累计的问题,所以我们使用龙格——库塔公式:

    image

    2、MATLAB封装的龙格——库塔法实现

    [t,y]=ode23('fname',tspan,y0);
    [t,y]=ode45('fname',tspan,y0);

    其中,fname是定义f(t,y)的函数文件名,该函数文件必须返回一个列向量。

             tspan形式为[t0,tf],表示求解区间。

             y0是初始状态列向量。

             t,y分别给出求解的相应向量。

    然后自己会自动采用步长大小,所以效率还是不错的。

    3、demo1

    image

    MATLAB编程求解

    t0=0;tf=10;
    y0=2;
    [t,y]=ode23('funt',[t0,tf],y0);    %龙格——库塔法的离散解
    
    y1=sqrt(t+1)+1;      %精确解
    
    plot(t,y,'-b*');
    hold on;
    plot(t,y1,':ro');

    红色是精确解,蓝色是离散解,可以得到差距不大。

    image

    4、demo2

    image

         对于高阶的常微分方程。首先要转换为一阶常微分方程组。即状态方程(上面有两点表示二次导数= =)

    令:image,则原式化为

    image

    MATLAB求解

    t0=0;tf=20;
    x0=[0;0.25];
    [t,x]=ode23('funt',[t0,tf],x0)
    
    subplot(1,2,1);plot(t,x);
    subplot(1,2,2);plot(x(:,1),x(:,2));
    image

    (四)函数极值

    1、MATLAB求解方法

    x=fmin('fname',x1,x2);       %求单变量函数的最小值
    x=fmins('fname',x0);         %求多变量函数的最小值
    image

    2、没有求最大值的方法,但是我们可以通过求-fmin(-f(x))的方法求最大值

    转载于:https://www.cnblogs.com/BlueMountain-HaggenDazs/p/4293798.html

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  • MATLAB之黄金分割法求极值

    千次阅读 2020-04-11 10:05:07
    该算法可以与进退法结合求函数极值,利用进退法求出高函数极小值所在的区间,将该区间作为输入利用黄金分割法求得极值。 假设函数f(x)的极值坐在区间为(a,b),利用黄金分割点 在区间(a,b)内插入两点: x1=a+...

    MATLAB之黄金分割法求极值
    一、算法原理
    该算法可以与进退法结合求函数极值,利用进退法求出高函数极小值所在的区间,将该区间作为输入利用黄金分割法求得极值。
    假设函数f(x)的极值坐在区间为(a,b),利用黄金分割点
    在区间(a,b)内插入两点:
    x1=a+0.382*(b-a);
    x2=a+0.618*(b-a);
    将搜索区间分为三段:
    比较f(x1)f(x2)的大小,
    若 f(x1)<f(x2)
    b=x2; 新的搜索区间为(a,x2)
    否则
    a=x1;新的搜索区间为(x1,b)
    最后判断 abs(a,b) ,该区间是否足够小,取区间中点作为极值点。

    二、matlab程序

    clc
    clear
    f=@(x) x.^3-6*x+9;
    fplot(f)
    [a,b]=Min_jintui(f,0,0.001);
    [fx,x]=huangjin(f,[a b],100)  % (a,b)为搜索区间
    function [result,x]=huangjin(f,x0,n)
    tol=1e-6;%精度
    x1=x0(1);
    x2=x0(2);
    i=1;
    while i < n
        %取中间值
        a=x1+0.382*(x2-x1);
        b=x1+0.618*(x2-x1);
        fa=f(a);
        fb=f(b);
        % 判断fa  fb大小,缩小区间
        if fa < fb
            x2=b;
        else
            x1=a;
        end
        if  abs(x1-x2) < tol
            result=f((x1+x2)/2);
            x=(x1+x2)/2;
            break;
        end
        i=i+1;
    end
    end
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