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  • 本文参考的是来自mooc上北京师范大学彭芳麟老师的计算物理基础基础知识偏微分方程的三种类型椭圆型 初始条件:无抛物型 初始条件:初始温度分布双曲型初始条件:初始位移与初始速度边界条件Dirchlet边界条件区域边界...

    本文参考的是来自mooc上北京师范大学彭芳麟老师的计算物理基础

    基础知识

    偏微分方程的三种类型

    • 椭圆型
      • 初始条件:无
    • 抛物型
      • 初始条件:初始温度分布
    • 双曲型
      • 初始条件:初始位移与初始速度

    边界条件

    • Dirchlet边界条件
      • 区域边界的函数值
    • Neumann边界条件
      • 给出边界上函数的法向导数
    • 混合边界条件
      • 给出边界上函数及其法向导数的线性组合

    差分法解热传导方程

    热传导方程:

    可以获得显式公式

    由此递推公式可以得出下列矩阵

    例1

    求解程序

    x

    同时上述的传导方程也有隐式公式

    利用

    得到

    由此递推公式可以得到

    引入算符

    则上述矩阵可以化为

    例2 解无量纲化后的薛定谔方程

    ed9db0e93399303bafd06809f31d8d4c.png

    差分法解弦振动方程

    波动方程:

    则可以得到相应的显式差分公式

    其中

    • 解是稳定的
    • 可能能得到正确数值解
    • 解是不稳定的

    由此递推公式可以得到对应的矩阵形式

    初始条件的设定

    8bf112988dd5da051ca123d48312f0ea.png

    例3 两端固定的弦振动

    求解程序

    figure
    

    用差分法解椭圆型方程

    差分法:

    则可以得到显式差分公式

    稳定条件为

    f9172df1fc5c3eb79d3d22815dd41d23.png

    第一类边界条件

    035abdd835713e01652066ef1629ea4f.png

    中心点用

    表示,边界点用
    表示

    第二类边界条件

    3967cfaf058db4e873da4ff350bb8636.png

    迭代法与松弛法

    迭代法解线性方程组

    矩阵解法

    迭代法

    x1

    雅可比迭代法

    高斯-赛德尔迭代法

    松弛法

    则有

    为提高运算效率,可以加上松弛权重

    ,则有

    时为低松弛,
    时为超松弛

    松弛法迭代公式

    启动计算:所有内部点都用边界点的平均值作为启动值

    pdetool求解偏微分方程

    pdetool中方程的输入格式

    2bcc93c701155b130dc8f2756f93edda.png

    边界条件格式

    dd1458b3de317ba7fcfdddf60c554b90.png

    可解问题的分类

    14a44fd048355c0a9fea2bb2ea01b7d0.png

    解题步骤

    1. 设置定解问题
      1. Draw Mode 画求解区域如矩形,椭圆,多边形及其组合
      2. Boundary Mode 定义边界条件
      3. PDE Mode 定义偏微分方程,即给定方程的类型及其系数
    2. 解方程
      1. Mesh Mode 将区域分割为三角形网格
      2. Solve Mode 设置初始条件并求解,本征值问题可设搜索本征值范围
    3. 将结果可视化输出
      1. Plot Mode
        1. 用彩图、高度图、矢量场图、曲面图、网线图等直线图和线头图表现解
        2. 对抛物型方程和双曲型方程,可以用动画表现解

    用pdetool解椭圆形方程和抛物型方程

    344fde947d3b51a005ad322f87bb2449.png

    caae62cb421dc3f3c0f8ac387e8b0d75.png

    4ee467a394b990b027e1ca8868c90cfb.png

    用pdetool解波动方程和本征值方程

    bd62d1fe1ca695dbd8aedd1c951fb461.png

    b59574e8df242dfd150bfb47ac278306.png

    4e04ad7e903f637e6fbc1aeddb67475f.png

    42fbcc87119a768652d424cd9cb289dd.png

    特殊函数的调用和计算

    在matlab中查询特殊函数的方法

    help matlabspecfun

    legendre

    例:计算n阶勒让德函数

    在x处的值

    c6d2cd58ddf0b1122befdc6d335343a5.png

    勒让德函数的值

    da50e769d4ab6f724ef22a5befe682c9.png

    画勒让德多项式的图像

    sym 
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  • 数学建模(5.5)利用matlab求解微分方程问题 解析:dsolve MATLAB求解微分方程解析解的命令是dsolve 调用格式: dsolve('eq1','eq2',...,'cond1','cond2',...,'v'), %其中eq1、eq2、...为输入方程(组) %...

    数学建模(5.5)利用matlab求解微分方程问题

    解析解:dsolve

    MATLAB求解微分方程解析解的命令是dsolve
    调用格式:

    dsolve('eq1','eq2',...,'cond1','cond2',...,'v'),
    
    %其中eq1、eq2、...为输入方程(组)
    %cond1、cond2、...为初始条件
    %b表示求导变量,省略时系统默认为t
    %Dy表示关于y关于自变量的一阶导数,D2y表示y关于自变量的二阶导数,以此类推

    数值解:solver

    对于大部分的微分方程来说,都难以得到解析解,但对于难以求解析解的微分方程,可以求取其的数值解,命令为solver

    调用格式:

    [TY] = solver(odefun,tspan,y0)
    
    %表示求解微分方程y'=f(t,y)项
    %odefun为微分方程中的f(t,y)项
    %tspan为求解区间,要获得问题在指定点的解可取(分量单调)
    %y0为初始条件

    对于微分方程问题,一般来说难以有一个算法可以解决所有问题的情况,所以要针对不同的问题使用不同的算法:

    solver名称,特点与适用条件
    在这里插入图片描述

    具体求解思路请进传送门:

    https://blog.csdn.net/qq_43649786/article/details/98606183

    展开全文
  • 利用 MATLAB 求解常微分方程数值 目录 1. 内容简介 把高等工程数学看了一遍增加对数学...实际问题中更多遇到的是利用数值法求解偏微分方程问题但考虑到先从常微分方程下 手更为简单有效率所以本文只研究常微分方程的
  • 本文是自己写关于怎样利用MATLAB求解微分方程数值解的,文中从Euler法讲起,最后总结了常用odeXX用法及其原理,其中包含各个函数怎样使用MATLAB代码
  • 1 引言微分方程是描述一个系统的状态随时间和空间演化的最基本的数学工具之一,其在物理、经济、工程、社会...数值求解微分方程的基本思路是先把时间和空间离散化,然后将微分化为差分,建立递推关系,然后利用计算...

    1 引言

    微分方程是描述一个系统的状态随时间和空间演化的最基本的数学工具之一,其在物理、经济、工程、社会等各方面都有及其重要的应用。然而,只有很少的微分方程可以解析求解,尤其对于偏微分方程,能解析求解的种类更是寥寥可数。更多的微分方程可以采用数值法进行求解,只要精度足够高,就可以满足科学和工程上的需求。

    数值求解微分方程的基本思路是先把时间和空间离散化,然后将微分化为差分,建立递推关系,然后利用计算机强大的重复计算能力,快速得到任意格点处的值。Python的Numpy、Scipy工具包可以很好地实现此功能,Matplotlib工具包则可以将求解结果画为非常直观的图形。

    接下来,我们先以常微分方程的数值求解为例,引入差分的思想,再将其推广到偏微分方程中。

    2 常微分方程的差分求解

    一般地,一阶常微分方程可以写为

    首先,将连续的变量

    离散化,连续的函数
    化为离散的序列
    ,则上述微分方程可以化为差分方程【1】

    从而我们得到递推关系

    有了递推关系和初始条件以后,就可以利用Python的强大计算功能,得到任意的

    的值了,下面我们通过一个具体的例子来说明。

    2.1 RC回路放电问题

    对于一个

    回路,我们有

    其中,

    分别为电流,电阻,电量和电容,利用
    ,并定义
    ,我们得到一个含初始条件的一阶常微分方程

    这个方程当然可以解析求解,得到

    。另一方面按照差分法,可以得到递推关系

    下面我们用Python进行数值求解,并和解析结果进行比较。

    import 

    6f5336a3489af781ad3f1c924d9b7cdf.png
    图1:用改进的欧拉法差分得到的结果和解析结果的比较

    在图1中给出了差分法得到的结果与解析法得到结果的比较,发现两者符合得很好,这说明对于这个问题,改进的欧拉法已经可以给出足够精确的结果。需要注意的是,这个微分方程本身比较简单,可以解析求解,而对于复杂得多的微分方程,没法解析求解,但是上述数值求解差分方法仍然是适用的。

    3 偏微分方程的差分求解

    有了差分代替微分的思想,接下来我们将其推广到偏微分方程的求解中。以一般二阶抛物型偏微分方程为例,一般的可以写为

    仍然是将时间和空间离散化,将微分化为差分,即

    其中

    分别为空间步长和时间步长,
    分别标记空间指标和时间指标,则我们得到差分方程

    由此得到递推关系

    下面我们考察一个具体的例子,一维热传导方程的求解。

    3.1 一维热传导方程的求解

    一维热传导方程是一个典型的抛物型二阶偏微分方程。设

    表示在时间
    ,空间
    处的温度,则根据傅里叶定律(单位时间内流经单位面积的热量和该处温度的负梯度成正比),可以导出热传导方程【2】

    其中

    称为热扩散率,
    分别为热导率,比热和质量密度,都是由系统本身确定的常量。

    为了具体,设

    ,设边界条件为

    设步长为:

    ,从而
    ,所以递推关系为

    3a9737a6b5760a5730563fed5f932459.png
    图2:递推关系示意图

    图2直观地给出了差分法求解偏微分方程的过程。先把时空坐标都离散化,根据递推关系,由下一行的三个蓝点的值可以给出上一行的一个红点的值,由于边界条件和初始条件(即最下方和两边的绿线)已知,所以按这个递推关系可以得到网格中的所有值。下面我们用Python代码来实现。

    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    
    h = 0.1#空间步长
    N =30#空间步数
    dt = 0.0001#时间步长
    M = 10000#时间的步数
    A = dt/(h**2) #lambda*tau/h^2
    U = zeros([N+1,M+1])#建立二维空数组
    Space = arange(0,(N+1)*h,h)#建立空间等差数列,从0到3,公差是h
    
    #边界条件
    for k in arange(0,M+1):
        U[0,k] = 0.0
        U[N,k] = 0.0
    
    #初始条件
    for i in arange(0,N):
        U[i,0]=4*i*h*(3-i*h)
    
    #递推关系
    for k in arange(0,M):
        for i in arange(1,N):
            U[i,k+1]=A*U[i+1,k]+(1-2*A)*U[i,k]+A*U[i-1,k]

    上述代码中,我们首先把位于0-3中的空间等分为30份,位于0-1的时间等分为10000份,然后通过设置初始条件、边界条件和递推关系并借助for循环就得到了1个30*10000的二维数组,里面放着每个离散的时空点的温度值。

    为了直观地展现温度随时空的变化关系,接下来开始画图,首先画出不同时刻温度随空间坐标的变化

    #不同时刻的温度随空间坐标的变化
    plt.plot(Space,U[:,0], 'g-', label='t=0',linewidth=1.0)
    plt.plot(Space,U[:,3000], 'b-', label='t=3/10',linewidth=1.0)
    plt.plot(Space,U[:,6000], 'k-', label='t=6/10',linewidth=1.0)
    plt.plot(Space,U[:,9000], 'r-', label='t=9/10',linewidth=1.0)
    plt.plot(Space,U[:,10000], 'y-', label='t=1',linewidth=1.0)
    plt.ylabel('u(x,t)', fontsize=20)
    plt.xlabel('x', fontsize=20)
    plt.xlim(0,3)
    plt.ylim(-2,10)
    plt.legend(loc='upper right')
    plt.show()

    0751ffab76b462299cd0ec0cf22ee78d.png
    图3:不同时刻的温度随空间坐标的变化

    从图3可以看到,温度关于

    呈现轴对称分布,这是由初始条件造成的。另外,对每一点的空间坐标,随着时间的推移,温度越来越低。

    接下来,我们来画出温度等高线来描述温度随任意时空点的变化

    #温度等高线随时空坐标的变化,温度越高,颜色越偏红
    extent = [0,1,0,3]#时间和空间的取值范围
    levels = arange(0,10,0.1)#温度等高线的变化范围0-10,变化间隔为0.1
    plt.contourf(U,levels,origin='lower',extent=extent,cmap=plt.cm.jet)
    plt.ylabel('x', fontsize=20)
    plt.xlabel('t', fontsize=20)
    plt.show()

    3cdb9c77a1db8b95a3ed249b5b30703d.png
    图4:温度随时空坐标的变化,温度越高,颜色越红

    在图4中,利用颜色的深浅来标记温度,温度越高,颜色越红。从中同样可以看到,温度随空间的分布关于

    轴对称,而且随着时间的推移,温度越来越低。

    4 总结

    在本文中,我们利用Python数值求解了常微分方程和偏微分方程,基本思想是先将连续的坐标离散化,然后将微分化为差分,由差分方程得到递推关系,然后利用计算机强大的重复计算能力得到任意格点处的函数值。虽然上面只算了两个例子,但是这种方法完全可以推广到任意偏微分方程的求解中。

    在量子色动力学(QCD)中,由于强相互作用具有渐进自由的特性,所以在低能情况下没办法像QED那样使用微扰论计算,这时就要采用格点QCD的方法计算。其基本思想也是将时空离散化,然后从第一性原理的路径积分出发去计算。由于时空被离散化了,相当于人为地引入了一个最小时空距离

    ,在傅里叶变换到动量空间后相当于引入了一个最大的动量截断
    ,所以计算结果不会出现紫外发散,从而可以算到很高的精度,在一些情况下,格点的计算结果甚至比实验更精确。所以,将连续参数离散化,把微分化为差分的思想,是极其重要的。

    【1】不同的算法对于方程右边具体取什么形式并不一样,从而精度也不一样。例如,欧拉法右边取得是

    ;改进的欧拉法右边取的是
    ;二阶Runge-Kutta法右边取的是
    ;四阶Runge-Kutta法右边取的是
    ,其中
    。这些算法的差别在于计算精度不同,并不改变差分的本质思想。为了具体,我们这里采用改进的欧拉法。

    【2】傅里叶定律告诉我们单位时间通过单位面积的热量和该处的温度负梯度成正比,即

    ,其中
    是热流,即单位时间通过单位面积的热量,
    为热导率,
    为温度。能量守恒定律告诉我们单位时间流出某闭合曲面的热量等于其内部减少的能量,即

    ,其中
    表示单位体积的热容,而
    分别为质量密度和单位质量的热容(比热),联合散度定理
    ,我们得到
    ,再将傅里叶定律带入,就得到了热传导方程
    ,其中
    称为热扩散率。在一维的情况下,热传导方程就退化到了正文中的形式,即
    展开全文
  • 这里总结一点matlab微分方程应用,解微分方程有两种,一种是解析,一种是数值,这两种分别对应不同解法,下面就粗略介绍一下两种解的解法。解析解利用dsolve函数进行求解syms x; s = dsolve('eq1,eq...

    这里总结一点matlab在微分方程中的应用,解微分方程有两种解,一种是解析解,一种是数值解,这两种分别对应不同的解法,下面就粗略的介绍一下两种解的解法。

    解析解

    利用dsolve函数进行求解

    syms  x;
    s = dsolve('eq1,eq2,...',cond1,cond2,...', 'v');
    %eq:微分方程
    %cond:条件
    %v:独立变量
    %形如:方程:y'= f(t,y),初值:y(t0) = y0

    1.求解析解

    的解析解
    s = dsolve('D2y=3*y+2*x','x');
    % D2y用以表示y的二阶导数,默认是以t为自变量的,所以最好指明自变量为x.
    syms y(x);
    s = dsolve([diff(y,x,2) == 3*y+2*x], [y(0) == 5]) 
    % diff内依次是函数、自变量、微分阶数,方程用==表示相等而不是赋值

    2.初值问题

    求初值问题

    s = dsolve('Dy = y - 2*t / y','y(0) =1');

    3.边界问题

    求边界问题

    s = dsolve('x*D2y - 3*Dy =x^2','y(1)=0','y(5) = 0','x');

    4.高阶方程

    求解方程

    s=dsolve('D2y =cos(2*x) - y','y(0) =1','Dy(0) = 0','x');
    simplify(s);
    (eqn,cond,IgnoreAnalyticConstraints,false) %设置不化简结果

    5.方程组问题

    求解方程组

    [f,g]= dsolve('Df = f + g','Dg = -f + g','f(0)=1','g(0) = 2','x'); 

    数值解

    %龙格库塔法(Runge-Kutta法)
    xfun=@(t,x)0.3.*x.*(1-x/8); %定义赋值函数r=0.3,k=8
    [tout,xout]=ode45(fun,[0,40],0.1)  %方程数值解,四五阶RK法
    [tout,xout]=ode23(xfun,[t0,tfinal],x0) %二三阶RK法
    %%
    ode系列数值求解形如  /  =   ( , )的微分方程组, 并绘图。
    xfun: 输入参数,函数必须恰有t,x两个变量,用函数文件定义的fun.m则用@fun或fun’调用。
    t0:输入参数,t的初始值tfinal:输入参数,t的终值x0:输入参数,x的初始值tout: 离散的自变量值, xout: 离散的函数值。
    %%

    同时也有一些其他的求解语句和输出语句

    %%
    其他的求解语句
    ode45        ode113        ode15s 
    ode23s       ode23t        ode23tb 
    其他的输出语句
    odeplot     odeprint        
    odephas2    odephas3
    %%

    一个例子

    的数值解

    首先对该方程进行换元

    然后建立m文件

    function fyy=rhf(t,x)
        fyy=[y(1).*(1-y(2).^2)+y(2);y(1)];
    end

    最后计算数值解

    y0=[0.25,0];
    [t,y]=ode23(rhf,[0,0.25],y0);
    plot(t,y)

    下面介绍一些微分方程模型

    微分方程模型

    1.种群增长Logistic模型

    • 表示在时刻
      时刻种群数量
    • 表示种群的内禀增长率,即在没有资源限制下的种群增长率
    • 表示环境载量,反映资源环境对种群增长的制约作用

    2.生物种群竞争模型

    • 分别表示在时刻
      甲、乙两个种群数量。
    • 表示种群甲自身的被抑制的情况
    • 表示种群乙对种群甲的竞争力

    一个例子

    考虑Lorents方程组

    取参数

    首先建立m文件

     function dot=odone(t,y)
     dot=[10*(y(2)-y(1));
             28*y(1)-y(2)-y(1)*y(3);
             y(1)*y(2)-(8/3)*y(3)];
    end

    其次主程序为

    [tt,yy]=ode45(@odone,[0,200],[1;2;3]);
    plot3(yy(:,1),yy(:,2),yy(:,3));

    61c54708ce968b6d581be20858ce6d3b.png
    展开全文
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  • 文章目录前言1 常微分方程1.1 常微分方程的概念1.2 常微分方程数值求解的一般概念2 常微分方程数值求解函数3 刚性问题结语 前言 1 常微分方程 1.1 常微分方程的概念 1.2 常微分方程数值求解的一般概念 求解常微分...
  • odefun是微分方程的定义函数,所以odefun定义独立参数(典型的是时间t)的导数y‘ 以及y和其他的参数。在MATLAB6.5(R13)中,推荐使用函数句柄作为odefun。 例如,ode45(@xdot,tspan,y0),而不是用 ode45('...
  • 利用MATLAB求解一阶线性常系数非齐次微分方程

    千次阅读 多人点赞 2020-04-16 23:25:07
    用矩阵函数求解一阶线性常系数齐次微分方程组主要步骤1.问题形式2.求矩阵函数3.代入矩阵A指数函数得最终 主要步骤 本来想用在矩阵论期中开卷考试验证计算结果,结果一个方程组题也没考…在一些学习网站白...
  • 一、模型微分方程及初值 二、ode45求解函数 function r=hudie3(t,x) global a; global b; global c; a=8/3;b=10;c=28; r=zeros(3,1); r(1)=-a*x(1)+x(2)*x(3); r(2)=-b*x(2)+b*x(3); r(3)=-x(1)*x(2)+c*x(2)-...
  • matlab在常微分方程数值中的应用.docx MATLAB在常微分方程数值中的应用摘要】许多现实问题都可以通过微分方程的形式进行表示,传统解微分方程的方法【有近似分析解法、表解法和图解法,这些方法需对其进行大量的...
  • 微分方程数值上机实验成 绩2010级数学与应用数学和信息与计算科学专业偏微分方程数值上机实验实验题目 利用有限元方法和有限差分方法求解微分方程完成日期 2013年6月17日姓 名班 级学 号西北工业大学理学院...
  • 工程中有许多问题可以归结为偏微分方程问题,如弹塑性力学中研究对象(结构、边坡等)内部的应力应变问题、地下水渗流问题等。这些由偏微分方程及边界条件、初始条件等组合...Matlab采用有限元法求解微分方程的数值
  • 在数学建模大赛中,常微分方程的求解至关重要。以下是作者在学习过程中,以SARS病毒传染病SIR模型为例进行的数据处理以及模型求解的过程。
  • matlab中常微分方程数值计算方法

    千次阅读 2019-08-03 21:42:19
    利用数学理论推导方法求得微分方程解称为解析或者精确,其特点是得到一个状态变量关于自变量函数关系表达式。 利用数值计算方法求连续问题近似称为数值。数值解的基本特点是利用数值计算方法和计算机...
  • 实验八:用MATLAB 函数编写并求解微分方程一、实验原理为了对连续系统进行方针,首先需要建立其数学模型,然后利用计算机求这些数学模型,从而得出数学模型数值。由于连续系统是通过微分方程老建模,因此对此...
  • 二阶椭圆偏微分方程实例求解(附matlab代码).docx 《微分方程数值解法》期中作业实验报告二阶椭圆偏微分方程第一边值问题姓名:学号:班级:2013年11月19日1二阶椭圆偏微分方程第一边值问题摘要对于二阶椭圆偏微分...
  • 一、模型微分方程及初值二、ode45求解函数function r=hudie3(t,x)global a;global b;global c;a=8/3;b=10;c=28;r=zeros(3,1);r(1)=-a*x(1)+x(2)*x(3);r(2)=-b*x(2)+b*x(3);r(3)=-x(1)*x(2)+c*x(2)-x(3);end三、...
  • 本文利用matlab求解微分方程的数值。主要利用的方法是欧拉方法。有详细的m文件以及相关操作。

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利用matlab求解微分方程的解

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