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  • 判断矩阵是否可逆 1.判断一个矩阵是否可逆,其实就是看他的行列式是否等于0,等于0就不可逆,不等于0就可逆 这一般是针对2阶矩阵而言的,3阶以上不是不可以,而是用这个方法太麻烦了 2阶矩阵的逆是这样的算的:系数...

    2019,6,12 下午15:55

    方阵属于矩阵

    一.判断矩阵是否可逆

    1.判断一个矩阵是否可逆,其实就是看他的行列式是否等于0,等于0就不可逆,不等于0就可逆
    这一般是针对2阶矩阵而言的,3阶以上不是不可以,而是用这个方法太麻烦了

    2阶矩阵的逆是这样的算的:系数是行列式的值,右边是:原2阶矩阵主对角线元素互换,副对角线元素变为原来的相反数

    三阶以上的行列式我们这样判断:假设一个3阶矩阵,改写成[A I]的形式,其中I是3行3列的对角矩阵,然后你把A画成对角矩阵,如果A可以化成对角矩阵,则A就可逆,且化成之后A的右边就是A的逆

    对于三阶而言,你可以使用二阶的方法来判断是否可逆,但是一般题目都会让你求如果可逆请求逆矩阵,所以你还要按照3阶的方法再来一遍。

    二.k为何值时线性方程组有唯一解等等

    对于这类题你需要记住一个结论
    将该线性方程组的系数看成A矩阵,值看成B矩阵
    若R(A)=R(A,B)=n,则有唯一解
    若R(A)=R(A,B)<n,则有多个解
    若R(A)<R(A,B),则无解

    三.矩阵部分性质

    比如一道题:已知A,B为4阶方针,且A的模是2,B的模是-2,求|3AB-1|
    B-1就是B的逆
    这道题你要记住3提到模外面是3的4次方,然后就是|A||B-1|,其中|B-1|=|B|-1,等于-0.5
    最后结果是3的4次方乘以2乘以-0.5等于负的3的4次方

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  • 八数码问题判断是否有解

    千次阅读 2017-07-11 11:52:30
    结果这个是个著名的八数码问题,有一个定理能够判断是否有解:将整个矩阵从上到下从左到右变成一个序列,把0去掉后求出该序列的逆序对 x0x0x_0。若另一序列的逆序对 x1x1x_1 满足 x0≡x1(mod2)x0≡x1(mod2)x_0≡x_1 ...

    题目

      这道题搜索不会写= =。结果这个是个著名的八数码问题,有一个定理能够判断是否有解:将整个矩阵从上到下从左到右变成一个序列,把0去掉后求出该序列的逆序对 x0x0。若另一序列的逆序对 x1x1 满足 x0x1(mod2)x0≡x1(mod2) ,则有解。

      所以就当是复习归并排序求逆序对吧。又写错了的说= =

    参考代码

    #include <cstdio>
    #include <cstdlib>
    #include <cmath>
    #include <cstring>
    #include <iostream>
    #include <algorithm>
    #include <vector>
    #include <string>
    #include <stack>
    #include <queue>
    #include <deque>
    #include <map>
    #include <set>
    using std::cin;
    using std::cout;
    using std::endl;
    inline int readIn()
    {
        int a;
        scanf("%d", &a);
        return a;
    }
    
    const int maxn = 10005;
    const char* szAns[] =
    {
        "You still have a chance.",
        "You are destined to be single."
    };
    int n;
    int sequeue[maxn];
    int temp[maxn];
    int pair;
    
    void mergeSort(int l = 0, int r = n)
    {
        if (r - l == 1) return;
        int mid = (l + r) / 2;
        mergeSort(l, mid);
        mergeSort(mid, r);
        int i = l;
        int j = mid;
        int k = l;
        while (i < mid || j < r)
        {
            if (j >= r || i < mid && sequeue[i] <= sequeue[j])
            {
                temp[k++] = sequeue[i++];
            }
            else
            {
                temp[k++] = sequeue[j++];
                pair += mid - i;
            }
        }
        for (int i = l; i < r; i++)
        {
            sequeue[i] = temp[i];
        }
    }
    
    void run()
    {
        int a = readIn();
        while (a--)
        {
            n = readIn();
            int to = n * n;
            int cnt = 0;
            pair = 0;
            for (int i = 1; i <= to; i++)
            {
                sequeue[cnt] = readIn();
                if (sequeue[cnt]) cnt++;
            }
    
            mergeSort(0, cnt);
            printf("%s\n", szAns[pair & 1]);
        }
    }
    
    int main()
    {
        run();
        return 0;
    }

      突然看到了牛人的总结,记录一个。

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  • \quad设计了一个测试函数,传入原矩阵AAA和其最大秩分解B,D,A=BDB,...3、判断矩阵是否相容 4、若矩阵相容则输出Ax=bAx=bAx=b的最小范数和通 5、若不相容则输出Ax=bAx=bAx=b的最小二乘、通和最佳逼近 \qua...

    \quad设计了一个测试函数,传入原矩阵AA和其最大秩分解B,D,A=BDB,D,A=BD,列向量bb。函数依次输出以下内容

    • 1、判断当前给出的最大秩分解是否正确
    • 2、给出AA的M-P广义逆A+A^+
    • 3、判断矩阵是否相容
    • 4、若矩阵相容则输出Ax=bAx=b的最小范数解和通解
    • 5、若不相容则输出Ax=bAx=b的最小二乘解、通解和最佳逼近解

    \quad运行环境:Python3+numpy库

    import numpy as np
    
    def same(A, B):
    	m = len(A)
    	n = len(A[0])
    	A = A.tolist()
    	B = B.tolist()
    	for i in range(m):
    		for j in range(n):
    			if(abs(A[i][j]-B[i][j])>0.0001):
    				return False;
    	return True
    def run(A, B, D, b):
    	"""A为原矩阵,A=BD为其最大秩分解,Ax=b"""
    	A = np.mat(A)
    	B = np.mat(B)
    	D = np.mat(D)
    	b = np.mat(b).reshape(len(b), 1)
    	if(same(B*D, A)):
    		print("最大秩分解正确")
    	else:
    		print("最大秩分解错误")
    	Ap = D.T * np.linalg.inv(D*D.T) * np.linalg.inv(B.T*B) * B.T
    	print("M-P广义逆为:\n", Ap)
    	if(same(A*Ap*b, b)):
    		print("该方程相容")
    		x = Ap*b
    		print("最小范数解为:\n", x)
    		E = np.eye(len(x))
    		print("通解为:\n{}+{}U".format(x, E-Ap*A))
    	else:
    		print("该方程不相容")
    		x = Ap*b
    		print("最小二乘解为:\n", x)
    		E = np.eye(len(x))
    		print("最小二乘解通解为:\n{}+{}U".format(x, E-Ap*A))
    		print("最佳逼近解为:\n", x)
    
    def test1():
    	A = [[0, 1, -1],
    	     [-1, 0, 1],
    	     [1, -1, 0],
    	     [0, 1, -1]]
    	B = [[0, 1], [-1, 0], [1, -1], [0, 1]]
    	D = [[1, 0, -1], [0, 1, -1]]
    	b = [1, -1, 0, 1]
    	run(A, B, D, b)
    
    def test2():
    	A = [[0, 0, 2], [1, 1, 0], [0, 0, 1], [1, 1, 1]]
    	B = [[0, 2], [1, 0], [0, 1], [1, 1]]
    	D = [[1, 1, 0], [0, 0, 1]]
    	b = [1, 1, 1, 1]
    	run(A, B, D, b)
    
    if __name__ == '__main__':
        test1()
        test2()
    

    \quad给出的测试用例test1来自于2014年第8题。输出结果为
    在这里插入图片描述
    \quad第二个题为书上P233 21题第一小题,运行结果为:
    在这里插入图片描述

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  • matlab cond(H)判断矩阵病态

    千次阅读 2016-03-15 15:13:05
    条件数是判断矩阵病态与否的一种度量,条件数越大矩阵越病态。 一个低条件数的问题称为良置的,而高条件数的问题称为病态(或者说非良置)的。 条件数事实上表示了矩阵计算对于误差的敏感性。对于线性方程组Ax...

    原文转载于:http://blog.sina.com.cn/s/blog_62f3c4ef0101597k.html


    条件数是判断矩阵病态与否的一种度量,条件数越大矩阵越病态。

    一个低条件数的问题称为良置的,而高条件数的问题称为病态(或者说非良置)的。

    条件数事实上表示了矩阵计算对于误差的敏感性。对于线性方程组Ax=b,如果A的条件数大,b的微小改变就能引起解x较大的改变,数值稳定性差。如果A的条件数小,b有微小的改变,x的改变也很微小,数值稳定性好。它也可以表示b不变,而A有微小改变时,x的变化情况。
    比如线性方程组
    〔1     2   [x   = [4
    3.999 1]   y]      7.999]
    的解是(x,y)=(2,1),

    〔1     2   [x   = [4.001
    3.999 1]   y]      7.998]
    的解是(x,y)=(-3.999,4.000)
    可见b很小的扰动就引起了x很大的变化,这就是A矩阵条件数大的表现。
    一个极端的例子,当A奇异时,条件数为无穷,这时即使不改变b,x也可以改变。奇异的本质原因在于矩阵有0特征值,x在对应特征向量的方向上运动不改变Ax的值。如果一个特征值比其它特征值在数量级上小很多,x在对应特征向量方向上很大的移动才能产生b微小的变化,这就解释了为什么这个矩阵为什么会有大的条件数,事实上,正规阵在二范数下的条件数就可以表示成 abs(最大特征值/最小特征值)。

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  • fprintf('方程唯一\n'); x=inv(a)*b end end   result a = 2 1 -5 1 1 -3 0 -6 0 2 -1 2 1 4 -7 6 b = 8 9 -5 0 c = 2 1 -5 1 8 1 -3 0 -6 9 0 2 -1 2 -5 1 4 -7 6 0 方程相容...
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    千次阅读 2020-01-08 22:38:31
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    又是偷来的代码,但是第一道高斯消元,纪念下...2.判断有解的情况都是必须满足row一下全为0 一:化简后是严格的三角矩阵:自由变量个数较少 无:row以下非0的 #include #include #include #inclu
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  • 1125: 上三角矩阵判断

    千次阅读 2018-11-29 12:01:53
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  • 根据台湾交通大学开放课程线性代数(莊重 特聘教授主讲)之授课内容整理的线性代数笔记,本文主要涉及教材第三章的内容,讨论基本矩阵操作与线性方程组的等方面的话题
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    千次阅读 2018-11-20 20:13:23
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  • 矩阵 

    千次阅读 2009-06-02 09:30:00
    英文名Matrix(矩阵)本意是子宫、母体、孕育生命的地方,同时,在数学名词中,矩阵用来表示统计数据等方面的各种关联的数据。这个定义很好地解释了Matrix代码制造世界的数学逻辑基础。 数学上,矩阵就是由方程组...
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  • 线性方程组的分析:唯一,无穷多以及无

    万次阅读 多人点赞 2018-06-03 16:50:20
    本文将总结关于线性方程组的知识点。 线性方程组 定义1 线性方程组:我们将形如下式的方程组称为线性方程组。 a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2…am1x1+am2x2+⋯+amnxn=bm(21)(21)a11x1+a12...
  • 近期学习了矩阵分析,在接下来的几篇文章中将进行总结。由于理解能力有限,我将更倾向于对矩阵的直观理解。水平有限,诸多错误恳请大家批评 **一、空间和子空间(space & subspace) ————————–**
  • 各种矩阵

    2019-05-10 13:08:52
    判断一个矩阵H是否为负定矩阵,只需判断-H是否为正定矩阵) 正定矩阵是一种实对称矩阵。设A是实对称矩阵,如果对任意的实非零列矩阵XXTAX>0,则称A为正定矩阵。 正定矩阵有以下性质: ...
  • 拼图游戏都玩过, 对于一个n*m的拼图游戏,我们将按照从左到右,从上到下的顺序给每个分格标注,可得一个二维矩阵。...但是不是所有的拼图都是有解的。 可: 6 2 1 4 7 5 0 3 8 无: 4 2 1 8 3 6 5
  • 在01中,我们提到出了一个问题:关于线性方程组的解是否可以根据消元过程中的结构来探究? 博主给出了答案是可以的,那么具体的情况是如何呢?我们先来明确几个概念: 1 主元与矩阵的秩 上一节01,我们提到了关于...

空空如也

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