2019，6，12 下午15：55
方阵属于矩阵
一.判断矩阵是否可逆
1.判断一个矩阵是否可逆，其实就是看他的行列式是否等于0，等于0就不可逆，不等于0就可逆

这一般是针对2阶矩阵而言的，3阶以上不是不可以，而是用这个方法太麻烦了
2阶矩阵的逆是这样的算的：系数是行列式的值，右边是：原2阶矩阵主对角线元素互换，副对角线元素变为原来的相反数
三阶以上的行列式我们这样判断：假设一个3阶矩阵，改写成[A I]的形式，其中I是3行3列的对角矩阵，然后你把A画成对角矩阵，如果A可以化成对角矩阵，则A就可逆，且化成之后A的右边就是A的逆
对于三阶而言，你可以使用二阶的方法来判断是否可逆，但是一般题目都会让你求如果可逆请求逆矩阵，所以你还要按照3阶的方法再来一遍。
二.k为何值时线性方程组有唯一解等等
对于这类题你需要记住一个结论

将该线性方程组的系数看成A矩阵，值看成B矩阵

若R（A)=R(A,B)=n，则有唯一解

若R（A)=R(A,B)<n，则有多个解

若R（A)<R(A,B),则无解
三.矩阵部分性质
比如一道题：已知A,B为4阶方针，且A的模是2，B的模是-2，求|3AB-1|

B-1就是B的逆

这道题你要记住3提到模外面是3的4次方，然后就是|A||B-1|，其中|B-1|=|B|-1，等于-0.5

最后结果是3的4次方乘以2乘以-0.5等于负的3的4次方

  这道题搜索不会写= =。结果这个是个著名的八数码问题，有一个定理能够判断是否有解：将整个矩阵从上到下从左到右变成一个序列，把0去掉后求出该序列的逆序对 x0x0。若另一序列的逆序对 x1x1 满足 x0≡x1(mod2)x0≡x1(mod2) ，则有解。

  所以就当是复习归并排序求逆序对吧。又写错了的说= =

参考代码

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <string>
#include <stack>
#include <queue>
#include <deque>
#include <map>
#include <set>
using std::cin;
using std::cout;
using std::endl;
inline int readIn()
{
    int a;
    scanf("%d", &a);
    return a;
}

const int maxn = 10005;
const char* szAns[] =
{
    "You still have a chance.",
    "You are destined to be single."
};
int n;
int sequeue[maxn];
int temp[maxn];
int pair;

void mergeSort(int l = 0, int r = n)
{
    if (r - l == 1) return;
    int mid = (l + r) / 2;
    mergeSort(l, mid);
    mergeSort(mid, r);
    int i = l;
    int j = mid;
    int k = l;
    while (i < mid || j < r)
    {
        if (j >= r || i < mid && sequeue[i] <= sequeue[j])
        {
            temp[k++] = sequeue[i++];
        }
        else
        {
            temp[k++] = sequeue[j++];
            pair += mid - i;
        }
    }
    for (int i = l; i < r; i++)
    {
        sequeue[i] = temp[i];
    }
}

void run()
{
    int a = readIn();
    while (a--)
    {
        n = readIn();
        int to = n * n;
        int cnt = 0;
        pair = 0;
        for (int i = 1; i <= to; i++)
        {
            sequeue[cnt] = readIn();
            if (sequeue[cnt]) cnt++;
        }

        mergeSort(0, cnt);
        printf("%s\n", szAns[pair & 1]);
    }
}

int main()
{
    run();
    return 0;
}

  突然看到了牛人的总结，记录一个。

$\quad$设计了一个测试函数，传入原矩阵$A$和其最大秩分解$B,D,A=BD$，列向量$b$。函数依次输出以下内容

1、判断当前给出的最大秩分解是否正确
2、给出$A$的M-P广义逆$A^+$
3、判断矩阵是否相容
4、若矩阵相容则输出$Ax=b$的最小范数解和通解
5、若不相容则输出$Ax=b$的最小二乘解、通解和最佳逼近解

$\quad$运行环境：Python3+numpy库
import numpy as np

def same(A, B):
	m = len(A)
	n = len(A[0])
	A = A.tolist()
	B = B.tolist()
	for i in range(m):
		for j in range(n):
			if(abs(A[i][j]-B[i][j])>0.0001):
				return False;
	return True
def run(A, B, D, b):
	"""A为原矩阵，A=BD为其最大秩分解，Ax=b"""
	A = np.mat(A)
	B = np.mat(B)
	D = np.mat(D)
	b = np.mat(b).reshape(len(b), 1)
	if(same(B*D, A)):
		print("最大秩分解正确")
	else:
		print("最大秩分解错误")
	Ap = D.T * np.linalg.inv(D*D.T) * np.linalg.inv(B.T*B) * B.T
	print("M-P广义逆为:\n", Ap)
	if(same(A*Ap*b, b)):
		print("该方程相容")
		x = Ap*b
		print("最小范数解为:\n", x)
		E = np.eye(len(x))
		print("通解为:\n{}+{}U".format(x, E-Ap*A))
	else:
		print("该方程不相容")
		x = Ap*b
		print("最小二乘解为:\n", x)
		E = np.eye(len(x))
		print("最小二乘解通解为:\n{}+{}U".format(x, E-Ap*A))
		print("最佳逼近解为:\n", x)

def test1():
	A = [[0, 1, -1],
	     [-1, 0, 1],
	     [1, -1, 0],
	     [0, 1, -1]]
	B = [[0, 1], [-1, 0], [1, -1], [0, 1]]
	D = [[1, 0, -1], [0, 1, -1]]
	b = [1, -1, 0, 1]
	run(A, B, D, b)

def test2():
	A = [[0, 0, 2], [1, 1, 0], [0, 0, 1], [1, 1, 1]]
	B = [[0, 2], [1, 0], [0, 1], [1, 1]]
	D = [[1, 1, 0], [0, 0, 1]]
	b = [1, 1, 1, 1]
	run(A, B, D, b)

if __name__ == '__main__':
    test1()
    test2()

$\quad$给出的测试用例test1来自于2014年第8题。输出结果为



$\quad$第二个题为书上P233 21题第一小题，运行结果为：

原文转载于：http://blog.sina.com.cn/s/blog_62f3c4ef0101597k.html




条件数是判断矩阵病态与否的一种度量，条件数越大矩阵越病态。

一个低条件数的问题称为良置的，而高条件数的问题称为病态（或者说非良置）的。

条件数事实上表示了矩阵计算对于误差的敏感性。对于线性方程组Ax=b，如果A的条件数大，b的微小改变就能引起解x较大的改变，数值稳定性差。如果A的条件数小，b有微小的改变，x的改变也很微小，数值稳定性好。它也可以表示b不变，而A有微小改变时，x的变化情况。

比如线性方程组

〔1     2   [x   = [4

3.999 1]   y]      7.999]

的解是(x,y)=(2,1),

而

〔1     2   [x   = [4.001

3.999 1]   y]      7.998]

的解是(x,y)=(-3.999,4.000)

可见b很小的扰动就引起了x很大的变化，这就是A矩阵条件数大的表现。

一个极端的例子，当A奇异时，条件数为无穷，这时即使不改变b，x也可以改变。奇异的本质原因在于矩阵有0特征值，x在对应特征向量的方向上运动不改变Ax的值。如果一个特征值比其它特征值在数量级上小很多，x在对应特征向量方向上很大的移动才能产生b微小的变化，这就解释了为什么这个矩阵为什么会有大的条件数，事实上，正规阵在二范数下的条件数就可以表示成 abs(最大特征值/最小特征值)。