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  • 系数矩阵矩阵众多类型之一,简单来说系数矩阵就是将方程组系数组成矩阵来计算方程的解。系数矩阵常常用来表示一些项目数学关系,比如通过此类关系系数矩阵来证明各项目正反比关系...

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    方法:阶级矩阵,两行不为e68a8462616964757a686964616f313334313766390的“行”,所以秩为2。矩阵,行的秩等于列的秩。纯粹只为矩阵求秩的话,也可以通过列变换把右边两列变为0。

    系数矩阵是矩阵中的众多类型之一,简单来说系数矩阵就是将方程组的系数组成矩阵来计算方程的解 。系数矩阵常常用来表示一些项目的数学关系,比如通过此类关系系数矩阵来证明各项目的正反比关系。

    增广矩阵(又称扩增矩阵)就是在系数矩阵的右边添上一列,这一列是线性方程组的等号右边的值。对系数矩阵进行的一个增广矩阵,切勿以为增广矩阵只是右端添加一列,其实是在原矩阵的右端添加一个矩阵,而线性方程组的右端恰好是一个列数为1的矩阵。

    扩展资料:

    矩阵的概念最早在1922年见于中文。1922年,程廷熙在一篇介绍文章中将矩阵译为“纵横阵”。1925年,科学名词审查会算学名词审查组在《科学》第十卷第四期刊登的审定名词表中,矩阵被翻译为“矩阵式”。

    方块矩阵翻译为“方阵式”,而各类矩阵如“正交矩阵”、“伴随矩阵”中的“矩阵”则被翻译为“方阵”。1935年,中国数学会审查后,中华民国教育部审定的《数学名词》(并“通令全国各院校一律遵用,以昭划一”)中,“矩阵”作为译名首次出现。

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  • 线性方程组有解的充分必要条件定理元非齐次线性方程组有解的充分必要条件是:系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,即当时方程组有唯一解.当时方程组有无穷多解.3. 例题求解非齐次线性方程组求解非齐次方程组的通解证明...

    3.3线性方程组的解

    1.线性方程组与矩阵方程关系

    设有方程组则上述线性方程组可以转化为矩阵方程

    2. 线性方程组有解的充分必要条件

    定理

    元非齐次线性方程组有解的充分必要条件是:系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,即

    时方程组有唯一解.

    时方程组有无穷多解.

    3. 例题

    1. 求解非齐次线性方程组

    2. 求解非齐次方程组的通解

    3. 证明方程组有解的充要条件是在有解的情况下,求出它的一切解.

    4. 设有线性方程组,取何值时,有解?有无穷多个解?

    课堂索引:08 第三章 初等变换(1)
    3.3线性方程组的解

    视频讲解

    4. 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件

    定理

    元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩

    5. 例题

    求解齐次线性方程组

    课堂索引:08 第三章 初等变换(1)
    3.3线性方程组的解

    视频讲解

    例题答案

    例3答案

    1. 方程组无解.

    2.通解为

    1. 解为

    4.当时,方程组有无穷多的解;

    时,方程组无解;

    时,方程组有唯一解.

    课堂索引:08 第三章 初等变换(1)
    3.3线性方程组的解

    例5答案

    通解为

    课堂索引:08 第三章 初等变换(1)
    3.3线性方程组的解

    视频讲解

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  • 默认读者学过线性代数基础知识。1. 多元线性方程组形式多元线性...如果取 以及 多元线性方程组可以写成 ,这里不再把矩阵和向量写成粗体。如果把 列向量分别用 表示,即 ,多元线性方程组还可以写成 。2. 多元...

    默认读者学过线性代数的基础知识。

    1. 多元线性方程组的形式

    多元线性方程组是一类最简单的方程组,通常在线性代数中被大量研究。其最直观的形式为

    其中

    都是正整数,
    都是系数(
    ),不妨设这些系数都属于复数域
    是未知数。如果取

    以及

    多元线性方程组可以写成

    ,这里不再把矩阵和向量写成粗体。

    如果把

    的列向量分别用
    表示,即
    ,多元线性方程组还可以写成

    2. 多元线性方程组解的情况

    表示线性方程组的增广矩阵,用
    表示矩阵
    的秩,用
    表示矩阵
    的列空间即
    张成的空间,用
    表示矩阵
    的零空间,即使得
    构成的空间。

    在线性代数中,我们知道多元线性方程组的解有以下几种情况:

    (1)方程组有解,且有唯一解,当且仅当

    (2)方程组有解,且有无穷多解,当且仅当

    (3)方程组无解,当且仅当

    因为如果方程组有解,根据

    ,说明
    可以被
    线性表示,从而可以被
    的极大无关组表示,因此
    的极大无关组是相同的,从而
    。另外,如果
    ,说明
    列满秩,
    是线性独立的,从而
    的表法是唯一的。

    如果

    ,即
    ,一般称其为
    的齐次通解。如果
    的解,那么
    也是
    的解,因为
    ,所以有时称线性方程组解的结构为齐次通解+非齐次特解。

    如果无解,则说明

    中的极大无关组是线性独立的,从而
    的极大无关组中元素的个数会多一个,此时

    3. 多元线性方程组的解法

    Gauss消元法

    线性代数课上学过的方法是Gauss消元法,即对于增广矩阵进行一系列初等行变换,化为行阶梯形或行最简形后,对应的方程组与原方程组同解,解出对应的方程组,可能会存在自由未知量,就可以得到原方程的通解。举个简单的栗子:

    化为行阶梯形:

    可以解得

    LU分解

    此外还有一种与Gauss消元法等价的方式,首先可以将矩阵

    进行LU分解,成为单位下三角矩阵与上三角矩阵的乘积,再进行两步求解方程组,较为简便。LU分解的形式众多,对于非方阵和不可逆矩阵也有对应的LU分解形式。例如

    可以分解为

    首先解出

    然后解出

    Crammer法则

    对于

    是可逆方阵的情况,还可以利用Crammer法则求解。例如

    因为

    从而解得

    矩阵求逆

    对于

    是可逆方阵的情况,还可以更直接地,使用
    求解。但对于较大的矩阵,求逆的开销较高,这种方法实际中并不常用。

    4. 最小二乘解

    对于某些无解的情况,例如

    ,还可以找到一种解称为最小二乘解
    使得
    最小。可以证明,最小二乘解应当满足的条件是
    ,其中
    表示
    的伴随矩阵,在复数域中为共轭转置矩阵
    ,在实数域中为转置矩阵
    。因为
    而且
    从而满秩。我们熟悉的最小二乘解的形式是

    5. 多元线性方程组的解:一般情况

    本节考虑方程组

    的一般情况。不妨考虑如下变换
    使得
    ,可以验证这是一个线性变换,对应的矩阵就是
    。线性变换的像就是
    的列空间
    ,核空间就是
    的零空间
    。从线性映射的角度考虑矩阵
    ,任给一个向量
    ,都可以得到
    ,线性方程组
    考虑的是这个映射是否存在一个原像
    使得像为
    。下面的向量范数指的都是2-范数。

    本节要用到线性代数中的一些基本结论,如

    互为正交补空间等。

    (1)最简单的情况:

    既是单射又是满射。即任给一个
    ,一定存在唯一的
    使得
    。因此此时
    有解,且有唯一的解,而且
    有唯一的逆映射。容易证明,此时
    ,而且
    是可逆方阵,容易得到

    (2)如果

    是满射,即任给一个
    ,一定存在
    使得
    。此时
    有解,
    ,但有可能存在无穷多解。接下来我们希望求出这些解中范数最小的一个,即
    。此时需要考虑到
    的直和,而且
    互为正交补。

    使得
    ,从而
    。等号可以取到,因为
    ,不妨令
    ,因为
    ,一定存在
    使得
    ,从而
    。而且
    ,说明
    是可逆方阵,从而
    ,求得

    事实上,如果

    行满秩,那么
    就是
    的伪逆。

    (3)如果

    是单射,此时有
    ,即如果
    一定有
    。考虑
    的情况,此时方程组一定无解,但可以找到一个
    使得
    最小,即
    ,这样的解称为最小二乘解。

    考虑到

    的直和,而且
    互为正交补。取
    使得
    ,则有
    ,等号能取到是因为
    是一定有解的,因为

    既然

    ,而且
    的直和,从而
    ,故
    ,即
    是可逆矩阵。那么由于
    ,则
    ,从而解出
    ,这就是最小二乘解

    事实上,如果

    列满秩,那么
    就是
    的伪逆。

    如果

    ,上述方法求出来的就是真实解,此时

    (4)如果

    不是单射也不是满射,我们也希望找到使得
    最小的解
    ,但这样的
    也不止一个,因为
    不满秩;所以还希望
    最小。

    不妨设

    的SVD分解为
    ,其中
    都是酉矩阵,
    的秩,
    是对角线上元素为
    的对角阵,
    的奇异值。

    ,显然
    ,上式化为

    为了使上式最小,而且

    也最小,只要在
    时取
    ,在
    时取
    ,即
    ,最终得到

    事实上,对任意矩阵

    ,那么
    就是
    的伪逆,也即M-P广义逆。

    这篇内容没有收录到专栏附录中。

    抽象代数不抽象www.zhihu.com
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  • 矩阵是由m*n个数排列成m行n列数表,图是‘节点’和‘边’一个集合,两者之间存在着联系。本文探索以矩阵为工具运算‘图’中元素。 在图中,两个‘节点’之间用‘边’联系。边是向量,我们用-1表示起点,1...

    矩阵是由m*n个数排列成的m行n列的数表,图是‘节点’和‘边’的一个集合,两者之间存在着联系。本文探索以矩阵为工具运算‘图’中的元素。

    在图中,两个‘节点’之间用‘边’联系。边是向量,我们用-1表示起点,1表示终点。对于k个节点和它们之间的边组成的序列,称之为‘路径’。如果一条路径除了起点和终点外,其它节点均不相同,则称为‘简单路径’,起点和终点重合的简单路径称为‘简单回路’(‘环’)。

    本文讨论的’图‘是在一个最大简单环内部再增添若干条边,如图1所示。对于图2,我们可以分为三个简单环分别考虑。本文不讨论环形边,如图3中的边(2,2)(即以节点2为起点,以节点2为终点)。

    909e2372a30cee9ad191be2328849c42.png

    下面以图1为例,把它用矩阵表示出来,我们称之为关联矩阵

    ,其中m为图中的‘边’数,n为‘节点’数。为了简化问题,我们规定首先找出最大简单环,它包含了n个节点。按顺序编号如图。‘边’采用(起点,终点)表示,如(1,3),(4,1)。在最大简单环中,边的方向与节点排序吻合,其它的边可以酌情规定方向。

    在关联矩阵

    中,节点按顺序 1,2......n 排成一行。每一条边占一行,起点标 -1,终点标1,共有m行,也按顺序编号。

    33e9a2977def715b6eaa05b6baa3e4d2.png

    我们对

    施行初等行变换,保持上面 n-1 行不变,下面的行很容易消元为全零行。A变成了行阶梯形矩阵。可以看出关联矩阵的秩 R(A)=n-1。我们使用路向量X=(
    ,
    .....
    表示图中的一个‘路’。x可以取 1,0,-1,
    =1表示选取第k条边,
    =0表示舍弃,
    =-1表示选取第k条边并反向。

    把关联矩阵转置得

    ,其中每一列代表一个边向量。作矩阵乘法
    X = D, X为上面所说的m维路向量。D为n维向量,表示每个节点作为起点的次数(负数表示),或作为终点的次数(正数表示)。注意正负1会自动抵消。下面我们以图1为例写出
    X = D。

    cce70174a549e6ae8ed3823796015e57.png

    显然,若X表示环,则D应为零向量。这样图中的‘环’的问题就转化成m元齐次线性方程组

    X = O的求解。前面已经推断出A的秩R(A)=n-1,所以该方程组基础解的个数 s=m-R(A)=m-n+1。即图中‘基础环’的个数s = m-n+1。因为基础解的线性组合也是m元齐次线性方程组的解,所以对基础环还要进行组合。图中‘环’的总数 h=
    +
    +......
    。c表示组合运算。以图1为例,基础环数 s=7-5+1=3, 环总数 h=
    +
    +
    =3+3+1=7。

    下面要找出基础环。用代数的方法求解,我们将在下篇文章中介绍。今天可以直观地从图中寻找。看图1,方案不止一种,我们仅举两个例子。一般只要个数s 保证,且包含了图中的所有的‘边’即可。可以进行验证,即这些‘基础向量’排成的矩阵应该是列满秩的。

    31cbda80bdd140592b8a5b603503553f.png

    注意组合运算包括加或者减,必须酌情选择。上面‘环向量’对应的图形按顺序排列如下。

    3d88fec2ed8d61e5f2ea20c36c6d433f.png

    综上所述,对于一张有最大简单环的图,

    1)可以找出它的关联矩阵

    ,m表示‘边’数,n表示‘节点’数。2)A的秩R(A)=n-1

    3)图中基础环的个数 s=m-n+1。 4)图中环的总数 h =

    +
    +......
    .
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空空如也

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判断矩阵解的个数