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方法：阶级矩阵，两行不为e68a8462616964757a686964616f313334313766390的“行”，所以秩为2。矩阵，行的秩等于列的秩。纯粹只为矩阵求秩的话，也可以通过列变换把右边两列变为0。
系数矩阵是矩阵中的众多类型之一，简单来说系数矩阵就是将方程组的系数组成矩阵来计算方程的解 。系数矩阵常常用来表示一些项目的数学关系，比如通过此类关系系数矩阵来证明各项目的正反比关系。
增广矩阵(又称扩增矩阵)就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是线性方程组的等号右边的值。对系数矩阵进行的一个增广矩阵，切勿以为增广矩阵只是右端添加一列，其实是在原矩阵的右端添加一个矩阵，而线性方程组的右端恰好是一个列数为1的矩阵。
扩展资料：
矩阵的概念最早在1922年见于中文。1922年，程廷熙在一篇介绍文章中将矩阵译为“纵横阵”。1925年，科学名词审查会算学名词审查组在《科学》第十卷第四期刊登的审定名词表中，矩阵被翻译为“矩阵式”。
方块矩阵翻译为“方阵式”，而各类矩阵如“正交矩阵”、“伴随矩阵”中的“矩阵”则被翻译为“方阵”。1935年，中国数学会审查后，中华民国教育部审定的《数学名词》(并“通令全国各院校一律遵用，以昭划一”)中，“矩阵”作为译名首次出现。

	

3.3线性方程组的解
1.线性方程组与矩阵方程关系
设有方程组 记则上述线性方程组可以转化为矩阵方程
2. 线性方程组有解的充分必要条件
定理
元非齐次线性方程组有解的充分必要条件是:系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即
当时方程组有唯一解.
当时方程组有无穷多解.
3. 例题
求解非齐次线性方程组
求解非齐次方程组的通解
证明方程组有解的充要条件是在有解的情况下，求出它的一切解．
设有线性方程组,问取何值时,有解?有无穷多个解?
课堂索引：08 第三章 初等变换(1)
3.3线性方程组的解
视频讲解
4. 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件
定理
元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩
5. 例题
求解齐次线性方程组
课堂索引：08 第三章 初等变换(1)
3.3线性方程组的解
视频讲解
例题答案
例3答案
方程组无解.
2.通解为
解为
4.当时,方程组有无穷多的解;
当时,方程组无解;
当且时,方程组有唯一解.
课堂索引：08 第三章 初等变换(1)
3.3线性方程组的解
例5答案
通解为
课堂索引：08 第三章 初等变换(1)
3.3线性方程组的解
视频讲解
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默认读者学过线性代数的基础知识。
1. 多元线性方程组的形式
多元线性方程组是一类最简单的方程组，通常在线性代数中被大量研究。其最直观的形式为
其中 
 和 
 都是正整数， 
 和 
 都是系数（ 
 ， 
 ），不妨设这些系数都属于复数域 
 ； 
 是未知数。如果取
以及
多元线性方程组可以写成 
 ，这里不再把矩阵和向量写成粗体。
如果把 
 的列向量分别用 
 表示，即 
 ，多元线性方程组还可以写成 
 。
2. 多元线性方程组解的情况
用 
 表示线性方程组的增广矩阵，用 
 表示矩阵 
 的秩，用 
 表示矩阵 
 的列空间即 
 张成的空间，用 
 表示矩阵 
 的零空间，即使得 
 的 
 构成的空间。
在线性代数中，我们知道多元线性方程组的解有以下几种情况：
（1）方程组有解，且有唯一解，当且仅当 
（2）方程组有解，且有无穷多解，当且仅当 
（3）方程组无解，当且仅当 
因为如果方程组有解，根据 
 ，说明 
 可以被 
 线性表示，从而可以被 
 的极大无关组表示，因此 
 和 
 的极大无关组是相同的，从而 
 。另外，如果 
 ，说明 
 列满秩， 
 是线性独立的，从而 
 的表法是唯一的。
如果 
 ，即 
 ，一般称其为 
 的齐次通解。如果 
 是 
 的解，那么 
 也是 
 的解，因为 
 ，所以有时称线性方程组解的结构为齐次通解+非齐次特解。
如果无解，则说明 
 与 
 中的极大无关组是线性独立的，从而 
 的极大无关组中元素的个数会多一个，此时 
 。
3. 多元线性方程组的解法
Gauss消元法
线性代数课上学过的方法是Gauss消元法，即对于增广矩阵进行一系列初等行变换，化为行阶梯形或行最简形后，对应的方程组与原方程组同解，解出对应的方程组，可能会存在自由未知量，就可以得到原方程的通解。举个简单的栗子：
化为行阶梯形：
可以解得
LU分解
此外还有一种与Gauss消元法等价的方式，首先可以将矩阵 
 进行LU分解，成为单位下三角矩阵与上三角矩阵的乘积，再进行两步求解方程组，较为简便。LU分解的形式众多，对于非方阵和不可逆矩阵也有对应的LU分解形式。例如
可以分解为
首先解出
然后解出
Crammer法则
对于 
 是可逆方阵的情况，还可以利用Crammer法则求解。例如
因为
从而解得
矩阵求逆
对于 
 是可逆方阵的情况，还可以更直接地，使用 
 求解。但对于较大的矩阵，求逆的开销较高，这种方法实际中并不常用。
4. 最小二乘解
对于某些无解的情况，例如 
 ，还可以找到一种解称为最小二乘解 
 使得 
 最小。可以证明，最小二乘解应当满足的条件是 
 ，其中 
 表示 
 的伴随矩阵，在复数域中为共轭转置矩阵 
 ，在实数域中为转置矩阵 
 。因为 
 而且 
 从而满秩。我们熟悉的最小二乘解的形式是 
 。
5. 多元线性方程组的解：一般情况
本节考虑方程组 
 的一般情况。不妨考虑如下变换 
 使得 
 ，可以验证这是一个线性变换，对应的矩阵就是 
 。线性变换的像就是 
 的列空间 
 ，核空间就是 
 的零空间 
 。从线性映射的角度考虑矩阵 
 ，任给一个向量 
 ，都可以得到 
 ，线性方程组 
 考虑的是这个映射是否存在一个原像 
 使得像为 
 。下面的向量范数指的都是2-范数。
本节要用到线性代数中的一些基本结论，如 
 ，
 与 
 互为正交补空间等。
（1）最简单的情况： 
 既是单射又是满射。即任给一个 
 ，一定存在唯一的 
 使得 
 。因此此时 
 有解，且有唯一的解，而且 
 有唯一的逆映射。容易证明，此时 
 ，而且 
 是可逆方阵，容易得到 
 。
（2）如果 
 是满射，即任给一个 
 ，一定存在 
 使得 
 。此时 
 有解， 
 ，但有可能存在无穷多解。接下来我们希望求出这些解中范数最小的一个，即 
 。此时需要考虑到 
 是 
 和 
 的直和，而且 
 和 
 互为正交补。
取 
 使得 
 且 
 ，从而 
 。等号可以取到，因为 
 ，不妨令 
 ，因为 
 ，一定存在 
 使得 
 ，从而 
 。而且 
 ，说明 
 是可逆方阵，从而 
 ，求得 
 。
事实上，如果 
 行满秩，那么 
 就是 
 的伪逆。
（3）如果 
 是单射，此时有 
 ，即如果 
 一定有 
 。考虑 
 的情况，此时方程组一定无解，但可以找到一个 
 使得 
 最小，即 
 ，这样的解称为最小二乘解。
考虑到 
 是 
 和 
 的直和，而且 
 和 
 互为正交补。取 
 使得 
 且 
 ，则有 
 ，等号能取到是因为 
 是一定有解的，因为 
 。
既然 
 ，而且 
 是 
 和 
 的直和，从而 
 ，故 
 ，即 
 是可逆矩阵。那么由于 
 ，则 
 ，从而解出 
 ，这就是最小二乘解 
 。
事实上，如果 
 列满秩，那么 
 就是 
 的伪逆。
如果 
 ，上述方法求出来的就是真实解，此时 
 。
（4）如果 
 不是单射也不是满射，我们也希望找到使得 
 最小的解 
 ，但这样的 
 也不止一个，因为 
 不满秩；所以还希望 
 最小。
不妨设 
 的SVD分解为 
 ，其中 
 和 
 都是酉矩阵， 
 是 
 的秩， 
 是对角线上元素为 
 的对角阵， 
 是 
 的奇异值。
令 
 ， 
 ，显然 
 ，上式化为
为了使上式最小，而且 
 也最小，只要在 
 时取 
 ，在 
 时取 
 ，即 
 ，最终得到
事实上，对任意矩阵 
 ，那么 
 就是 
 的伪逆，也即M-P广义逆。
这篇内容没有收录到专栏附录中。
抽象代数不抽象​www.zhihu.com

  矩阵是由m*n个数排列成的m行n列的数表，图是‘节点’和‘边’的一个集合，两者之间存在着联系。本文探索以矩阵为工具运算‘图’中的元素。
  在图中，两个‘节点’之间用‘边’联系。边是向量，我们用-1表示起点，1表示终点。对于k个节点和它们之间的边组成的序列，称之为‘路径’。如果一条路径除了起点和终点外，其它节点均不相同，则称为‘简单路径’，起点和终点重合的简单路径称为‘简单回路’（‘环’）。
  本文讨论的’图‘是在一个最大简单环内部再增添若干条边，如图1所示。对于图2，我们可以分为三个简单环分别考虑。本文不讨论环形边，如图3中的边（2，2）（即以节点2为起点，以节点2为终点）。
  下面以图1为例，把它用矩阵表示出来，我们称之为关联矩阵 
 ,其中m为图中的‘边’数，n为‘节点’数。为了简化问题，我们规定首先找出最大简单环，它包含了n个节点。按顺序编号如图。‘边’采用（起点，终点）表示，如（1，3），（4，1）。在最大简单环中，边的方向与节点排序吻合，其它的边可以酌情规定方向。
  在关联矩阵 
 中，节点按顺序 1，2......n 排成一行。每一条边占一行，起点标 -1，终点标1，共有m行，也按顺序编号。
  我们对 
 施行初等行变换，保持上面 n-1 行不变，下面的行很容易消元为全零行。A变成了行阶梯形矩阵。可以看出关联矩阵的秩 R(A)=n-1。我们使用路向量X=( 
 , 
 ..... 
 表示图中的一个‘路’。x可以取 1，0，-1， 
 =1表示选取第k条边， 
 =0表示舍弃， 
 =-1表示选取第k条边并反向。
  把关联矩阵转置得 
 ,其中每一列代表一个边向量。作矩阵乘法 
 X = D, X为上面所说的m维路向量。D为n维向量，表示每个节点作为起点的次数（负数表示），或作为终点的次数（正数表示）。注意正负1会自动抵消。下面我们以图1为例写出 
 X = D。
  显然，若X表示环，则D应为零向量。这样图中的‘环’的问题就转化成m元齐次线性方程组 
 X = O的求解。前面已经推断出A的秩R(A)=n-1,所以该方程组基础解的个数 s=m-R(A)=m-n+1。即图中‘基础环’的个数s = m-n+1。因为基础解的线性组合也是m元齐次线性方程组的解，所以对基础环还要进行组合。图中‘环’的总数 h= 
 + 
 +...... 
 。c表示组合运算。以图1为例，基础环数 s=7-5+1=3, 环总数 h= 
 + 
 + 
 =3+3+1=7。
  下面要找出基础环。用代数的方法求解，我们将在下篇文章中介绍。今天可以直观地从图中寻找。看图1，方案不止一种，我们仅举两个例子。一般只要个数s 保证，且包含了图中的所有的‘边’即可。可以进行验证，即这些‘基础向量’排成的矩阵应该是列满秩的。
  注意组合运算包括加或者减，必须酌情选择。上面‘环向量’对应的图形按顺序排列如下。
  综上所述，对于一张有最大简单环的图，
1）可以找出它的关联矩阵 
,m表示‘边’数，n表示‘节点’数。2）A的秩R(A)=n-1
3)图中基础环的个数 s=m-n+1。      4）图中环的总数 h = 
 + 
 +...... 
 .