定性的分析系统的性能的时候，通常将bode图分为高、中、低三个频段，频段的分割也是相对的，但是不影响具体分析。

1、中频段一般是比较关键的，涉及到系统能否稳定等问题。比如如果中频段是-20dB衰减，那么我们希望中频段能够有较大带宽，以保证系统稳定性。

2、截止频率或被称之为剪切频率，wc越高，则系统快速性越好。

3、低频段希望保证较高的增益，以便能精准的跟踪被控量，即稳态精度好。

4、高频衰减的越快，说明系统抗高频噪声干扰能力越强。

Routh(稳定判据)-代数判据(依据根与系数的关系判断根的分布)
1.系统稳定的必要条件
设系统特征方程为:

$\boldsymbol{D}(s)=\boldsymbol{a}_{n} \boldsymbol{s}^{n}+\boldsymbol{a}_{n-1} \boldsymbol{s}^{n-1}+\cdots+\boldsymbol{a}_{1} s+\boldsymbol{a}_{0}=\boldsymbol{0}$
$s^{n}+\frac{a_{n-1}}{a_{n}} s^{n-1}+\cdots+\frac{a_{1}}{a_{n}} s+\frac{a_{0}}{a_{n}}=\left(s-s_{1}\right)\left(s-s_{2}\right) \cdots\left(s-s_{n}\right)$

特征根是:$s_1,s_2,s_3...$
比较系数:

$\frac{a_{n-1}}{a_{n}}=-\sum_{i=1}^{n} s_{i}, \quad \frac{a_{n-2}}{a_{n}}=\sum_{i \leq j \atop i=1, j=2}^{n} s_{i} s_{j}$

$\frac{a_{n-3}}{a_{n}}=-\sum_{i<j<k \atop i=1, j=2, k=3}^{n} s_{i} s_{j} s_{k}, \quad \frac{a_{0}}{a_{n}}=(-1)^{n} \prod_{i=1}^{n} s_{i}$
系统稳定的必要条件:

各系数同号且不为零

或

$a_{\mathrm{n}}>0, a_{\mathrm{u}-1}>0, \ldots, a_{1}>0, a_{0}>0$
2.系统稳定的充要条件
特征方程:$\boldsymbol{D}(s)=\boldsymbol{a}_{n} \boldsymbol{s}^{n}+\boldsymbol{a}_{n-1} \boldsymbol{s}^{n-1}+\cdots+\boldsymbol{a}_{1} s+\boldsymbol{a}_{0}=\mathbf{0}$
Routh表:

$\begin{array}{lllllll}
s^{n} & a_{n} & a_{n-2} & a_{n-4} & a_{n-6} & \cdots \\
s^{n-1} & a_{n-1} & a_{n-3} & a_{n-5} & a_{n-7} & \cdots \\
s^{n-2} & A_{1} & A_{2} & A_{3} & A_{4} & \cdots \\
s^{n-3} & B_{1} & B_{2} & B_{3} & B_{4} & \cdots \\
\vdots & & \vdots & \vdots & \vdots \\
s^{2} & D_{1} & D_{2} & & & \\
s^{1} & E_{1} & & & & \\
s^{0} & F_{1} & & & &
\end{array}$
其中:

$\begin{array}{cl}
A_{1}=\frac{a_{n-1} a_{n-2}-a_{n} a_{n-3}}{a_{n-1}} & B_{1}=\frac{A_{1} a_{n-3}-a_{n-1} A_{2}}{A_{1}} \\
A_{2}=\frac{a_{n-1} a_{n-4}-a_{n} a_{n-5}}{a_{n-1}} & B_{2}=\frac{A_{1} a_{n-5}-a_{n-1} A_{3}}{A_{1}} \\
A_{3}=\frac{a_{n-1} a_{n-6}-a_{n} a_{n-7}}{a_{n-1}} & B_{3}=\frac{A_{1} a_{n-7}-a_{n-1} A_{4}}{A_{1}}
\end{array}$
Routh判据:

Routh表中第一列各元符号改变的次数等于系统特征方程具有正实部特征根的个数。

因此，系统稳定的充要条件是Routh表中第一列各元的符号均为正，且值不为零。

上面的内容都来自[1]
###########################下面是matlab计算routh表######################
例1.系统的特征方程

$\mathbf{D}(s)=s^{4}+s^{3}-19 s^{2}+11 s+30=0$
Routh表:

$\begin{array}{lccc}
s^{4} & \mathbf{1} & \mathbf{- 1 9} & \mathbf{3 0} \\
s^{3} & \mathbf{1} & \mathbf{1 1} & \mathbf{0} \\
s^{2} & \frac{\mathbf{1} \times(-\mathbf{1 9})-\mathbf{1} \times \mathbf{1 1}}{\mathbf{1}}=-\mathbf{3 0} & \mathbf{3 0} & \mathbf{0}(改变符号一次) \\
s^{1} & \frac{(-\mathbf{3 0}) \times \mathbf{1 1}-\mathbf{1} \times \mathbf{3 0}}{-\mathbf{3 0}}=\mathbf{1 2} & \mathbf{0} & \mathbf{0}(改变符号一次) \\
s^{0} & \mathbf{3 0} & \mathbf{0} & \mathbf{0}
\end{array}$
routh_compute.m计算得到:

[   1, -19, 30]

[   1,  11,  0]

[ -30,  30,  0]

[  12,   0,  0]

[  30,   0,  0]
Matlab实验结果分析：

由于第一列元素没有全部为正，因此该系统不稳定.
特别地有:




系统阶数
n的值
充要条件




二阶
2
$a_{2}>0, \quad a_{1}>0, \quad a_{0}>0$


三阶
3
$a_{3}>0, \quad a_{2}>0, \quad a_{0}>0, \quad a_{1} a_{2}-a_{0} a_{3}>0$


Reference:

[1系统的稳定性常见判据

matlab判断系统稳定性 -Nyquist图(极坐标图)判据(还没有搞完。。。。。。。)

系统稳定类型的判断

BIBO稳定

传递函数形式：

正则有理传递函数为的SISO系统BIBO稳定，当且仅当的任一极点均具有负实部时，或等价地描述为：位于s的左半平面内；
	
正则有理传递函数为的SISO系统BIBO稳定，当且仅当其冲激响应随着而趋于0；
状态空间方程形式：

冲激响应矩阵为的MIMO系统BIBO稳定，当且仅当每个在区间绝对可积时；
	
正则有理传递矩阵为的MIMO系统BIBO稳定，当且仅当每个的每个极点都具有负实部时；
临界稳定

方程临界稳定，当且仅当A的所有特征值均具有零实部或负实部，并且具有零实部的那些特征值是A的最小多项式的单根。

注：最小多项式的求法参考：https://blog.csdn.net/Whitecedar/article/details/109720618

渐近稳定

方程渐近稳定，当且仅当A的所有特征值均具有负实部。