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  • 判断系统稳定的条件
    万次阅读
    2020-02-05 23:51:40

    定性的分析系统的性能的时候,通常将bode图分为高、中、低三个频段,频段的分割也是相对的,但是不影响具体分析。
    1、中频段一般是比较关键的,涉及到系统能否稳定等问题。比如如果中频段是-20dB衰减,那么我们希望中频段能够有较大带宽,以保证系统稳定性。
    2、截止频率或被称之为剪切频率,wc越高,则系统快速性越好。
    3、低频段希望保证较高的增益,以便能精准的跟踪被控量,即稳态精度好。
    4、高频衰减的越快,说明系统抗高频噪声干扰能力越强。

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  • matlab判断系统稳定性 -Routh劳斯判据

    千次阅读 2020-07-26 13:30:42
    1.系统稳定的必要条件系统特征方程为: D(s)=ansn+an−1sn−1+⋯+a1s+a0=0\boldsymbol{D}(s)=\boldsymbol{a}_{n} \boldsymbol{s}^{n}+\boldsymbol{a}_{n-1} \boldsymbol{s}^{n-1}+\cdots+\boldsymbol{a}_{1} s+\...

    Routh(稳定判据)-代数判据(依据根与系数的关系判断根的分布)

    1.系统稳定的必要条件

    设系统特征方程为:
    D ( s ) = a n s n + a n − 1 s n − 1 + ⋯ + a 1 s + a 0 = 0 \boldsymbol{D}(s)=\boldsymbol{a}_{n} \boldsymbol{s}^{n}+\boldsymbol{a}_{n-1} \boldsymbol{s}^{n-1}+\cdots+\boldsymbol{a}_{1} s+\boldsymbol{a}_{0}=\boldsymbol{0} D(s)=ansn+an1sn1++a1s+a0=0

    s n + a n − 1 a n s n − 1 + ⋯ + a 1 a n s + a 0 a n = ( s − s 1 ) ( s − s 2 ) ⋯ ( s − s n ) s^{n}+\frac{a_{n-1}}{a_{n}} s^{n-1}+\cdots+\frac{a_{1}}{a_{n}} s+\frac{a_{0}}{a_{n}}=\left(s-s_{1}\right)\left(s-s_{2}\right) \cdots\left(s-s_{n}\right) sn+anan1sn1++ana1s+ana0=(ss1)(ss2)(ssn)
    特征根是: s 1 , s 2 , s 3 . . . s_1,s_2,s_3... s1,s2,s3...

    比较系数:
    a n − 1 a n = − ∑ i = 1 n s i , a n − 2 a n = ∑ i ≤ j i = 1 , j = 2 n s i s j \frac{a_{n-1}}{a_{n}}=-\sum_{i=1}^{n} s_{i}, \quad \frac{a_{n-2}}{a_{n}}=\sum_{i \leq j \atop i=1, j=2}^{n} s_{i} s_{j} anan1=i=1nsi,anan2=i=1,j=2ijnsisj
    a n − 3 a n = − ∑ i < j < k i = 1 , j = 2 , k = 3 n s i s j s k , a 0 a n = ( − 1 ) n ∏ i = 1 n s i \frac{a_{n-3}}{a_{n}}=-\sum_{i<j<k \atop i=1, j=2, k=3}^{n} s_{i} s_{j} s_{k}, \quad \frac{a_{0}}{a_{n}}=(-1)^{n} \prod_{i=1}^{n} s_{i} anan3=i=1,j=2,k=3i<j<knsisjsk,ana0=(1)ni=1nsi

    系统稳定的必要条件:
    各系数同号且不为零

    a n > 0 , a u − 1 > 0 , … , a 1 > 0 , a 0 > 0 a_{\mathrm{n}}>0, a_{\mathrm{u}-1}>0, \ldots, a_{1}>0, a_{0}>0 an>0,au1>0,,a1>0,a0>0

    2.系统稳定的充要条件

    特征方程: D ( s ) = a n s n + a n − 1 s n − 1 + ⋯ + a 1 s + a 0 = 0 \boldsymbol{D}(s)=\boldsymbol{a}_{n} \boldsymbol{s}^{n}+\boldsymbol{a}_{n-1} \boldsymbol{s}^{n-1}+\cdots+\boldsymbol{a}_{1} s+\boldsymbol{a}_{0}=\mathbf{0} D(s)=ansn+an1sn1++a1s+a0=0

    Routh表:
    s n a n a n − 2 a n − 4 a n − 6 ⋯ s n − 1 a n − 1 a n − 3 a n − 5 a n − 7 ⋯ s n − 2 A 1 A 2 A 3 A 4 ⋯ s n − 3 B 1 B 2 B 3 B 4 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ s 2 D 1 D 2 s 1 E 1 s 0 F 1 \begin{array}{lllllll} s^{n} & a_{n} & a_{n-2} & a_{n-4} & a_{n-6} & \cdots \\ s^{n-1} & a_{n-1} & a_{n-3} & a_{n-5} & a_{n-7} & \cdots \\ s^{n-2} & A_{1} & A_{2} & A_{3} & A_{4} & \cdots \\ s^{n-3} & B_{1} & B_{2} & B_{3} & B_{4} & \cdots \\ \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots \\ s^{2} & D_{1} & D_{2} & & & \\ s^{1} & E_{1} & & & & \\ s^{0} & F_{1} & & & & \end{array} snsn1sn2sn3s2s1s0anan1A1B1D1E1F1an2an3A2B2D2an4an5A3B3an6an7A4B4

    其中:
    A 1 = a n − 1 a n − 2 − a n a n − 3 a n − 1 B 1 = A 1 a n − 3 − a n − 1 A 2 A 1 A 2 = a n − 1 a n − 4 − a n a n − 5 a n − 1 B 2 = A 1 a n − 5 − a n − 1 A 3 A 1 A 3 = a n − 1 a n − 6 − a n a n − 7 a n − 1 B 3 = A 1 a n − 7 − a n − 1 A 4 A 1 \begin{array}{cl} A_{1}=\frac{a_{n-1} a_{n-2}-a_{n} a_{n-3}}{a_{n-1}} & B_{1}=\frac{A_{1} a_{n-3}-a_{n-1} A_{2}}{A_{1}} \\ A_{2}=\frac{a_{n-1} a_{n-4}-a_{n} a_{n-5}}{a_{n-1}} & B_{2}=\frac{A_{1} a_{n-5}-a_{n-1} A_{3}}{A_{1}} \\ A_{3}=\frac{a_{n-1} a_{n-6}-a_{n} a_{n-7}}{a_{n-1}} & B_{3}=\frac{A_{1} a_{n-7}-a_{n-1} A_{4}}{A_{1}} \end{array} A1=an1an1an2anan3A2=an1an1an4anan5A3=an1an1an6anan7B1=A1A1an3an1A2B2=A1A1an5an1A3B3=A1A1an7an1A4

    Routh判据:
    Routh表中第一列各元符号改变的次数等于系统特征方程具有正实部特征根的个数。
    因此,系统稳定的充要条件是Routh表中第一列各元的符号均为正,且值不为零。
    上面的内容都来自[1]

    ###########################下面是matlab计算routh表######################

    例1.系统的特征方程
    D ( s ) = s 4 + s 3 − 19 s 2 + 11 s + 30 = 0 \mathbf{D}(s)=s^{4}+s^{3}-19 s^{2}+11 s+30=0 D(s)=s4+s319s2+11s+30=0

    Routh表:
    s 4 1 − 19 30 s 3 1 11 0 s 2 1 × ( − 19 ) − 1 × 11 1 = − 30 30 0 ( 改 变 符 号 一 次 ) s 1 ( − 30 ) × 11 − 1 × 30 − 30 = 12 0 0 ( 改 变 符 号 一 次 ) s 0 30 0 0 \begin{array}{lccc} s^{4} & \mathbf{1} & \mathbf{- 1 9} & \mathbf{3 0} \\ s^{3} & \mathbf{1} & \mathbf{1 1} & \mathbf{0} \\ s^{2} & \frac{\mathbf{1} \times(-\mathbf{1 9})-\mathbf{1} \times \mathbf{1 1}}{\mathbf{1}}=-\mathbf{3 0} & \mathbf{3 0} & \mathbf{0}(改变符号一次) \\ s^{1} & \frac{(-\mathbf{3 0}) \times \mathbf{1 1}-\mathbf{1} \times \mathbf{3 0}}{-\mathbf{3 0}}=\mathbf{1 2} & \mathbf{0} & \mathbf{0}(改变符号一次) \\ s^{0} & \mathbf{3 0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} \end{array} s4s3s2s1s01111×(19)1×11=3030(30)×111×30=1230191130003000()0()0

    routh_compute.m计算得到:
    [ 1, -19, 30]
    [ 1, 11, 0]
    [ -30, 30, 0]
    [ 12, 0, 0]
    [ 30, 0, 0]

    Matlab实验结果分析:
    由于第一列元素没有全部为正,因此该系统不稳定.

    特别地有:

    系统阶数n的值充要条件
    二阶2 a 2 > 0 , a 1 > 0 , a 0 > 0 a_{2}>0, \quad a_{1}>0, \quad a_{0}>0 a2>0,a1>0,a0>0
    三阶3 a 3 > 0 , a 2 > 0 , a 0 > 0 , a 1 a 2 − a 0 a 3 > 0 a_{3}>0, \quad a_{2}>0, \quad a_{0}>0, \quad a_{1} a_{2}-a_{0} a_{3}>0 a3>0,a2>0,a0>0,a1a2a0a3>0

    Reference:
    [1系统的稳定性常见判据

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    千次阅读 2020-12-19 04:49:58
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    LTI系统判断因果性稳定性

    10.7离散时间系统系统函数与Z域分析 一.单位样值响应与系统函数 1.由零极点分布确定单位样值响应 由零极点分布确定单位样值响应(续) 利用z~s平面的映射关系 10.8 系统函数的方框图表示 在第二章已经讨论了差分方程描述的LTI系统的方框图表示。本届内容与其类似,主要是从系统函数出发讨论与方框图的互相表示。 直接二型方框图尤其重要。 10.9 用单边z变换解差分方程 序言 例1 b.由储能引起的零输入响应 c.整理(1)式得全响应 补充:z变换与拉普拉斯变换的关系 z平面与s平面的映射关系 几种情况 冲激响应不变法进行数字滤波器的设计 系统频响的几何求法 与拉氏变换求取系统频响的几何方法类似,只是这里运动的点在单位圆上。 幅频特性和相频特性的定性画法。 傅氏变换、拉氏变换、z变换的关系 1.三种变换的比较 2.频率的比较 3.s平面虚轴上的拉氏变换即为傅氏变换 即 零输入响应为 差分方程解的验证 代入 比较 s平面 z平面 (1)s平面的原点 ,z平面 ,即 。 左半平面 虚轴 右半平面 左向右移 单位圆内 单位圆上 单位圆外 半径扩大 (2) (3) (4)z~s映射不是单值的。 1.?三种变换的比较 2.频率的比较 3.s平面虚轴上的拉氏变换即为傅氏变换 4.z平面单位圆上的z变换即为序列的傅氏变换(DTFT) 变换名称 傅里叶变换 拉普拉斯变换 z变换 信号类型 变量 模拟角频率 ,量纲:弧度/秒; 数字角频率 ,量纲:弧度; 是周期为 的周期函数 关系: 4. z平面单位圆上的z变换即为序列的傅氏变换(DTFT) 第 * 页 第10章 Z-变换 The Z-Transform III 单位样值响应与系统函数 系统函数的零极点分布对系统特性的影响 确定单位样值响应 稳定性 因果性 1.定义 2.?h(n)和H(z)为一对z变换对 1.定义 线性时不变离散系统由线性常系数差分方程描述,一般形式为 激励为因果序列 系统处于零状态 上式两边取z变换得 只与系统的差分方程的系数、结构有关,描述了系统的特性。 2. h(n)和H(z)为一对z变换 ●系统的零状态响应: ● 例1 则 解: 求系统的零状态响应 在零状态条件下,对差分方程两边取双边z变换 已知离散系统的差分方程为: 激励 二.系统函数的零极点分布对系统特性的影响 1.由零极点分布确定单位样值响应 2.离散系统的稳定性 3.系统的因果性 展成部分分式:(假设无重根) 的极点,可以是不同的实数或共轭复数, 决定了 的特性。其规律可能是指数衰减、上升, 或为减幅、增幅、等幅振荡。 :与H(z)的零点、极点分布都有关。 极点位置与h(n)形状的关系 s平面 z平面 极点位置 h(t)特点 极点位置 h(n)特点 虚轴上 等幅 单位圆上 等幅 原点时 左半平面 衰减 单位圆内 减幅 右半平面 增幅 单位圆外 增幅 2.离散系统的稳定性 对于稳定系统,只要输入是有界的,输出必 定是有界的(BIBO)。 (2)稳定性判据 (1)定义: 判据1:离散系统稳定的充要条件:单位样值响应绝对可和。 判据2:对于因果系统,其稳定的充要条件为: H(z)的全部极点应落在单位圆之内。即收敛域应包括单位圆在内: 。 (3)连续系统和离散系统稳定性的比较 沿虚轴 临界稳定的极点 含单位圆的圆外 含虚轴的右半平面 收敛域 H(z)的极点全部在单位圆内 H(s)的极点全部在左半平面 极点 系统稳定的充要条件 离散系统 连续系统 3.系统的因果性 系统因果性的判断方法: z域: 收敛域在圆外 输出不超前于输入 例2 下面方程所描述的系统是否为因果系统? 解: 输出未超前于输入, 所以是因果系统。 例3 解: 不稳定系统 ?从时域判断 因果系统 ?从z域判断 极点在单位圆上,收敛域不包括单位圆→不稳定(边界稳定)。 h(n)为右边序列,收敛域为圆外,为因果系统。 例4 LTI系统, ,判断因果性、稳定性。 注意:对于因果系统,极点在单位圆内稳定。 ②从时域判断: 不稳定 ③从z域判断: 收敛域 ,极点在处 , 是非因果系统,极点在单位圆内也不稳定。 ①从时域判断: 不是因果系统 由 可看出: 方程中包括三种基本运算:乘系数、相加、移位 (延迟)

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    41528d3028836879cd698677c3999917.gifmatlab分析系统稳定性的方法.doc

    MATLAB在控制系统稳定性判定中的应用稳定是控制系统的重要性能,也是系统能够工作的首要条件,因此,如何分析系统的稳定性并找出保证系统稳定的措施,便成为自动控制理论的一个基本任务线性系统的稳定性取决于系统本身的结构和参数,而与输入无关线性系统稳定的条件是其特征根均具有负实部在实际工程系统中,为避开对特征方程的直接求解,就只好讨论特征根的分布,即看其是否全部具有负实部,并以此来判别系统的稳定性,由此形成了一系列稳定性判据,其中最重要的一个判据就是劳斯判据。劳斯判据给出线性系统稳定的充要条件是系统特征方程式不缺项,且所有系数均为正,劳斯阵列中第一列所有元素均为正号,构造劳斯表比用求根判断稳定性的方法简单许多,而且这些方法都已经过了数学上的证明,是完全有理论根据的,是实用性非常好的方法具体方法及举例一用系统特征方程的根判别系统稳定性设系统特征方程为S5S42S32S23S50,计算特征根并判别该系统的稳定性。在COMMANDWINDOW窗口输入下列程序,记录输出结果。P112235ROOTSP二用根轨迹法判别系统稳定性对给定的系统的开环传递函数1.某系统的开环传递函数为,在COMMANDWINDOW窗口输入程序,记录系统闭环零极点图及零极点数据,判断该闭环系统是否稳定。CLEARN10251D10510S1TFN1,D1SYSFEEDBACKS1,1PSYSDEN{1}PROOTSPPZMAPSYSP,ZPZMAPSYS2.某系统的开环传递函数为,在COMMANDWINDOW窗口输入程序,记录系统开环根轨迹图、系统开环增益及极点,确定系统稳定时K的取值范围。CLEARN1DCONV110,051SYSTFN,DRLOCUSSYSK,POLESRLOCFINDSYS频率特性法判别系统的稳定性三BODE图法1.已知系统开环传递函数,在COMMANDWINDOW窗口输入程序,用BODE图法判稳,记录运行结果,并用阶跃相应曲线验证(记录相应曲线)1)绘制开环系统BODE图,记录数据。NUM7500021DENCONV10,116100SYSTFNUM,DENGM,PM,WCG,WCPMARGINSYSMARGINSYS2)绘制系统阶跃响应曲线,证明系统的稳定性。NUM7500021DENCONV10,116100STFNUM,DENSYSFEEDBACKS,1T000130STEPSYS,T四NYQUIST图法1.已知系统开环传递函数,在COMMANDWINDOW窗口输入程序,用NYQUIST图法判稳,记录运行结果,并用阶跃相应曲线验证(记录相应曲线)。1)绘制NYQUIST图,判断系统稳定性。CLEARNUM10000DEN151000GHTFNUM,DENNYQUISTGH五用阶跃响应曲线验证系统的稳定性已知系统开环传递函数判断系统的稳定性程序如下NUM10000DEN151000STFNUM,DENSYSFEEDBACKS,1T000106STEPSYS,T学习心得与体会通过这几周的MATLAB课程的学习,我了解到了MATLAB在自动控制系统分析中的重要意义,在学习过程中,我体会到了MATLAB的在控制系统分析中的快速性与方便性在学习中也遇到了不少问题,经过老师的细心指导,对MATLAB的学习能够更进一步最后,感谢老师对我学习上的帮助和鼓励

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