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  • 文章目录系数矩阵、增广系数矩阵、方程组的矩阵与向量表示形式结论判断方程组的步骤求线性方程组的一般思路例题参考 系数矩阵、增广系数矩阵、方程组的矩阵与向量表示形式 求解方程组就是对增广矩阵做初等行...


    系数矩阵、增广系数矩阵、方程组的矩阵与向量表示形式

    在这里插入图片描述
    求解方程组就是对增广矩阵做初等行变换将系数矩阵化为行简化阶梯型
    下面是方程组有唯一解、无穷多解、无解的情况
    在这里插入图片描述

    结论

    判断方程组有无解,关键是看系数矩阵与增广矩阵是否相等。
    (使用n代表未知量的个数,m代表方程个数)
    在这里插入图片描述


    判断方程组有无解的步骤

    在这里插入图片描述


    求线性方程组的一般思路

    在这里插入图片描述


    例题

    最后求出来的一般解组成的方程组为同解方程组。
    在这里插入图片描述
    对于有参数的例题,参数不能放在分母上


    参考

    以上图片均摘自宋浩老师视频,以方便以后自己查阅,感谢宋老师。
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    89b71780e01d2824584a869a1f117904.png

    相关链接:《线性方程组的类型及求解》(目录),《线性方程组的类型及求解》(一),《线性方程组的类型及求解》(二),《线性方程组的类型及求解》(三),《线性方程组的类型及求解》(四)

    预备工作:线性方程组类型的判断

    对于

    ,(a)
    ,则解唯一,称为
    相容方程组;(b)
    ,则解无穷,称为
    超定方程组;(c)
    ,则无解,称为
    不相容方程组

    此外,判断方程组是否有解还可以用以下2个充要条件:(a) 如果

    是左可逆矩阵,
    是它的一个左逆矩阵,若
    成立,则
    有唯一解,且解为
    ;(b) 如果
    是右可逆矩阵,则
    对任何
    都有解,若
    时,则方程组的解可表示成
    ,其中
    的一个右逆矩阵。(单边逆的定义、判别和求法,参见【1】P178-182)

    首先讨论相容线性方程组的解法。

    一. 三角分解法

    思路:

    被三角分解成
    后,将
    转化为
    ,算出
    。因为
    是上三角矩阵,容易求解出最后一行的
    ;将
    代入倒数第二行,容易求解出
    ;将
    ,
    代入倒数第三行,容易求解出
    ,以此类推。

    1.1 QR分解

    1.1.1 形式一: 满秩方阵

    (a) 对

    进行列分块,得列分块向量

    (b) 对列分块向量施密特正交化,得到正交向量

    ,其中

    (c) 令系数

    (d) 最后得到

    1. 拓展:上述过程中
    ,同时还可进行
    分解,在步骤(a)中行分块即可。 类似地,
    时可进行
    分解。区别在于
    是正交矩阵,而
    是酉矩阵。
    下面开始仅讨论复矩阵的情形,相应的实矩阵情形很好类推。

    1.1.2 形式二: 行满秩矩阵

    ,其中
    阶正线下三角复矩阵,
    阶酉矩阵,
    为零矩阵。(【1】P92证明)

    1.1.3 形式三: 列满秩矩阵

    ,其中
    阶酉矩阵,
    阶正线上三角复矩阵,
    为零矩阵。(【1】P92证明)

    1.1.4 形式四: 任意矩阵

    ,其中
    阶酉矩阵,
    阶酉矩阵,
    阶正线下三角复矩阵,
    为零矩阵。还可以分解为
    阶正线下三角复矩阵。(【1】P94证明)

    1.2 LU分解

    1.2.1 形式一: 满秩方阵

    的各阶顺序主子式行列式不为零,
    的主对角线上元素不为0。(【1】P89-92证明,4个命题等价)
    1. 参数含义:
    为上三角复矩阵,
    为下三角复矩阵,
    为单位上三角复矩阵,
    为单位下三角复矩阵,
    为对角矩阵。

    2. 拓展:同样地,
    的分解形式类推,相应的所得则为实矩阵。

    3. 分解方法:
    (1) 待定系数法
    (a) 写出含待定系数的分解形式

    (b) 按照规则“ 先行后列”、“列除行不除”、“旧元素减去其所在行和列前(k-1)个元素的对应乘积然后求和”,对照上式一步步地写出待定系数

    (2) 高斯消元法
    (a) 搭建框架

    (b) 提取高斯消元(即初等行变换)过程中的乘子和结果。(注意行列的对应,第
    行对第
    行做初等行变换的乘子,对应到结果矩阵的
    元素)

    4. 注意:
    (a) 利用高斯消元法对矩阵
    进行
    矩阵分解时,绝对值小的主元可能产生麻烦,因此一般在进行前先判断是否对行进行调整。假设调整后的矩阵是
    ,分解为
    ,那么,
    的分解又该表示为什么形式呢?我们用一个单位矩阵
    来表征这种变换,如果要交换矩阵
    中的一些行,那我们就对单位矩阵
    中相应的行进行交换,得到矩阵
    。因此有

    (b) 得到
    后,我们可以很容易地基于此,将
    拆成
    的形式从而得到
    ;再将
    合并为
    从而得到
    ,过程如下:

    (c) 对于三对角矩阵,如果它的非零系数在主对角线上和两条次对角线上,那么可以对其进行
    分解,上述的两种分解方法都可以使用。

    1.2.2 形式二: 行满秩矩阵

    ,其中
    阶正线下三角矩阵,
    ,表示以
    个两两正交的单位向量为行组成的矩阵的集合。(【1】P93证明,证明过程给出了分解步骤)

    1.2.3 形式三: 列满秩矩阵

    ,其中,
    阶正线上三角矩阵,
    ,表示以
    个两两正交的单位向量为列组成的矩阵的集合。(【1】P93证明,证明过程给出了分解步骤)

    1.3 Cholesky分解

    是正定Hermite矩阵,
    是正线上三角复矩阵。类似的,
    则要求
    为实对称正定矩阵。
    1. 拓展:对于
    同时还是正定Hermite矩阵的情况,它还可以分解为
    ,这里的
    为单位上三角复矩阵,
    为对角阵。

    2. 分解方法(即待定系数法):

    二. 迭代解法

    2.1 迭代思想

    从最简单的一元函数零点问题开始考虑,假设

    具有一个零点
    使得
    成立,通过变换我们可以得到等式
    。通常情况下,我们可以直接把
    变换为
    的形式,容易发现,仅当
    时该形式才成立,这时我们把通过
    求解
    的问题转换成了通过
    求解
    的问题,显然后者更容易求解。为什么呢?我们选择一个适当的初始值
    代入到等式右边,可以在等式左边得到
    ,如果
    ,我们继续将
    代入到等式右边,继续可以在等式左边得到
    ,重复进行该操作,我们得到一系列的
    组成一个数列
    。这就是格式为
    的迭代计算,如果该数列的极限
    存在且等于
    ,则称该迭代格式收敛,
    就是我们求解的零点,也叫不动点。这个例子是最简单的“不动点迭代法”,其实我们还可以自己构造出各式各样的迭代格式,然而不一定每种迭代格式都是可行的。那我们又该怎么判断一个迭代格式是否可行呢?

    首先判断迭代格式的不动点的存在唯一性,然后再判断其收敛性,下面以“不动点迭代法”为例,可以证明以下定理:

    (1-a) (存在唯一性)设

    对一切
    成立,则
    上一定有不动点。进一步设
    且存在常数
    使
    对一切
    成立,则
    上的不动点是唯一的(【2】P25-26证明)。

    (1-b) (全局收敛性)设

    且满足(1)
    对一切
    成立;(2)存在常数
    使
    对一切
    成立,则对任意的
    产生的序列
    必收敛到
    的不动点(【2】P26证明)。

    (1-c) (局部收敛性)设

    的不动点,
    连续且
    ,则存在
    的某邻域对任意
    属于该邻域,迭代格式
    产生的序列
    收敛到不动点

    当然,一个迭代格式就像极限那样,无穷逼近与不动点,因此我们要对其设置终止准则。同样以“不动点迭代法”为例,可以证明以下定理:

    (1-d)( 全局收敛性的误差估计)设

    且满足(1)
    对一切
    成立;(2)存在常数
    使
    对一切
    成立,则对任意
    产生的序列满足下面两式:
    (【2】P26-27证明)。

    “不动点迭代法”是在原式的基础上进行构造的,除此之外,我们还可以采用“牛顿迭代法”,它先在原式的基础上近似后再进行构造的,具体做法为:用

    的泰勒展开式
    中的线性函数
    近似代替函数
    ,则将求解
    的问题转换为求解
    的问题。由此很容易得到牛顿迭代格式为式
    。(【3】P32-34证明,牛顿迭代法的存在唯一性、收敛性等)

    最后,不同迭代格式之间如何进行优劣比较呢?考察各迭代格式的收敛速度即可。收敛速度的定义为:

    (即序列
    收敛于
    ),如果存在
    使得
    ,则称数列
    阶收敛。特别地:当
    时,称为线性收敛; 当
    时,称为超线性收敛; 当
    时,称为平方收敛。序列的收敛阶数越高,则收敛速度越快。

    判断一个迭代格式的收敛阶数可用以下定理:

    为方程
    的根。如果迭代函数
    满足条件:(1)
    邻近是
    次连续可微的
    ;(2)
    ,则当初值
    取得充分靠近
    时,迭代格式
    阶收敛的。

    至此,迭代思想的核心大致总结为4个方面:“根的存在唯一性”、“收敛性”、“终止准则”和“收敛速度”。

    1. 注意:(1) 需要构造迭代格式时,如果没指明需要构造的形式,往往我们可以首先考虑牛顿迭代法;(2) 牛顿迭代法至少二阶收敛的前提是没有重根,但如果遇到有重根的情况则需要更加仔细地代入公式进去算,因为在计算过程中,能够导致为0的元素可能分子分母消去,比如
    ;(3) 牛顿迭代法擅长处理非线性方程,所以在对于实际问题构造时往往要往非线性方程构造,比如对于同一个问题构造为
    是无法使用牛顿迭代法的,应该构造为
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  • fprintf('该齐次线性方程组具有无穷多。\n任一的通式中含有%i个任意常数\n',e); end % x1=2*x3+5/3*x4 % x2=-2*x3-4/3*x4 % % 1 、让x3=0,x4=1 2、让x3=1,x4=0   result b = 1.0000 0 -2....

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    code

    clear
    clc
    
    %  x1+2*x2+2*x3+x4=0
    %  2*x1+x2-2*x3-2*x4=0
    %  x1-x2-4*x3-3*x4=0
     
    a=[1 2 2 1;2 1 -2 -2;1 -1 -4 -3];
    b=rref(a)
     
    % b =
    %    1 0 -2 -5/3
    %    0 1  2  4/3
    %    0 0  0   0  
     
    c=rank(a);
    d=size(a);
     
    if(d(2)>c)
        e=d(2)-c;
        fprintf('该齐次线性方程组具有无穷多解。\n任一解的通解式中含有%i个任意常数\n',e);
    end
     
     
    %   x1=2*x3+5/3*x4
    %   x2=-2*x3-4/3*x4
    % 
    % 1 、让x3=0,x4=1  2、让x3=1,x4=0   
    
    

    result

    
    b =
    
        1.0000         0   -2.0000   -1.6667
             0    1.0000    2.0000    1.3333
             0         0         0         0
    
    该齐次线性方程组具有无穷多解。
    任一解的通解式中含有2个任意常数
    >> 
    

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  • fprintf('方程有唯一\n'); x=inv(a)*b end end   result a = 2 1 -5 1 1 -3 0 -6 0 2 -1 2 1 4 -7 6 b = 8 9 -5 0 c = 2 1 -5 1 8 1 -3 0 -6 9 0 2 -1 2 -5 1 4 -7 6 0 方程相容...

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    clear
    clc
    
    %系数矩阵
    a=[2 1 -5 1;1 -3 0 -6;0 2 -1 2;1 4 -7 6]
     
    b=[8;9;-5;0]
     
    c=[a b]   %增广矩阵
     
    r_a=rank(a);
    r_c=rank(c);
    d=size(a);
     
     
    if(r_a==r_c)
        fprintf('方程相容\n');
        if(r_a==d(2))
            fprintf('方程有唯一解\n');
            x=inv(a)*b
        end
    end
    
    

    result

    
    a =
    
         2     1    -5     1
         1    -3     0    -6
         0     2    -1     2
         1     4    -7     6
    
    
    b =
    
         8
         9
        -5
         0
    
    
    c =
    
         2     1    -5     1     8
         1    -3     0    -6     9
         0     2    -1     2    -5
         1     4    -7     6     0
    
    方程相容
    方程有唯一解
    
    x =
    
        3.0000
       -4.0000
       -1.0000
        1.0000
    
    >> 
    

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  • 本线:4 线性方程组

    2020-12-22 18:18:45
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  • 题目地址 模拟初等行变换就可以了。...之后特判r是否把所有列处理完,没有在判断是否还是多则把每个x算出来。 代码上许多步骤解释 #define IOS ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
  • 根据线性代数中求解方程组的基本知识,首先应判断系数矩阵的秩是否和增广矩阵的...求非齐次线性方程组Ax=b的特,可直接使用命令A\b,求解齐次线性方程组的通,可以使用函数null或rref来实现。 命令 含义 ...
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  • C语言求解线性方程组AX=b

    万次阅读 2016-08-26 17:32:33
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    2020-01-09 14:50:58
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    千次阅读 2015-08-21 11:35:10
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  • 欠定线性方程组Ax=b的稀疏解

    万次阅读 2012-05-26 10:43:43
    经典的线性代数的一个核心成就是处理线性方程组的求解问题,然而直到最近该问题才了更深入的研究和探索,并且得到了一系列更令人振奋的结果。今天主要关心一下欠定线性方程组Ax=b稀疏的一些相关话题。 针对欠...
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  • 它的核心作用是它是线性方程组的一种判断解和求解的方法。系数矩阵:线性方程的所有系数构成的一个数组。增广矩阵:系数和参数共同构成的数组。阶梯型矩阵:每一行的第一个不为零的元素的左边及其所在列以下全为零。...
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    2019-10-02 21:19:58
    线性基专题学习 (仅以此篇表愚见) 引入:最大异或和 ...从高到低确定每一位是否能选,即设这一位方程的右边为1,解当前的方程组判断是否有解,一共是解60次方程组\(O(n \cdot 60^3)\) ---->优化:保...
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    2018-09-06 10:52:50
    线性代数中的线性方程组: 1.Span{v}:通过0点和v点直线上的所有点的集合。进而Span{u,v}则是通过0,u,v三个点的平面。判断一个点b是否在平面Span{u,v}内,则判断增广矩阵【uvb】的化简即可。 2.方程Ax=b...

空空如也

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判断线性方程组是否有解