精华内容
下载资源
问答
  • 判断重根的方法
    千次阅读
    2020-12-23 04:47:18

    可用盛金公式 方法如下

    一元三次方程aX3+bX2+cX+d=0,(a,b,c,d∈R,且a≠0)。

    重根判别式:

    A=b2-3ac;

    B=bc-9ad;

    C=c2-3bd,

    总判别式:

    Δ=B2-4AC。

    当A=B=0时,盛金公式①:

    X1=X2=X3=-b/(3a)=-c/b=-3d/c。

    当Δ=B2-4AC>0时,盛金公式②:

    X1=(-b-3√Y1-3√Y2)/(3a);

    X2,3=(-2b+3√Y1+3√Y2)/(6a)±(3√Y1-3√Y2)√3i/(6a);

    其中Y1,2=Ab+3a(-B±√(B2-4AC))/2,i2=-1。

    当Δ=B2-4AC=0时,盛金公式③:

    X1=-b/a+K;

    X2=X3=-K/2,

    其中K=B/A,(A≠0)。

    当Δ=B2-4AC<0时,盛金公式④:

    X1=(-b-2cos(θ/3)√A)/(3a);

    X2,3=(-b+(cos(θ/3)±sin(θ/3)√3)√A)/(3a);

    其中θ=arccosT,T=(2Ab-3aB)/(2A√A),(A>0,-1<T<1)。检举 回答人的补充 2009-07-08 21:23

    盛金判别法

    ①:当A=B=0时,方程有一个三重实根;

    ②:当Δ=B2-4AC>0时,方程有一个实根和一对共轭虚根;

    ③:当Δ=B2-4AC=0时,方程有三个实根,其中有一个两重根;

    ④:当Δ=B2-4AC<0时,方程有三个不相等的实根。

    更多相关内容
  • 一元三次方程的求公式

    千次阅读 2021-03-07 10:04:44
    一元二次方程的回顾和启示学过初中数学都知道对于任何一个实系数一元二次方程 ,通过配方可以得到 ,根据判别式 的符号,可以判断方程实的个数,并且可以得到求公式要么是 个不同的实 ,要么是 个二重实 ,...

    一元二次方程的回顾和启示

    学过初中数学都知道对于任何一个实系数一元二次方程

    equation?tex=ax%5E2%2Bbx%2Bc%3D0%2C~a+%5Cneq+0 ,通过配方可以得到

    equation?tex=%5Cleft%28x%2B%5Cfrac%7Bb%7D%7B2a%7D%5Cright%29%5E2%3D%5Cfrac%7Bb%5E2-4ac%7D%7B4a%5E2%7D ,根据判别式

    equation?tex=%5CDelta%3Db%5E2-4ac 的符号,可以判断方程实根的个数,并且可以得到求根公式

    equation?tex=+x%3D%5Cfrac%7B-b%5Cpm%5Csqrt%7Bb%5E2-4ac%7D%7D%7B2a%7D%3D-%5Cfrac%7Bb%7D%7B2a%7D%5Cpm%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B%5CDelta%7D%7D%7B2a%7D%5C%5C

    要么是

    equation?tex=2 个不同的实根

    equation?tex=%5CDelta%3E0 ,要么是

    equation?tex=1 个二重实根

    equation?tex=%5CDelta%3D0 ,要么是

    equation?tex=1 对共轭虚根

    equation?tex=%5CDelta%3C0 ;计算重数的情况下都是

    equation?tex=2 个根。

    记两根为

    equation?tex=+x_1%3D%5Cfrac%7B-b%2B%5Csqrt%7Bb%5E2-4ac%7D%7D%7B2a%7D+%2C~+x_2%3D%5Cfrac%7B-b-%5Csqrt%7Bb%5E2-4ac%7D%7D%7B2a%7D+%5C%5C

    可以直接验证韦达定理:

    两根之和

    equation?tex=x_1%2Bx_2%3D-%5Cfrac%7Bb%7D%7Ba%7D+ 以及两根之积

    equation?tex=x_1x_2%3D%5Cfrac%7Bc%7D%7Ba%7D,判别式

    equation?tex=+%5CDelta%3Da%5E2%28x_1-x_2%29%5E2 .

    求根公式看上去复杂,但如果把上述两式代入求根公式

    equation?tex=x%3D-%5Cfrac%7Bb%7D%7B2a%7D%5Cpm%5Csqrt%7B%5Cleft%28-%5Cfrac%7Bb%7D%7B2a%7D%5Cright%29%5E2-%5Cfrac%7Bc%7D%7Ba%7D%7D%3D%5Cfrac%7Bx_1%2Bx_2%7D%7B2%7D%5Cpm%5Csqrt%7B%5Cleft%28%5Cfrac%7Bx_1-x_2%7D%7B2%7D%5Cright%29%5E2%7D%3D%5Cfrac%7Bx_1%2Bx_2%7D%7B2%7D%5Cpm%5Cfrac%7Bx_1-x_2%7D%7B2%7D%5C%5C .

    注:如果

    equation?tex=x_1%2C~x_2 是共轭虚根,

    equation?tex=x_1-x_2 就是纯虚数,对负数

    equation?tex=%5Cleft%28%5Cfrac%7Bx_1-x_2%7D%7B2%7D%5Cright%29%5E2 开方不能得到

    equation?tex=%5Cfrac%7B%7Cx_1-x_2%7C%7D%7B2%7D .

    几何意义:记

    equation?tex=s%3D%5Cfrac%7Bx_1%2Bx_2%7D%7B2%7D%3D-%5Cfrac%7Bb%7D%7B2a%7D 是两根的平均值,乘积为

    equation?tex=p%3Dx_1x_2%3D%5Cfrac%7Bc%7D%7Ba%7D . 如果

    equation?tex=x_1%2C~x_2 都是实根,则

    equation?tex=d%3D%5Cfrac%7B%7Cx_1-x_2%7C%7D%7B2%7D%3D%5Csqrt%7Bs%5E2-p%7D 是根到平均值的距离。

    求根公式就可以改写成

    equation?tex=x%3D-%5Cfrac%7Bb%7D%7B2a%7D%5Cpm%5Csqrt%7B%5Cleft%28-%5Cfrac%7Bb%7D%7B2a%7D%5Cright%29%5E2-%5Cfrac%7Bc%7D%7Ba%7D%7D%3Ds%5Cpm%5Csqrt%7Bs%5E2-p%7D%3Ds%5Cpm+d%5C%5C

    两根到平均值

    equation?tex=s 的距离

    equation?tex=d%3D%5Cfrac%7B%7Cx_1-x_2%7C%7D%7B2%7D 还可以通过下列方式得到:

    不妨设

    equation?tex=x_1%3Ds%2Bd%2C~+x_2%3Ds-d ,用平方差公式得到

    equation?tex=%28s%2Bd%29%28s-d%29%3Ds%5E2-d%5E2%3Dp ,立即可以算出

    equation?tex=d%3D%5Csqrt%7Bs%5E2-p%7D .

    可以看到在实根的情况下

    equation?tex=s%3D%5Cfrac%7Bx_1%2Bx_2%7D%7B2%7D 是实数轴上两根的中点,而

    equation?tex=d%3D%5Cfrac%7B%7Cx_2-x_1%7C%7D%7B2%7D 是两根到中点的距离。

    如果

    equation?tex=%5CDelta%3C0

    equation?tex=z_1%3D-%5Cfrac%7Bb%7D%7B2a%7D%2B%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B-%5CDelta%7D%7D%7B2a%7Di

    equation?tex=z_2%3D-%5Cfrac%7Bb%7D%7B2a%7D-%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B-%5CDelta%7D%7D%7B2a%7Di 是共轭虚根,绝对值(长度)相等

    equation?tex=s%3D%5Cfrac%7Bz_1%2Bz_2%7D%7B2%7D%3D-%5Cfrac%7Bb%7D%7B2a%7D 在复平面上是

    equation?tex=z_1

    equation?tex=z_2 连线的中点(在实轴上),刚好对应由

    equation?tex=z_1

    equation?tex=z_2 作为两邻边的菱形对角线的交点,是菱形水平方向对角线的一半,而

    equation?tex=d%3D%5Cpm%5Cfrac%7Bz_1-z_2%7D%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B-%5CDelta%7D%7D%7B2a%7Di 是中点到两根的有向距离,是菱形竖直方向对角线的一半。

    如果考虑一般的复系数一元二次方程呢?任何两个复数

    equation?tex=z_1

    equation?tex=z_2 都可能是方程的两根,因为由韦达定理可以构造出

    equation?tex=z%5E2-%28z_1%2Bz_2%29z%2Bz_1z_2%3D0%5C%5C

    所以

    equation?tex=s%3D%5Cfrac%7Bz_1%2Bz_2%7D%7B2%7D 就是两根连线的中点,但不一定在实轴上,以

    equation?tex=z_1

    equation?tex=z_2 为邻边构成的是一个更一般的平行四边形,

    equation?tex=s 是对角线的交点,是其中一条对角线的一半,而

    equation?tex=d%3D%5Cpm%5Cfrac%7Bz_1-z_2%7D%7B2%7D 是交点到两根的有向距离,是另外一条对角线的一半。

    一元三次方程根的构造

    对于实系数一元三次方程

    equation?tex=ax%5E3%2Bbx%5E2%2Bcx%2Bd%3D0%2C~a%5Cneq+0 ,自然会想能不能用配方法?

    当然可以,只不过这里并不是配成完全平方而是配成完全立方:

    equation?tex=x%5E3%2B%5Cfrac%7Ba%7D%7Bb%7Dx%5E2%2B%5Cfrac%7Bc%7D%7Ba%7Dx%2B%5Cfrac%7Bd%7D%7Ba%7D%3D0%5CLeftrightarrow+x%5E3%2B3%5Cleft%28+%5Cfrac%7Bb%7D%7B3a%7D%5Cright%29+x%5E2%3D-%5Cfrac%7Bc%7D%7Ba%7Dx-%5Cfrac%7Bd%7D%7Ba%7D%5C%5C

    根据前两项两边同时加上

    equation?tex=3+%5Cleft%28%5Cfrac%7Bb%7D%7B3a%7D%5Cright%29%5E2x

    equation?tex=%5Cleft%28%5Cfrac%7Bb%7D%7B3a%7D%5Cright%29%5E3 可以把左边变成完全立方,也就是

    equation?tex=%5Cleft%28x%2B%5Cfrac%7Bb%7D%7B3a%7D%5Cright%29%5E3%3D%5Cfrac%7Bb%5E2-3ac%7D%7B3a%5E2%7Dx%2B%5Cfrac%7Bb%5E3-27a%5E2d%7D%7B27a%5E3%7D+%5C%5C

    这时右边等于

    equation?tex=%5Cfrac%7Bb%5E2-3ac%7D%7B3a%5E2%7D%5Cleft%28x%2B%5Cfrac%7Bb%7D%7B3a%7D%5Cright%29-%5Cfrac%7Bb%5E3-3abc%7D%7B9a%5E3%7D%2B%5Cfrac%7Bb%5E3-27a%5E2d%7D%7B27a%5E3%7D%3D%5Cfrac%7Bb%5E2-3ac%7D%7B3a%5E2%7D%5Cleft%28x%2B%5Cfrac%7Bb%7D%7B3a%7D%5Cright%29%2B%5Cfrac%7B9abc-2b%5E3-27a%5E2d%7D%7B27a%5E3%7D

    equation?tex=x 的一次项,不能像一元二次方程配方后可以直接开平方根得到方程的根。但这提示我们可以作变量替换

    equation?tex=t%3Dx%2B%5Cfrac%7Bb%7D%7B3a%7D 把根整体平移

    equation?tex=%5Cfrac%7Bb%7D%7B3a%7D 个单位,得到更简单的没有2次项的方程

    equation?tex=t%5E3%2B%5Cfrac%7B3ac-b%5E2%7D%7B3a%5E2%7Dt%2B%5Cfrac%7B2b%5E3-9abc%2B27a%5E2d%7D%7B27a%5E3%7D%3D0%5C%5C

    (或者用直接用待定系数法确定平移量)

    equation?tex=p%3D%5Cfrac%7B3ac-b%5E2%7D%7B3a%5E2%7D%2C~q%3D%5Cfrac%7B2b%5E3-9abc%2B27a%5E2d%7D%7B27a%5E3%7D

    方程简化为

    equation?tex=t%5E3%2Bpt%2Bq%3D0 . 从这里可以看出,配方法能做到的只是消去比方程次数低一次的那项(次高次项),结合韦达定理可以知道,只不过是找到了方程的三个根的平均值,做一个平移,让新得到的方程的三个根的平均值为0.

    这里有很多种变量替换的方法求解

    equation?tex=t%5E3%2Bpt%2Bq%3D0 .

    一、卡尔达诺方法(Cardano's method)

    引入两个新的变量

    equation?tex=u%2C~v

    equation?tex=t%3Du%2Bv,代入可得

    equation?tex=%28u%2Bv%29%5E3%2Bp%28u%2Bv%29%2Bq%3D0%5CLeftrightarrow+u%5E3%2Bv%5E3%2B%283uv%2Bp%29%28u%2Bv%29%2Bq%3D0%5C%5C

    equation?tex=3uv%2Bp%3D0 ,方程变为

    equation?tex=u%5E3%2Bv%5E3%2Bq%3D0 .

    只要

    equation?tex=u%2C~v 满足

    equation?tex=uv%3D-%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7D

    equation?tex=u%5E3%2Bv%5E3%3D-q ,那么

    equation?tex=t%3Du%2Bv 就是

    equation?tex=t%5E3%2Bpt%2Bq%3D0 的根。

    由第一个方程可得

    equation?tex=v%3D-%5Cfrac%7Bp%7D%7B3u%7D ,代入第二个方程得

    equation?tex=u%5E3-%5Cfrac%7Bp%5E3%7D%7B27u%5E3%7D%2Bq%3D0 .

    两边同时乘以

    equation?tex=u%5E3 可得

    equation?tex=u%5E6%2Bqu%5E3-%5Cfrac%7Bp%5E3%7D%7B27%7D%3D0

    equation?tex=u%5E3 的一元二次方程,由求根公式可得

    equation?tex=u%5E3%3D-%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%5Cpm%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bq%5E2%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7Bp%5E3%7D%7B27%7D%7D%2C+~v%5E3%3D-%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%5Cmp%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bq%5E2%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7Bp%5E3%7D%7B27%7D%7D%5C%5C

    立方根有三个,这里取其中一个

    equation?tex=u%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%2B%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bq%5E2%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7Bp%5E3%7D%7B27%7D%7D%7D%5C%5C

    equation?tex=uv%3D-%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7D 得对应的

    equation?tex=v 可以表示成

    equation?tex=v%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D-%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bq%5E2%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7Bp%5E3%7D%7B27%7D%7D%7D%5C%5C

    得到方程的一个根为

    equation?tex=t_1%3Du%2Bv%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%2B%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bq%5E2%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7Bp%5E3%7D%7B27%7D%7D%7D%2B%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D-%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bq%5E2%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7Bp%5E3%7D%7B27%7D%7D%7D%5C%5C

    equation?tex=%5Comega%3De%5E%7B%5Cfrac%7B2%5Cpi+i%7D%7B3%7D%7D%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2B%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B2%7Di 为单位原根满足

    equation?tex=%5Comega%5E3%3D1%2C~+%5Comega%5Cneq1 (

    equation?tex=%5Comega%5E2%2B%5Comega%2B1%3D0 ),可以得到另外两个根分别为

    equation?tex=t_2%3D%5Comega+u%2B%5Comega+%5E2v%2C~t_3%3D%5Comega%5E2u%2B%5Comega+v .

    注意到

    equation?tex=uv%3D-%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7D

    equation?tex=t%3Du-%5Cfrac%7Bp%7D%7B3u%7D ,因此也可以用下面的替换来推导出求根公式:

    二、韦达替换(Vieta's substitution)

    equation?tex=t%3Dw-%5Cfrac%7Bp%7D%7B3w%7D ,代入可得

    equation?tex=%5Cleft%28w-%5Cfrac%7Bp%7D%7B3w%7D%5Cright%29%5E3%2Bp%5Cleft%28w-%5Cfrac%7Bp%7D%7B3w%7D%5Cright%29%2Bq%3D0%5CLeftrightarrow+w%5E3-%5Cfrac%7Bp%5E3%7D%7B27w%5E3%7D%2Bq%3D0%5C%5C

    注意到

    equation?tex=w%5E6%2Bqw%5E3-%5Cfrac%7Bp%5E3%7D%7B27%7D%3D0

    equation?tex=w%5E3 的一元二次方程,所以

    equation?tex=w%5E3%3D-%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%5Cpm%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bq%5E2%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7Bp%5E3%7D%7B27%7D%7D%5CRightarrow+w%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%5Cpm%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bq%5E2%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7Bp%5E3%7D%7B27%7D%7D%7D%5C%5C

    代回可得

    equation?tex=t%3Dw-%5Cfrac%7Bp%7D%7B3w%7D%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%5Cpm%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bq%5E2%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7Bp%5E3%7D%7B27%7D%7D%7D%2B%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%5Cmp%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bq%5E2%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7Bp%5E3%7D%7B27%7D%7D%7D%5C%5C

    上面两种办法都通过变量替换推导求根公式,经过长期解具体方程总结得出一般规律,比如发现三次方程的根可以表示成两个立方根之和,有了这个根的形式的预判,求根公式就呼之欲出了。再后来Lagrange通过离散傅立叶变换统一求解低次方程,但这方法无法推广到5次方程。

    三、拉格朗日方法(Lagrange's Method)

    对于一般的二次方程, 根可以表示为:

    equation?tex=x_1%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5B%28x_1%2Bx_2%29%2B%28x_1-x_2%29%5D%5C%5C

    equation?tex=x_2%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5B%28x_1%2Bx_2%29-%28x_1-x_2%29%5D%5C%5C

    其中

    equation?tex=x_1%2Bx_2 是根的对称多项式,

    equation?tex=x_1-x_2 虽然本身不是,但平方后也是根的对称多项式,可以用基本对称多项式表出

    equation?tex=%28x_1-x_2%29%5E2%3D%28x_1%2Bx_2%29%5E2-4x_1x_2 . 再根据韦达定理,可以推出求根公式。

    equation?tex=x%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cleft%5Bx_1%2Bx_2%5Cpm%5Csqrt%7B%28x_1-x_2%29%5E2%7D%5Cright%5D%5C%5C

    对于一般的一元三次方程,记

    equation?tex=%5Comega%3De%5E%7B%5Cfrac%7B2%5Cpi+i%7D%7B3%7D%7D ,根可以表示为:

    equation?tex=x_1%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5B%28x_1%2Bx_2%2Bx_3%29%2B%28x_1%2B%5Comega+x_2%2B%5Comega%5E2x_3%29%2B%28x_1%2B%5Comega%5E2x_2%2B%5Comega+x_3%29%5D

    equation?tex=x_2%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5B%28x_1%2Bx_2%2Bx_3%29%2B%5Comega%5E2%28x_1%2B%5Comega+x_2%2B%5Comega%5E2+x_3%29%2B%5Comega%28x_1%2B%5Comega%5E2x_2%2B%5Comega+x_3%29%5D

    equation?tex=x_3%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5B%28x_1%2Bx_2%2Bx_3%29%2B%5Comega%28x_1%2B%5Comega+x_2%2B%5Comega%5E2x_3%29%2B%5Comega%5E2%28x_1%2B%5Comega%5E2+x_2%2B%5Comega+x_3%29%5D

    equation?tex=s_1%3Dx_1%2B%5Comega+x_2%2B%5Comega%5E2+x_3

    equation?tex=s_2%3Dx_1%2B%5Comega%5E2+x_2%2B%5Comega+x_3 本身不是对称多项式,但两者立方后得到

    equation?tex=s_1%5E3%3Dx_1%5E3%2Bx_2%5E3%2Bx_3%5E3%2B3%5Comega%28x_1%5E2x_2%2Bx_2%5E2x_3%2Bx_3%5E2x_1%29%2B3%5Comega%5E2%28x_1x_2%5E2%2Bx_2x_3%5E3%2Bx_3x_1%5E2%29%2B6x_1x_2x_3

    equation?tex=s_2%5E3%3Dx_1%5E3%2Bx_2%5E3%2Bx_3%5E3%2B3%5Comega%5E2%28x_1%5E2x_2%2Bx_2%5E2x_3%2Bx_3%5E2x_1%29%2B3%5Comega%28x_1x_2%5E2%2Bx_2x_3%5E3%2Bx_3x_1%5E2%29%2B6x_1x_2x_3

    然后两者相加可得立方和

    equation?tex=s_1%5E3%2Bs_2%5E3+%3D2%28x_1%5E3%2Bx_2%5E3%2Bx_3%5E3%29-3%28x_1%5E2+x_2%2B+x_1x_2%5E2%2Bx_2%5E2x_3%2Bx_2x_3%5E2%2Bx_3%5E2x_1%2Bx_3x_1%5E2%29%2B12x_1x_2x_3

    是根的对称多项式,乘积

    equation?tex=s_1s_2%3Dx_1%5E2%2Bx_2%5E2%2Bx_3%5E2-%28x_1x_2%2Bx_2x_3%2Bx_3x_1%29

    是根的对称多项式,乘积的立方

    equation?tex=s_1%5E3s_2%5E3%3D%28s_1s_2%29%5E3 也是根的对称多项式。

    对于一般的一元三次方程

    equation?tex=ax%5E3%2Bbx%5E2%2Bcx%2Bd%3D0%2C~a%5Cneq+0

    对称多项式

    equation?tex=s_1%5E3%2Bs_2%5E3

    equation?tex=s_1%5E3s_2%5E3 可以由基本对称多项式

    equation?tex=%5Csigma_1%3Dx_1%2Bx_2%2Bx_3%3D-%5Cfrac%7Bb%7D%7Ba%7D

    equation?tex=%5Csigma_2%3Dx_1x_2%2Bx_2x_3%2Bx_3x_1%3D%5Cfrac%7Bc%7D%7Ba%7D

    equation?tex=%5Csigma_3%3Dx_1x_2x_3%3D-%5Cfrac%7Bd%7D%7Ba%7D

    多项式表出,因此是方程系数的多项式。

    也就是存在多项式

    equation?tex=P

    equation?tex=Q 使得

    equation?tex=s_1%5E3%2Bs_2%5E3%3DP%28a%2Cb%2Cc%2Cd%29

    equation?tex=s_1%5E3s_2%5E3%3DQ%28a%2Cb%2Cc%2Cd%29 . 容易看出

    equation?tex=s_1%5E3

    equation?tex=s_2%5E3 是一元二次方程

    equation?tex=z%5E2-Pz%2BQ%3D0 (预解式)的两根,可以用二次方程求根公式得到,再代回下列三式就可以得到三次方程的三个根:

    equation?tex=x_1%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cleft%5Bx_1%2Bx_2%2Bx_3%2B%5Csqrt%5B3%5D%7B%28x_1%2B%5Comega+x_2%2B%5Comega%5E2x_3%29%5E3%7D%2B%5Csqrt%5B3%5D%7B%28x_1%2B%5Comega+x_2%2B%5Comega%5E2x_3%29%5E3%7D%5Cright%5D

    equation?tex=x_2%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cleft%5Bx_1%2Bx_2%2Bx_3%2B%5Comega%5Csqrt%5B3%5D%7B%28x_1%2B%5Comega+x_2%2B%5Comega%5E2x_3%29%5E3%7D%2B%5Comega%5E2%5Csqrt%5B3%5D%7B%28x_1%2B%5Comega+x_2%2B%5Comega%5E2x_3%29%5E3%7D%5Cright%5D

    equation?tex=x_3%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cleft%5Bx_1%2Bx_2%2Bx_3%2B%5Comega%5E2%5Csqrt%5B3%5D%7B%28x_1%2B%5Comega+x_2%2B%5Comega%5E2x_3%29%5E3%7D%2B%5Comega%5Csqrt%5B3%5D%7B%28x_1%2B%5Comega+x_2%2B%5Comega%5E2x_3%29%5E3%7D%5Cright%5D

    对于约简后的一元三次方程

    equation?tex=t%5E3%2Bpt%2Bq%3D0 ,和Cardano和Vieta方法殊途同归,得到相同的求根公式。

    equation?tex=t_1%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%2B%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bq%5E2%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7Bp%5E3%7D%7B27%7D%7D%7D%2B%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D-%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bq%5E2%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7Bp%5E3%7D%7B27%7D%7D%7D

    equation?tex=t_2%3D%5Comega%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%2B%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bq%5E2%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7Bp%5E3%7D%7B27%7D%7D%7D%2B%5Comega%5E2%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D-%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bq%5E2%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7Bp%5E3%7D%7B27%7D%7D%7D

    equation?tex=t_3%3D%5Comega%5E2%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%2B%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bq%5E2%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7Bp%5E3%7D%7B27%7D%7D%7D%2B%5Comega%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D-%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bq%5E2%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7Bp%5E3%7D%7B27%7D%7D%7D

    equation?tex=p%2C~q 都用根表示代进去化简,可以得到平方根下的表达式为

    equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D+%26%5Cfrac%7Bq%5E2%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7Bp%5E3%7D%7B27%7D+%3D%5Cfrac%7Bt_1%5E2t_2%5E2t_3%5E2%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7B%28t_1t_2%2Bt_2t_3%2Bt_3t_1%29%5E3%7D%7B27%7D%5C%5C+%3D%26%5Cfrac%7Bt_1%5E2t_2%5E2%28t_1%2Bt_2%29%5E2%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7B%5Bt_1t_2-%28t_1%2Bt_2%29%5E2%5D%5E3%7D%7B27%7D%5C%5C+%3D%26%5Cfrac%7B4t_1%5E3t_2%5E3%2B15t_1%5E2t_2%5E2%28t_1%2Bt_2%29%5E2%2B12+t_1+t_2%28t_1%2Bt_2%29%5E4-4%28t_1%2Bt_2%29%5E6%7D%7B108%7D+%5Cend%7Balign%7D

    equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D+%5CDelta%3D%26%28t_1-t_2%29%5E2%28t_2-t_3%29%5E2%28t_3-t_1%29%5E2%3D%28t_1-t_2%29%5E2%282t_2%2Bt_1%29%5E2%282t_1%2Bt_2%29%5E2%5C%5C+%3D%26%5B%28t_1%2Bt_2%29%5E2-4t_1t_2%5D%5B2%28t_1%2Bt_2%29%5E2%2Bt_1t_2%5D%5E2%5C%5C+%3D%26%5B%28t_1%2Bt_2%29%5E2-4t_1t_2%5D%5B4%28t_1%2Bt_2%29%5E4%2B4t_1t_2%28t_1%2Bt_2%29%5E2%2Bt_1%5E2t_2%5E2%5D%5C%5C+%3D%264%28t_1%2Bt_2%29%5E6-12t_1t_2%28t_1%2Bt_2%29%5E4-15t_1%5E2t_2%5E2%28t_1%2Bt_2%29%5E2-4t_1%5E3t_2%5E3+%5Cend%7Balign%7D

    展开后刚好是

    equation?tex=%5Cfrac%7Bq%5E2%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7Bp%5E3%7D%7B27%7D 的分子的相反数,也就是

    equation?tex=%5CDelta%3D-%284p%5E3%2B27q%5E2%29 ,称之为方程的判别式,可以用来判断方程是否有重根。

    如果

    equation?tex=%5CDelta%3D0

    equation?tex=4p%5E3%2B27q%5E2%3D0 ,非实的复根一定成对出现,所以只可能是实根是重根,剩下一个根也不可能是非实的复根,所以三个根都是实根;最特殊的情况是1个三重实根(

    equation?tex=p%3Dq%3D0 )。

    如果

    equation?tex=%5CDelta%3C0

    equation?tex=4p%5E3%2B27q%5E2%3E0 ,一定是只有1个实根,两个非实的共轭复根;

    如果

    equation?tex=%5CDelta%3E0

    equation?tex=4p%5E3%2B27q%5E2%3C0 ,一定是3个不同实根。

    对于一般的三次方程

    equation?tex=ax%5E3%2Bbx%5E2%2Bcx%2Bd%3D0 ,判别式

    equation?tex=%5CDelta%3Da%5E4%28x_1-x_2%29%5E2%28x_2-x_3%29%5E2%28x_3-x_1%29%5E2%3D18abcd%2Bb%5E2c%5E2-27a%5E2d%5E2-4ac%5E3-4b%5E3d

    四、三角解法 (Trigonometric Method) 和几何意义

    如果实系数方程

    equation?tex=t%5E3%2Bpt%2Bq%3D0 有三个不同的实根 (

    equation?tex=%5CDelta%3E0%2C~4p%5E3%2B27q%5E2%3D-%5CDelta%3C0 ,一定有

    equation?tex=p%3C0 ),用求根公式表示出来会有虚数

    equation?tex=%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bp%5E2%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7Bq%5E3%7D%7B27%7D%7D%3D%5Csqrt%7B-%5Cfrac%7B%5CDelta%7D%7B108%7D%7D%3D%5Cfrac%7Bi%5Csqrt%7B3%5CDelta%7D%7D%7B18%7D%5C%5C

    但如果用三角函数表示出来,不仅可以避免复数,还可以看出三个根的分布。

    为了利用三倍角公式

    equation?tex=%5Ccos+3%5Ctheta%3D4%5Ccos%5E3%5Ctheta-3%5Ccos%5Ctheta ,待定系数可设

    equation?tex=t%3Du%5Ccos%5Ctheta

    代入可得

    equation?tex=u%5E3%5Ccos%5E3%5Ctheta%2Bpu%5Ccos%5Ctheta%2Bq%3D0

    只需要满足系数成比例,也就是

    equation?tex=%5Cfrac%7Bu%5E3%7D%7Bpu%7D%3D%5Cfrac%7B4%7D%7B-3%7D ,解得

    equation?tex=u%3D2%5Csqrt%7B-%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7D%7D%3E0 .

    原方程变为

    equation?tex=%5Ccos3%5Ctheta%3D4%5Ccos%5E3%5Ctheta-3%5Ccos%5Ctheta%3D%5Cfrac%7B3q%7D%7B2p%7D%5Csqrt%7B-%5Cfrac%7B3%7D%7Bp%7D%7D .

    equation?tex=%5Ctheta_k%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Carccos%5Cleft%28%5Cfrac%7B3q%7D%7B2p%7D%5Csqrt%7B-%5Cfrac%7B3%7D%7Bp%7D%7D%5Cright%29-%5Cfrac%7B2k%5Cpi%7D%7B3%7D%2C~k%3D0%2C1%2C2 .

    当然也可以取为

    equation?tex=%5Coverline%7B%5Ctheta_k%7D%3D-%5Ctheta_k%2C+~k%3D0%2C1%2C2.

    equation?tex=t_k%3D2%5Csqrt%7B-%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7D%7D%5Ccos%5Ctheta_k%2C+~k%3D0%2C1%2C2.

    圆心在y轴上任意一点,半径为

    equation?tex=r%3D2%5Csqrt%7B-%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7D%7D 的圆上,三个点分别对应

    equation?tex=%5Ctheta_k%2C~k%3D0%2C1%2C2 ,三个根是这三个点在横轴上的投影。对于一般情形圆心需要平移

    equation?tex=-%5Cfrac%7Bb%7D%7B3a%7D ,刚好在三次函数

    equation?tex=y%3Dax%5E3%2Bbx%5E2%2Bcx%2Bd 图像的拐点处。

    方程有3个不同的实的单根,对应函数图像与横轴的3个交点(均斜穿过横轴);函数图像有2个转折点(turning points),对应一个局部最大和一个局部最小。

    五、三次函数的图像

    三次函数

    equation?tex=f%28x%29%3Dax%5E3%2Bbx%5E2%2Bcx%2Bd 转折点的数量取决于其导函数

    equation?tex=f%27%28x%29%3D3ax%5E2%2B2bx%2Bc 的判别式

    equation?tex=4b%5E2-12ac .

    或者通过水平方向的平移消掉二次项和竖直方向上的拉伸压缩(或者还需要沿横轴的反射)把首项系数变为1,可以得到

    equation?tex=f%28x%29%3Dx%5E3%2Bpx%2Bq

    equation?tex=f%27%28x%29%3D3x%5E2%2Bp ,判别式是

    equation?tex=-12p ,事实上,我们有

    equation?tex=p%3D%5Cfrac%7B3ac-b%5E2%7D%7B3a%5E2%7D .

    可以看出如果

    equation?tex=b%5E2-3ac%3E0+~%28p%3C0%29 那么函数图像一定有两个转折点(局部最大和局部最小);

    equation?tex=b%5E2-3ac%3D0 则会有一个不是转折点的临界点;

    equation?tex=b%5E2-3ac%3C0 则没有临界点(没有水平切线)。

    下面不妨记

    equation?tex=%5CDelta%3E0 为情形(1),这种情形一定有

    equation?tex=b%5E2-3ac%3E0~%284p%5E3%2B27q%5E2%3C0%5CRightarrow+p%3C0%29 ,

    e.g.

    equation?tex=y%3D%28x%2B1%29%28x%2B2%29%28x-3%29%3Dx%5E3-7x-6 .

    equation?tex=%5CDelta%3C0 时,有一个实根和一对非实的共轭复根,对应函数图像与x轴的1个交点(斜穿过横轴);根据转折点的数量又分为三种情形

    情形(2):

    equation?tex=b%5E2-3ac%3E0~%284p%5E3%2B27q%5E2%3E0+~%5C%26+~p%3C0%29

    2个转折点,对应一个局部最大和一个局部最小,

    e.g.

    equation?tex=y%3D%28x-2%29%28x%5E2%2B2x%2B3%29%3Dx%5E3-x-6

    情形(3):

    equation?tex=b%5E2-3ac%3D0~%284p%5E3%2B27q%5E2%3E0~%5C%26+~p%3D0%29

    1个非转折点的临界点,函数在定义域

    equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D 上单调,e.g.

    equation?tex=y%3D%28x%2B1%29%28x%5E2-x%2B1%29%3Dx%5E3%2B1

    equation?tex=y%3D%28x-1%29%28x%5E2%2Bx%2B1%29%3Dx%5E3-1 .

    情形(4):

    equation?tex=b%5E2-3ac%3C0~%284p%5E3%2B27q%5E2%3E0~%5C%26~p%3E0%29

    0个临界点,函数在定义域

    equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D 上单调,e.g.

    equation?tex=y%3Dx%28x%5E2%2B1%29%3Dx%5E3%2Bx .

    equation?tex=%5CDelta%3D0 时,又对应两种情况:

    情形(5):

    equation?tex=b%5E2-3ac%3E0~%284p%5E3%2B27q%5E2%3D0+~%5C%26+~p%3C0%29

    1个二重实根和1个实单根,函数图像在二重根处与横轴相切不穿过,在单根处斜穿过,一定有两个转折点,对应一个局部最大和一个局部最小,e.g.

    equation?tex=y%3D%28x-1%29%5E2%28x%2B2%29%3Dx%5E3-3x%2B2 .

    情形(6):

    equation?tex=b%5E2-3ac%3D0~%284p%5E3%2B27q%5E2%3D0+~%5C%26+~p%3D0%29

    1个三重实根,函数图像在三重实根处与x轴相切穿过,没有转折点,函数在定义域

    equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D 上单调,e.g.

    equation?tex=y%3Dx%5E3 .

    展开全文
  • 因此基于此,有一些特殊的方法可以快速计算三阶实对称矩阵的特征值和特征向量。 一. 猜法计算特征值 特征值之和等于矩阵的对角线元素之和 特征值之积等于矩阵的行列式 假设矩阵的特征值都是整数 ...

    众所周知,实对称矩阵一定可以相似对角化。而考试中考察的三阶实对称矩阵对角化基本都是三阶的。而且正常情况下特征根一定是整数。因此基于此,有一些特殊的方法可以快速计算三阶实对称矩阵的特征值和特征向量。

     

    一. 猜根法计算特征值

    1. 特征值之和等于矩阵的对角线元素之和

    2. 特征值之积等于矩阵的行列式

    3. 假设矩阵的特征值都是整数

     

    例题1

    在假设特征值为整数的情况下,特征值之积为5,特征值之和为3,那么特征值只可能为5,-1 ,-1 因此直接选出答案。

     

    注意:有经验的命题人会把矩阵的行列式的值弄成一个合数。这样就不会一下子被看出来。

     

     

     

    二. 秩一矩阵的应用

    秩一矩阵是指秩为一的矩阵,由于其特殊性,常常在考试中出现

    设A是秩为1的n阶方阵, 则

    1. A可表示为αβ^T, 其中α,β为n维列向量

    2. A^k = (α^Tβ)^(k-1)A

    3. tr(A)=α^Tβ

    4. A的特征值为 α^Tβ,0,0,...,0

    5. 秩一矩阵一定可以对角化,其中一个特征向量是α

     

    注意:秩一矩阵的直观快速判断法是矩阵为一行都相等或成比例。

     

    定理一:

    如果一个矩阵A可以分解为一个秩一矩阵B加上一个常数c乘上单位矩阵,那么这个矩阵A的特征值就是tr(B)+c, c, ..., c。这个矩阵的特征向量和B的特征向量相同。

    定理二:

    如果一个三阶实对称矩阵具有一个二重特征根,那么一定可以分解为一个秩一矩阵B加上一个常数c乘上单位矩阵

    证明: 设这个二重特征根为c,很容易证明R(A-cE) = 1, 令A= A-cE + cE即可。

     

     

    例题2

    ​求下列矩阵A的特征值和特征向量

    ​​

    A = 2*B - E,其中B为全1矩阵,E为单位矩阵, 显然A的特征值就是5,-1,-1

     

    对于矩阵B来说,很容易看出一个特征向量(1,1,1)^T, 另外两个特征向量分别是(1,-1,0)^T

    以及(1,0,-1)^T, 秩一矩阵对应的特征向量是很好求的。如果要求正交矩阵。可以借助向量外积公式来计算。

     

    容易看出,当矩阵能分解为全一矩阵的倍数加上一个常数乘上一个单位阵时,这种情况是最简单。一眼就能看出来怎么分解。

    对于一般的例子,很难直接看出怎么分解。解决的办法是先猜/算出特征根,然后再根据算出的二重根分解。

     

     

    实战演练

    很容易计算出来,tr(A)=1, det(A)=-12, 很容易猜出特征根,-3,2,2,计算

    A-2E,很容易看出秩一矩阵,证明计算正确。

    -3对应的特征向量是(-1,0,2)

    2对应的特征向量是(2, 0, 1) 以及(0,1,0) (快速口算)

    使用向量外积计算(-1,0, 2) X (0, 1, 0 )

    写出正交矩阵

     

    期望这个矩阵出现成比例的情况

    所以提出一个E来,矩阵写成 A=B+E,立刻看出矩阵成比例,

     

     

     

    期望成比例。

    展开全文
  • R语言之多重共线性的判别以及解决方法

    万次阅读 多人点赞 2017-11-07 17:53:05
    多重共线性(Multicollinearity)是指线性回归模型中的解释变量之间由于存在精确...(完全的线性表示,此方法不能作为判别是否有共线性的标准,因为有可能存在共线性但不是完全线性相关) 2.也可以计算条件数kapp
    多重共线性(Multicollinearity)是指线性回归模型中的解释变量之间由于存在精确相关关系或高度相关关系而使模型估计失真或难以估计准确。
     
    1.可以计算X矩阵的秩qr(X)$rank,如果不是满秩的,说明其中有Xi可以用其他的X的线性组合表示;( 完全的线性表示,此方法不能作为判别是否有共线性的标准,因为有可能存在共线性但不是完全线性相关
    2.也可以计算条件数kappa(X),k<100,说明共线性程度小;如果100<k<1000,则存在较多的多重共线性;若k>1000,存在严重的多重共线性。
    例如:
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
    9
    10
    11
    12
    13
    14
    15
    16
    collinear<- data.frame (
        Y= c (10.006, 9.737, 15.087, 8.422, 8.625, 16.289,
             5.958, 9.313, 12.960, 5.541, 8.756, 10.937),
        X1= rep ( c (8, 0, 2, 0),  c (3, 3, 3, 3)),
        X2= rep ( c (1, 0, 7, 0),  c (3, 3, 3, 3)),
        X3= rep ( c (1, 9, 0),  c (3, 3, 6)),
        X4= rep ( c (1, 0, 1, 10),  c (1, 2, 6, 3)),
        X5= c (0.541, 0.130, 2.116, -2.397, -0.046, 0.365,
             1.996, 0.228, 1.38, -0.798, 0.257, 0.440),
        X6= c (-0.099, 0.070, 0.115, 0.252, 0.017, 1.504,
             -0.865, -0.055, 0.502, -0.399, 0.101, 0.432)
    )
    XX<- cor (collinear[2:7])
    kappa (XX,exact= TRUE #exact=TRUE表示精确计算条件数;
    [1] 2195.908     #大于1000,有严重的多重共线性
    # eigen(XX)

    处理时可以进行逐步回归,用step()命令,比如你一开始的模型是fm=lm(),step(fm)选择最小AIC信息统计量就可以了。这种方法是排除引起共线性的变量,是解决多重共线性的比较常用方法!

    3.可以使用方差膨胀因子(VIF)
    1
    2
    library (car)
    vif (lm.sol)

    得到各个系数的方差膨胀因子,一般认为,当0<VIF<10,不存在多重共线性(注意:在《R语言实战》第2版P182中认为VIF>4就存在多重共线性);当10≤VIF<100,存在较强的多重共线性,当VIF>=100,多重共线性非常严重。判断多重共线性的比较常用方法! 

    展开全文
  • 轨迹的分离(会合)点求解方法实轴上的分离(会合)角6.轨迹的出射角和入射角 轨迹的基本概念 定义 当系统中某参数连续变化时,闭环系统的特征(闭环极点)在s平面上移动的轨迹。 根据上述两个条件,可以...
  • 控制系统的轨迹分析

    千次阅读 2021-04-22 03:23:11
    一、轨迹分析方法的概念所谓轨迹是指,当开环系统某一参数从零变到无穷大时,闭环系统特征方程的在s平面上的轨迹。一般来说,这一参数选作开环系统的增益K,而在无零极点对消时,闭环系统特征方程的就是闭环...
  • 多元线性回归是我们在数据分析中经常用到的一个方法,很多人在遇到多维数据时基本上无脑使用该方法,而在用多元线性回归之后所得到的结果又并不总是完美的,其问题实际上并不出在方法上,而是出在数据...
  • 【自控原理】第四章 轨迹法

    万次阅读 多人点赞 2020-05-10 17:37:43
    文章目录A 轨迹法的基本概念B 轨迹方程C 绘制轨迹的法则C.a 轨迹法则介绍C.b 轨迹法则(常规轨迹)D 利用轨迹分析系统的方法 引言 闭环控制系统的稳定性和性能指标主要由闭环系统的极点在复数平面上的...
  • 机房承重标准及承重计算方法

    万次阅读 2017-10-13 00:00:00
    所以机房要有较高的承重能力,满足设备的承重要求,但现在很多建筑并非为机房所建,其承重达不到机房要求,所以在建设机房之前就要考虑到承重问题,下面详解机房的承重标准,以及机房承重计算内容及计算方法。...
  • (简易)一元三次方程拆分/求根方法

    千次阅读 多人点赞 2020-01-26 17:22:12
    (简易)一元三次方程拆分/求根方法 例:x3+7x2+14x+8=0x^3+7x^2+14x+8=0x3+7x2+14x+8=0 式中常数8的因子有[1,2,4,8] 为了让因子之和或差等于二次项的系数.故舍弃8.故根为拆分出的因子的相反数. x1=−1,x2=−2,x3=−4x_...
  • 以下介绍方法单独使用时...(因为一开始没人知道的邻近区间是哪里) 一、 二分法 二、 不动点迭代法 三、牛顿迭代法 牛顿迭代法的实际应用: 四、弦截法 ...
  • Matlab 数值计算迭代求根方法总结

    千次阅读 2019-03-22 14:11:30
    可通过收敛阶的速度判断是否存在重根。被0除错误;循环缺陷。 算法间的区别: 方法1,2,3,5都是较精确求得解的方法方法4仅求近似解,确定解的位置,再将解代入方法2,3,5求得精确解。 注:1. 代码用...
  • 文章目录1 轨迹法基础知识什么是轨迹轨迹有什么用什么是轨迹法2 轨迹图幅值和幅角条件手绘轨迹图经验和特性3 用MATLAB绘制轨迹画一个简单的轨迹图指定K的取值范围绘制轨迹绘制极网格轨迹法的...
  • 多重共线性的诊断与对策

    千次阅读 2020-02-18 01:14:37
    但这种方法只能对共线性作初步的判断,并不全面。 【1】容忍度(Tolerance):有 Norusis 提出,即以每个自变量作为应变量对其他自变量进行回归分析时得到的残差比例,大小用1减决定系数来表示。该指标越小,则说明该...
  • 判断因果性.PPT

    千次阅读 2020-12-19 04:49:38
    判断因果性10.7离散时间系统系统函数与Z域分析 一.单位样值响应与系统函数 1.由零极点分布确定单位样值响应 由零极点分布确定单位样值响应(续) 利用z~s平面的映射关系 10.8 系统函数的方框图表示 在第二章已经...
  • 自动控制原理->轨迹

    万次阅读 多人点赞 2020-11-15 20:48:59
    轨迹习题自测轨迹基本概念判断轨迹的绘制方法判断题计算题轨迹轨迹的基本概念轨迹方程和约束条件轨迹的绘制方法根轨迹的分支数(开环极点个数)轨迹的对称性轨迹的起点(开环极点)轨迹的终点...
  • 实验三 求代数方程的近似(解)求代数方程的是最常见的数学问题之一(这里称为代数方程,主要是想和后面的微分方程区别开.为简明起见,在本实验的以下叙述中,把代数方程简称为方程),当是一次多项式时,称为线性...
  • LTI系统判断因果性稳定性.PPT

    千次阅读 2020-12-19 04:49:58
    LTI系统判断因果性稳定性10.7离散时间系统系统函数与Z域分析 一.单位样值响应与系统函数 1.由零极点分布确定单位样值响应 由零极点分布确定单位样值响应(续) 利用z~s平面的映射关系 10.8 系统函数的方框图表示 在...
  • FreeMarker中if标签内的判断条件

    千次阅读 2020-12-19 07:43:15
    reeMarker中的标签除了里面直接判断 boolean 类型的变量外,也可以进行表达式判断,有几个细节记录一下1. 判断对象是否存在(null)经常会用到,如果对象 != null 则xxxx,在freemarker中表达比较奇怪,例如判断 ...
  • 收音机磁性天线的使用和绕制方法

    千次阅读 2020-12-21 08:45:15
    收音机磁性天线的使用和绕制方法来源:ducuimei作者:华仔浏览:5274时间:2016-08-10 14:18标签:摘要:收音机磁性天线的使用和绕制方法磁性天线是用来接收电磁波的。它是由一个铁氧体磁棒和线围绕组组成,对电磁波...
  • 综合评价方法

    千次阅读 2021-07-12 11:24:16
    问题与方法2. 综合评价模型2.1. 术语2.2. 综合评价方法分类2.3. 综合评价基本概念2.4. 评价指标2.4.1. 评价指标的选取2.4.2. 确定各评价指标的权值2.4.3. 综合评价模型2.5. 指标预处理2.5.1. 指标一致化处理2.5.2. ...
  • 行人识别(ReID) ——技术实现及应用场景

    万次阅读 多人点赞 2018-11-01 13:20:55
    主要是研究人在单个摄像头里行进的轨迹,每个人后面拖了一线,这线表示这个人在摄像头里行进的轨迹,和 ReID 技术结合在一起可以形成跨镜头的细粒度的轨迹跟踪。 动作识别。动作识别是基于视频的内容理解做的...
  • 直接得出: 根据数组建立平衡二叉搜索树 java整体打印二叉树 判断平衡二叉树 判断完全二叉树 判断二叉搜索树 二叉搜索树实现 堆的简单实现 堆应用例题三连 一个数据流中,随时可以取得中位数。 金条 项目最大收益...
  • 慢SQL!压垮团队的最后一稻草!

    万次阅读 多人点赞 2018-05-21 11:15:58
    测试的同学基本无法帮忙 check 缺陷,只能靠程序的表现来判断。 六、架构升级 1、SQL SQL 慢没关系,它稳定啊,慢就把机器垂直扩展一下好啦,加cpu,加内存,换SSD,加加加绝对可以解决事情的。 SQL 有...
  • java基础 --- 求一元二次方程的(分情况讨论)

    万次阅读 多人点赞 2018-09-15 22:15:33
    01. 目的 求一元二次方程 ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 的根,分...由代数基本定理,一元二次方程有且仅有两个根(重根按重数计算):x=−b±b2−4ac−−−−−−−√2ax=−b±b2−4ac2a x = \dfrac{-b \pm \...
  • } 五、网络请求 1数据请求 语法: uni.request()方法,基本使用参数同微信小程序中wx.request()方法 注意事项: 小程序端: 不存在跨域问题,注意配置域名白名单和校验ssl证书问题 app端: 不存在跨域问题,注意...
  • 数学四大思想方法

    千次阅读 2021-01-17 13:46:43
    数学思想方法数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识,数学方法是数学思想的具体化形式,实际上两者的本质是相同的,差别只是站在不同的角度看问题。通常混称为“数学思想方法”。数学四大思想:函数与方程、...
  • Fragment 视图绘问题

    千次阅读 2016-04-26 22:45:08
    android 中在使用到Tab和ViewPager+Fragment的时候,切换tab会导致view绘,这样用户体验极差,每次都要重新加载页面,有个办法就是判断根View,根据rootView的状态来判断是否重新加载View @Nullable @...

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5 ... 20
收藏数 89,923
精华内容 35,969
热门标签
关键字:

判断重根的方法