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  • 利普希茨连续(Lipschitz continuous) 利普希茨连续的定义是:如果函数f ff在区间Q QQ上以常数L LL利普希茨连续,那么对于x , y ∈ Q x, y \in Qx,y∈Q,有:∣ ∣ f ( x ) − f ( y ) ∣ ∣ ≤ L ∣ ∣ x − y ∣...
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  • x2x_2x2​ dY(f(x1),f(x2))≤KdX(x1,x2) d_Y(f(x_1),f(x_2))\le Kd_X(x_1,x_2) dY​(f(x1​),f(x2​))≤KdX​(x1​,x2​) 那么被称为利普希茨连续的函数 f:X→Yf:X\rightarrow Yf:X→Y 任何这样的 KKK 被称为函数 ...

    定义

    给出两个 metric spaces (X,dX)(X,d_X)(Y,dY)(Y,d_Y),其中 dXd_X代表 XX 的 metric,dYd_Y 代表 YY 的 metric,如果存在一个实数 K0K\ge0,对于 XX 所有的 x1x_1x2x_2
    dY(f(x1),f(x2))KdX(x1,x2) d_Y(f(x_1),f(x_2))\le Kd_X(x_1,x_2)

    那么被称为利普希茨连续的函数 f:XYf:X\rightarrow Y

    任何这样的 KK 被称为函数 ff利普希茨常数(Lipschitz constant)

    Lipschitz连续,要求函数图像的曲线上任意两点连线的斜率一致有界,就是任意的斜率都小于同一个常数,这个常数就是Lipschitz常数。

    即,Lipschitz连续比一致连续要强。它限制了函数的局部变动幅度不能超过某常量。

    1. 从局部看:我们可以取两个充分接近的点,如果这个时候斜率的极限存在的话,这个斜率的极限就是这个点的导数。也就是说函数可导,又是Lipschitz连续,那么导数有界。反过来,如果可导函数,导数有界,可以推出函数Lipschitz连续。
    2. 从整体看:Lipschitz连续要求函数在无限的区间上不能有超过线性的增长,所以这些函数在无限区间上不是Lipschitz连续的。

    特别地,如果存在一个正实数 K,对于所有的实数 x1x_1x2:x_2:
    f(x1)f(x2)Kx1x2 |f(x_1)-f(x_2)|\le K|x_1-x_2|

    这个个实值函数 f:RRf:R\rightarrow R 被称为利普希茨连续

    在这个 case 中,Y 是 R 上的实数,有 the standard metric, dY(y1,y2)=y1y2d_Y(y_1,y_2)=|y_1-y_2|, X 是 R 的子集。

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  • 参考链接: https://www.zhihu.com/question/51809602 https://zhuanlan.zhihu.com/p/27554191 ... 目录 ...岛屿:不连续 一般陆地:连续 丘陵:李普希兹连续 悬崖:非李普希兹连续 ...想了半天用什么来表达亚连续(se.

    参考链接:

    https://www.zhihu.com/question/51809602

    https://zhuanlan.zhihu.com/p/27554191

    https://blog.csdn.net/FrankieHello/article/details/105739610

    目录

    通俗解释

    定义

    ​​ 直观解释


    通俗解释

    以陆地为例。
    岛屿:不连续
    一般陆地:连续
    丘陵:李普希兹连续
    悬崖:非李普希兹连续
    山包:可导
    平原:线性
    半岛:非凸

    想了半天用什么来表达亚连续(semi-continuity),好像只能用瀑布了

    稍微具体点的话,李普希兹连续就是说,一块地不仅没有河流什么的玩意儿阻隔,而且这块地上没有特别陡的坡。其中最陡的地方有多陡呢?这就是所谓的李普希兹常数。
    悬崖的出现导致最陡的地方有“无穷陡”,所以不是李普希兹连续。

    定义

    Lipschitz连续,要求函数图像的曲线上任意两点连线的斜率一致有界,就是任意的斜率都小于同一个常数,这个常数就是Lipschitz常数。

    • 从局部看:我们可以取两个充分接近的点,如果这个时候斜率的极限存在的话,这个斜率的极限就是这个点的导数。也就是说函数可导,又是Lipschitz连续,那么导数有界。反过来,如果可导函数,导数有界,可以推出函数Lipschitz连续。
    • 从整体看:Lipschitz连续要求函数在无限的区间上不能有超过线性的增长,所以这些x^{2}e^{2}函数在无限区间上不是Lipschitz连续的。

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    其中常数L 称为f 在区间Q 上的Lipschitz常数

    除了Lipschitz continuous之外,Lipschitz continuous gradient 和 Lipschitz continuous Hessian也是常用到的概念,它们都是由Lipschitz continuous概念延伸出来的。值得一提的是,很多论文中,尤其是关于凸优化的问题,Lipschitz continuous gradient的应用更为常见。

     直观解释

    Lipschitz continuous: 函数被一次函数上下夹逼

    Lipschitz continuous gradient :函数被二次函数上下夹逼

    Lipschitz continuous Hessian :函数被三次函数上下夹逼

    在我看来,Lipschitz continuous 用在函数值上是为了不让函数值变化的太快;用在导函数上,是为了不让导函数变化的太快;用在Hessian上,是为了让Hessian不变化的太快。但他们都导致了一个很有意思的结果:这个Lipschitz continuous不管用在什么上,都使的函数被多项式上下夹逼,一方面便于我们处理,另一方面至少我们能控制一下函数的包络信息。



     

     

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  • Lipschitz continuity (利普希茨连续

    千次阅读 2019-06-14 14:18:00
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    Lipschitz continuity利普希茨连续

    DEFINITION 1. AA function ff from SRnS \subset \mathbb{R}^{n} into Rm\mathbb{R}^{m} is Lipschitz continuous at xSx \in S if there is a
    constant CC such that
    f(y)f(x)Cyx \|f(y)-f(x)\| \leq C\|y-x\|
    for all ySy \in S sufficiently near xx .

    更多请参见wiki

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  • Lipschitz(利普希茨连续

    千次阅读 2018-03-18 20:44:36
    感谢博主,链接:http://blog.csdn.net/victoriaw/article/details/58006629
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空空如也

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利普希茨连续