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  • Matlab中利用二分法求方程的根

    千次阅读 2019-07-21 17:55:49
    最近开始学习了Matlab,花了几天时间在B站上看完了GYF老师讲Matlab,感觉讲挺不错,英文PPT,还能同时学习英语,嘿嘿嘿~~紧接着,就是做一些基础编程题啦,下面是根据老师讲,用二分法实现方程根的求解。...

    最近开始学习了Matlab,花了几天时间在B站上看完了GYF老师讲的Matlab,感觉讲的挺不错,英文PPT,还能同时学习英语,嘿嘿嘿~~紧接着,就是做一些基础编程题啦,下面是根据老师讲的,用二分法实现方程根的求解。
    ⑧说了,开冲~!!!
    下图是我的思路,用的while循环
    在这里插入图片描述
    代码如下,

    clear;
    clc;
    syms U L;    %将区间上下限定为变量
    f=@(x) sin(x)+x+1;    %求给定的函数,可以直接在本行中修改后面代码为其他函数
    U=input('输入求根区域上限upper,U=');    
    L=input('输入求根区域下限lower,L=');
    while U-L>0.000001    %设定一个求根区域精度,然后进行判断
        root=(U+L)/2;    %当根的区间大于所给精度时,利用二分法重新规划求根区间
        if f(root)==0    
            break;    %r恰好为所求根,直接跳出循环
        end
        if f(root)*f(U)<0    %用零点存在定理判断根所在的区域
            L=root;
        else
            U=root;
        end
    end
    root    %直接输出所求根的值
    

    运行后,
    在这里插入图片描述
    这个用的当型循环,直到型循环思路还是挺相近的。
    还有一种“牛顿迭代法”求根,下次再写,hhh~
    新手第一次写博客,尝尝鲜,哈哈~
    大佬们写难的,咱就先从最简单的开始写,冲就完事了~~

    展开全文
  • matlab求方程的根,注释很详细,同时利用了递归的思想,对于理解二分法原理非常有用。
  • 15-二分法求方程的根

    2019-02-24 21:44:43
    现在来看一个利用二分查找来求解方程的根的问题。 1、问题描述 下面方程的一个根:f(x) = x3-5x2+10x-80 = 0 若出的根是a,则要求|f(a)| &amp;lt;= 10-6 2、问题分析 解法:对f(x)求导,得f’(x)=3x2-10x+10...

    二分查找的思想就是每次将区间变成原来的一半,不断的将区间缩小,来逼近最后的值。现在来看一个利用二分查找来求解方程的根的问题。

    1、问题描述

    求下面方程的一个根:f(x) = x3-5x2+10x-80 = 0
    若求出的根是a,则要求|f(a)| <= 10-6

    2、问题分析

    解法:对f(x)求导,得f’(x)=3x2-10x+10。由一元二次方程求根公式知方程f’(x)= 0 无解,因此f’(x)恒大于0。故f(x)是单调递增的。易知f(0) < 0且f(100)>0,所以区间[0,100]内必然有且只有一个根。由于f(x)在[0,100]内是单调的,所以可以用二分的办法在区间[0,100]中寻找根。

    #include<iostream>
    using namespace std;
    #define EPS 1e-6
    
    double f(double x) { return x*x*x - 5 * x*x + 10 * x - 80; }
    
    int main()
    {
    	double left = 0, right = 100;
    	double mid = left + (right - left)/2;
    	double y = f(mid);
    	int times = 1;
    	while (fabs(y)>EPS)
    	{
    		if (y < 0)
    			left = mid;
    		else
    			right = mid;
    		mid = left + (right - left)/2;
    		y = f(mid);
    		times++;
    	}
    	cout << "time:" << times << "\t answer: " << mid << endl;
    	return 0;
    }
    
    
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  • 第七章 非线性方程的求根 /* Solutions of Nonlinear Equations */ f (x) = 0 的根 7.1 方程根与二分法 一本章解决的问题 二根的两个步骤 三二分法 一本章解决的问题 在科学计算中常要求解各种方程 这些方程...
  • 1.形如一元二次方程的含绝对值的方程的解法经常在方程的局部或某一边出现绝对值(形如ax2+b|x|+c=0),对于这类问题应该首先考虑去掉绝对值符号.去掉绝对值符号可以根据绝对值的定义,也可以利用换元法.如果根据绝对值的...

    1.形如一元二次方程的含绝对值的方程的解法

    经常在方程的局部或某一边出现绝对值

    (形如ax2+b|x|+c=0),

    对于这类问题应该首先考虑去掉绝对值符号.

    去掉绝对值符号可以根据绝对值的定义,也可以利用换元法.

    如果根据绝对值的定义,则可以分x≥0和x<0两种情况去解.解两个一元二次方程,同时要考虑根的范围.

    如果利用换元法,就需要有整体分析的意识.采用这两种思路去研究,可以巩固分类讨论的数学思想、整体分析的数学意识和换元法这种重要的数学方法

    例1方程x2-3|x|+2=0

    的最小根的负倒数是_____________.

    解:方法一:

    (1)当x≥0时,则有

    x2-3x+2=0

    解得x1=1,x2=2 ①

    (2)当x<0时,则有

    x2+3x+2=0

    解得x3=-1,x4=-2 ②

    由①②可知,方程

    x2-3|x|+2=0

    的最小根为-2,那么它的负倒数为1/2

    方法二:原方程可化为

    |x|2-3|x|+2=0.

    设y=|x|,

    则y≥0.方程可化为

    y2-3y+2=0.

    解得y1=1,y2=2

    即|x|=1或|x|=2

    ∴x1=1,x2=-1,x3=2,x4=-2

    ∴原方程x2-3|x|+2=0的最小根为-2,

    它的负倒数为1/2

    例2方程|x4-4x2|=4

    的实数根的个数是_________.

    解:(1)当x2≥4时,方程为

    x4-4x2-4=0

    解出x2=2+2√2>4.

    (2)当x2<4时,方程为

    x4-4x2+4=0解出

    x2=2<4

    综上可知,方程有4个实根

    例3已知关于x的方程

    |x2-2√3x+1|=k

    有四个不同的实根,求k的变化范围.

    解:首先,由题意,知k≥0.

    其次,分两种情况

    (1)x2-2√3x+1=k时,

    △=12-4(1-k)>0

    ∴k>-2,从而k≥0

    (2)当x2-2√3x+1=-k时,

    △=12-4(1+k)>0,

    ∴k<2

    综上,可得0≤k<2

    2.带有参数的一元二次方程的解法

    有些时候方程的系数带有字母,这类问题在解题过程中经常出现我们该如何解决呢?

    这类问题首先要考虑二次项的系数,

    如果为0就不是一元二次方程,这种情况要特殊处理;

    如果不为0,则要按照一元二次方程的解法,可以配方,也可以考虑它的判别式,有时也要考虑因式分解,特别是因式分解往往能起到事半功倍的效果。

    在研究问题的过程中常常用到分类讨论的数学思想.在具体的研究过程中还要用到配方这种重要的数学方法,以及灵活运用的数学意识(如采用因式分解).

    例4解关于x的方程

    x2-3mx+2m2-mn-n2=0

    解:方法一:

    △=(-3m)2-4×1×(2m2-mn-n2)

    =9m2-8m2+4mn+4n2

    =m2+4mn+4n2

    =(m+2n)2.

    94e7c57a5cc6575075c40edd723273b3.png

    ∴x1=2m+n,

    x2=m-n.

    方法二:方程左边常数项为

    2m2-mn-n2

    =(2m+n)(m-n);

    根据十字相乘法方程左边可因式分解,原方程可化为

    [x-(2m+n)][x-(m-n)]=0

    ∴x1=2m+n,

    x2=m-n.

    3.带有参数的一元二次方程的根的性质

    含有参数的且研究根的性质的一元二次方程问题,一元二次方程的根可能会是实数、有理数、整数等,不同的数系,会有不同的性质,这类问题的研究是复杂的,也是具有挑战性的.

    根的不同性质:何时具奇偶性,何时是素数根,何时是整数根.在这类问题的解答过程中应结合具体实际加以解答.

    (1)若有理系数一元二次方程有一根

    m+√n,

    则必有另一根,

    m-√n (m,n为有理数)

    (2)一元二次方程

    ax2+bx+c=0(a≠0),

    在△≥0时有两个实根

    2a8d8bc84d1bb311f1dc113a84ee3eac.png

    求整数根一般有:

    ①△为完全平方式且必须

    -b±√(b2-4ac)=k

    (k为2a的整数倍)

    ②x1+x2=-b/a为整数,

    x1·x2=c/a为整数,且必须代入原方程检验

    ③用整数的性质进行综合分析

    ④变换主元进行讨论这里,

    我们主要对(1)进行一个简要的证明

    e7b3b19b29f274ed247fc42266f9ef15.png

    d48b692e18a900e439271a3eae2e881a.png

    例5设a,b是整数,方程

    x2+ax+b=0有一个根是

    ae65fb0f353079a55a57b23ba625a1b0.png

    ∴(7+2a+b)-(4+a) √3=0.

    ∴7+2a+b=0;

    4+a=0.

    ∴a=-4;b=1

    ∴a+b=-4+1=-3.

    方法二:根据我们前面研究出的结论:

    ∵2-√3是原方程的根,

    ∴2+√3也是原方程的根

    ∴a=-(2-√3+2+√3)=-4,

    b=(2-√3)(2+√3)=1

    ∴a+b=-3

    例6如果方程

    (x-1)(x2-2x+m)=0

    的三根可以作为一个角形的三边之长,求实数m的取值范围

    【解】显然,原方程有一根为1,

    设α,β为方程x2-2x+m=0的两根.由韦达定理,得

    α+β=2,αβ=m

    因为三角形的三边长为1,α,β,

    则|α-β|<1

    故|α-β|2

    =(α-β)2

    =(α+β)2-4αβ

    =22-4m<1

    解得m>3/4

    又△=4-4m≥0,

    m≤1.

    综上可得3/4

    例7、设方程

    x2-|2x-1|-4=0,

    求满足该方程的所有根之和.

    思路点拨:通过讨论,脱去绝对值符号

    (有时也用到绝对值性质,如x2=|x|2=|x2|。)

    把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解

    例8、已知三个不同的实数a,b,c满足

    a-b+c=3,

    方程x2+ax+1=0

    和x2+bx+c=0

    有一个相同的实根,

    方程x2+x+a=0

    和x2+cx+b=0也有一个相同的实根.

    求a,b,c的值.

    分析与解:这是一个一元二次方程有公共根的问题,可从求公共根入手.

    例9、用[x]表示不大于x的最大整数,则方程

    x2-2[x]-3=0

    的解的个数为( )

    解题思路:由[x]≤x得

    x2-2x-3<0,

    确定x的取值范围

     一元二次方程的根A

     一元二次方程的根B

     一元二次方程的根C

    展开全文
  • 【1】利用区间二分法求y=(x-1).^3-3*x+2在[2,4]区间,误差小于0.00005解。 #include<bits/stdc++.h> using namespace std; double f(double x); void ok(double a, double b){ int k=0; double mid=0; ...

    【1】利用区间二分法求y=(x-1).^3-3*x+2在[2,4]区间,误差小于0.00005的解。

    #include<bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    
    double f(double x);
    void ok(double a, double b){
        int k=0;
        double  mid=0;
        while(a<b){
            mid=(a+b)/2.0;
          //误差小于0.00005
            if(abs(f(mid))<0.00005){
                printf("result:%lf\n",mid);
                break;
            }
              if((f(mid)*f(b))<0){
                a=mid;
            }
             if((f(mid)*f(a))<0){
                b=mid;
            }
            k++;
            printf("第%d次,a:%lf and  b:%lf\n",k,a,b);
        }
    }
    int main()
    {
        double a,b;
       scanf("%lf%lf",&a,&b);
        ok(a,b);
        return 0;
    
    }
    //y=(x-1).^3-3*x+2在[2,4]区间,误差小于0.00005
    double f(double x)
    {
        return  ((x-1)*(x-1)*(x-1))-3*x+2;
    }
    
    
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