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  • 编写函数利用梯形计算定积分

    千次阅读 2020-05-25 19:54:46
    6.已知用梯形函数f(x)的定积分的近似公式如下: 此处,a是积分下限,b是积分上限,n是积分区间分割数, h = | (a-b) / n |,n越大,所求积分精度越高, 请用梯形函数f(x) = x^2 + 1在[0,1]区间的定积分 ,...
    《程序设计基础-c语言》杨莉 刘鸿翔  
    ISBN-978-7-03-032903-5  
    p240
    习题7
    

    6.已知用梯形法求函数f(x)的定积分的近似公式如下:
    在这里插入图片描述
    此处,a是积分下限,b是积分上限,n是积分区间分割数,
    h = | (a-b) / n |,n越大,所求积分精度越高,
    请用梯形法求函数f(x) = x^2 + 1[0,1]区间的定积分
    在这里插入图片描述
    n的值为100

    #include<stdio.h>
    #define N 100	//确定n的值为100
    
    float bdz_h(float,float);	//声明计算h的函数
    float bdz_f(float,float);	//声明计算(f(a)+f(b))/2的函数
    float bdz_fh(float,float);	//声明计算f(a+i*h),i从1-->n-1的函数
    int main()
    {
    	float a,b,h,s;
    	printf("输入积分下限a:");
    	scanf("%f",&a);
    	printf("输入积分上限b:");
    	scanf("%f",&b);
    	s=(bdz_h(a,b))*(bdz_f(a,b))+(bdz_fh(a,b));	//求s
    	printf("此定积分的结果为:%f\n",s);
    	return 0;
    }
    float bdz_f(float a,float b)	//计算h
    {
    	float f;
    	f=((a*a+1)+(b*b+1))/2;
    	return(f);
    }
    float bdz_h(float a,float b)	//计算(f(a)+f(b))/2
    {
    	float h;
    	h=((a-b)/N)*(-1);	//求绝对值
    	return(h);
    }
    float bdz_fh(float a,float b)	//计算f(a+i*h),i从1-->n-1
    {
    	int i;
    	float fh=0,x;
    	for(i=1;i<N-1;i++)
    	{
    		x=a+i*bdz_h(a,b);	//先算出x的值
    		fh=x*x+1;			//代入f(x)=x^2+1
    	}
    	return(fh);
    }
    

    在这里插入图片描述

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  • 利用生成函数求斐波那契数列通项公式 先吐槽一下,学习这玩意儿的时候真的是深深的明白了自己的弱小,人家的一个"解得"我居然解了两个小时。。qwq 前置知识 斐波那契数列: \[f_i = f_{i-1} + f_{i - 2}\] \[f_0 = f...

    利用生成函数求斐波那契数列通项公式

    先吐槽一下,学习这玩意儿的时候真的是深深的明白了自己的弱小,人家的一个"解得"我居然解了两个小时。。qwq

    前置知识

    斐波那契数列:

    \[f_i = f_{i-1} + f_{i - 2}\]

    \[f_0 = f_1 = 1\]

    普通生成函数:

    简单来说用多项式\(\sum_{i=0}^{\infty} a_ix^i\)的系数表示序列的元素

    同时因为我们不关心\(x\)的取值,因此\(\sum_{i=0}^{\infty}a_ix^i\)又称作以\(x\)为自由元的形式幂级数

    常见的有:

    \(\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots + x^{\infty}\)

    证明:
    后半部分可以直接由通项公式得到\(S_n = \frac{1-x^{n+1}}{1-x}\),当\(x \in (-1, 1)\),那么\(\lim_{n\to +\infty} x^{n+1} = 0\)

    \(x\)替换为\(xk\)

    \(\frac{1}{1-kx} = 1 + kx + k^2x^2 + k^3x^3 \dots + k^{\infty}x^{\infty}\)

    解法

    \(A = 1 + 1x + 2x^2 + 3x^3 + 5x^4 + 8x^5 \dots\)

    根据递推式,我们可以这样变化,显然有

    \[ \begin{aligned} A = \ 1 + 1x + &2x^2 + 3x^3 + 5x^4 + 8x^5 \dots \\ xA = \ \ \qquad x + &1x^2 + 2x^3 + 3x^4 + 5x^5\dots \\ x^2A =\qquad \qquad &1x^2 + 1x^3 + 2x^4 + 3x^5 \dots \end{aligned} \]

    那么可以得到一个方程\(A - xA - x^2A = 1\)

    整理一下\(A =\frac{1}{1-x-x^2}\)

    这样我们就得到了斐波那契数列的生成函数,然而并没有什么卵用,因为我们不能直接通过观察看出每一项的系数。

    现在考虑一下,我们接下来可以干什么。我们已经知道了\(\frac{1}{1-x}\)\(\frac{1}{1-kx}\)所表示的序列。接下来要干的当然是把\(\frac{1}{1-x-x^2}\)往上面的两个式子转化。

    \(\frac{1}{1-x-x^2}\)这玩意儿下半部分是个一元二次方程,我们可以配方

    \[1-x-x^2 = (1-\phi_1x)(1-\phi_2x)\]

    \[\phi_1 = \frac{1+\sqrt{5}}{2}, \phi_2 = \frac{1-\sqrt{5}}{2}\]

    (解的时候可以直接把后面的式子拆开,把这两个式子对应项联立组成方程组, \(\phi_1 \phi_2\)的取值是可以反过来的)

    这个时候我们发现已经找到与\(\frac{1}{1-kx}\)的联系了,我们可以把\(\frac{1}{(1-\phi_1 x)(1-\phi_2 x)}\)拆成求和的形式。可以裂一下项

    原式变为\(\frac{a}{1-\phi_1x} + \frac{b}{1-\phi_2 x}\),然后再解一个方程\(a(1-\phi_2 x) + b(1-\phi_1x) = 1\)

    解这个方程就没那么休闲了,这里我们选择把\(x\)当做主元对方程进行变换

    \[(a+b - 1) - x(a\phi_2 + b\phi_1) = 0 \]

    这样就好处理了,只要列个二元一次方程组

    \[ \begin{cases} a-b-1 = 0\\ a\phi_2 + b\phi_1 = 0 \end{cases} \]

    解一下可以得到\(a = \frac{1}{\sqrt{5}} \phi_1, b = -\frac{1}{\sqrt{5}} \phi_2\)

    带回去

    \[A = \frac{\phi_1}{\sqrt{5}} \frac{1}{1-\phi_1x} - \frac{\phi_2}{\sqrt{5}} \frac{1}{1-\phi_2x}\]

    那么第\(n\)项的公式为

    \[A_n = \frac{1}{\sqrt{5}} ((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n+1} - (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n+1})\]

    参考资料

    生成函数-罗煜楚(版权原因暂不公开)

    特别感谢张一钊老师qwq

    转载于:https://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/10511970.html

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    https://jingyan.baidu.com/article/f54ae2fc210fa11e92b849e9.html

    1. 我们以一个简单的工资表为例,来说明这些公式。

      首先新建一个表格,按需要确定表格的模式。将表头设定好,输入所需的数据。

      Excel如何添加计算公式
    2. 在这个工资表中需要用到加法(基础工资+绩效工资)和减法(工资总数-病/事假所扣工资)两个公式。鼠标点击实际工资得数的表格,键盘按=键,得数的表格会显示出一个=号,然后鼠标点击相加的两个数,中间按一次键盘上的+号,(表示是加法),在得数格会依次显示出相加的两个数所在位置代码。(如B3和E3)。再按下键盘上的-号键(表示下步是减法)鼠标点击要减去的数值。

      Excel如何添加计算公式
    3. 键盘点击回车键,得数表格里就会显示出计算好的得数。利用表格的可复制单元格的功能。将鼠标放在得数表格的右下角,按鼠标左键,电脑上会显示出一个黑色的+字标,向下拉鼠标,下面的表格就会同样被代入计算好的公式。有多少个格可拉动多少。

      也就是说公式的计算只需要操作一次就可以了,表格中的其他数值直接复制公式就可以自动计算出得数了。不需要另外的操作。

      Excel如何添加计算公式
      Excel如何添加计算公式


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  • 利用循环,sinx和cosx依据麦克劳林公式代入上述两个函数中即可求出 tanx = sinx/cosx 注意:x的0次方为1,0和1的阶乘为1 代码实现: #include&amp;amp;lt;stdio.h&amp;amp;gt; ...

    题目:

    求tanx,已知麦克劳林公式在这里插入图片描述

    思路分析:

    1. 先设定两个函数,一个pwr算乘方或者用#include<math.h>的pow()来计算,另一个fac算阶乘

    2. 利用循环,将sinx和cosx依据麦克劳林公式代入上述两个函数中即可求出

    3. tanx = sinx/cosx

    注意:x的0次方为1,0和1的阶乘为1

    代码实现:

    #include<stdio.h>
    float pwr(float x, int n)
    {
     int i = 0;
     float powers = 1;
    // printf("n = %d\n",n);
     if(n == 0)
     {
    //     printf("yes\n");
      return 1;
     }
     for(i = 1; i <= n; i++)
     {
      powers = powers * x;
     }
    // printf("power = %f\n",powers);
     return powers;
    }
    int fac(int n)
    {
        int i = 0;
        float pdt = 1;
     if(n == 0 || n == 1)
     {
    //     printf("yes\n");
      return 1; 
     }
     for(i = 2; i <= n; i++)
     {
      pdt = pdt * i;
     }
    // printf("pdt = %f\n",pdt); 
     return pdt;
    }
    int main()
    {
     int k = 0, i = 0, j = 0, cons = 1; 
     float x = 0, s = 0, c = 0, sin = 0, cos = 0, tan = 0, y = 0;     //用y将弧度制转换为角度制 
     const float pi = 3.1415926;
     printf("Input the angle:"); 
     scanf("%f",&y);
     x = y*pi/180;
     for(k = 1; k <= 11; k++)
     {
      i = 2 * k - 1;
      j = 2 * k - 2;
      s = cons*pwr(x,i)/fac(i);
      c = cons*pwr(x,j)/fac(j);
      cons = -1*cons;
    //  printf("cons = %d\n",cons);
         sin = sin + s;
         cos = cos + c;
        }
        tan = sin/cos;
     printf("sin(%.0f) = %f cos(%.0f) = %f tan(%.0f) = %f",y,sin,y,cos,y,tan);
     return 0; 
    } 
    

    运行结果:

    如要求tan45°
    在这里插入图片描述

    附加:

    代码中注释掉的printf是用在debug程序的时候

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