《程序设计基础-c语言》杨莉 刘鸿翔  
ISBN-978-7-03-032903-5  
p240
习题7
 
6.已知用梯形法求函数f(x)的定积分的近似公式如下：
 
 此处，a是积分下限，b是积分上限，n是积分区间分割数，
 h = | (a-b) / n |，n越大，所求积分精度越高，
 请用梯形法求函数f(x) = x^2 + 1在[0,1]区间的定积分
 
 ，n的值为100
 
#include<stdio.h>
#define N 100	//确定n的值为100

float bdz_h(float,float);	//声明计算h的函数
float bdz_f(float,float);	//声明计算(f(a)+f(b))/2的函数
float bdz_fh(float,float);	//声明计算f(a+i*h)，i从1-->n-1的函数
int main()
{
	float a,b,h,s;
	printf("输入积分下限a：");
	scanf("%f",&a);
	printf("输入积分上限b：");
	scanf("%f",&b);
	s=(bdz_h(a,b))*(bdz_f(a,b))+(bdz_fh(a,b));	//求s
	printf("此定积分的结果为：%f\n",s);
	return 0;
}
float bdz_f(float a,float b)	//计算h
{
	float f;
	f=((a*a+1)+(b*b+1))/2;
	return(f);
}
float bdz_h(float a,float b)	//计算(f(a)+f(b))/2
{
	float h;
	h=((a-b)/N)*(-1);	//求绝对值
	return(h);
}
float bdz_fh(float a,float b)	//计算f(a+i*h)，i从1-->n-1
{
	int i;
	float fh=0,x;
	for(i=1;i<N-1;i++)
	{
		x=a+i*bdz_h(a,b);	//先算出x的值
		fh=x*x+1;			//代入f(x)=x^2+1
	}
	return(fh);
}
 

 
利用生成函数求斐波那契数列通项公式
 
 
先吐槽一下，学习这玩意儿的时候真的是深深的明白了自己的弱小，人家的一个"解得"我居然解了两个小时。。qwq
 
 
前置知识
 
 
斐波那契数列：
 
 
\[f_i = f_{i-1} + f_{i - 2}\]
 
 
\[f_0 = f_1 = 1\]
 
 
普通生成函数:
 
 
简单来说用多项式\(\sum_{i=0}^{\infty} a_ix^i\)的系数表示序列的元素
 
 
同时因为我们不关心\(x\)的取值，因此\(\sum_{i=0}^{\infty}a_ix^i\)又称作以\(x\)为自由元的形式幂级数
 
 
常见的有:
 
 
\(\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots + x^{\infty}\)
 
 
 
  
证明:
 后半部分可以直接由通项公式得到\(S_n = \frac{1-x^{n+1}}{1-x}\)，当\(x \in (-1, 1)\)，那么\(\lim_{n\to +\infty} x^{n+1} = 0\)
 
 
 
 
将\(x\)替换为\(xk\)得
 
 
\(\frac{1}{1-kx} = 1 + kx + k^2x^2 + k^3x^3 \dots + k^{\infty}x^{\infty}\)
 
 
解法
 
 
设\(A = 1 + 1x + 2x^2 + 3x^3 + 5x^4 + 8x^5 \dots\)
 
 
根据递推式，我们可以这样变化，显然有
 
 
\[ \begin{aligned} A = \ 1 + 1x + &2x^2 + 3x^3 + 5x^4 + 8x^5 \dots \\ xA = \ \ \qquad x + &1x^2 + 2x^3 + 3x^4 + 5x^5\dots \\ x^2A =\qquad \qquad &1x^2 + 1x^3 + 2x^4 + 3x^5 \dots \end{aligned} \]
 
 
那么可以得到一个方程\(A - xA - x^2A = 1\)
 
 
整理一下\(A =\frac{1}{1-x-x^2}\)
 
 
这样我们就得到了斐波那契数列的生成函数，然而并没有什么卵用，因为我们不能直接通过观察看出每一项的系数。
 
 
现在考虑一下，我们接下来可以干什么。我们已经知道了\(\frac{1}{1-x}\)和\(\frac{1}{1-kx}\)所表示的序列。接下来要干的当然是把\(\frac{1}{1-x-x^2}\)往上面的两个式子转化。
 
 
\(\frac{1}{1-x-x^2}\)这玩意儿下半部分是个一元二次方程，我们可以配方
 
 
\[1-x-x^2 = (1-\phi_1x)(1-\phi_2x)\]
 
 
\[\phi_1 = \frac{1+\sqrt{5}}{2}, \phi_2 = \frac{1-\sqrt{5}}{2}\]
 
 
(解的时候可以直接把后面的式子拆开，把这两个式子对应项联立组成方程组, \(\phi_1 \phi_2\)的取值是可以反过来的)
 
 
这个时候我们发现已经找到与\(\frac{1}{1-kx}\)的联系了，我们可以把\(\frac{1}{(1-\phi_1 x)(1-\phi_2 x)}\)拆成求和的形式。可以裂一下项
 
 
原式变为\(\frac{a}{1-\phi_1x} + \frac{b}{1-\phi_2 x}\)，然后再解一个方程\(a(1-\phi_2 x) + b(1-\phi_1x) = 1\)
 
 
解这个方程就没那么休闲了，这里我们选择把\(x\)当做主元对方程进行变换
 
 
\[(a+b - 1) - x(a\phi_2 + b\phi_1) = 0 \]
 
 
这样就好处理了，只要列个二元一次方程组
 
 
\[ \begin{cases} a-b-1 = 0\\ a\phi_2 + b\phi_1 = 0 \end{cases} \]
 
 
解一下可以得到\(a = \frac{1}{\sqrt{5}} \phi_1, b = -\frac{1}{\sqrt{5}} \phi_2\)
 
 
带回去
 
 
\[A = \frac{\phi_1}{\sqrt{5}} \frac{1}{1-\phi_1x} - \frac{\phi_2}{\sqrt{5}} \frac{1}{1-\phi_2x}\]
 
 
那么第\(n\)项的公式为
 
 
\[A_n = \frac{1}{\sqrt{5}} ((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n+1} - (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n+1})\]
 
 
参考资料
 
 
生成函数-罗煜楚(版权原因暂不公开)
 
 
特别感谢张一钊老师qwq
 
 
转载于:https://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/10511970.html

https://jingyan.baidu.com/article/f54ae2fc210fa11e92b849e9.html
 
 
 
  
 
   
 我们以一个简单的工资表为例，来说明这些公式。
 
   
 首先新建一个表格，按需要确定表格的模式。将表头设定好，输入所需的数据。
 
  
 
  
 
   
 
    
   
 
  
 
 
  
 
  
 
  
 
   
 在这个工资表中需要用到加法（基础工资+绩效工资）和减法（工资总数－病/事假所扣工资）两个公式。鼠标点击实际工资得数的表格，键盘按＝键，得数的表格会显示出一个＝号，然后鼠标点击相加的两个数，中间按一次键盘上的+号，（表示是加法），在得数格会依次显示出相加的两个数所在位置代码。（如B3和E3）。再按下键盘上的－号键（表示下步是减法）鼠标点击要减去的数值。
 
  
 
  
 
   
 
    
   
 
  
 
 
  
 
  
 
  
 
   
 键盘点击回车键，得数表格里就会显示出计算好的得数。利用表格的可复制单元格的功能。将鼠标放在得数表格的右下角，按鼠标左键，电脑上会显示出一个黑色的+字标，向下拉鼠标，下面的表格就会同样被代入计算好的公式。有多少个格可拉动多少。
 
   
 也就是说公式的计算只需要操作一次就可以了，表格中的其他数值直接复制公式就可以自动计算出得数了。不需要另外的操作。
 
  
 
  
 
   
 
    
   
 
   
 
    
   
 
  
 
 
  

   
 
  
 
 

 

题目：
 
 
 
求tanx，已知麦克劳林公式
 
 
思路分析：
 
 
先设定两个函数，一个pwr算乘方或者用#include<math.h>的pow（）来计算，另一个fac算阶乘
 
 
利用循环，将sinx和cosx依据麦克劳林公式代入上述两个函数中即可求出
 
 
tanx = sinx/cosx
 
 
注意：x的0次方为1，0和1的阶乘为1
 
代码实现：
 
#include<stdio.h>
float pwr(float x, int n)
{
 int i = 0;
 float powers = 1;
// printf("n = %d\n",n);
 if(n == 0)
 {
//     printf("yes\n");
  return 1;
 }
 for(i = 1; i <= n; i++)
 {
  powers = powers * x;
 }
// printf("power = %f\n",powers);
 return powers;
}
int fac(int n)
{
    int i = 0;
    float pdt = 1;
 if(n == 0 || n == 1)
 {
//     printf("yes\n");
  return 1; 
 }
 for(i = 2; i <= n; i++)
 {
  pdt = pdt * i;
 }
// printf("pdt = %f\n",pdt); 
 return pdt;
}
int main()
{
 int k = 0, i = 0, j = 0, cons = 1; 
 float x = 0, s = 0, c = 0, sin = 0, cos = 0, tan = 0, y = 0;     //用y将弧度制转换为角度制 
 const float pi = 3.1415926;
 printf("Input the angle:"); 
 scanf("%f",&y);
 x = y*pi/180;
 for(k = 1; k <= 11; k++)
 {
  i = 2 * k - 1;
  j = 2 * k - 2;
  s = cons*pwr(x,i)/fac(i);
  c = cons*pwr(x,j)/fac(j);
  cons = -1*cons;
//  printf("cons = %d\n",cons);
     sin = sin + s;
     cos = cos + c;
    }
    tan = sin/cos;
 printf("sin(%.0f) = %f cos(%.0f) = %f tan(%.0f) = %f",y,sin,y,cos,y,tan);
 return 0; 
} 
 
运行结果：
 
如要求tan45°
 
 
附加：
 
代码中注释掉的printf是用在debug程序的时候