精华内容
下载资源
问答
  • 泰勒公式,雅可比矩阵,海塞矩阵,牛顿泰勒公式,雅可比矩阵,...泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差泰勒公式一个在x=x0处具有n阶导数的函数f(x)利用关于(x-x0)的n次多项式来逼近函数的方...

    泰勒公式,雅可比矩阵,海塞矩阵,牛顿法

    泰勒公式,雅可比矩阵,海塞矩阵,牛顿法

    泰勒公式是一个在函数上取某点的近似值,如果函数足够平滑的话,在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下,泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的近似值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差

    泰勒公式是将一个在x=x0处具有n阶导数的函数f(x)利用关于(x-x0)的n次多项式来逼近函数的方法。

    若函数f(x)在包含x0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数,且在开区间(a,b)上具有(n+1)阶导数,则对闭区间[a,b]上任意一点x,成立下式:

    其中,

    表示f(x)的n阶导数,等号后的多项式称为函数f(x)在x0处的泰勒展开式,剩余的Rn(x)是泰勒公式的余项,是(x-x0)n的高阶无穷小

    参考资料:

    https://baike.baidu.com/item/%E6%B3%B0%E5%8B%92%E5%85%AC%E5%BC%8F/7681487?fr=aladdin

    雅可比矩阵是一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵,其行列式称为雅可比行列式。雅可比矩阵的重要性在于它体现了一个可微方程与给出点的最优线性逼近,例子:

    由球坐标系到直角坐标系的转化由F函数给出︰

    此坐标变换的雅可比矩阵是

    的F函数:

    其雅可比矩阵为:

    此例子说明雅可比矩阵不一定为方阵。

    如果m = n, 那么FF是从n维空间到n维空间的函数, 且它的雅可比矩阵是一个方块矩阵. 于是我们可以取它的行列式, 称为雅可比行列式.

    如果连续可微函数FF在pp点的雅可比行列式不是零, 那么它在该点附近具有反函数. 这称为反函数定理;如果pp点的雅可比行列式是正数, 则FF在pp点的取向不变;如果是负数, 则FF的取向相反;雅可比行列式的绝对值, 就可以知道函数FF在pp点的缩放因子。

    对于取向问题可以这么理解, 例如一个物体在平面上匀速运动, 如果施加一个正方向的力FF, 即取向相同, 则加速运动, 类比于速度的导数加速度为正;如果施加一个反方向的力FF, 即取向相反, 则减速运动, 类比于速度的导数加速度为负.

    在数学中, 海森矩阵(Hessian matrix或Hessian)是一个自变量为向量的实值函数的二阶偏导数组成的方块矩阵

    一般来说, 牛顿法主要应用在两个方面, 1, 求方程的根; 2, 最优化。

    1,求方程的根

    其原理便是使用泰勒展开,然后去线性部分,即:

         (1)

    然后令上式等于0,则有:

                     (2)

    经过不断迭代:

                   (3)

    当精度达到要求的时候停止迭代。

    迭代示意图如上所示。

    2,最优化

    最优化一般是求极大或极小问题,这可以转变为求导数零点,然后转变为1的情形。

    即f' = 0;

    把f(x)用泰勒公式展开到二阶,即:

                                            (4)

    等号左边和f(x)近似相等,抵消。然后对求导,得到:

                                                                                (5)

    更进一步:

                                                                                    (6)

    然后得到迭代式子:

                                                                 (7)

    以上只针对单变量进行讨论,如果对多变量就要引入雅克比矩阵和海森矩阵

    简单介绍一下二者,雅克比矩阵为函数对各自变量的一阶导数,海森矩阵为函数对自变量的二次微分。形式分别如下:

    把两个矩阵代入(7)中

    参考:

    https://blog.csdn.net/ubunfans/article/details/41520047

    泰勒公式,雅可比矩阵,海塞矩阵,牛顿法相关教程

    展开全文
  • 泰勒公式 泰勒公式是一个在函数上取某点的近似值,如果函数足够...泰勒公式一个在x=x0处具有n阶导数的函数f(x)利用关于(x-x0)的n次多项式来逼近函数的方法。 若函数f(x)在包含x0的某个闭区间[a,b]上具有...

    泰勒公式

    泰勒公式是一个在函数上取某点的近似值,如果函数足够平滑的话,在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下,泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的近似值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差

    泰勒公式是将一个在x=x0处具有n阶导数的函数f(x)利用关于(x-x0)的n次多项式来逼近函数的方法。

    若函数f(x)在包含x0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数,且在开区间(a,b)上具有(n+1)阶导数,则对闭区间[a,b]上任意一点x,成立下式:

    其中,

    表示f(x)的n阶导数,等号后的多项式称为函数f(x)在x0处的泰勒展开式,剩余的Rn(x)是泰勒公式的余项,是(x-x0)n的高阶无穷小

    参考资料:

    https://baike.baidu.com/item/%E6%B3%B0%E5%8B%92%E5%85%AC%E5%BC%8F/7681487?fr=aladdin

     

    雅可比矩阵

    雅可比矩阵是一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵,其行列式称为雅可比行列式。雅可比矩阵的重要性在于它体现了一个可微方程与给出点的最优线性逼近,例子:

    球坐标系到直角坐标系的转化由F函数给出︰

    此坐标变换的雅可比矩阵是

     的F函数:

    其雅可比矩阵为:

    此例子说明雅可比矩阵不一定为方阵。

     

    雅可比行列式

    如果m = n, 那么FF是从n维空间到n维空间的函数, 且它的雅可比矩阵是一个方块矩阵. 于是我们可以取它的行列式, 称为雅可比行列式.

    如果连续可微函数FF在pp点的雅可比行列式不是零, 那么它在该点附近具有反函数. 这称为反函数定理;如果pp点的雅可比行列式是正数, 则FF在pp点的取向不变;如果是负数, 则FF的取向相反;雅可比行列式的绝对值, 就可以知道函数FF在pp点的缩放因子。

    对于取向问题可以这么理解, 例如一个物体在平面上匀速运动, 如果施加一个正方向的力FF, 即取向相同, 则加速运动, 类比于速度的导数加速度为正;如果施加一个反方向的力FF, 即取向相反, 则减速运动, 类比于速度的导数加速度为负.

    海森Hessian矩阵

    在数学中, 海森矩阵(Hessian matrix或Hessian)是一个自变量为向量的实值函数的二阶偏导数组成的方块矩阵

     

     

    牛顿法

    一般来说, 牛顿法主要应用在两个方面, 1, 求方程的根; 2, 最优化。

    1,求方程的根

    其原理便是使用泰勒展开,然后去线性部分,即:

          (1)

    然后令上式等于0,则有:

                     (2)

    经过不断迭代:

                   (3)

    当精度达到要求的时候停止迭代。

    迭代示意图如上所示。

    2,最优化

    最优化一般是求极大或极小问题,这可以转变为求导数零点,然后转变为1的情形。

    即f' = 0;

    把f(x)用泰勒公式展开到二阶,即:

                                            (4)

    等号左边和f(x)近似相等,抵消。然后对求导,得到:

                                                                                (5)

    更进一步:

                                                                                    (6)

    然后得到迭代式子:

                                                                  (7)

    以上只针对单变量进行讨论,如果对多变量就要引入雅克比矩阵和海森矩阵

     

    用牛顿法解无约束一维极值问题

    原理:

    1.给定初始点x0,及精度\varepsilon>0,令k=0;

    2.若| f'(Xk) |<\varepsilon,停止,极小点为Xk;

    3.Xk+1=Xk-f'(Xk)/f''(Xk)

    4.令k=k+1,转2

    算法的matlab 实现:

    function [x,minf]=minNewton(f,x0,eps)
    %format long;
    if nargin==2
        eps=1.0e-6;
    end
    
    df=diff(f);
    d2f=diff(df);
    
    k=0;
    tol=1;
    
    while tol>eps
        dfx=subs(df,findsym(df),x0);
        d2fx=subs(d2f,findsym(d2f),x0);
        x1=x0-dfx/d2fx;
        k=k+1;
        tol=abs(dfx);
        x0=x1;
    end
    
    x=x1;
    minf=subs(f,findsym(f),x);
    %format short;

    用牛顿法解无约束多维极值问题

    简单介绍一下二者,雅克比矩阵为函数对各自变量的一阶导数,海森矩阵为函数对自变量的二次微分。形式分别如下:

     

    把两个矩阵代入(7)中

     

    function [x,minf]=minNT(f,x0,var,eps)
    
    format long;
    if nargin==3
        eps=1.0e-6;
    end
    
    to1=1;
    x0=transpose(x0);
    while to1 > eps
        gradf = jacobian(f,var);
        jacf = jacobian(gradf, var);
        v = Funval(gradf, var,x0);
        to1=norm(v);
        pv=Funval(jacf,var,x0);
        p = -inv(pv)* transpose(v);
        x1=x0+p;
        x0=x1;
    end
    x=x1;
    minf =Funval(f,var,x);
    format short;

    参考:

    https://blog.csdn.net/ubunfans/article/details/41520047

     

    展开全文
  • 求n的平方根,先假设一猜测值X0 = ... 1,然后根据以下公式求出X1,再X1代入公式右边,继续求出X2…通过有效次迭代后即可求出n的平方根,Xk+1 假设f(x)是关于X的函数: 求出f

    http://blog.punkid.org/2008/02/28/compute-the-square-root-via-newtons-iteration/


    求n的平方根,先假设一猜测值X0 = 1,然后根据以下公式求出X1,再将X1代入公式右边,继续求出X2…通过有效次迭代后即可求出n的平方根,Xk+1

    x_(k+1)=1/2(x_k+n/(x_k))

    假设f(x)是关于X的函数:

    An illustration of one iteration of Newton's method

    求出f(x)的一阶导,即斜率:

    f'(x_{n}) = \frac{ \mathrm{rise} }{ \mathrm{run} } = \frac{ \mathrm{\Delta y} }{ \mathrm{\Delta x} } = \frac{ f( x_{n} ) - 0 }{ x_{n} - x_{n+1} } = \frac{0 - f(x_{n})}{(x_{n+1} - x_{n})}\,\!

    简化等式得到:

    x_(n+1)=x_n-(f(x_n))/(f^'(x_n))

    然后利用得到的最终式进行迭代运算直至求到一个比较精确的满意值,为什么可以用迭代法呢?理由是中值定理(Intermediate Value Theorem):

    如果f函数在闭区间[a,b]内连续,必存在一点x使得f(x) = cc是函数f在闭区间[a,b]内的一点

    我们先猜测一X初始值,例如1,当然地球人都知道除了1本身之外任何数的平方根都不会是1。然后代入初始值,通过迭代运算不断推进,逐步靠近精确值,直到得到我们主观认为比较满意的值为止。例如要求768的平方根,因为252 = 625,而302 = 900,我们可先代入一猜测值26,然后迭代运算,得到较精确值:27.7128。

    回到我们最开始的那个”莫名其妙”的公式,我们要求的是N的平方根,令x2 = n,假设一关于X的函数f(x)为:

    f(X) = X2 - n

    f(X)的一阶导为:

    f'(X) = 2X

    代入前面求到的最终式中:

    Xk+1 = Xk - (Xk2 - n)/2Xk

    化简即得到我们最初提到的那个求平方根的神奇公式了:

    x_(k+1)=1/2(x_k+n/(x_k))


    展开全文
  • 牛顿

    千次阅读 2017-09-27 13:25:23
    牛顿和拟牛顿是求解无约束最优化的常用方法,牛顿是迭代...泰勒公式一句话描述:就是用多项式函数去逼近光滑函数泰勒公式一个在x=x0x=x_0处具有n阶导数的函数f(x)f(x)利用关于(x−x0)(x-x_0)的n次多项式来

    牛顿法和拟牛顿法是求解无约束最优化的常用方法,牛顿法是迭代算法,每一步需要求解目标函数的海赛矩阵的逆矩阵,计算比较复杂,拟牛顿法通过正定矩阵近似海赛矩阵的逆矩阵或海赛矩阵,简化了这一过程。

    泰勒公式

    在看牛顿法之前先看一下泰勒展开:
    泰勒公式一句话描述:就是用多项式函数去逼近光滑函数

    泰勒公式是将一个在x=x0处具有n阶导数的函数f(x)利用关于(xx0)的n次多项式来逼近函数的方法。
    若函数f(x)在包含x0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数,且在开区间(a,b)上具有(n+1)阶导数,则对闭区间[a,b]上任意一点x,成立下式:
    这里写图片描述

    其中, 表示f(x)的n阶导数,等号后的多项式称为函数f(x)在x0处的泰勒展开式,剩余的Rn(x)是泰勒公式的余项,是(xx0)n的高阶无穷小。
    如果 a=0的话,就是麦克劳伦公式:

    f(x)=n=0Nf(n)(0)n!xn+Rn(x)

    其组成部分是由幂函数和相应的系数组成,其中的幂函数其实只有两种形态,一种是关于 Y 轴对称,一种是关于原点对称,并且指数越大,增长速度越大。
    那幂函数组成的多项式函数有什么特点呢?各幂函数加上相应的系数,通过改变系数,多项式可以像铁丝一样弯成任意的函数曲线。
    eg:用多项式对 ex 进行逼近

    ex=1+x+12!x2++1n!xn+Rn(x)
    这里写图片描述

    增加一个 \frac{1}{4!}x^4 看看
    这里写图片描述

    增加一个 \frac{1}{5!}x^5 看看
    这里写图片描述

    可以看出,1n!xn 不断的弯曲着那根多项式形成的铁丝去逼近 ex。并且 n 越大,起作用的区域距离0越远。

    但还有一个例子我觉得有必要说一下:
    用多项式对 sin(x) 进行逼近:

    sin(x)=x13!x3++(1)n(2n+1)!x(2n+1)+Rn(x)

    这里写图片描述

    同样的,我们再增加一个 17!x7 试试

    这里写图片描述

    可以看到17!x7 在适当的位置,改变了 4x13!x3+15!x5 的弯曲方向,最终让x13!x3+15!x517!x7更好的逼近了sin(x)

    这里写图片描述

    参考:

    http://www.matongxue.com/madocs/7.html#/madoc

    牛顿法

    五次及以上多项式方程没有根式解(就是没有像二次方程那样的万能公式),这个是被伽罗瓦用群论做出的最著名的结论,但牛顿法可以求出近似解。

    要讲牛顿迭代法之前我们先说一个关键问题:切线是曲线的线性逼近。

    下面是 f(x)=x2 的图像
    这里写图片描述

    放大切点处,看看
    这里写图片描述

    再放大切点处,看看
    这里写图片描述

    可以看出放大之后切线和f(x)非常接近了。很明显,如果我们进一步放大图像,A点切线就越接近f(x)。

    现在可以引入牛顿法了:
    随便找一个曲线上的A点(为什么随便找,根据切线是切点附近的曲线的近似,应该在根点附近找,但是很显然我们现在还不知道根点在哪里),做一个切线,切线的根(就是和x轴的交点)与曲线的根,还有一定的距离。此时从这个切线的根出发,做一根垂线,和曲线相交于B点,继续上面的步骤:
    这里写图片描述

    这里写图片描述

    这里写图片描述

    经过多次迭代后,很明显越来越接近曲线的根了(但只会更接近根),此时称为迭代收敛了。

    牛顿法的代数解法:当曲线方程为f(x) ,我们在xn点做切线,求xn+1
    此时容易得出,xn点的切线方程为:f(xn)+f(xn)(xxn)要求xn+1,即相当于求f(xn)+f(xn)(xxn)=0的解,即f(xn)+f(xn)(xn+1xn)=0: xn+1=xnf(xn)f(xn)

    但还有一些形式的函数是不收敛的,所以要注意以下问题:

    • 函数在整个定义域内最好是二阶可导的
    • 注意起始点的选择

    牛顿法的基本思想是:在现有极小点估计值的附近对f(x)做二阶泰勒展开,进而找到极小点的下一个估计值。设xk为当前的极小点估计值,则:

    φ(x)=f(xk)+f(xk)(xxk)+12f′′(xk)(xxk)2
    表示f(x)xk附近的二阶泰勒展开式(略去了关于xxk的高阶项),由于求的是最值,由极值必要条件可知,φ(x)应满足
    φ(x)=0
    f(xk)+f′′(xk)(xxk)=0
    从而得到
    x=xkf(xk)f′′(xk)
    于是,若给定初始值x0,则可以构造如下的迭代格式
    xk+1=xkf(xk)f′′(xk),k=0,1....
    可通过产生序列{xk}来逼近f(x)的极小点.在一定条件下,{xk}可以收敛到f(x)的极小点。
    对于N>1的情形,二阶泰勒展开式可以做推广,此时
    φ(X)=f(Xk)+f(Xk)(XXk)+12(XXk)T2f(Xk)(XXk)
    其中ff的梯度向量,2ff的海森矩阵,其定义如下:

    这里写图片描述

    注意,f2f中的元素均为关于X的函数,以下简记为gH.特别是若f的混合偏导数可交换次序,则海森矩阵为对称矩阵。而f(Xk)2f(Xk)则表示将X取为xk后得到的实值向量和矩阵,以下分别将其简记为gkHk
    同样的,由于是求极小点,极值必要条件 要求它为φ(X)的驻点,即

    φ(X)=0
    通过在上式中两边作用一个梯度算子,得到:
    gk+Hk(XXk)=0
    此时若矩阵Hk非奇异,可解得
    X=XkH1kgk
    若给定初始值X0,则可同样构造出迭代格式
    Xk+1=XkH1kgk
    这就是牛顿迭代法,其迭代格式中的搜索方向为H1kgk称为牛顿方向。

    当目标函数是二次函数时,由于二次泰勒展开函数与原目标函数不是近似而是完全相同的二次式,海森矩阵退化为一个常数矩阵,从任一初始点出发,只需一步迭代即可达到极小点,因此牛顿法是一种具有二次收敛的算法。对于非二次函数,若函数的二次性态较强,或迭代点已进入极小点的邻域,则其收敛速度也是很快的。

    参考:

    http://blog.csdn.net/itplus/article/details/21896453

    拟牛顿法

    展开全文
  • 相关阅读 &amp;...函数f(x)有极值的必要条件是一阶到时为0,即梯度向量为0.同时牛顿法利用极小点得的必要条件是 同时假设下次到达的点的一阶导数为0 对泰勒2阶展开求导得 因为要求...
  • 泰勒公式一个在x=x0处具有n阶导数的函数f(x)利用关于(x-x0)的n次多项式来逼近函数的方法。 若函数f(x)在包含x0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数,且在开区间(a,b)上具有(n+1)阶导数,则对闭区间[a,b...
  • 在最优化学习系列中,第一次就说的是牛顿,但是那是在一维搜索上的,它其实就是将函数ff在xx处利用泰勒公式展开,得到它的近似函数,进而求解最小值。本节内容主要说明牛顿在多维数据上的迭代公式。最优化学习...
  • 培养学生综合利用C语言进行科学计算,使学生所学知识转化为分析和设计数学中的实际问题的能力,学会查资料和工具书。 (2)提高学生建立程序文档、归纳总结的能力。 (3)进一步巩固和灵活运用先修课程《计算机...
  • 构造一个函数y=f(x)通过全部节点,即 (i=0、1、… n) 再用f(x)计算插值,即 2. 拉格朗日(Lagrange)多项式插值 Lagrange插值多项式: 3.牛顿(Newton)插值公式 //////////////////////////////////// 实验...
  • 高数错题本

    2020-06-09 21:46:05
    一....方程f(x)=x的根称为函数f(x)的不动点,利用递推数列f(x)不动点,可某些递推关系an=f(an-1)所确定的等比数列或较易求数列通项的数列,这种方法称为不动点(也称为特征根)。 证明: .
  • 感知机模型

    2021-01-06 20:18:45
    感知机输入空间(特征空间)中的实例划分为正负两类分离的超平面,旨在求出训练集进行线性划分的超平面,为此,导入基于误分类的损失函数利用梯度下降对损失函数进行极小化,求得最优解。感知机是神经网络和...
  • 切比雪夫插值多项式的原理和方法 以及与小信号分析的比较 ...(4)系数代入切比雪夫多项式,在得到输出的表达式中代入含I1的归一化公式,即可得到IB=f(I1),求I1的反函数转换自变量为t代入,即得到表达式IB=g(t)
  • 方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。 设r是f(x) = 0的根,选取x0作为r初始近似值,过点(x0,f(x0))做曲线y = f(x)的切线L,L的方程为y = f(x0) f'(x0)(x-x0),求出L与x轴交点的横坐标 ...
  • 在此超光谱成像仪中,二元光学透镜焦距随波长的变化改变了系统的F数,因此改变了系统的放大率,即系统放大率是波长的函数,这引起光谱图像的像元配准误差,得到并不精确的相对光谱信号强度,从而限制了光谱图像重建算法...
  • 例2、设函数f(x)=log2x-logx2(0),数列{an}中的第n项an满足 (n=1,2,3,…). (1)求数列{an}的通项公式; (2)判断此数列的单调性. 解析:  (1)由 ,  即 ,  由求根公式,并注意0,即 ,有an,  可得 .  ...
  • 2.0.9 如何选择矩阵U和V以使表达g的比特数比f少? 40 2.0.10 什么是矩阵对角化? 40 2.0.11 可以对角化任何矩阵吗? 40 2.1 奇异值分解 40 2.1.1 如何能对角化一幅图像? 40 B2.1 可任何图像都展开成矢量的...
  • 因此,面向对象的编程语言使程序能够比较直接地反问题域的本来面目,软件开发人员能够利用人类认识事物所采用的一般思维方法来进行软件开发。C++语言是目前应用最广的面向对象的编程语言。 1-3 什么是结构化程序设计...
  • 假设函数f(x) 泰勒展开:f(x+△x)=f(x)+f'(x)*△x+o(△x) 令:△x=-α*f'(x) ,即负梯度方向乘以一个很小的步长α △x代入泰勒展开式中:f(x+△x)=f(x)-α*[f'(x)]²+o(△x) 可以看出,α是取得很小的正数,[f'...
  • LINGO软件的学习

    2009-08-08 22:36:50
    借助于集,能够用一个单一的、长的、简明的复合公式表示一系列相似的约束,从而可以快速方便地表达规模较大的模型。 2.2 什么是集 集是一群相联系的对象,这些对象也称为集的成员。一个集可能是一系列产品、卡车或...
  • GSP5.exe

    2020-04-01 09:16:40
    ⑤选中X轴上的点与刚绘出的点,利用“作图”中的“轨迹”命令作出所求作的反比例函数图像——双曲线。 实例编辑 外公切线 一、制作效果 如图,无论是改变两圆的大小,还是圆心距,直线和圆的关系保持不变,即直线...
  • java 经典习题.doc

    2009-09-16 11:32:59
    1.程序分析:利用辗除。 【程序7】 题目:输入一行字符,分别统计出其中英文字母、空格、数字和其它字符的个数。 1.程序分析:利用while语句,条件为输入的字符不为'\n'. 【程序8】 题目:求s=a+aa+aaa+aaaa...
  • aura利用声线跟踪计入了扩散的作用。ease3.0不考虑壁面是光滑还是粗躁的。事实情况是,在现实中总有一定的散射发生。ease4.0根据lambert法则计入这种影响。但是ease4.0中只有aura模块中考虑扩散影响。 改进的声线...
  • VB课程设计俄罗斯方块

    热门讨论 2011-02-25 10:46:55
    利用随机函数在一个预览窗体中提前展示形状供用户参考,然后展示的形状复制到游戏窗体中进行摆放,在游戏窗体中用户就可以使用键盘的方向键来控制方块的运动,然后利用递归语句对每一行进行判断,如果有某行的方块...
  • 我们探讨一下管理经济学与传统经济学的关系以及它与决策学的关系,能更清楚地了管理经济学概念的普遍性和复杂性;而考察传统经济学的结构,则有助于理解管理经学传统经济学的关系。传统经济学的结构可以用若干不同...
  • 变态青蛙跳,每次至少跳一个,至多跳n个,一共有f(n)=2n-1种跳法。考察数学建模的能力。 面试题10:二进制中1的个数:注意到每个非零整数n和n-1进行按位与运算,整数n的二进制数中最右边的1就会变成0,那么二进制数...
  • July的新书《编程之:面试和算法心得》纸质版在本github上的基础上做了极大彻底的改进、优化,无论是完整度、还是最新度、或质量上,都远非博客、github所能相比。换言之,新书《编程之》的质量远高于博客、...
  • 函数tableSizeFor来保证实例化时传入的长度符合要求</li><li>hash函数利用hashCode()与位移运算实现</li><li>处理哈希冲突时,采用拉链,并且利用红黑树来优化查找时间复杂度(达到O(logn))...

空空如也

空空如也

1 2
收藏数 30
精华内容 12
关键字:

利用公式法将函数f