§1.6 行列式按行(列)展开

  在$n$阶行列式中，把$(i,j)$元$a_{ij}$所在的第$i$行和第$j$列划去后，留下来的$n-1$阶行列式叫做$(i,j)$元$a_{ij}$的余子式。记作$M_{ij}$；记

$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij},$

$A_{ij}$叫做$(i,j)$元$a_{ij}$的代数余子式。
引理
  一个$n$阶行列式，如果其中第$i$行所有元素除$(i,j)$元$a_{ij}$外都等于零，那么这个行列式等于$a_{ij}$与它的代数余子式的乘积，即

$D=a_{ij}A_{ij}.$
定理
  (行列式按行(列)展开法则)行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即

$D = a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+ \cdots a_{in}A_{in}\:\: (i = 1,2,\cdots,n),$

或

$D = a_{1i}A_{1i}+a_{2i}A_{2i}+ \cdots a_{ni}A_{ni}\:\: (i = 1,2,\cdots,n).$
推论
  行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即

$a_{i1}A_{j1}+a_{i2}A_{j2}+ \cdots a_{in}A_{jn}\:\: (i\:\: j= 1,2,\cdots,n,\:\: i\neq j)=0,$

或

$a_{1i}A_{1j}+a_{2i}A_{2j}+ \cdots a_{ni}A_{nj}\:\: (i\:\:j  = 1,2,\cdots,n,\:\:i\neq j)=0.$
性质
  代数余子式的重要性质:

$\sum^{n}_{k=1}{a_{ki}A_{kj}} = 
D\delta_{ij} = 
\left\{
\begin{array}{rcl}
D,&&当i=j  \\
0,&&当i\neq j \\
\end{array} \right.$

或

$\sum^{n}_{k=1}{a_{ik}A_{jk}} = 
D\delta_{ij} = 
\left\{
\begin{array}{rcl}
D,&&当i=j  \\
0,&&当i\neq j \\
\end{array} \right.$

其中

$\delta_{ij} = 
\left\{\begin{array}{rcl}
1,&&当i=j  \\
0,&&当i\neq j \\
\end{array} \right..$
 《线性代数》同济大学第五版笔记

 

1. 行列式按行、按列展开，行列式不变 



2. 系数项的行（列）和代数余子式的行（列）不一致时，展开式为0

 



3. 矩阵与伴随矩阵的乘积

 



4. 克罗内克符号

 

                                                    

                                                        
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在n阶行列式中，把(i,j)元aij所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做(i,j)元aij的余子式，记作; 记，Aij叫做(i,j)元aij的代数余子式。
 
 
 
1. 一个n阶行列式，如果其中的第i行的所有元素除(i,j)元aij外都为零，那么这行列式等于aij与它的代数余子式的乘积:
 
 
 
 
2. 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的的代数余子式乘积之和，即：
 
 
 
 
3. 行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即：
 
 
综合2中定义有性质：
 
 

                                                    

                                                        





                                        
                                            
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