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  • 2.提出和讨论了用最小二乘法求解Weibull分布函数参数的方法,并用此法推算了日本落叶松(Larix leptolepis)模拟密度试验林分的直径分布的各参数;3.weibull分希函数的两种形式(1式和2式)在解析直径分布时,都具有较高...
  • 一、2.3 随机变量的分布函数 1.定义 主要研究随机变量在某以区间内取值的概率情况。...长利用性质2来求分布函数中的参数 3.重要公式 P{X<=a} =F(a) P{X>a} =1-P{x<=a} =1-F(a) P{a<X<=b} =P{x&...

    一、2.3 随机变量的分布函数

    1.定义

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    • 主要研究随机变量在某以区间内取值的概率情况。
    • F(x)是x的一个普通实函数
    • X是随机变量,x是参变量
    • 不同的随机变量可能会是相同的分布函数

    2.性质

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    长利用性质2来求分布函数中的参数

    3.重要公式

    • P{X<=a} =F(a)
    • P{X>a} =1-P{x<=a} =1-F(a)
    • P{a<X<=b} =P{x<=b}-P{X<=a} =F(b)-F(a)
    • P{X=a} =F(a)-F(a-0)
    • P{a<=X<=b} =F(b)-F(a-0)
    • P{X<a} =F(a-0)
    • P{X>=a} =1-F(a-0)

    F(a-0) 表示从负无穷逼近a但是不包含a点。

    4.离散型随机变量X的分布函数

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    在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    如果是 分布函数 ——>概率
    它的间断点xk是x的取值:P{X=xk}=F(xk)-F(xk-0)

    5.连续型随机变量的分布函数

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    如果连续性随机变量的分布函数中有参数,可以利用连续的定义来求参数

    二、2.4连续型随机变量及其密度

    1.概率密度函数定义

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    2.概率密度函数性质

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    • 前两条性质为充分必要条件
    • 性质2如图:性质2常用于求参数
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    • 性质3如图
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    • 对于连续性随机变量,我们不关心在某一点的取值,而在乎在某一区间上取值的问题。
    • 连续性随机变量 P{X=a} =0;但X=a并非不可能事件,意味着A是不可能事件则,P(A)=0;但P(A)=0,不意味A一定是不可能事件。
    • 随机变量X的概率分布:1.连续型随机变量-概率密度;2.离散型随机变量-分布律。

    做题一般两种。1.告诉概率密度函数求分布函数,积分就行 2告诉分布函数求概率密度函数,求导就行。.

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    3.三种重要的连续型随机变量

    (1)均匀分布

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    • 服从均匀分布的随机变量X落在区间(a,b)任意等长度的子区间的概率相同,只取决于区间长度,与位置无关。
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    • 分布函数和f(x)、F(x)的图形
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    (2)指数分布> 这里是引用

    分布函数
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    重要特征
    对任意 s,t >0
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    X解释为寿命,则表明如果已知X的寿命大于t年,则它再活s年的概率与年龄t无关。
    电子元件的寿命,动物的寿命等都服从指数分布

    (3)正态分布

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    分布函数
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    性质:对称轴、最大值
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    两种变化:固定一个参数,另外一个参数变化

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    标准正态分布(重点)

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    标准正态分布的分布函数和概率密度图
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    性质

    • y轴对称,偶函数
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    标准正态分布通过查表获得分布函数值 在这里插入图片描述
    对于非标准分布函数转化为标准分布函数的方法 重点
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    下图例子为非标准分布函数转化为标准分布函数计算
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  • 似然函数可以简单理解为,在事件发生情况后,利用一个与变量θ有关函数对该现象进行描述的函数,而最大似然估计是求参数θ使得函数所得结果与发生事件的情况最相似。 ------------------------------------------...

    似然函数L(θ|x)

    • 从函数的角度,当变量x已知时,以θ为变量的函数;
    • 从统计的角度,在某一分布下,概率空间中的事件x已知(如抛硬币,x即硬币的正、反面),似然函数为参数θ取什么值时,似然函数L(θ|x)与事件x的结果最接近(最大似然估计)。

    似然函数可以简单理解为,在事件发生情况后,利用一个与变量θ有关函数对该现象进行描述的函数,而最大似然估计是求参数θ使得函数所得结果与发生事件的情况最相似。

     

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    扩展阅读

     

    这个是quora上的一个回答 What is the difference between probability and likelihood?

    有一个硬币,它有θ的概率会正面向上,有1-θ的概率反面向上。θ是存在的,但是你不知道它是多少。为了获得θ的值,你做了一个实验:将硬币抛10次,得到了一个正反序列:x=HHTTHTHHHH。

    无论θ的值是多少,这个序列的概率值为 θ⋅θ⋅(1-θ)⋅(1-θ)⋅θ⋅(1-θ)⋅θ⋅θ⋅θ⋅θ = θ⁷ (1-θ)³

    比如,如果θ值为0,则得到这个序列的概率值为0。如果θ值为1/2,概率值为1/1024。

    但是,我们应该得到一个更大的概率值,所以我们尝试了所有θ可取的值,画出了下图:

    这个曲线就是θ的似然函数,通过了解在某一假设下,已知数据发生的可能性,来评价哪一个假设更接近θ的真实值。

    如图所示,最有可能的假设是在θ=0.7的时候取到。但是,你无须得出最终的结论θ=0.7。事实上,根据贝叶斯法则,0.7是一个不太可能的取值(如果你知道几乎所有的硬币都是均质的,那么这个实验并没有提供足够的证据来说服它是均质的)。但是,0.7却是最大似然估计的取值。

    因为这里仅仅试验了一次,得到的样本太少,所以最终求出的最大似然值偏差较大,如果经过多次试验,扩充样本空间,则最终求得的最大似然估计将接近真实值0.5。在这篇博客中有详细的过程,就不再赘述。

     

    作者:HiTao
    链接:https://www.zhihu.com/question/54082000/answer/470252492
    来源:知乎
    著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权,非商业转载请注明出处。

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    【个人觉得下面这个写的最简单,精炼,也最容易理解!!!】

    L(θ|x)=f(x|θ)
    这个等式表示的是对于事件发生的两种角度的看法。等式两边都是表示的这个事件发生的概率或者说可能性。在给定一个样本x后,我们去想这个样本出现的可能性到底是多大。

    统计学的观点始终是认为样本的出现是基于一个分布的。那么我们去假设这个分布为f,里面有参数theta。对于不同的theta,样本的分布不一样。f(x|θ)表示的就是在给定参数theta的情况下,x出现的可能性多大。L(θ|x)表示的是在给定样本x的时候,哪个参数theta使得x出现的可能性多大。所以其实这个等式要表示的核心意思都是在给一个theta和一个样本x的时候,整个事件发生的可能性多大。

    作者:冯龙
    链接:https://www.zhihu.com/question/54082000/answer/138115757
    来源:知乎
    著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权,非商业转载请注明出处。

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  • 当已知自由度,某累计概率所对应的F值时,可以使用Excel软件中的FINV()函数。有了此函数,即可省去查F分布表的麻烦。该函数的语法格式为:FINV(Probability,Degrees_freedom1,Degrees_freedom2)。 其中各...
    1.Excel软件中的FINV()函数。当已知自由度,求某累计概率所对应的F值时,可以使用Excel软件中的FINV()函数。有了此函数,即可省去查F分布表的麻烦。该函数的语法格式为:FINV(Probability,Degrees_freedom1,Degrees_freedom2)。 其中各参数意义如下:Probability为与F累积分布相关的概率值。Degrees_freedom1为分子自由度。Degrees_freedom2为分母自由度。当Probability>1或Probability<0时、Degrees_free
    

      -dom1<1或Degrees_freedom1≥1010、Degrees_freedom2<1或Degrees_freedom2≥1010,则函数 FINV返回错误值#VALUE!。

      2.利用FINV()函数生成F分布表。若想生成分子、分母自由度为分别为1-10间的F分布表,可在A3单元格输入1,A4单元格输入2,选中A3、A4两单元格,向下拖动填充柄,自动填充值至10。同理在B2单元格输入1,C2单元格输入2,选中B2、C2两单元格,向右拖动填充柄,自动填充值至10,各行、列间都按1增加。在A1单元格中输入α=,B2单元格输入0.05。在B3单元格中,输入公式为=FINV($B$1,$A3,B$2)。这里,B3单元格公式中使用了绝对地址$B$1,此为固定概率值,这里为0.05。使用了混合地址引用$A3,$A表示锚定了A列,以保证不管公式复制到那个单元格,都使用A列的值,因为行前没有$符号,表示行号随着行的变化而变化;B$2锚定了第2行,列号没有锚定,表示随着单元格横向的移动而相应地改变列号;即单元格的公式中,使用B1单元格值作为概率,该行A列值为分子自由度,该列第2行的值作为分母自由度。回车后显示函数值为161.45。选中B3单元格,向右拖动填充柄,至K列,再向下拖动填充柄,至第12行。则得到概率为0.05,分子和分母自由度在1-10之间的函数值。这样得到的函数值小数位数不统一,需要统一设定单元格的格式。选中B3为左上角的整块区域,单击“格式”/“单元格”,在单元格对话框中,选择“数值”,小数位数设为4,以保证所有的数都是4位小数。

      这样获得了两个自由度(df1,df2)分别为1~10的情况下.单尾概率为0.05的F值分布表。

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  • 说的是已知某个随机样本满足某种概率分布,但是其中具体的参数不清楚,参数估计就是通过若干次试验,观察其结果,利用结果推出参数的大概值。最大似然估计是建立在这样的思想上:已知某个参数能使这个样本出现的概率...

    目录

    机器学习的核心是一个模型,一个损失函数loss fuction(由目标函数得出),加上一个优化算法。一个损失函数可以用不同的优化算法,不同的损失函数也可以用相同的优化算法。

    目标函数定义

    最大似然(MLE),最大后验(MAP)都是构造目标函数的方法,是参数估计的方法之一。

    最大似然方法

    最大似然估计,只是一种概率论在统计学的应用,它是参数估计的方法之一。说的是已知某个随机样本满足某种概率分布,但是其中具体的参数不清楚,参数估计就是通过若干次试验,观察其结果,利用结果推出参数的大概值。最大似然估计是建立在这样的思想上:已知某个参数能使这个样本出现的概率最大,我们当然不会再去选择其他小概率的样本,所以干脆就把这个参数作为估计的真实值。
    求最大似然函数估计值的一般步骤:
    (1) 写出似然函数
    (2) 对似然函数取对数,并整理
    (3) 求导数
    (4) 解似然方程

    对于线性回归问题,它的模型是p(y|x)=N(wTx,σ2),我们采用最大似然来构造一个目标函数。
    此时线性回归的loss function是”最小二乘公式”。
    最后用梯度下降来找到目标函数的最值。当然,对于这个问题,我们也可以不用梯度下降,直接用向量的投影来直接算出最优解的表达式。即“最小二乘法”。
    ps:最小二乘法是一种算法,最小二乘公式是一个loss function.

    Logistic regression 的模型是p(y|x)=Ber(y|sigm(wTx)),Ber是伯努利分布,sigm是logistic sigmoid函数,我们采用最大似然来构造一个目标函数。
    此时Logistic regression的loss function是交叉熵.
    与之前的问题不同,这个目标函数比较复杂,是无法像线性回归那样一步直接算出最终的解的,但是,这个目标函数是凸的,所以我们依然能用梯度下降或者牛顿法来来找到它的最优解。

    因为各自的响应变量服从不同的概率分布。在Linear Regression中,前提假设y是服从正态分布。而Logistic中的y是服从二项分布的(为什么不服从正态?因为非0即1啊!),因而,在用极大似然估计计算时,所得到的cost function自然是不一样的。

    岭回归是给参数 w 加上一个高斯的先验分布,并用最大后验来构造目标函数,那么,这就相当于给目标函数加上一个L2正则项。如果我们给参数 w 加上一个拉普拉斯的先验分布,那么我们可以让 w 变得更加稀疏。我们还可以接着往下走,利用后验分布来进行模型平均(model averaging),得到更加完整的贝叶斯方法,

    最优化算法

    优化方法中,有一类是使用函数的梯度信息,包括一阶的方法,例如梯度下降、最小二乘法都是通过求导来求损失函数的最小值, 使得估算值与实际值的总平方差尽量更小;以及二阶的方法,例如牛顿法等。当然,还有和梯度无关的方法,例如 fixed point iteration,坐标下降等

    最小二乘

    最小二乘可以由高斯噪声假设+极大似然估计推导出来
    最小二乘法是直接对Δ求导找出全局最小,是非迭代法。

    梯度下降

    而梯度下降法是一种迭代法,先给定一个β,然后向Δ下降最快的方向调整β,在若干次迭代之后找到局部最小。梯度下降法的缺点是到最小点的时候收敛速度变慢,并且对初始点的选择极为敏感,其改进大多是在这两方面下功夫。

    参考文档:

    https://www.zhihu.com/question/24900876

    展开全文
  • 把这两个放在一起不是因为名字像,而是因为推到过程所用的方法是一样的,都是最大似然函数:已知结果,假设概率分布函数,求解使结果出现的概率最大的参数 1.线性回归:损失函数为最小二乘损失1/2(y-y^)^2 ...
  • 正态分布与l2正则、岭回归

    千次阅读 2019-04-29 22:27:40
    假设模型的参数为w,参数的先验分布是均值为0的正态分布,模型的数据集为D={x1, x2, …,xN}, 求参数的最大后验估计。 解 利用贝叶斯定理, 不妨设w是单个标量, 对于固定的σ,上面求最小化的函数中第一项是常量,第...
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利用分布函数求参数