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  • 2021-04-20 11:34:45

    相信很多人对于伽马分布(Γ分布的分布函数)并不是非常的了解,因此小编在这里为您详解的讲解一下相关信息!

    卡方(n)~gamma(n/2,1/2) 指数分布exp(k)~gamma(1,k)

    伽玛分布是统计学中的一种连续概率函数,包含两个参数α和β,其中α称为形状参数,β称为尺度参数。

    伽玛分布是统计学的一种连续概率函数。Gamma分布中的参数α,形状参数(shape parameter),β称为尺度参数(scale parameter)。意义:假设随机变量X为 等到第α件.

    伽玛分布(gamma distribution)是统计学的一种连续概率函数。gamma分布中的参数α,称为形状参数(shape parameter),β称为尺度参数(scale parameter)。实验定.

    伽马分布,概率密度由指数函数和伽马函数构成,由两个参数α,β描述,α=0时退化为指数分布,伽马分布在概率统计、水文、风速等计算中经常应用,属于重要的非正态分布

    假设X服从Г(a,b)分布,那么cX服从Г(?,?)分布?C为一常数

    利用Г分布变化前后的期望和方差建立等式: 设cX服从Г(x,y) 则c*(a/b)=x/y c^2*(a/b^2)=x/y^2 解得 x=a ,y=b/c

    伽马分布的期望是α/β,方差是α/β^2,与x无关,对于任意一个x都是这样,那。

    X是随机变量,你根本不知道是什麽东西 密度函数fX()的定义 这个X在数轴上取某数n的概率密度为fX(n) 经常n写作小x,confuse了一堆所谓菜鸟 期望,方差都是定值,而.

    卡方分布是特殊的伽马分布,伽马分布的形状参数alpha=n/2,尺度参数l=0.5时,它就是自由度为n的卡方分布

    例如x1,x2,x3……xn为来自伽马分布族的一个样本,x1,x2,x3……xn的联合分布函数为 所以对参数的充分统计量为,阿尔法的是x1*x2..*xn,拉姆达的是:x1+x2+..xn ps.

    设X服从Г(A,B)则Φ(x)=(1-jt/B)^(-A)

    期望是α/β,方差是α/β^2.α,β是伽玛分布的两个参数。

    用MATLAB中自带的gamrnd函数即可,其具体意思如下:gamrnd是用来产生服从伽马分布的随机数函数,有以下几种形式:1. R = gamrnd(A,B)2. 2.R = gamrnd(A,B,v)3. 3..

    伽马分布的期望要看你使用的函数表达式 一般的表达式中期望等于α*β,方差等于α*(β^2)

    Beta分布 ,X1 / (X1+X2)

    X~Gamma(α,β),则其概率密度函数为f(x)=((α^β)/Γ(β))*exp(-α*x)*x^(β-1)

    X服从伽马分布(α,β) 如何证明2X/β服从卡方分布?求详细解答

    前提还应有α=n/2-1由随机变量的线性变换(利用换元积分容易证明):a*X+b与X的密度函数关系为f{a*X+b}(x)=1/|a|*f{X}[(x-a)/b],其中{ }表示下标 ①由于X~Γ(α,β),其密度.

    %假定序列服从 分布,获得参数 的估计%利用参数 估计,得到一个累积分布函数%利用 法进行分布检验 % 表明数据服从 分布, 为置信水平 (‘该序列服从 分布’) %.

    你说的是特殊情况,更一般的情况是自由度为n的卡方分布即为参数是(n/2,2)的gamma分布 这从直观上很难解释,不过客观上两个分布的密度函数是一样的,所以两个.

    当两随机变量服从Gamma分布,且单位时间内频率相同时,Gamma 数学表达式 若随机变量X具有概率密度 其中α>0,β>0,则称随机变量X服从参数α,β的伽马分布,记作G(.

    你指伽方分布吧?期望是n,方差是2n

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    本文包括以下内容:

    • 三道题的分析与代码实现
    • 实验值与理论值的比较
    • 完整代码附录

    题目 1  利用均匀分布U[-1,1],使用中心极限定理产生正态分布的随机数1000个,其中每次用来产生正态分布随机数的均匀分布样本容量个数 ≥ 50。

    理论分析


    由中心极限定理可知, 随机变量X1,X2, ......Xn独立同分布,且具有有限的数学期望和方差,则下面公式中的Yn将近似地服从标准正态分布N(0,1)。
     
    因此我们可以利用-1到1的均匀分布得到一系列Xi,随后分别产生1000个近似服从标准正态分布的单个随机数。

    MATLAB代码实现详解


    仅利用MATLAB中的rand()函数来产生均匀分布的随机数
    由于rand()函数仅产生(0,1)区间的均匀分布,因此还需做一些处理如下:
    function result = my_rand()
      below_zeros = -rand(1,50);
      above_zeros = rand(1,50);
      rand_sum = sum(below_zeros) + sum(above_zeros);
      total = 100;
      result = (rand_sum - total*0.5) / (10*total*total/12);
    end
    上方我们自定义的函数(非MATLAB内置的)是用于产生标准正态分布的单个随机数,所以循环执行该函数1000次并将其返回结果添加至数组之中就得到了我们需要的符合正态分布的随机数组rand_x。
    rand_x = [];
    for  time = 1:1000
        rand_x = [rand_x,my_rand()];
    end
     
    题目 2  在产生的1000个随机数中,均匀随机地抽取一个容量为100的样本。选择有效的点估计量给出基于该样本的总体均值和方差的点估计值,并将其与理论的推导的值比较。

    理论分析


    这一步涉及到了借助样本来估计总体的未知参数,也就是点估计。
    在这里采用了矩估计的方法,由于总体矩可以表现为未知参数的函数,我们用样本矩去替换总体矩,就构建了样本矩与未知参数的关系式。
    由以上公式可看出正态分布中的两个参数都可以由样本矩的式子表示出来,从而实现了对未知总体参数的估计。

    MATLAB代码实现详解


    第二题中需要随机抽取容量为100的样本。
    index = [];
    for time = 1:1000
        index = [index,time]; %产生1~1000的下标数组
    end
    rand_index = randperm(1000,100); %产生1~1000的100个不重复的随机下标
    sample = [];
    for time = 1:100
        sample = [sample,rand_x(rand_index(time))];
    end
    计算基于该样本估计的总体均值与方差:
    predict_ex = sum(sample)/100; %由样本估计出的均值
    sample1 = sample.^2; %将sample数组中的每一个值都平方
    square_sum = sum(sample1);
    predict_dx = square_sum/100 - predict_ex*predict_ex;
    %由样本估计的方差
     
    题目 3  基于抽取的容量的为100的样本给出总体均值和方差的置信度为0.95的置信区间,并考察总体参数是否落在置信区间内。

    理论分析


    这一步中要给出总体参数的置信区间。
    我们先在方差未知的情况下求均值的置信区间,有双侧置信区间公式如下图所示:
    该公式中n为样本容量100,由置信度=0.95,可知 α为0.05,查t分布表可知t0.025(99) = 1.9842
    然后在均值未知情况下求方差的置信区间, 有双侧置信区间公式如下图所示:
    该公式中n为样本容量100,由置信度=0.95,可知 α为0.05,同样的我们去查卡方分布表也能知道公式中有关量的具体值。

    MATLAB代码实现详解


    第三题中代入公式计算基于样本的总体均值和方差的置信区间。
    left_ex = predict_ex - 1.9842*sqrt(predict_dx)/10;
    %均值置信区间左侧
    right_ex = predict_ex + 1.9842*sqrt(predict_dx)/10;
    %均值置信区间右侧
    left_dx = (99*predict_dx)/128.422;
    %方差置信区间左侧
    right_dx = (99*predict_dx)/73.361;
    %方差置信区间右侧

    实验值与理论值比较


     
    第一次运行结果展示:
    可以看出由样本估计的均值为0.0103,由样本估计的方差为0.8851。
    均值的置信区间为(-0.1764,0.1970),方差的置信区间为(0.6823,1.1944)。
     
    第二次运行结果展示:
    可以看出由样本估计的均值为0.1013,由样本估计的方差为0.7502。
    均值的置信区间为(-0.0706,0.2731),方差的置信区间为(0.5783,1.0124)。
     
    总体均值与方差的理论值是0和1,这两次运行的样本估计值与理论值已经比较接近,且都落在了置信区间中。

    完整代码附录


     
    %产生标准正态分布,该部分涉及的my_rand()函数定义在最后
    rand_x = [];
    for time = 1:1000
        rand_x = [rand_x,my_rand()];
    end
    %样本抽取
    index = [];
    for time = 1:1000
        index = [index,time];
    end
    rand_index = randperm(1000,100);
    sample = [];
    for time = 1:100
        sample = [sample,rand_x(rand_index(time))];
    end
    %参数估计
    predict_ex = sum(sample)/100;
    sample1 = sample.^2;
    square_sum = sum(sample1);
    predict_dx = square_sum/100 - predict_ex*predict_ex;
    %求置信区间
    left_ex = predict_ex - 1.9842*sqrt(predict_dx)/10;
    right_ex = predict_ex + 1.9842*sqrt(predict_dx)/10;
    left_dx = (99*predict_dx)/128.422;
    right_dx = (99*predict_dx)/73.361;
    %展示结果数据
    disp(left_ex);
    disp(right_ex);
    disp(left_dx);
    disp(right_dx);
    disp(predict_ex);
    disp(predict_dx);
    %自定义函数用于产生单个正态分布随机数
    function result = my_rand()
      below_zeros = -rand(1,50);
      above_zeros = rand(1,50);
      rand_sum = sum(below_zeros) + sum(above_zeros);
      total = 100;
      result = (rand_sum - total*0) / (10*4/12);
    end
    展开全文
  • 利用matlab产生逆伽马分布,并设置不同参数下逆伽马分布,便于初学者分析逆伽马分布在不同参数下的图形,利用画图工具显示了逆伽马的分布曲线。
  • 基于Rényi熵测度的时频分布函数参数优化 ,戴奇乐,李剑峰,时频分析方法由于能够兼顾信号的时频二维特征而在近年得到广泛使用,但在对多分量信号进行时频分析时会产生交叉项干扰。利用熵测
  • 参数估计与假设检验经验分布函数定义具体应用Q-Q图 经验分布函数 定义 设X1,X2,...,XnX_1,X_2,...,X_nX1​,X2​,...,Xn​是总体FFF的一个样本,用S(x)(−∞<x<∞)S(x)(-∞<x<∞)S(x)(−∞<x<∞)来...

    经验分布函数

    定义

    X 1 , X 2 , . . . , X n X_1,X_2,...,X_n X1,X2,...,Xn是总体 F F F的一个样本,用 S ( x ) ( − ∞ < x < ∞ ) S(x)(-∞<x<∞) S(x)(<x<)来表示 X 1 , X 2 , . . . , X n X_1,X_2,...,X_n X1,X2,...,Xn中不大于 x x x的随机变量个数。定义经验分布函数 F n ( x ) F_n(x) Fn(x)为:
    F n ( x ) = 1 / n ∗ S ( x ) , ( − ∞ < x < ∞ ) F_n(x)=1/n*S(x),(-∞<x<∞) Fn(x)=1/nS(x),(<x<)
    对于一个样本值,经验分布函数 F n ( x ) F_n(x) Fn(x)的观察值是很容易得到的。
    一般地,设 x 1 , x 2 , . . . , x n x_1,x_2,...,x_n x1,x2,...,xn是总体 F F F的一个容量为 n n n的样本值。先将 x 1 , x 2 , . . . , x n x_1,x_2,...,x_n x1,x2,...,xn按自小到大的次序排列,并重新编号。设为:
    x ( 1 ) < = x ( 2 ) < = . . . < = x ( n ) x_{(1)}<=x_{(2)}<=...<=x_{(n)} x(1)<=x(2)<=...<=x(n)
    则经验分布函数 F n ( x ) F_n(x) Fn(x)的观察值为:
    在这里插入图片描述
    格里汶科曾经证明了,当 n − > ∞ n->∞ n>时, F n ( x ) F_n(x) Fn(x)以概率1一致收敛于总体分布函数 F ( x ) F(x) F(x)。因此对于任一实数 x x x,当 n n n充分大时,经验分布函数的任一个观察值与总体分布函数反映的结果只有微小的差别,从而在实际上可当作 F ( x ) F(x) F(x)来使用。

    具体应用

    %a是已经读入的数据
    a=nonzeros(a); %去掉多余的零展成列向量
    [ycdf,xcdf,n]=cdfcalc(a); %计算经验分布函数的取值
    cdfplot(a), title('') %画经验分布函数的图形
    hold on, plot(xcdf,ycdf(2:end),'.') %再重新画经验分布函数的取值
    

    注意:在读入数据时,如果将数据存在了文本格式的文件中,新版的MATLAB(本人使用的是2019a)要将 t e x t r e a d ( ) textread() textread()函数改成 t e x t s c a n ( ) textscan() textscan()函数。

    Q-Q图

    对于一组观察数据 x 1 , x 2 , . . . , x n x_1,x_2,...,x_n x1,x2,...,xn,利用参数估计方法确定了分布模型的参数 θ θ θ后,分布函数 F ( x ; θ ) F(x;θ) F(x;θ)就知道了。如果拟合效果好,观测数据的经验分布就应当非常接近分布模型的理论分布,二经验分布函数的分位数自然也应该与分布模型的理论分位数近似相等。Q-Q图的基本思路就是基于这个观点。将经验分布函数的分位数点和分布模型的理论分位数点作为一对数组画在直角坐标图上,就是一个点, n n n个观测数据对应 n n n个点,如果这 n n n个点看起来像一条直线,说明观测数据与分布模型的拟合效果很好。
    判断观测数据 x 1 , x 2 , . . . , x n x_1,x_2,...,x_n x1,x2,...,xn是否来自于分布 F ( x ) F(x) F(x),Q-Q图的计算步骤:
    1、将 x 1 , x 2 , . . . , x n x_1,x_2,...,x_n x1,x2,...,xn依大小顺序排列成 x ( 1 ) < = x ( 2 ) < = . . . < = x ( n ) x_{(1)}<=x_{(2)}<=...<=x_{(n)} x(1)<=x(2)<=...<=x(n)
    2、取 y i = F − 1 ( ( i − 1 / 2 ) / n ) , i = 1 , 2 , . . . , n y_i=F^{-1}((i-1/2)/n),i=1,2,...,n yi=F1((i1/2)/n),i=1,2,...,n
    3、将 ( y i , x ( i ) ) , i = 1 , 2 , . . . , n (y_i,x_{(i)}),i=1,2,...,n (yi,x(i)),i=1,2,...,n,这 n n n个点画在直角坐标图上。
    4、如果这 n n n个点看起来呈一条 45 ° 45° 45°的直线,从 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0) ( 1 , 1 ) (1,1) (1,1)分布,则 x 1 , x 2 , . . . , x n x_1,x_2,...,x_n x1,x2,...,xn拟合分布 F ( x ) F(x) F(x)的效果很好。

    例题

    一组数据来自于正态分布,求该正态分布的参数。并画出它们的Q-Q图。
    方法一:

    pd=ProbDistUnivParam('normal','[xbar,s]);%定义正态分布
    qqplot(a,pd);%用MATLAB工具箱直接画Q-Q图
    

    方法二:

    %% 下面不利用工具箱画Q-Q图
    % 其中,data代表输入的数据集
    data=nonzeros(data);
    sa=sort(data);%把a按照1从小到大排序
    n=length(data);pi=([1:n]-1/2)/n;
    yi=norminv(pi,xbar,s)';%计算对应的yi值
    hold on,plot(yi,sa,'.');%重新描点画Q-Q图
    

    参考文献

    司守奎,孙玺菁. 数学建模算法与应用. 北京:国防工业出版社,2011.

    展开全文
  • 一、2.3 随机变量的分布函数 1.定义 主要研究随机变量在某以区间内取值的概率情况。...长利用性质2来求分布函数中的参数 3.重要公式 P{X<=a} =F(a) P{X>a} =1-P{x<=a} =1-F(a) P{a<X<=b} =P{x&...

    一、2.3 随机变量的分布函数

    1.定义

    在这里插入图片描述

    • 主要研究随机变量在某以区间内取值的概率情况。
    • F(x)是x的一个普通实函数
    • X是随机变量,x是参变量
    • 不同的随机变量可能会是相同的分布函数

    2.性质

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    长利用性质2来求分布函数中的参数

    3.重要公式

    • P{X<=a} =F(a)
    • P{X>a} =1-P{x<=a} =1-F(a)
    • P{a<X<=b} =P{x<=b}-P{X<=a} =F(b)-F(a)
    • P{X=a} =F(a)-F(a-0)
    • P{a<=X<=b} =F(b)-F(a-0)
    • P{X<a} =F(a-0)
    • P{X>=a} =1-F(a-0)

    F(a-0) 表示从负无穷逼近a但是不包含a点。

    4.离散型随机变量X的分布函数

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    如果是 分布函数 ——>概率
    它的间断点xk是x的取值:P{X=xk}=F(xk)-F(xk-0)

    5.连续型随机变量的分布函数

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    如果连续性随机变量的分布函数中有参数,可以利用连续的定义来求参数

    二、2.4连续型随机变量及其密度

    1.概率密度函数定义

    在这里插入图片描述
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    2.概率密度函数性质

    在这里插入图片描述

    • 前两条性质为充分必要条件
    • 性质2如图:性质2常用于求参数
      在这里插入图片描述
    • 性质3如图
      在这里插入图片描述
    • 对于连续性随机变量,我们不关心在某一点的取值,而在乎在某一区间上取值的问题。
    • 连续性随机变量 P{X=a} =0;但X=a并非不可能事件,意味着A是不可能事件则,P(A)=0;但P(A)=0,不意味A一定是不可能事件。
    • 随机变量X的概率分布:1.连续型随机变量-概率密度;2.离散型随机变量-分布律。

    做题一般两种。1.告诉概率密度函数求分布函数,积分就行 2告诉分布函数求概率密度函数,求导就行。.

    在这里插入图片描述
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    3.三种重要的连续型随机变量

    (1)均匀分布

    在这里插入图片描述

    • 服从均匀分布的随机变量X落在区间(a,b)任意等长度的子区间的概率相同,只取决于区间长度,与位置无关。
      在这里插入图片描述
    • 分布函数和f(x)、F(x)的图形
      在这里插入图片描述
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    (2)指数分布> 这里是引用

    分布函数
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    重要特征
    对任意 s,t >0
    在这里插入图片描述

    X解释为寿命,则表明如果已知X的寿命大于t年,则它再活s年的概率与年龄t无关。
    电子元件的寿命,动物的寿命等都服从指数分布

    (3)正态分布

    在这里插入图片描述
    分布函数
    在这里插入图片描述

    性质:对称轴、最大值
    在这里插入图片描述

    两种变化:固定一个参数,另外一个参数变化

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    在这里插入图片描述
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    标准正态分布(重点)

    在这里插入图片描述
    标准正态分布的分布函数和概率密度图
    在这里插入图片描述
    性质

    • y轴对称,偶函数
      在这里插入图片描述

    标准正态分布通过查表获得分布函数值 在这里插入图片描述
    对于非标准分布函数转化为标准分布函数的方法 重点
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    下图例子为非标准分布函数转化为标准分布函数计算
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

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    随机变量在概率空间中遵循不同类型的分布,这决定了它们的特征并有助于预测。 本文内容列表: ...分布函数的使用 引言 每当我们遇到任何概率实验,我们谈论的是随机变量,它只不过是获取实验预期结果的
  • 简单介绍一元多元随机变量的内容 一下所有的内容都是对应到这个来写的。 这是我的问题,也是学习概率论之后应该掌握的问题。 一维的 为什么要引进随机变量?...多维随机变量分布函数和一维随机变量分布函数之...
  • 任意一组数据的概率密度函数

    千次阅读 2021-04-22 03:05:43
    我们在统计数据处理时,经常计算一个样本的概率密度估计,也就是说给出一组统计数据,要求你绘制出它的概率分布曲线,matlab的统计工具箱中有直接的函数就是:Ksdensity核心平滑密度估计[f,xi] = ksdensity(x)计算...
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  • MATLAB如何使用poisspdf函数计算泊松分布的概率【语法说明】Y=poisspdf(X,lambda):计算X中元素在参数lambda指定的泊松分布下的概率值。Y是与X、lambda同型的数组,如果输入参数中有一个为标量,则将其扩展为与另一...
  • 给出了正态分布时间函数用于地表动态预计时参数的确定方法,并利用该时间函数对某矿区地表下沉实测数据进行了对比预测。研究表明:正态分布时间函数的下沉速度和下沉加速度与地表动态下沉规律是相吻合的;当进行不同...
  • 对给定容量为n的二项分布样本X1,X2,…,Xn,在刻度平方误差损失函数下,利用共轭先验分布讨论二项分布参数θ的Bayes估计,得到了该参数的Bayes估计可容许性的一个充要条件,并给出多层Bayes估计的表达式.
  • Happiness is to find someone who can give you warm and share your life ...数理统计中常用函数、概率分布函数总结克罗内克函数(Kornecker delta)δ(n)={01if i≠jif i=j \delta(n)=\begin{cases} 0& \text{if
  • 当总体分布已知(如总体为正态分布),根据样本数据对总体分布的统计参数进行推断。 先由测得的样本数据计算检验统计量,若计算的统计量值落入约定显著性水平a 时的拒绝域内,说明被检参数之间在所约定的显著性水平...

空空如也

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利用分布函数求参数