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  • 最直接、最有效的方法还是利用分布函数的定义,然后利用 Y 与 X 的关系,对右边括号里的不等式进行变形,将 Y 的分布函数用 X 的分布函数表示出来,然后利用复合函数求导法则,可以出 Y 的概率密度。我们来看一个...

    如果我们知道一个随机变量 X 的分布函数 f03f0c2f1418a74bbf8efe5b83937b1b.png ,要求出它的一个函数 80ea351171d8d11f323ebb3753856778.png 的分布函数,这通常不是一个太容易的问题。

    事实上,对于这一类问题,最直接、最有效的方法还是利用分布函数的定义b7fa2256eb1b0b4208a5f709925fd0e0.png ,然后利用 Y 与 X 的关系,对右边括号里的不等式进行变形,将 Y 的分布函数用 X 的分布函数表示出来,然后利用复合函数求导法则,可以求出 Y 的概率密度。我们来看一个例子。

    例:设随机变量 X 的概率密度为

    ba6be57efc48db817ace48e02ae4ee21.png

    求 Y=ln X 的分布函数与概率密度。

    解:我们先求出 X 的分布函数。

    6c45a7258df35be20a028247e278e89e.png 时, f(x)=0 ,所以 f03f0c2f1418a74bbf8efe5b83937b1b.png =0

    当 x>0 时,

    73e4d79805df01a00fabcefd2b5155bc.png

    所以

    d20933ec5daa43b352cef186175bc76f.png

    我们再来求 Y 的分布函数。由分布函数的定义

    da73847b9a9fd0f133046ff7a4e0512d.png

    最后一步我们利用了分布函数的定义。所以

    630f9cfd89caac0fe694f00e341545ab.png

    这里 y 取所有实数值是因为 d58fdd26b43971893c9a21339840ce61.png 所有 y 成立,所以我们需要取 f03f0c2f1418a74bbf8efe5b83937b1b.png  中 x 为正的部分。

    下一步求密度函数,就只需要求导就行了。

    b31e93ac2c0bbf45a926e1d12eb97032.png

    从这个例子我们可以看出求随机变量函数分布的基本方法了。虽然在一些教材中,针对某些特殊形式的密度函数,导出一些求随机变量函数的分布的计算公式,但是最有效的,还是直接利用分布函数的定义来求,而且这种方法不容易出错。

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  • 我有一个问题,在一个依赖于2个变量(q,r)的函数中执行二定积分,并且其中有一个额外的积分。我想用高斯函数加权的函数是:F(q,r)=f(q,r)+int_{0,r}(h(q,r')dr')并且in必须再次积分才能用高斯函数加权:I(q)=int_{0,...

    我有一个问题,在一个依赖于2个变量(q,r)的函数中执行二定积分,并且其中有一个额外的积分。

    我想用高斯函数加权的函数是:

    F(q,r)=f(q,r)+int_{0,r}(h(q,r')dr')

    并且in必须再次积分才能用高斯函数加权:

    I(q)=int_{0,inf}(F(q,r)^2*g(r)dr)

    高斯g(r)位于坐标R的中心。在

    你可以看到的主要问题是我把数组和标量混合在一起。对于高斯函数(np.ogrid和轴上求和)使用相同的方法可能是一个解决方案,但我不知道如何实现它。在import numpy as np

    from scipy.integrate import quad

    import math as m

    R=53.

    R0=40.

    delta=50.

    c=2.

    qm, rm = np.ogrid[0.0005:2.0:0.0005, 20:100:500j]

    #normalized gauss function

    #g(r)

    def gauss_grid(r,Rmin,pd):

    def gauss(r,Rmin,pd):

    sigma=1.5

    return (1/sigma)*np.exp(-((r-Rmin)**2)/(2*sigma**2))

    gauss_grid = gauss(r,Rmin,pd)

    #normalization of gaussian

    gauss_grid /= np.sum(gauss_grid)

    return gauss_grid

    #spherical function

    #f(q,r)

    def form(q,R):

    return (4/3)*m.pi*3*(np.sin(q*R)-q*R*np.cos(q*R))/(q**3)

    #FINAL function

    #I(q)

    def helfand():

    def F(q,R):

    #integral (0,R) of h(q,r)

    def integral(q,Rmax):

    #h(q,r)

    def integrand(r,q):

    return np.sin(q*r)*(r**2)/(q*r*(1+np.exp(c*(R0-r))))

    return quad(integrand, 0, Rmax, args=(q))[0]

    return (form(q,R)+delta*integral(q,R))**2

    FF_hel=F(qm,rm)

    FF_hel *= gauss_grid(rm,R,pd)

    I=FF_hel.sum(axis=1)

    return I,qm.ravel()

    helfand()

    *更新****

    我试过用整合库(使用quad)和我做不到。就像它没有将正确的参数(q)传递给下一个函数。这里有一个非常简单的版本:

    ^{pr2}$

    错误说明:Supplied function does not return a valid float.

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  • F分布概率密度函数如下图所示:其中:μ为分子自由度,ν为分母自由度Γ为伽马函数的的符号由于Excel没有F分布概率密度函数可用,但是F分布中涉及到GAMMALN()函数,而excel是提供GAMMALN()函数的,所以我们...

    利用Excel绘制t分布的概率密度函数的相同方式,可以绘制F分布的概率密度函数图表。

    F分布的概率密度函数如下图所示:

    其中:μ为分子自由度,ν为分母自由度

    Γ为伽马函数的的符号

    由于Excel没有求F分布的概率密度函数可用,但是F分布中涉及到GAMMALN()函数,而excel是提供GAMMALN()函数的,所以我们可以使用excel中的GAMMALN()函数的运算来计算得到F分布的概率密度函数。(可参见【附录】)

    经转换后上述公式为:

    F(X,df1,df2)=EXP(GAMMALN((DF1+DF2)/2))*(DF1^(DF1/2))*(DF2^(DF2/2))*(X^(DF1/2-1))/EXP(GAMMALN(DF1/2))/EXP(GAMMALN(DF2/2))/((DF2+DF1*X)^((DF1+DF2)/2))

    ……………………………………………………………公式(1)

    现以分子自由度μ=20,分母自由度ν=20为例,求F分布的图表,可由以下几步进行:

    第1步 在Excel单元格中输入自变量

    在A列中,在单元格A2中输入0,在单元格A3中输入0.1,递增0.1,选中单元格A2与A3,按住右下角的填充控制点一直拖到单元格A46是4.4为止,A列的这些数据就作为随机变量t的取值。

    第2步 在单元格B2中输入计算t分布的概率密度函数的公式

    对于公式(1),由于自由度μ=20 ,ν=20则由DF1=20,DF2=20代入;自变量X就是单元格A2的值,所以按Excel相对引用的规则,X由A2代入即可,于是单元格B2内容是

    =EXP(GAMMALN((20+20)/2))/(EXP(GAMMALN(20/2))*EXP(GAMMALN(20/2)))*(20/20)^(20/2)*A2^(20/2-1)*(1+20/20*A2)^(-1/2*(20+20))

    第3步 复制公式

    按住单元格B2右下角的填充控制点,向下一直拖曳到B46,将B2的公式填充复制到B列的相应的单元格。

    第4步 作F分布概率密度函数图表

    选择A1:B46,选“插入”-“图表”-“散点图”-“带平滑线的散点图”,输入标题,调整字号、线型等格式,完成t分布概率密度函数图,如图-1所示:

    图-1

    如将上图的图表类型换成二维面积图,则如图-2-1(2003版)和图-2-2(2010版)所示:

    图-2-1

    图-2-2

    如将上图的图表类型换成三维面积图,则如图-3-1(2003版)和图-3-2(2010版)所示:

    图-3-1

    图-3-2

    为 了方便调整不同的自由度参数值观察图形变化,在Excel数据表中可在第一行的某几个单元格如I1、I2;J1、J2;K1、K2;L1、L2;M1、 M2输入不同参数,然后在公式引用这几个参数时使用不同的方式:列数据为相对引用,而行数据为绝对引用,如I$1、I$2;J$1、J$2;K$1、 K$2;L$1、L$2;M$1、M$2。而A列自变量值则使用:列数据为绝对引用,而行数据为相对引用,如$A4、$A5、$A6等。 例:B4单元格的公式则为:

    =EXP(GAMMALN((I$1+I$2)/2))*(I$1^(I$1/2))*(I$2^(I$2/2))*($A4^(I$1/2-1))/EXP(GAMMALN(I$1/2))/EXP(GAMMALN(I$2/2))/((I$2+I$1*$A4)^((I$1+I$2)/2))

    这样引用的公式可以直接拖曳复制B4:F48。

    数据表输入截图如图-4:

    在公式输入后,选择单元格区间A3:F48,在同一图表作出五种不同自由度的平滑曲线的散点图,如图-5所示:

    图-5

    【附录:关于GAMMALN()函数和EXP()函数】

    函数 GAMMALN 的计算公式如下:

    伽马函数Γ(x)是个定积分,无法直接计算,可由GAMMALN()函数和EXP()函数,并利用对数恒等式:

    间接求得,下面对以上内容使用Excel中的相关文字加以说明。

    GAMMALN函数的作用: 返回伽玛函数Γ(x)的自然对数。 语法: GAMMALN(x)

    X为需要计算函数 GAMMALN 的数值。

    GAMMALN(x)=LN(Γ(x))

    说明: 如果 x 为非数值型,函数 GAMMALN 返回错误值 #VALUE!。 如果 x ≤ 0,函数 GAMMAIN 返回错误值 #NUM!。 数字 e 的 GAMMALN(i) 次幂等于 (i-1)!,其中 i 为整数,常数 e 等于 2.71828182845904,是自然对数的底数。 GAMMALN(8)=8.525161

    EXP(GAMMALN(8))=5040=(8-1)!=FACT(7)

    FACT(N)为返回N-1的阶乘(N-1)!=1×2×3×4×…×(N-2)×(N-1)的函数(其中N为自然数)

    关于EXP()函数:

    EXP()返回 e 的 n 次幂。常数 e 等于 2.71828182845904,是自然对数的底数。

    语法

    EXP(number)

    Number 为底数 e 的指数。

    说明

    若要计算以其他常数为底的幂,请使用指数操作符 (^)。 EXP 函数是计算自然对数的 LN 函数的反函数。 EXP(1)=2.718282(e的近似值)

    EXP(2)=7.389056

    EXP(1)=20.08554

    EXP(LN(3))=3

    于是为求伽马函数Γ(x)首先要回忆一个最基本的恒等式:

    即可得:

    把该恒等式用于伽马函数的取得,可以由以下两步进行:

    先用GAMMALN(x),取得自然对数;http://www.cda.cn/view/18454.html

    再用EXP(GAMMALN(x)),取得伽马函数的值。

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  • 利用联合分布函数求概率 缺点:只能求矩形的概率。

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利用分布函数求概率