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  • 4a+2c+e=02b+d=07a+b-c-d-e=02a+3b+2c+d=06a+3b+c=0如何利用增广矩阵进行适当变换验证上述方程组?...
    2020-12-31 09:23:45

    追答:

    (4 0 2 0 1

    0 2 0 1 0

    7 1 -1 -1 -1

    2 3 2 1 0

    6 3 1 0 0)

    等价于

    (1 0 1/2 0 1/4

    0 1 0 1/2 0

    0 1 -9/2 -1 -11/4

    0 3 1 1 -1/2

    0 3 -2 0 -3/2)

    等价于

    (1 0 1/2 0 1/4

    0 1 0 1/2 0

    0 0 -9/2 -3/2 -11/4

    0 0 1 -1/2 -1/2

    0 0 -2 -3/2 -3/2)

    等价于

    (1 0 1/2 0 1/4

    0 1 0 1/2 0

    0 0 1 -1/2 -1/2

    0 0 -9/2 -3/2 -11/4

    0 0 -2 -3/2 -3/2)

    等价于

    (1 0 1/2 0 1/4

    0 1 0 1/2 0

    0 0 1 -1/2 -1/2

    0 0 0 -3/2 10

    0 0 0 -5/2 -5/2)

    等价于

    (1 0 1/2 0 1/4

    0 1 0 1/2 0

    0 0 1 -1/2 -1/2

    0 0 0 -3 20

    0 0 0 1 1)

    等价于

    (1 0 1/2 0 1/4

    0 1 0 1/2 0

    0 0 1 -1/2 -1/2

    0 0 0 1 1

    0 0 0 0 23)

    可以发现矩阵的秩=5=未知数个数

    所以

    方程只有零解,与a,b,c,d,e不等于矛盾,即方程无解。

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    “对 A * X = B” 矩阵的阶数不限

    可通过修改 a 的值来改变A

    a = np.array([[2, 1, 1], [3, 1, 2], [1, 2, 2]],dtype=float)
    

    可通过修改 b 的值来修改B

    b = np.array([[4],[6],[5]],dtype=float)
    

    模块导入

    import numpy as np
    

    直接上代码

    # 导入 numpy 模块
    import numpy as np
    
    
    # 行交换
    def swap_row(matrix, i, j):
        m, n = matrix.shape
        if i >= m or j >= m:
            print('错误! : 行交换超出范围 ...')
        else:
            matrix[i],matrix[j] = matrix[j].copy(),matrix[i].copy()
        return matrix
    
    
    # 变成阶梯矩阵
    def matrix_change(matrix):
        m, n = matrix.shape
        main_factor = []
        main_col = main_row = 0
        while main_row < m and main_col < n:
            # 选择进行下一次主元查找的列
            main_row = len(main_factor)
            # 寻找列中非零的元素
            not_zeros = np.where(abs(matrix[main_row:,main_col]) > 0)[0]
            # 如果该列向下全部数据为零,则直接跳过列
            if len(not_zeros) == 0:
                main_col += 1
                continue
            else:
                # 将主元列号保存在列表中
                main_factor.append(main_col)
                # 将第一个非零行交换至最前
                if not_zeros[0] != [0]:
                    matrix = swap_row(matrix,main_row,main_row+not_zeros[0])
                # 将该列主元下方所有元素变为零
                if main_row < m-1:
                    for k in range(main_row+1,m):
                        a = float(matrix[k, main_col] / matrix[main_row, main_col])
                        matrix[k] = matrix[k] - matrix[main_row] * matrix[k, main_col] / matrix[main_row, main_col]
                main_col += 1
        return matrix,main_factor
    
    
    # 回代求解
    def back_solve(matrix, main_factor):
        # 判断是否有解
        if len(main_factor) == 0:
            print('主元错误,无主元! ...')
            return None
        m, n = matrix.shape
        if main_factor[-1] == n - 1:
            print('无解! ...')
            return None
        # 把所有的主元元素上方的元素变成0
        for i in range(len(main_factor) - 1, -1, -1):
            factor = matrix[i, main_factor[i]]
            matrix[i] = matrix[i] / float(factor)
            for j in range(i):
                times = matrix[j, main_factor[i]]
                matrix[j] = matrix[j] - float(times) * matrix[i]
        # 先看看结果对不对
        return matrix
    
    
    # 结果打印
    def print_result(matrix, main_factor):
        if matrix is None:
            print('阶梯矩阵为空! ...')
            return
        m, n = matrix.shape
        result = [''] * (n - 1)
        main_factor = list(main_factor)
        for i in range(n - 1):
            # 如果不是主元列,则为自由变量
            if i not in main_factor:
                result[i] = 'x_' + str(i + 1) + '(free var)'
            # 否则是主元变量,从对应的行,将主元变量表示成非主元变量的线性组合
            else:
                # row_of_main表示该主元所在的行
                row_of_main = main_factor.index(i)
                result[i] = str(matrix[row_of_main, -1])
                for j in range(i + 1, n - 1):
                    ratio = matrix[row_of_main, j]
                    if ratio > 0:
                        result[i] = result[i] + '-' + str(ratio) + 'x_' + str(j + 1)
                    if ratio < 0:
                        result[i] = result[i] + '+' + str(-ratio) + 'x_' + str(j + 1)
        print('方程的通解是:', )
        for i in range(n - 1):
            print('x_' + str(i + 1), '=', result[i])
    
    
    # 得到简化的阶梯矩阵和主元列
    def Handle(matrix_a, matrix_b):
        # 拼接成增广矩阵
        matrix_01 = np.hstack([matrix_a, matrix_b])
        print('增广矩阵为:')
        print(matrix_01)
        matrix_01, main_factor = matrix_change(matrix_01)
        print('阶梯矩阵为:')
        print(matrix_01)
        matrix_01 = back_solve(matrix_01, main_factor)
        print('方程的简化阶梯矩阵:')
        print(matrix_01)
        print('方程的主元列为:')
        print(main_factor)
        print_result(matrix_01, main_factor)
        return matrix_01, main_factor
    
    
    if __name__ == '__main__':
        #a = np.array([[0, 1, 1], [0, 1, 0], [1, 0, 0]])
        a = np.array([[2, 1, 1], [3, 1, 2], [1, 2, 2]],dtype=float)
        b = np.array([[4],[6],[5]],dtype=float)
        Handle(a, b)
        print('*' * 20)
    
    
    展开全文
  • 增广矩阵and线性方程组----线性代数

    千次阅读 2020-10-03 14:55:05
    齐次线性方程组: (1)只有零:⇔系数行列式D≠0克莱姆法则:D≠0⇒只有零极大线性无关向量组:n个n维向量相关⇔矩阵的行列式=0(并且同时交换一个向量组多个相同位置的分量不改变相关性)(1)只有零:\...

    齐次线性方程组:

    ( 1 ) 只 有 零 解 : ⇔ 系 数 行 列 式 D ≠ 0 克 莱 姆 法 则 : D ≠ 0 ⇒ 只 有 零 解 极 大 线 性 无 关 向 量 组 : n 个 n 维 向 量 相 关 ⇔ 矩 阵 的 行 列 式 = 0 ( 并 且 同 时 交 换 一 个 向 量 组 多 个 相 同 位 置 的 分 量 不 改 变 相 关 性 ) (1)只有零解:\Leftrightarrow系数行列式D\neq 0 \\ 克莱姆法则:D\neq 0 \Rightarrow只有零解 \\ 极大线性无关向量组:\\ n个n维向量相关 \Leftrightarrow 矩阵的行列式 =0 (并且同时交换一个向量组 多个相同位置的分量不改变相关性) (1)D=0D=0线nn=0
    有 非 零 解 ⇔ R ( A ) < n , 基 础 解 系 的 个 数 为 n − R ( A ) 有非零解\Leftrightarrow R(A)<n,基础解系的个数为n-R(A) R(A)<n,nR(A)

    非齐次线性方程组:

    ( 1 ) 有 解 : ⇔ R ( A ) = R ( A ˉ ( 增 广 矩 阵 ) ) 唯 一 解 ⇔ R ( A ) = R ( A ˉ ) = n 无 穷 多 解 R ( A ) = R ( A ˉ ) < n (1)有解:\Leftrightarrow R(A)=R( \bar A(增广矩阵)) \\ 唯一解 \Leftrightarrow R(A)=R( \bar A)=n \\ 无穷多解 R(A)=R( \bar A)<n (1)R(A)=R(Aˉ(广))R(A)=R(Aˉ)=nR(A)=R(Aˉ)<n

    用增广矩阵解方程组:

    化简:
    ( 1 0 a b ∣ e 0 1 c d ∣ f 0 0 0 0 ∣ 0 ) \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } & { a } & { b } & { | } & { e } \\ {0 } & {1} & {c } & { d } & { | } & { f } \\ {0 } & {0} & { 0 } & { 0 } & { |} & { 0 } \end{array}\right) 100010ac0bd0ef0
    则 : x 1 + a x 3 + b x 4 = e x 2 + c x 3 + d x 4 = f 则: \\ x_1+ax_3+bx_4=e\\ x_2+cx_3+dx_4=f\\ x1+ax3+bx4=ex2+cx3+dx4=f

    则特解为
    η = ( e f 0 0 ) 一 般 令 自 由 变 量 为 1 ξ 1 = ( a c 1 0 ) ξ 2 = ( b d 0 1 ) η=\left( \begin{array} { l l } { e } \\ { f } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array}\right)\\ 一般令自由变量为1\\ ξ_1=\left( \begin{array} { l l } { a } \\ { c } \\ { 1 } \\ { 0 } \end{array}\right)ξ_2=\left( \begin{array} { l l } { b } \\ { d } \\ { 0 } \\ { 1 } \end{array}\right) η=ef001ξ1=ac10ξ2=bd01
    则原方程的解为:
    x = η + k 1 ξ 1 + k 2 ξ 2 , ( k 1 , k 2 为 任 意 常 数 ) x= η+k_1 ξ_1+k_2ξ_2,(k_1,k_2为任意常数) x=η+k1ξ1+k2ξ2,(k1,k2)

    在矩阵的初等变换求逆中也用到了“增广的形式”

    ( A ∣ E ) ⟶ 行 变 换 ( E ∣ A − 1 ) \left( \begin{array} { l l } { A } & { | } & { E} \end{array}\right) \stackrel{行变换}{\longrightarrow} \left( \begin{array} { l l } { E } & { | } & { A^{-1}} \end{array}\right) (AE)(EA1)
    ( A − E ) ⟶ 列 变 换 ( E − A − 1 ) \left( \begin{array} { l l } { A } \\ { - } \\ { E} \end{array}\right) \stackrel{列变换}{\longrightarrow}\left( \begin{array} { l l } { E } \\ { - } \\ { A^{-1}} \end{array}\right) AEEA1

    展开全文
  • 增广矩阵加行加列以线性方程组的技术,陈必红,,在现在的线性代数的标准教材中,求解一个一般的线性方程组的通的办法是,先写出方程组增广矩阵,然后对之做行初等变换变成行
  • 《线性代数》中给出的方法主要有两类:1、设置增广矩阵利用高斯消元法,通过初等行列变换可以求 但这种方法不利于使用计算机计算。2、利用矩阵对角化求 这种方法关键在于求解矩阵 的特征值和特征向量,根据《线性...

    1、引言

    求解线性方程组在许多领域中都有重要应用,写成矩阵的形式:

    求解

    可以写成:
    ,这里需要求解矩阵
    的逆。《线性代数》中给出的方法主要有两类:

    1、设置增广矩阵,利用高斯消元法,通过初等行列变换可以求

    但这种方法不利于使用计算机计算。

    2、利用矩阵对角化求

    这种方法关键在于求解矩阵

    的特征值和特征向量,根据《线性代数》中给出求特征值和特征向量的方法,其复杂度大概是
    ,其中
    是矩阵的行数,有个著名的算法SVD(singular value decomposition)。关于SVD的介绍已经很多了,今天我们想要更近一步,介绍另一种著名的矩阵对角化方法——
    Jacobi方法

    2、经典Jacobi方法

    1846年数学家Jacobi提出的经典Jacobi方法用于求解实对称矩阵的特征值。它的核心思想是采用一些列的Jacobi平面旋转矩阵将对称阵

    变为对角阵

    左右的Jacobi旋转矩阵乘起来就是特征向量组成的特征矩阵,
    为特征值组成的对角阵。Jacobi希望每通过一个Jacobi旋转矩阵都能消去矩阵
    中的

    Jacobi旋转矩阵定义如下:

    一个Jacobi旋转矩阵,对角线上只有第i行i列,j行j列为c,其余为1,未标出的元素均为0。

    表示消去元素在矩阵
    中的位置,其中
    ,
    被称为旋转角,我们的目的就是找到一个合适的
    ,使得非对角元上的两个元素变为0。由于
    仅影响
    行列的元素,故写为二阶主子式来表示旋转变换过程:

    其中

    解得:

    当一次变换结束后,

    同时为0,而矩阵
    的非对角元素的Frobenius norm的平方和将减少
    [2]

    其中

    表示取A的对角线元素组成的对角矩阵。Frobenius norm的定义为:

    3、复杂度分析

    时,说明
    被对角化了,其中
    为精度要求。从贪心算法的角度来说,每次做旋转都希望尽可能减少Frobenius norm,因此
    的选择矩阵
    中最大的非对角元做旋转变换。

    但由于每次做旋转变换后会影响矩阵

    两行两列的数据,这会导致前面变成0的非对角元素在后续的变换中变为非0因此旋转矩阵个数并不是
    ,同时在矩阵中寻找绝对值最大非对角元的复杂度也是
    ,而合并旋转变换矩阵的部分复杂度为
    ,这在大规模矩阵中,遍历元素将占绝大部分时间。

    可能的改进方法

    (1)循环Jacobi方法[3]

    按照行顺序或者列顺序依次做Jacobi旋转变换,持续多轮,直到满足收敛条件。

    45539b5cff75ddcb5b0547f3f4e4b1e8.png
    图1:循环遍历的Jacobi方法

    (2)过关Jacobi方法[4]

    在顺序遍历的基础上,在加入门限值,大于某个门限值,才做旋转变换,其中门限值与

    的Frobenius norm有关。

    4、非对称矩阵的Jacobi方法

    对于非对称矩阵

    ,可以将其构造为对称矩阵

    5、讨论

    高效使用Jacobi方法的关键在于,如何使用尽量少的旋转角度完成对角化矩阵,贪心算法是否是最优方法还值得进一步探讨。是否在矩阵中存在一个固定的最优的

    的顺序组合,还是说这与矩阵元素的具体取值有关。

    参考文献

    [1] 郭强. 并行JACOBI方法求解矩阵奇异值的研究[D]. 苏州大学.

    [2] C.F. Van Loan G. H. Golub. Matrix COmputations[M]. John Hopkins University Press, Baltimore and London, second edition, 1993.

    [3] E. R. Hansen. On Cyclic Jacobi Methods[J]. J.Soc,Indust.Appl.Math, 1963, 11(2): 448–459.

    [4] B. N. Parlett. The Symmetric Eigenvalue Problem[M]. Prentice-Hall, 1980.

    展开全文
  • c=[a b] % 增广矩阵   result a = 2 2 -1 -1 3 2 1 -1 -1 b = 10 5 -1 c = 2 2 -1 10 -1 3 2 5 1 -1 -1 -1 >>   resource [文档] ww2.mathworks.cn/help/matlab [文档] ww2....
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空空如也

空空如也

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利用增广矩阵解方程组