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2020-12-31 09:23:45
追答:
(4 0 2 0 1
0 2 0 1 0
7 1 -1 -1 -1
2 3 2 1 0
6 3 1 0 0)
等价于
(1 0 1/2 0 1/4
0 1 0 1/2 0
0 1 -9/2 -1 -11/4
0 3 1 1 -1/2
0 3 -2 0 -3/2)
等价于
(1 0 1/2 0 1/4
0 1 0 1/2 0
0 0 -9/2 -3/2 -11/4
0 0 1 -1/2 -1/2
0 0 -2 -3/2 -3/2)
等价于
(1 0 1/2 0 1/4
0 1 0 1/2 0
0 0 1 -1/2 -1/2
0 0 -9/2 -3/2 -11/4
0 0 -2 -3/2 -3/2)
等价于
(1 0 1/2 0 1/4
0 1 0 1/2 0
0 0 1 -1/2 -1/2
0 0 0 -3/2 10
0 0 0 -5/2 -5/2)
等价于
(1 0 1/2 0 1/4
0 1 0 1/2 0
0 0 1 -1/2 -1/2
0 0 0 -3 20
0 0 0 1 1)
等价于
(1 0 1/2 0 1/4
0 1 0 1/2 0
0 0 1 -1/2 -1/2
0 0 0 1 1
0 0 0 0 23)
可以发现矩阵的秩=5=未知数个数
所以
方程只有零解,与a,b,c,d,e不等于矛盾,即方程无解。
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“对 A * X = B” 矩阵的阶数不限
可通过修改 a 的值来改变A
a = np.array([[2, 1, 1], [3, 1, 2], [1, 2, 2]],dtype=float)
可通过修改 b 的值来修改B
b = np.array([[4],[6],[5]],dtype=float)
模块导入
import numpy as np
直接上代码
# 导入 numpy 模块 import numpy as np # 行交换 def swap_row(matrix, i, j): m, n = matrix.shape if i >= m or j >= m: print('错误! : 行交换超出范围 ...') else: matrix[i],matrix[j] = matrix[j].copy(),matrix[i].copy() return matrix # 变成阶梯矩阵 def matrix_change(matrix): m, n = matrix.shape main_factor = [] main_col = main_row = 0 while main_row < m and main_col < n: # 选择进行下一次主元查找的列 main_row = len(main_factor) # 寻找列中非零的元素 not_zeros = np.where(abs(matrix[main_row:,main_col]) > 0)[0] # 如果该列向下全部数据为零,则直接跳过列 if len(not_zeros) == 0: main_col += 1 continue else: # 将主元列号保存在列表中 main_factor.append(main_col) # 将第一个非零行交换至最前 if not_zeros[0] != [0]: matrix = swap_row(matrix,main_row,main_row+not_zeros[0]) # 将该列主元下方所有元素变为零 if main_row < m-1: for k in range(main_row+1,m): a = float(matrix[k, main_col] / matrix[main_row, main_col]) matrix[k] = matrix[k] - matrix[main_row] * matrix[k, main_col] / matrix[main_row, main_col] main_col += 1 return matrix,main_factor # 回代求解 def back_solve(matrix, main_factor): # 判断是否有解 if len(main_factor) == 0: print('主元错误,无主元! ...') return None m, n = matrix.shape if main_factor[-1] == n - 1: print('无解! ...') return None # 把所有的主元元素上方的元素变成0 for i in range(len(main_factor) - 1, -1, -1): factor = matrix[i, main_factor[i]] matrix[i] = matrix[i] / float(factor) for j in range(i): times = matrix[j, main_factor[i]] matrix[j] = matrix[j] - float(times) * matrix[i] # 先看看结果对不对 return matrix # 结果打印 def print_result(matrix, main_factor): if matrix is None: print('阶梯矩阵为空! ...') return m, n = matrix.shape result = [''] * (n - 1) main_factor = list(main_factor) for i in range(n - 1): # 如果不是主元列,则为自由变量 if i not in main_factor: result[i] = 'x_' + str(i + 1) + '(free var)' # 否则是主元变量,从对应的行,将主元变量表示成非主元变量的线性组合 else: # row_of_main表示该主元所在的行 row_of_main = main_factor.index(i) result[i] = str(matrix[row_of_main, -1]) for j in range(i + 1, n - 1): ratio = matrix[row_of_main, j] if ratio > 0: result[i] = result[i] + '-' + str(ratio) + 'x_' + str(j + 1) if ratio < 0: result[i] = result[i] + '+' + str(-ratio) + 'x_' + str(j + 1) print('方程的通解是:', ) for i in range(n - 1): print('x_' + str(i + 1), '=', result[i]) # 得到简化的阶梯矩阵和主元列 def Handle(matrix_a, matrix_b): # 拼接成增广矩阵 matrix_01 = np.hstack([matrix_a, matrix_b]) print('增广矩阵为:') print(matrix_01) matrix_01, main_factor = matrix_change(matrix_01) print('阶梯矩阵为:') print(matrix_01) matrix_01 = back_solve(matrix_01, main_factor) print('方程的简化阶梯矩阵:') print(matrix_01) print('方程的主元列为:') print(main_factor) print_result(matrix_01, main_factor) return matrix_01, main_factor if __name__ == '__main__': #a = np.array([[0, 1, 1], [0, 1, 0], [1, 0, 0]]) a = np.array([[2, 1, 1], [3, 1, 2], [1, 2, 2]],dtype=float) b = np.array([[4],[6],[5]],dtype=float) Handle(a, b) print('*' * 20)
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增广矩阵and线性方程组----线性代数
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( 1 ) 只 有 零 解 : ⇔ 系 数 行 列 式 D ≠ 0 克 莱 姆 法 则 : D ≠ 0 ⇒ 只 有 零 解 极 大 线 性 无 关 向 量 组 : n 个 n 维 向 量 相 关 ⇔ 矩 阵 的 行 列 式 = 0 ( 并 且 同 时 交 换 一 个 向 量 组 多 个 相 同 位 置 的 分 量 不 改 变 相 关 性 ) (1)只有零解:\Leftrightarrow系数行列式D\neq 0 \\ 克莱姆法则:D\neq 0 \Rightarrow只有零解 \\ 极大线性无关向量组:\\ n个n维向量相关 \Leftrightarrow 矩阵的行列式 =0 (并且同时交换一个向量组 多个相同位置的分量不改变相关性) (1)只有零解:⇔系数行列式D=0克莱姆法则:D=0⇒只有零解极大线性无关向量组:n个n维向量相关⇔矩阵的行列式=0(并且同时交换一个向量组多个相同位置的分量不改变相关性)
有 非 零 解 ⇔ R ( A ) < n , 基 础 解 系 的 个 数 为 n − R ( A ) 有非零解\Leftrightarrow R(A)<n,基础解系的个数为n-R(A) 有非零解⇔R(A)<n,基础解系的个数为n−R(A)非齐次线性方程组:
( 1 ) 有 解 : ⇔ R ( A ) = R ( A ˉ ( 增 广 矩 阵 ) ) 唯 一 解 ⇔ R ( A ) = R ( A ˉ ) = n 无 穷 多 解 R ( A ) = R ( A ˉ ) < n (1)有解:\Leftrightarrow R(A)=R( \bar A(增广矩阵)) \\ 唯一解 \Leftrightarrow R(A)=R( \bar A)=n \\ 无穷多解 R(A)=R( \bar A)<n (1)有解:⇔R(A)=R(Aˉ(增广矩阵))唯一解⇔R(A)=R(Aˉ)=n无穷多解R(A)=R(Aˉ)<n
用增广矩阵解方程组:
化简:
( 1 0 a b ∣ e 0 1 c d ∣ f 0 0 0 0 ∣ 0 ) \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } & { a } & { b } & { | } & { e } \\ {0 } & {1} & {c } & { d } & { | } & { f } \\ {0 } & {0} & { 0 } & { 0 } & { |} & { 0 } \end{array}\right) ⎝⎛100010ac0bd0∣∣∣ef0⎠⎞
则 : x 1 + a x 3 + b x 4 = e x 2 + c x 3 + d x 4 = f 则: \\ x_1+ax_3+bx_4=e\\ x_2+cx_3+dx_4=f\\ 则:x1+ax3+bx4=ex2+cx3+dx4=f则特解为
η = ( e f 0 0 ) 一 般 令 自 由 变 量 为 1 ξ 1 = ( a c 1 0 ) ξ 2 = ( b d 0 1 ) η=\left( \begin{array} { l l } { e } \\ { f } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array}\right)\\ 一般令自由变量为1\\ ξ_1=\left( \begin{array} { l l } { a } \\ { c } \\ { 1 } \\ { 0 } \end{array}\right)ξ_2=\left( \begin{array} { l l } { b } \\ { d } \\ { 0 } \\ { 1 } \end{array}\right) η=⎝⎜⎜⎛ef00⎠⎟⎟⎞一般令自由变量为1ξ1=⎝⎜⎜⎛ac10⎠⎟⎟⎞ξ2=⎝⎜⎜⎛bd01⎠⎟⎟⎞
则原方程的解为:
x = η + k 1 ξ 1 + k 2 ξ 2 , ( k 1 , k 2 为 任 意 常 数 ) x= η+k_1 ξ_1+k_2ξ_2,(k_1,k_2为任意常数) x=η+k1ξ1+k2ξ2,(k1,k2为任意常数)在矩阵的初等变换求逆中也用到了“增广的形式”
( A ∣ E ) ⟶ 行 变 换 ( E ∣ A − 1 ) \left( \begin{array} { l l } { A } & { | } & { E} \end{array}\right) \stackrel{行变换}{\longrightarrow} \left( \begin{array} { l l } { E } & { | } & { A^{-1}} \end{array}\right) (A∣E)⟶行变换(E∣A−1)
( A − E ) ⟶ 列 变 换 ( E − A − 1 ) \left( \begin{array} { l l } { A } \\ { - } \\ { E} \end{array}\right) \stackrel{列变换}{\longrightarrow}\left( \begin{array} { l l } { E } \\ { - } \\ { A^{-1}} \end{array}\right) ⎝⎛A−E⎠⎞⟶列变换⎝⎛E−A−1⎠⎞ -
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求解线性方程组在许多领域中都有重要应用,写成矩阵的形式:
。
求解
可以写成:
,这里需要求解矩阵
的逆。《线性代数》中给出的方法主要有两类:
1、设置增广矩阵,利用高斯消元法,通过初等行列变换可以求
但这种方法不利于使用计算机计算。
2、利用矩阵对角化求
这种方法关键在于求解矩阵
的特征值和特征向量,根据《线性代数》中给出求特征值和特征向量的方法,其复杂度大概是
,其中
是矩阵的行数,有个著名的算法SVD(singular value decomposition)。关于SVD的介绍已经很多了,今天我们想要更近一步,介绍另一种著名的矩阵对角化方法——
2、经典Jacobi方法
1846年数学家Jacobi提出的经典Jacobi方法用于求解实对称矩阵的特征值。它的核心思想是采用一些列的Jacobi平面旋转矩阵将对称阵
变为对角阵
把
左右的Jacobi旋转矩阵乘起来就是特征向量组成的特征矩阵,
为特征值组成的对角阵。Jacobi希望每通过一个Jacobi旋转矩阵都能消去矩阵
中的
Jacobi旋转矩阵定义如下:
一个Jacobi旋转矩阵,对角线上只有第i行i列,j行j列为c,其余为1,未标出的元素均为0。
表示消去元素在矩阵
中的位置,其中
,
被称为旋转角,我们的目的就是找到一个合适的
,使得非对角元上的两个元素变为0。由于
仅影响
行列的元素,故写为二阶主子式来表示旋转变换过程:
其中
解得:
当一次变换结束后,
和
同时为0,而矩阵
的非对角元素的Frobenius norm的平方和将减少
[2]
其中
表示取A的对角线元素组成的对角矩阵。Frobenius norm的定义为:
3、复杂度分析
当
时,说明
被对角化了,其中
为精度要求。从贪心算法的角度来说,每次做旋转都希望尽可能减少Frobenius norm,因此
的选择矩阵
中最大的非对角元做旋转变换。
但由于每次做旋转变换后会影响矩阵
两行两列的数据,这会导致前面变成0的非对角元素在后续的变换中变为非0因此旋转矩阵个数并不是
,同时在矩阵中寻找绝对值最大非对角元的复杂度也是
,而合并旋转变换矩阵的部分复杂度为
,这在大规模矩阵中,遍历元素将占绝大部分时间。
可能的改进方法
(1)循环Jacobi方法[3]
按照行顺序或者列顺序依次做Jacobi旋转变换,持续多轮,直到满足收敛条件。
图1:循环遍历的Jacobi方法 (2)过关Jacobi方法[4]
在顺序遍历的基础上,在加入门限值,大于某个门限值,才做旋转变换,其中门限值与
的Frobenius norm有关。
4、非对称矩阵的Jacobi方法
对于非对称矩阵
,可以将其构造为对称矩阵
5、讨论
高效使用Jacobi方法的关键在于,如何使用尽量少的旋转角度完成对角化矩阵,贪心算法是否是最优方法还值得进一步探讨。是否在矩阵中存在一个固定的最优的
的顺序组合,还是说这与矩阵元素的具体取值有关。
参考文献
[1] 郭强. 并行JACOBI方法求解矩阵奇异值的研究[D]. 苏州大学.
[2] C.F. Van Loan G. H. Golub. Matrix COmputations[M]. John Hopkins University Press, Baltimore and London, second edition, 1993.
[3] E. R. Hansen. On Cyclic Jacobi Methods[J]. J.Soc,Indust.Appl.Math, 1963, 11(2): 448–459.
[4] B. N. Parlett. The Symmetric Eigenvalue Problem[M]. Prentice-Hall, 1980.
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