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  • 利用微积分计算庚号近似值

    千次阅读 2013-06-04 17:41:26
    用导数f(x+△x)≈f(x)+f'(x)△x可以计算近似值,当然△x要取的足够小 计算庚号2的近似值 f(x+△x)≈f(x)+f'(x)△x取x = 1.96(1.4的平方可以直接开方),△x = 0.04 f(x) = 庚号x ,f'(x) = 1/2 * 1/庚号x f(2) = f...


    用导数f(x+△x)≈f(x)+f'(x)△x可以计算近似值,当然△x要取的足够小
     
    
    计算庚号2的近似值
    f(x+△x)≈f(x)+f'(x)△x
    取x = 1.96(1.4的平方可以直接开方),△x = 0.04
    f(x) = 庚号x  ,f'(x) = 1/2 * 1/庚号x
    f(2) = f(1.96+0.04) = f'(x)(x=1.96)*0.04+f(1.96) = 1/2*1/1.4*0.04+1.4 ≈ 1.4142
     
    
    计算庚号3的近似值
    令f(X)=根号x,由f(x+△x)≈f(x)+f'(x)△x
    取x=2.89, △x=0.11,算得f(3)=1.7+1/3.4*0.11=1.73235...
    再取x=1.732^2=2.999824,△x=0.000176,算得f(3)=1.732+1/3.464*0.000176=1.732050808.

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  • 采用Haar小波和算子矩阵相结合的方法,得到一种Haar小波分数阶积分算子矩阵,利用该算子矩阵,对给定函数做了有效的离散,充分结合Haar小波矩阵的正交性、稀疏性,将分数阶微积分问题转化为算子矩阵的乘积,从而便于...
  • 采用Haar小波和算子矩阵相结合的方法,得到一种 Haar小波分数阶积分算子矩阵,利用该算子矩阵,对给定函数做了有效的离散,充分结合Haar小波矩阵的正交性、稀疏性,将分数阶微积分问题转化为算子矩阵的乘积,从而...
  • #########################常用算法——导数与...###例题:用导数的近似计算函数f(x) = -4*x^2+3*x+2在[0,1]的极值 f = function(x) -4*x^2+3*x+2 ub = 1 lb = 0 m = 1000000 step = (ub-lb)/m x = 0 for...

    #########################常用算法——导数与微分的近似计算#######################

    ###例题:用导数的近似计算求函数f(x) = -4*x^2+3*x+2[0,1]的极值

    f = function(x) -4*x^2+3*x+2

    ub = 1

    lb = 0

    m = 1000000

    step = (ub-lb)/m

    x = 0

    for(i in 1:1000000){

    df = (f(x+step)-f(x))/step

    if(abs(df)<1e-5){cat("x is ",x,"extreme value is ",f(x))}

    x = x+step

    }

    #矩阵方法

    f = function(x) -4*x^2+3*x+2

    x = seq(0,1,by = .00001)

    x0 = x[which.max(f(x))]

    x0;f(x0)

     

    ###用导数的近似计算求出函数f(x) = (1/3)*x^3-(1/2)*x^2-2*x[-2,3]的所有极值点。

    #判定方法1

    f = function(x) (1/3)*x^3-(1/2)*x^2-2*x

    x = -2

    step = 1/10000

    for(i in 1:50000){

    fd = (f(x-step)-f(x))*(f(x+step)-f(x))  #判断是否是极值点

    if(fd>0)print(x)

    x = x+step

    }

    #判定方法2——定义判定

    f = function(x) (1/3)*x^3-(1/2)*x^2-2*x

    ub = 3

    lb = -2

    m = 5000000

    step = (ub-lb)/m

    x = -2

    for(i in 1:m){

    df = (f(x+step)-f(x))/step

    if(abs(df)<1e-5)cat("extreme value point is ",x,'\n')

    x = x+step

    }

     

     

     

    ########################常用算法——定积分的近似计算###########################

    ###利用矩形法近似计算积分shit(0,3)x^2dx

    #利用循环结构

    f = function(x) x^2

    x = 0

    lb = 0

    ub = 3

    m = 30000

    step = (ub-lb)/m

    s = 0

    for(i in 1:30000){

    s = s + step*f(x)

    x = x + step

    }

    cat(s)

    #矩阵方法

    f = function(x) x^2

    x = seq(0,3,length = 30001)

    a = x[2:length(x)]

    sum(f(a)*(3/length(a)))                     #矩形法

     

    ###求积分shit(0,4)(x+2)/sqrt(2*x+1)dx

    #矩阵方法

    f = function(x) (x+2)/sqrt(2*x+1)

    x = seq(0,4,by = .001)

    a = x[2:(length(x)-1)]

    sum(f(a)*.001)                              #矩形法

    #方法2

    a=seq(0,4,by=1e-3)

    tail(a)

    length(a)

    f=function(x) (x+2)/sqrt(2*x+1)

    sum(f(a[-length(a)])*1e-3)                  #矩形法

     

    ###利用梯形法近似计算积分shit(0,1)exp(-1*x^2)dx

    #利用循环结构求解

    f = function(x) exp(-1*x^2)

    lb = 0

    ub = 1

    m = 1000

    step = (ub - lb)/m

    x = 0

    s = 0

    for(i in 1:m){

    long = (f(x)+f(x+step))/2

    s = s + step*long

    x = x+step###注意这里x也要更新,一步一步递增前进

    }

    cat(s)

     

    #矩阵方法

    f = function(x) exp(-1*x^2)

    x = seq(0,1, by = .001)

    a = x[1:(length(x)-1)]

    b = x[2:length(x)]

    c = (a+b)/2

    s = sum(f(c)*.001)###注意这里是f(c)即函数值与步长相乘

    s

     

    ###用矩形法和梯形法近似计算积分shit(0,1)1/(1+x^2)dx,

    ###并由此计算pi的近似值,n = 6被积函数值取5为小数

    #矩形法——循环结构求解

    f = function(x) 1/(1+x^2)

    lb = 0

    ub = 1

    m = 1000

    step = (ub - lb)/m

    x = 0

    s = 0

    for(i in 1:m){

    s = s+f(x)*step

    x = x+step

    }

    p = 4*s;p

    round(p,digits = 5)

     

    #矩形法——矩阵方法求解

    f = function(x) 1/(1+x^2)

    x = seq(0,1,by = .001)

    a = x[1:(length(x)-1)]

    s = sum(f(a)*step);s

    p = 4*s;p

    round(p,digits = 5)

     

    #梯形法——循环结构求解

    f = function(x) 1/(1+x^2)

    lb = 0

    ub = 1

    m = 1000

    step = (ub - lb)/m

    x = 0

    s = 0

    for(i in 1:m){

    s = s + ((f(x)+f(x+step))/2)*step

    x = x+step

    }

    p = 4*s;p

    round(p,digits = 5)

     

    #梯形法——矩阵方法

    f = function(x) 1/(1+x^2)

    x = seq(0,1,by = .001)

    a = x[1:(length(x)-1)]

    b = x[2:length(x)]

    c = (a+b)/2

    s = sum(f(c)*step)

    p = 4*s

    round(p,digits = 5)

     

    ###定积分在几何上的应用——求弧长

    #使用循环结构求解

    f = function(x) log((1+sqrt(1-x^2))/x)-sqrt(1-x^2)

    lb = 1/2

    ub = 1

    m = 10000

    arc = 0

    step = (ub-lb)/m

    x = 1/2

    for(i in 1:m){

    arc = arc + sqrt(step^2 + (f(x+step)-f(x))^2)

    x = x + step

    }

    cat(arc)

    #使用矩阵方法求解

    f = function(x) log((1+sqrt(1-x^2))/x)-sqrt(1-x^2)

    x0 = seq(1/2,1,by = .0001)

    x1 = f(x0[1:(length(x0)-1)])

    x2 = f(x0[2:(length(x0))])

    x = x2 - x1

    arc = sum(sqrt(.0001^2+x^2))

    arc

    ###练习题2,求弧长。x = 1/4*y^2-1/2*log(y)  1<=y<=exp(1)

    #使用循环结构求解

    f = function(y) 1/4*y^2-1/2*log(y)

    plot(f,xlim = c(1,exp(1)))

    ub = exp(1)

    lb = 1

    m = 10000

    step = (ub-lb)/m

    y = 1

    s = 0

    for(i in 1:m){

    s = s + sqrt(step^2 + (f(y+step)-f(y))^2)

    y = y+step

    }

    cat(s)

    #使用矩阵方法求解

    f = function(y) 1/4*y^2-1/2*log(y)

    y0 = seq(1,exp(1),by = .0001)

    y1 = f(y0[1:(length(y0)-1)])

    y2 = f(y0[2:(length(y0))])

    y = y2 - y1

    arc = sum(sqrt(.0001^2+y^2))

    arc

     

    ###定积分在几何上的应用——求面积

    f1 = function(x) sqrt(8-x^2)

    f2 = function(x) .5*x^2

    lb = 0

    ub = 2

    m = 10000

    s = 0

    step = (ub-lb)/m

    x = 0

    for(i in 1:m){

    s = s + (f1(x)-f2(x))*step

    x = x+step

    }

    s = 2*s

    s

    s0 = 8*pi-s

    s0

     

     

    ###定积分在几何上的应用——求体积

    f1 = function(x) x^2

    f2 = function(x) sqrt(x)

    lb = 0

    ub = 1

    m = 10000

    v = 0

    step = (ub-lb)/m

    x = 0

    for(i in 1:m){

    sd = pi*(f2(x))^2-pi*(f1(x))^2

    v = v+ sd*step

    x = x+step

    }

    v

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  • matlab定积分近似计算.ppt MATLAB数学建模与仿真 定积分近似计算 2 定积分计算的基本公式是牛顿 莱布尼兹公式 但当被积函数的原函数不知道时 如何计算 这时就需要利用近似计算 特别是在许多实际应用中 被积函数...

    1eb48e223562581e9f567914d9741b0e.gifmatlab定积分的近似计算.ppt

    MATLAB数学建模与仿真 定积分的近似计算 2 定积分计算的基本公式是牛顿 莱布尼兹公式 但当被积函数的原函数不知道时 如何计算 这时就需要利用近似计算 特别是在许多实际应用中 被积函数甚至没有解析表达式 而是一条实验记录曲线 或一组离散的采样值 此时只能用近似方法计算定积分 本实验主要研究定积分的三种近似计算算法 矩形法 梯形法和抛物线法 同时介绍Matlab计算定积分的相关函数 问题背景和实验目的 定积分的近似计算 1 极限和连续数列极限 0 N 0 使当n N时有 xn a 则函数极限 如果当x x0时有f x A 则 连续 如果当x x0时 有f x f x0 则称f x 在x0连续 闭区间上连续函数必有最大值和最小值 预备知识 微积分 2 微分与导数函数f x 在点x x0的导数为若f x 在x0可导则在x0可微 dy Adx 当f x0 0 函数在x0点附近是上升的 当f x0 0 则f x 在x0点达到局部极大 或局部极小 当n 0得 微分中值定理f x f x0 f x x0 其中 是x0与x之间某个值 Taylor公式 当f x 在含有x0某个开区间内具有直到n 1阶的导数 3 多元函数微分学 设f x y 在点 x0 y0 附近有定义 当 x y 以任何方式趋向于 x0 y0 时 f x y 趋向于一个确定的常数A 则 若A f x0 y0 称f x y 在 x0 y0 点连续 f x y 在点 x0 y0 的偏导数分别定义为 4 积分函数f x 在区间 a b 上的积分定义为 其中a x0 x1 xn b xi xi xi 1 i xi 1 xi i 1 2 n 若在 a b 上 F x f x 则 二重积分定义为 8 矩形法梯形法抛物线法 数值积分的常见算法 主要内容 Matlab求积分函数 数值积分函数 trapz quad dblquad符号积分函数 int 9 矩形法 矩形法 10 矩形法 n充分大 x充分小 左点法 右点法 中点法 点可以任意选取 常见的取法有 左端点 右端点和中点 定积分的近似 11 步长 节点 矩形法 fuluA m 12 矩形法举例 例 用不同的矩形法计算下面的定积分 取n 100 并比较这三种方法的相对误差 13 理论值 左点法相对误差 相对误差分析 矩形法举例 右点法相对误差 中点法相对误差 不同的算法有不同的计算精度 有没有更好的近似计算定积分的方法 14 定积分几何意义 15 曲边小梯形的面积可以由直边小梯形的面积来近似 整个曲边梯形的面积 梯形法 16 如果我们n等分区间 a b 即令 则 梯形公式 梯形法 梯形公式与中点公式有什么区别 fuluB m 17 解 例 用梯形法计算下面定积分 取n 100 并计算相对误差 梯形法举例 a 0 b 1 n 100 f x 1 1 x2 相对误差 18 2n等分区间 a b 得 用抛物线代替该直线 计算精度是否会更好 计算每个节点上的函数值 抛物线法 在区间 x0 x2 上 用过以下三点 的抛物线来近似原函数f x 19 设过以上三点的抛物线方程为 则在区间 x0 x2 上 有 y x2 x p1 x 抛物线法 20 同理可得 相加即得 抛物线法 21 整理后可得 或 辛卜生 Simpson 公式 抛物线法公式 抛物线法 fuluC m 22 例 用抛物线法计算下面定积分 取n 100 并计算相对误差 解 a 0 b 1 n 100 yi f xi 1 1 xi2 抛物线法 相对误差 23 矩形法梯形法抛物线法 数值积分的常见算法 Matlab函数 Matlab求积分函数 数值积分函数 trapz quad dblquad符号积分函数 int 24 矩形法 总结 Matlab数值积分函数 trapz quad dblquad 梯形法 抛物线法 25 trapz x y x为分割点 节点 组成的向量 y为被积函数在节点上的函数值组成的向量 trapz trapz 26 前面的做法 例 用梯形法计算下面定积分 取n 100 解 a 0 b 1 n 100 yi f xi 1 1 xi2 x 0 1 100 1 y 1 1 x 2 trapz x y trapz函数 trapz x 1 1 x 2 trapz举例 27 quad f a b tol f f x 为被积函数 a b 为积分区间 tol为计算精度 将自变量看成是向量 不用自己分割积分区间可以指定计算精度 若不指定 缺省精度是10 6精度越高 函数运行的时间越长此处的函数f是数值形式 应该使用数组运算 即 quad quad 28 解 quad 1 1 x 2 0 1 quad 1 1 x 2 0 1 1e 10 quad 1 1 x 2 0 1 1e 16 函数表达式一定要用单引号括起来 涉及的运算一定要用数组运算 例 用quad计算定积分 quad举例 29 抛物线法计算二重积分 dblquad dblquad f a b c d tol tol为计算精度 若不指定 则缺省精度为10 6f可以是 字符串 inline定义的内联函数 函数句柄 a b 是第一积分变量的积分区间 c d 是第二积分变量的积分区间 按字母顺序 大写字母排在小写字母的前面 dblquad 30 f inline 4 x y 3 y 2 I dblquad f 1 1 0 2 f中关于第一自变量的运算是数组运算 即把x看成是向量 y看成是标量 也可以全部采用数组运算 例 计算二重积分 dblquad inline 4 x y 3 x 2 1 1 0 2 dblquad inline 4 x y 3 x 2 1 1 0 2 X 例 计算二重积分 dblquad举例 31 例 计算二重积分 dblquad x y 4 x y 3 x 2 1 1 0 2 指定x y分别是第一和第二积分变量 dblquad inline 4 x y 3 x 2 1 1 0 2 被积函数f x y 的另一种定义方法 匿名函数 dblquad举例 32 int f a b 计算f关于默认自变量的定积分 积分区间为 a b int f 计算f关于默认自变量的不定积分 int f v a b 计算函数f关于自变量v的定积分 积分区间为 a b int f v 计算函数f关于自变量v的不定积分 findsym f 1 int 符号积分 int 33 例 用int函数计算定积分 解 symsx f 1 1 x 2 int f x 0 1 f sym 1 1 x 2 int f x 0 1 int 1 1 x 2 x 0 1 或 int 1 1 x 2 0 1 或 或 int举例 34 double a 将a转化为双精度型 若a是字符 则取对应的ASCII码 a 3 double a double a 例 ans 3 ans 97 相关函数 35 x 1 0 001 2 y exp x 2 trapz x y 梯形法 抛物线法 quad exp x 2 1 2 10e 10 符号积分法 symsx int exp x 2 x 1 2 例 用Matlab函数近似计算定积分 数值实验 36 抛物线法 dblquad inline x y 2 0 2 1 1 符号积分法 f int x y 2 y 1 1 int f x 0 2 数值实验 例 用Matlab函数近似计算二重积分 1 导数 单调性与极值当f x0 0 函数在x0点附近是上升的 f x0 0 考虑函数f x x2cos x2 3x 4 在 2 2 内的图象特征 建模实验 奶油蛋糕 2奶油蛋糕 某数学家的学生要送一个特大的蛋糕来庆贺他90岁生日 为了纪念他提出的口腔医学的悬链线模型 学生们要求蛋糕店老板将蛋糕边缘半径作成下列悬链线函数r 2 exp 2h exp 2h 5 0 h 1 单位 米 问如何计算重量 解设高为H 半径r 比重为k若蛋糕是单层圆盘的 则蛋糕的重量为 W k Hr2 若蛋糕是双层的 每层高H 2 下层半径r1 上层半径r2 则W k H r12 r22 2如果蛋糕是n层的 每层高H n 半径分别r1 rn 则 若蛋糕边缘是曲线r r h 0 h H 各层半径近似为ri r i 1 2 H n i 1 n 那么当n 3一半径为5m的球形水罐充满了水 底部有一半径为b 0 1m的小孔漏水 问多少时间以后 水面下降至离底部0 5m 解水从孔漏出的速度由下列能量方程决定g z R u2 2 u是速度 z表示从球心测量的水面高度 g为重力加速度 考虑在时间dt内水面变化dz 漏水的体积为uAdt x2dz其中x为高度z水面的半径 A b2由于R2 z2 x2得dt 在顶部z R水降到0 5m时 z 0 5 R 从而t 5m 0 5m 0 43 上机作业 1 分别用梯形法与抛物线法 计算 取n 120 并常识直接使用函数trapz quad 进行计算求解 比较结果的差异 2 试计算定积分 注意 可以运用trapz quad

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  • 单变量微积分笔记6——线性近似和二阶近似 线性近似  假设一般函数上存在点(x0, f(x0)),当x接近基点x0时,可以使用函数在x0点的切线作为函数的近似线。函数f(x)≈f(x0)+f'(x0)(x- x0)即称为函数...
     
    

    单变量微积分笔记6——线性近似和二阶近似

    线性近似

      假设一般函数上存在点(x0, f(x0)),当x接近基点x0时,可以使用函数在x0点的切线作为函数的近似线。函数f(x)≈f(x0)+f'(x0)(x- x0)即称为函数f在x0点的线性近似或切线近似。

    f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)(x- x0)

    公式来源

      导数的定义:

      左右两边同时乘以x-x0,并去掉极限符号:

     

      在x≈x0=0时

     

    几何意义

      线性近似求解的是近似值,其几何意义是在基点的切线近似于原函数的曲线。

      以f(x)=lnx为例,根据公式,在x0=1,lnx≈x-1,曲线和切线如下图所示:

      在x0=1点附近,曲线近似于直线,x越接近x0,二者的近似度越高。在讨论近似时,只有指定基点才有意义。这很容易理解,x越远离x0,曲线和直线的差距越大;同时,当基点不同时,切线的斜率也不同。

    常用线性近似

      x0=0  

      以下是上述线性近似的几何意义:

    sinx≈x

     

    cosx≈1

    ex≈x+1

    ln(x+1)≈x

    (1+x)n≈1+nx,n=2

    化繁为简

      例1:ln(1.1) = ?

      这需要计算器了,但实际工作中往往只需要寻找近似值。

      如果设x=0.1,则 ln(1.1) = ln(1+x),当x≈0时,ln(1+x) ≈ x,在此, 我们认为0.1接近于0,ln(1.1) = ln(1+x) ≈ x = 0.1

      0.1是否接近于0,这是个及其主观的判断,要视具体问题而定。某些时候,0.1可能距离0很远,另一些时候,10也可能距离0很近。

     

      例2:在x≈0时,

      这不需要计算器,直接将代入x=0即可,结果为1。然而这种方法太过简陋,如果判断x=0.1≈0,就需要一个更精确的结果,不能直接将0代入。

     

      还是使用线性近似的思路,首先需要把式子转换成我们认识的写法:

      当x≈0时,根据公式f(x) ≈ f'(0)(x) + f(0),重点是计算f’(0):

      对这个长长的式子求导非常麻烦,涉及到多个求导法则,我们希望用简单的方式求解。

      对于本例来说,非常幸运,我们已经知道x≈0时 ex≈1+x,xn≈1+nx,代入本例:

      当x≈0时,高阶函数3x2/2≈0,随着x→0,3x2/2更快地趋近于0,所以上式可舍弃高阶函数:

      通过这两个例子可以看出线性近似的作用——化繁为简。等号左侧的式子是繁,比如ln1.1和,通过线性近似将其转化为简单的式子,0.1和1-7x/2

      在转换过程中当然会损失一些精度,但绝大多数时候我们都无需得到精确的解,例如在x=0.0001的时候,原式的计算量相当大,化简后将极大地简化计算,而付出的代价相当少,几乎可以忽略;某些时候甚至根本无法得到精确解,比如无理数的计算。取而代之,我们求得可接受的近似解,通过近似解化繁为简。

      化繁为简的思路也贯穿于整个数学,后续我们将看到,在求解复杂问题时,采取的方法几乎都是不断寻找近似、舍弃。

      在利用计算机寻找最优解时,几个常用的算法是爬山法、模拟退火算法、遗传算法,这些算法都是采用化繁为简的思路,舍弃全局最优解,寻找可以接受的较好解,故每次得到的结果都会稍有偏差。

    二阶近似

    公式

    几何意义

      二阶近似的几何意义是最接近原函数的抛物线,它比线性近似更为精确。

      以f(x)=ln(1+x)为例,根据公式,在x0=0,

      曲线如下:

    ln(1+x)≈x-x2/2

      对比线性近似可以看出,二阶近似在基点附近更贴近原函数。

    为什么会出现1/2

      为什么会出现1/2呢?

      二级近似的几何意义是最接近曲线的抛物线,如果原曲线本身就是抛物线,则二阶近似就是原曲线本身。

      原函数f(x) = a + bx + cx2

      f’(x) = b + 2cx

      f’’(x) = 2c

      当x = 0时,

      f(0) = a,  f’(0) = b , f’’(0) = 2c

      二阶近似 f(x) ≈ a + bx + 2cx2/2 = a + b + cx2

      这就是出现1/2的原因,当然,仅当f(x) = a + bx + cx2时才能如此精确。

    常用二阶近似

      x0=0

       以下是上述线性近似的几何意义:

     

    sinx≈x

     

    cosx≈1-x2/2

     

    ex≈1+x+x2/2

     

    ln(1+x)≈x-x2/2

    示例

    在x≈0时,e-3x(1+x)-1/2=?

    根据ex≈1+x+x2/2 和  (1+x)n≈1+nx+n(n-1) x2/2

    e-3x(1+x)-1/2≈(1-3x+(-3x/2)2)(1-x/2+(-1/2)(-3/2)x2/2) 

    舍弃3阶和4阶函数,e-3x(1+x)-1/2≈1-7x/2+51x2/8

     总结


      作者:我是8位的

      出处:http://www.cnblogs.com/bigmonkey

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