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矩阵求导的技术，在统计学、控制论、机器学习等领域有广泛的应用。鉴于我看过的一些资料或言之不详、或繁乱无绪，本文来做个科普，分作两篇，上篇讲标量对矩阵的求导术，下篇讲矩阵对矩阵的求导术。本文使用小写字母x表示标量，粗体小写字母 表示向量，大写字母X表示矩阵。首先来琢磨一下定义，标量f对矩阵X的导数，定义为，即f对X逐元素求导排成与X尺寸相同的矩阵。然而，这个定义在计算中并不好用，实用上的原因是在对较复杂的函数难以逐元素求导；哲理上的原因是逐元素求导破坏了整体性。试想，为何要将f看做矩阵X而不是各元素的函数呢？答案是用矩阵运算更整洁。所以在求导时不宜拆开矩阵，而是要找一个从整体出发的算法。为此，我们来回顾，一元微积分中的导数(标量对标量的导数)与微分有联系：；多元微积分中的梯度(标量对向量的导数)也与微分有联系： ，这里第一个等号是全微分公式，第二个等号表达了梯度与微分的联系；受此启发，我们将矩阵导数与微分建立联系： ，这里tr代表迹(trace)是方阵对角线元素之和，满足性质：对尺寸相同的矩阵A,B，，即是矩阵A,B的内积，因此上式与原定义相容。然后来建立运算法则。回想遇到较复杂的一元函数如，我们是如何求导的呢？通常不是从定义开始求极限，而是先建立了初等函数求导和四则运算、复合等法则，再来运用这些法则。故而，我们来创立常用的矩阵微分的运算法则：
加减法：；矩阵乘法： ；转置：；迹：。
逆：。此式可在两侧求微分来证明。
行列式： ，其中表示X的伴随矩阵，在X可逆时又可以写作。此式可用Laplace展开来证明，详见张贤达《矩阵分析与应用》第279页。
逐元素乘法：，表示尺寸相同的矩阵X,Y逐元素相乘。
逐元素函数： ，是逐元素运算的标量函数。
我们试图利用矩阵导数与微分的联系 ，在求出左侧的微分df后，该如何写成右侧的形式并得到导数呢？这需要一些迹技巧(trace trick)：
标量套上迹：
转置：。
线性：。
矩阵乘法交换：。两侧都等于。
矩阵乘法/逐元素乘法交换：。两侧都等于。
观察一下可以断言，若标量函数f是矩阵X经加减乘法、行列式、逆、逐元素函数等运算构成，则使用相应的运算法则对f求微分，再使用迹技巧给df套上迹并将其它项交换至dX左侧，即能得到导数。
在建立法则的最后，来谈一谈复合：假设已求得，而Y是X的函数，如何求呢？在微积分中有标量求导的链式法则，但这里我们不能随意沿用标量的链式法则，因为矩阵对矩阵的导数截至目前仍是未定义的。于是我们继续追本溯源，链式法则是从何而来？源头仍然是微分。我们直接从微分入手建立复合法则：先写出，再将dY用dX表示出来代入，并使用迹技巧将其他项交换至dX左侧，即可得到。
接下来演示一些算例。特别提醒要依据已经建立的运算法则来计算，不能随意套用微积分中标量导数的结论，比如认为AX对X的导数为A，这是没有根据、意义不明的。
例1：，求。解：先使用矩阵乘法法则求微分： ，再套上迹并做交换：，对照导数与微分的联系，得到。注意：这里不能用，导数与乘常数矩阵的交换是不合法则的运算(而微分是合法的)。有些资料在计算矩阵导数时，会略过求微分这一步，这是逻辑上解释不通的。例2【线性回归】：，求。解：严格来说这是标量对向量的导数，不过可以把向量看做矩阵的特例。将向量范数写成，求微分，使用矩阵乘法、转置等法则：。对照导数与微分的联系，得到。例3【多元logistic回归】：，求。其中是除一个元素为1外其它元素为0的向量；，其中表示逐元素求指数，代表全1向量。解1：首先将softmax函数代入并写成，这里要注意逐元素log满足等式，以及满足。求微分，使用矩阵乘法、逐元素函数等法则：。再套上迹并做交换，注意可化简，这是根据等式，故。对照导数与微分的联系，得到。解2：定义，则 ，先如上求出 ，再利用复合法则：，得到。例4【方差的最大似然估计】：样本，其中是对称正定矩阵，求方差的最大似然估计。写成数学式是：，求的零点。解：首先求微分，使用矩阵乘法、行列式、逆等运算法则，第一项是，第二项是。再给第二项套上迹做交换：，其中定义为样本方差。对照导数与微分的联系，有，其零点即的最大似然估计为。
最后一例留给经典的神经网络。神经网络的求导术是学术史上的重要成果，还有个专门的名字叫做BP算法，我相信如今很多人在初次推导BP算法时也会颇费一番脑筋，事实上使用矩阵求导术来推导并不复杂。为简化起见，我们推导二层神经网络的BP算法。
例5【二层神经网络】：，求和。其中是除一个元素为1外其它元素为0的向量，同例3，是逐元素sigmoid函数。解：定义，，，则。在例3中已求出 。使用复合法则，注意此处, 都是变量：，使用矩阵乘法交换的迹技巧从第一项得到，从第二项得到。接下来求，继续使用复合法则，并利用矩阵乘法和逐元素乘法交换的迹技巧：，得到。为求，再用一次复合法则：，得到。

	

以下内容是个人理解，如果有说的不对的地方，欢迎指正！
首先我们需要了解一下以下的内容（也是看的网上各种帖子，有书的同学建议多看看书上怎么说的）：

1、二进制的原码、反码和补码，以int类型为例

原码：最高位是符号位（1表示负数，0表示正数），剩余位就是数值位，用二进制表示。

反码：正数的反码与原码相同，负数的反码除符号位以外，其他位取反，即0变成1,1变成0。

补码：正数的补码与原码相同，负数的补码为其反码+1。

正零和负零的补码相同。

我们以十进制的1和-1为例。假如都是整型int类型。

1的原码：00000000 00000000 00000000 00000001

1的反码：00000000 00000000 00000000 00000001

1的补码：00000000 00000000 00000000 00000001

-1的原码：10000000 00000000 00000000 00000001

-1的反码：11111111 11111111 11111111 11111110

-1的补码：11111111 11111111 11111111 11111111

2、有符号数据在计算机中是以补码的形式存储的

3、unsigned无符号类型二进制中没有符号位，全是数值位

比如：二进制 10000000 00000001转换成有符号的short是-1，但是转换成unsigned short是32769（2^15+1）

4、负数的二进制怎么转换为十进制：每个位取反（包括符号位），然后+1，转换成十进制加负号。

比如：10000000 00000000 这个二进制是有符号的short，那么解析后得到的值就是-2^15

5、转换规则：

转换的遵旨就是看计算机里存储的内容是什么，然后再根据类型规则来读这一串二进制数字就行了。

1）长类型–>短类型：取低位

2）短类型–>长类型：高位补全。如果有符号是补符号位，正数补0，负数补1；如果是无符号都补0。

以下面的代码为例：
#include <stdio.h>
int main(void)
{
        short a = -1,a1;
        unsigned short b,b1;
        int c = 98304,c1;
        b=a;
        a1=c;
        b1=c;
        c1=a;
        printf("a=%d,c=%d\n",a,c);
        printf("b=%u,a1=%d,b1=%u,c1=%d\n",b,a1,b1,c1);
}

执行结果：



int c=98304，在计算机中存储的是 00000000 00000001 10000000 00000000

short a=-1,在计算机中存储的是 11111111 11111111

然后我们再来看转换：

1）b=a， b是无符号short，a是有符号short，长度相同，不需要补位或截取，那b就直接指向了a在计算机中的存储内容。

按照无符号short类型来读取这一串二进制数字，就是2^16-1，即65535

2）a1=c，a1是有符号short，c是有符号int，长赋值给短，低位截取16位，得到10000000 00000000这样一个二进制数字，我们按照有符号short来解析，这是一个负数，我们按照上面介绍的负数转换十进制的方法，得到值为-2^15，即-32768。

3）b1=c，b1是无符号short，c是有符号int，长赋值给短，低位截取16位，得到10000000 00000000这样一个二进制数字，

我们按照无符号short来解析，就是2^15 ，即32768。

4）c1=a，c1是有符号int，a是有符号short，短赋值给长，因为c1是有符号类型，所以补符号位1，得到11111111 11111111 11111111 11111111这样一个二进制，我们按照有符号int来解析，这是一个负数，我们按照上面介绍的负数转换十进制的方法，得到的值为-1。