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  • 齐次坐标表示向量与坐标理解

    千次阅读 2019-12-13 16:45:30
    (x, y, z, 0) 表示向量:表示坐标系中一个有向线段 这里可以看出,区别就是0与1。点的重点在点,向量的重点在方向。 有上面两者的定义,可以大概说点是一个固定的值,即在坐标系中可以找到该点即可;...

    在相机变换中经常会遇到利用齐次坐标进行运算的情况,以前都是感觉模模糊糊。今天看了一些文章,对它有了进一步的自我理解。

    先下结论:
    (x, y, z, 1) 表示坐标点:表示坐标系中一个固定的坐标点
    (x, y, z, 0) 表示向量:表示坐标系中一个有向线段
    这里可以看出,区别就是0与1。点的重点在点,向量的重点在方向。
    有上面两者的定义,可以大概说点是一个固定的值,即在坐标系中可以找到该点即可;而向量主要表现在方向上,即基向量可以表示一个向量,对基向量乘以任意值,那么这个向量所表达的意义还是不变的。

    而这里为什么齐次坐标中最后一项“1”,可以表示一个固定点,这里我们对坐标点乘以任意值w(w≠0),那么点变为(wx, wy, wz, w),这里可以看到不管w是任何值,我们只需要将改变后的坐标点最后一项变为1,即对坐标点同时除以w,便可以将该坐标点还原,假设如何最后一项是零的话,那么便会失去该性质。
    而对于向量,这里再次强调,它只是表示一个有向线段,不管这个线段有多长,只要我们知道它的方向,我们便可以表示出该向量。而0即区分可坐标点,同时也可以表示该向量。
    也可这样理解(可能不严谨),点的长度要一定,向量的长度可以随意。

    以上是自我理解,下面是一些较严谨的证明,这里依然一xyz坐标系为例。
    对于一个向量V,可以用一组坐标表示(vx, vy, vz),使得V = vx×x + vy×y + vz×z (1)
    对于一个点P,也可以用一组坐标表示(px, py, pz),使得P-O = px×x + py×y + pz×z (2)
    对式(2)经过变换,可得P = px×x + py×y + pz×z + O (3)
    对式(1)以矩阵形式表示为:V = (vx vy vz 0)T * (x y z o)
    对式(3)以矩阵形式表示为:P = (px py pz 1)T * (x y z o)
    这是(x y z o)可以看做坐标基矩阵。

    参考:https://www.cnblogs.com/csyisong/archive/2008/12/09/1351372.html
    https://blog.csdn.net/yinfourever/article/details/98480841

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  • 版权声明:本文为博主原创文章,未经博主允许不得转载。 博主:shenshikexmu ...本文的算法来源于stackoverflow 的回答finding quaternion representing the rotation ...如下图,三维空间中的向量v1→v1→\over...

    本文为博主“声时刻”原创文章,未经博主允许不得转载。
    联系方式:shenshikexmu@163.com

    本文的算法来源于stackoverflow 的回答finding quaternion representing the rotation from one vector to another

    ##问题
    如下图,三维空间中的向量 v 1 → \overrightarrow{v_1} v1 绕着单位向量 u → \overrightarrow{u} u 旋转 θ \theta θ角后,形成 v 2 → \overrightarrow{v_2} v2 。已知 v 1 → \overrightarrow{v_1} v1 v 2 → \overrightarrow{v_2} v2 求出代表向量间旋转的四元数。

    这里写图片描述
    当知道单位向量 u → \overrightarrow{u} u θ \theta θ角时,这个四元数表示起来很简单。
    q = cos ⁡ θ 2 + sin ⁡ θ 2 u → q=\cos\frac{\theta}{2}+\sin\frac{\theta}{2}\overrightarrow{u} q=cos2θ+sin2θu
    也就是:
    q 0 = cos ⁡ θ 2 q_0=\cos\frac{\theta}{2} q0=cos2θ
    q 1 = sin ⁡ θ 2 u → . x q_1=\sin\frac{\theta}{2}\overrightarrow{u}.x q1=sin2θu .x
    q 2 = sin ⁡ θ 2 u → . y q_2=\sin\frac{\theta}{2}\overrightarrow{u}.y q2=sin2θu .y
    q 3 = sin ⁡ θ 2 u → . z q_3=\sin\frac{\theta}{2}\overrightarrow{u}.z q3=sin2θu .z

    v 1 → \overrightarrow{v_1} v1 v 2 → \overrightarrow{v_2} v2 已知的条件下,角 θ \theta θ可以利用 v 1 → \overrightarrow{v_1} v1 v 2 → \overrightarrow{v_2} v2 内积,也就是 ⋅ \cdot 乘计算出来,向量 u → \overrightarrow{u} u 可以利用 v 1 → \overrightarrow{v_1} v1 v 2 → \overrightarrow{v_2} v2 外积,也就是 × \times ×乘计算出来。

    设:
    v 1 → \overrightarrow{v_1} v1 方向上的单位向量为 n v 1 → \overrightarrow{nv_1} nv1 长度为a。于是 v 1 → = a ⋅ n v 1 → \overrightarrow{v_1}=a\cdot\overrightarrow{nv_1} v1 =anv1
    v 2 → \overrightarrow{v_2} v2 方向上的单位向量为 n v 2 → \overrightarrow{nv_2} nv2 长度为b。于是 v 2 → = b ⋅ n v 2 → \overrightarrow{v_2}=b\cdot\overrightarrow{nv_2} v2 =bnv2
    u → \overrightarrow{u} u 已经为单位向量。
    那么有如下关系:
    v 1 → ⋅ v 2 → = a b cos ⁡ θ \overrightarrow{v_1}\cdot\overrightarrow{v_2}=ab\cos\theta v1 v2 =abcosθ
    v 1 → × v 2 → = a b sin ⁡ θ u → \overrightarrow{v_1}\times\overrightarrow{v_2}=ab\sin\theta\overrightarrow{u} v1 ×v2 =absinθu

    ##算法1
    这里写图片描述
    思路:寻找 v 1 → \overrightarrow{v_1} v1 v 2 → \overrightarrow{v_2} v2 中间的向量 h a l f → \overrightarrow{half} half ,这样 v 1 → \overrightarrow{v_1} v1 h a l f → \overrightarrow{half} half 的夹角是 θ 2 \frac{\theta}{2} 2θ v 1 → \overrightarrow{v_1} v1 h a l f → \overrightarrow{half} half 的外积方向与 u → \overrightarrow{u} u 相同。
    使 h a l f → \overrightarrow{half} half 变成单位向量。

    h a l f → = ( n v 1 → + n v 2 → ) / n o r m ( n v 1 → + n v 2 → ) \overrightarrow{half}=(\overrightarrow{nv_1}+\overrightarrow{nv_2})/norm(\overrightarrow{nv_1}+\overrightarrow{nv_2}) half =nv1 +nv2 /norm(nv1 +nv2 )
    于是
    n v 1 → ⋅ h a l f → = cos ⁡ θ 2 \overrightarrow{nv_1}\cdot\overrightarrow{half}=\cos\frac{\theta}{2} nv1 half =cos2θ
    n v 1 → × h a l f → = sin ⁡ θ 2 u → \overrightarrow{nv_1}\times\overrightarrow{half}=\sin\frac{\theta}{2}\overrightarrow{u} nv1 ×half =sin2θu

    q = cos ⁡ θ 2 + sin ⁡ θ 2 u → q=\cos\frac{\theta}{2}+\sin\frac{\theta}{2}\overrightarrow{u} q=cos2θ+sin2θu 变为
    q = n v 1 → ⋅ h a l f → + n v 1 → × h a l f → q=\overrightarrow{nv_1}\cdot\overrightarrow{half}+\overrightarrow{nv_1}\times\overrightarrow{half} q=nv1 half +nv1 ×half

    function [q] = qUtoV(v1, v2)        
    %Finding quaternion representing the rotation from one vector to another
    
    nv1 = v1/norm(v1);
    nv2 = v2/norm(v2);
    
    if norm(nv1+nv2)==0
        q = [0, [1,0,0]];
    else
        half = (nv1 + nv2)/norm(nv1 + nv2);
        q = [nv1*half',cross(nv1, half)];
    end
    end
    

    ##算法2
    这个算法需要一些数学推导了,呵呵,看了stackoverflow页面,有了四元数的思想,算法1还是很好理解,这个算法2也是想把之前imu的工作结束掉,花了些时间推导了一下。
    v 1 → ⋅ v 2 → = a b cos ⁡ θ \overrightarrow{v_1}\cdot\overrightarrow{v_2}=ab\cos\theta v1 v2 =abcosθ
    v 1 → × v 2 → = a b sin ⁡ θ u → \overrightarrow{v_1}\times\overrightarrow{v_2}=ab\sin\theta\overrightarrow{u} v1 ×v2 =absinθu
    于是
    v 1 → ⋅ v 2 → + a b = a b ( cos ⁡ θ + 1 ) = 2 a b cos ⁡ 2 θ 2 \overrightarrow{v_1}\cdot\overrightarrow{v_2}+ab=ab(\cos\theta+1)=2ab\cos^2\frac{\theta}{2} v1 v2 +ab=abcosθ+1=2abcos22θ
    v 1 → × v 2 → = a b sin ⁡ θ u → = a b sin ⁡ θ u → = 2 a b sin ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 2 u → \overrightarrow{v_1}\times\overrightarrow{v_2}=ab\sin\theta\overrightarrow{u}=ab\sin\theta\overrightarrow{u}=2ab\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}\overrightarrow{u} v1 ×v2 =absinθu =absinθu =2absin2θcos2θu
    向量 [ 2 a b cos ⁡ 2 θ 2 , 2 a b sin ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 2 u → ] [2ab\cos^2\frac{\theta}{2},2ab\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}\overrightarrow{u}] [2abcos22θ,2absin2θcos2θu ] 归一化得到 [ cos ⁡ θ 2 , sin ⁡ θ 2 u → ] [\cos\frac{\theta}{2},\sin\frac{\theta}{2}\overrightarrow{u}] [cos2θ,sin2θu ],正是所要计算的四元数 q q q

    function [q] = qUtoV2(v1, v2) 
    %Finding quaternion representing the rotation from one vector to another
    
    nv1 = v1/norm(v1);
    nv2 = v2/norm(v2);
    
    if norm(nv1+nv2)==0
        q = [0, [1,0,0]];
    else
       
        q = [norm(nv1)*norm(nv2)+nv1*nv2',cross(nv1, nv2)];
        q=q/norm(q);
    end
    
    end
    

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  • 在文本挖掘中计算2篇文章相似度常用向量空间模型中的余弦定理公式判断。     1、 向量空间模式介绍     2、 余弦定理   在空间模型中,两条线的夹角越小,它们的余弦值就越大...

    参考:http://blog.sina.com.cn/s/blog_5caa94a0010122dz.html


    在文本挖掘中计算2篇文章相似度常用向量空间模型中的余弦定理公式判断。

     

     

    1、  向量空间模式介绍

     






     

    2、  余弦定理

     

    在空间模型中,两条线的夹角越小,它们的余弦值就越大,而它们越相似(重叠或者平行)。

     

    从上面看出空间模型中两条连线夹角的余弦值为:


    举一个具体的例子,假如文档X和文档Y对应向量分别是x1,x2,...,x64000 和y1,y2,...,y64000,

    那么它们夹角的余弦等于



     

    3、  文本挖掘中把文档转换为向量空间

              在文本挖掘中,对文档A分词,得到A1,A2,….An,计算得到分词的Tf-Idf: k1,k2,…kn;同样对文档C分词,得到C1,C2…Cn, 计算得到分词的Tf-Idf:d1,d2,…dn。以tf-idf作为分词的权重,则得到文档A的向量P={k1A1 ,k2A2…knAn},转换为P={x1,x2,…Xn}文档C的向量Z={d1C1,d2C2…dnCn},转换为Z={y1,y2….yn},计算文档A和C的相似度就是在向量空间模型中计算它们余弦值.


     

      


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    α默认表示列向量。\alpha^T表示行向量

    如果用线段表示向量,需要加向量标号(上面讲到的希腊字母表示向量不需要加向量标号)

    例如,两个点,点A,点B,线段AB

    \vec{AB}表示向量 

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