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  • 在这里,我们从相对论动力理论开始,该理论对由不同时标支配的松弛机制进行编码,从而共享通用的弱耦合非平衡系统的基本特征。 通过分析求解迟滞相关函数,我们阐明了分支切口是如何从非集体粒子激励中普遍产生的...
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    2018-09-22 10:00:41
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  • RG流动和分支

    2020-04-19 13:02:47
    将RG流解释为在耦合空间中的动力系统,我们会产生各种约束,包括全局(拓扑)约束和局部约束。 这些约束反过来排除了一些拟议的RG流,并且出人意料地预测了新的阶段和不动点,即使是在熟悉的理论中,例如O(N)模型...
  • 分形理论

    2019-10-03 14:29:12
    它与动力系统的混沌理论交叉结合,相辅相成。它承认世界的局部可能在一定条件下,在某一方面(形态,结构,信息,功能,时间,能量等)表现出与整体的相似性,它承认空间维数的变化既可以是离散的也可以是连续的,...

    被誉为大自然的几何学的分形(Fractal)理论,是现代数学的一个新分支,但其本质却是一种新的世界观和方法论。它与动力系统的混沌理论交叉结合,相辅相成。它承认世界的局部可能在一定条件下,在某一方面(形态,结构,信息,功能,时间,能量等)表现出与整体的相似性,它承认空间维数的变化既可以是离散的也可以是连续的,因而拓展了视野。

    分形几何的概念是美籍法国数学家曼德布罗(B.B.Mandelbrot)1975年首先提出的,但最早的工作可追朔到1875年,德国数学家维尔斯特拉斯(K.Weierestrass)构造了处处连续但处处不可微的函数,集合论创始人康托(G.Cantor,德国数学家)构造了有许多奇异性质的三分康托集。1890年,意大利数学家皮亚诺(G.Peano)构造了填充空间的曲线。1904年,瑞典数学家科赫(H.von Koch)设计出类似雪花和岛屿边缘的一类曲线。1915年,波兰数学家谢尔宾斯基(W.Sierpinski)设计了象地毯和海绵一样的几何图形。这些都是为解决分析与拓朴学中的问题而提出的反例,但它们正是分形几何思想的源泉。1910年,德国数学家豪斯道夫(F.Hausdorff)开始了奇异集合性质与量的研究,提出分数维概念。1928年布利干(G.Bouligand)将闵可夫斯基容度应用于非整数维,由此能将螺线作很好的分类。1932年庞特里亚金(L.S.Pontryagin)等引入盒维数。1934年,贝塞考维奇(A.S.Besicovitch)更深刻地提示了豪斯道夫测度的性质和奇异集的分数维,他在豪斯道夫测度及其几何的研究领域中作出了主要贡献,从而产生了豪斯道夫-贝塞考维奇维数概念。以后,这一领域的研究工作没有引起更多人的注意,先驱们的工作只是作为分析与拓扑学教科书中的反例而流传开来。
    真正令大众了解分形是从计算机的普及肇始,而一开始,分形图的计算机绘制也只是停留在二维平面,但这也足以使人们心驰神往。近来,一个分形体爱好者丹尼尔•怀特(英国一钢琴教师)提出一个大胆的方法,创造出令人称奇的3D分形影像,并将它们命名为芒德球(mandelbulb)。

     

    https://www.douban.com/note/230496472/

    转载于:https://www.cnblogs.com/feng9exe/p/8232789.html

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  • 我们研究了希格斯分支中存在于多维N = 4超级Yang-Mills理论缺陷上的冷(2 + 1)维基本物质的集体激发。 该系统通过全息图实现为D3–D5麸相交,其中D5-麸被视为在其体积的内部具有非零规格通量的探针。 我们研究了...
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    专门研究具有单一守恒定律的系统,我们发现扩散极在存在非线性流体动力自相互作用的情况下发生了位移,并且密度-密度格林函数在频率ω= −处获得了扩散极中途的一个分支点。 (i / 2)Dk2。 我们讨论了弥散涨落对于...
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  • 基于MATLAB软件,对减振技术中的分支部分-机械动力减振技术进行了分析和探究,运用MATLAB软件对机械动力减振系统进行了理论公式推导、无阻尼单自由度和双自由度系统建模,完成了计算机系统的仿真和结果验证,归纳和总结...
  • 近几年来,从自组织理论出发,利用动力系统分支理论等数学工具,揭示生物化学、生态学、流行病学等领域内复杂系统的结构和演化规律取得了不少成果,在政治、经济、教育、城市演化等社会科学领域也作了初步尝
  • 控制理论基础(1)--控制工程概述

    千次阅读 2019-08-29 16:53:12
    用反馈来控制系统动态特性的方块图,此处的回授是负回授,因为误差信号是由目标值减去感测到的数值而得,再经过控制器放大控制理论是工程学与数学的跨领域分支,主要处理在有输入信号的动力系统的行为。系统的外部...

     

    控制理论

     

     

    用反馈来控制系统动态特性的方块图,此处的回授是负回授,因为误差信号是由目标值减去感测到的数值而得,再经过控制器放大控制理论是工程学与数学的跨领域分支,主要处理在有输入信号的动力系统的行为。系统的外部输入称为“参考值”,系统中的一个或多个变量需随着参考值变化,控制器处理系统的输入,使系统输出得到预期的效果。

    控制理论一般的目的是借由控制器的动作让系统稳定,也就是系统维持在设定值,而且不会在设定值附近晃动。

    连续系统一般会用微分方程来表示。若微分方程是线性常系数,可以将微分方程取拉普拉斯转换,将其输入和输出之间的关系用传递函数表示。若微分方程为非线性,已找到其解,可以将非线性方程在此解附近进行线性化[1]。若所得的线性化微分方程是常系数的,也可以用拉普拉斯转换得到传递函数。

    传递函数也称为系统函数或网络函数,是一个数学表示法,用时间或是空间的频率来表示一个线性常系数系统中,输入和输出之间的关系。

    控制理论中常用方块图来说明控制理论的内容。

    目录 [隐藏]

    1 简介

    1.1 范例

    2 历史

    3 对控制理论有重要贡献的科学家

    4 经典控制理论

    4.1 闭环传递函数

    4.2 PID控制器

    5 现代控制理论

    6 控制理论主题

    6.1 稳定性

    6.2 可控制性及可观测性

    6.3 控制规格

    6.4 模型识别及鲁棒性

    7 系统分类

    7.1 线性系统控制

    7.2 非线性系统控制

    7.3 分散式系统

    8 主要控制策略

    9 相关条目

    10 参考文献

    11 延伸阅读

    12 外部链接

    简介[编辑]

     

    借由线性二次高斯反馈(LQG)控制,在双摆系统上进行平滑的非线性轨迹规划

    控制理论是

    控制系统可以视为具有四种机能的系统:量测、比较、计算及修正。这四个机能可以用五种元素来实现:感测器换能器发送器控制器及最终控制元件。量测机能是由感测器、换能器及发送器执行,在实务应用上,这三个元素会整合在一个单体内,像是电阻温度计。比较和计算的机能是由控制器执行,可能是电子式的比例控制(P控制)、PI控制PID控制、双稳态的迟滞控制,也可能是可编程逻辑控制器(PLC)。早期的控制器也可能是机械式的,像是离心式调速器或是化油器。修正机能是由最终控制元件执行,最终控制元件改变系统的输出,因此影响操纵或控制的变量。

    范例[编辑]

    车辆的巡航定速系统是让车辆维持在由驾驶者设定的固定参考速度。此时控制器为巡航定速系统,车辆为受控体(plant),而系统是由控制器和车辆所组成,而控制变量是引擎节流阀的位置.会决定引擎可以产生的功率。

    一种最单纯的作法是当驾驶者启动巡航定速系统时,固定引擎节流阀的位置。但是若驾驶者在平坦的路面启动巡航定速系统,车辆在上坡时速度会较慢,车辆在下坡时速度又会较快。这种的控制器称为开环控制器,因为没有去量测系统输出(车辆速度)并且影响控制变量(节流阀位置),因此此系统无法去针对车辆遇到的变化(像路面坡度的变动)去进行调整。

    在闭环控制系统中,利用感测器量测系统输出(车辆速度),并将资料送入控制器中,控制器依资料调整控制变量(节流阀位置),来达到维持理想系统输出(使车辆速度和驾驶者设定的参考速度一致)。此时若车辆在上坡时,感测器会量到车辆的速度变慢,因此会调整节流阀位置,加大引擎输出功率,使马达加速。因为有量测车辆速度的回授,因此控制器可以配合车辆速度的变化进行动态调整。因此产生了控制系统中的“环”范式:控制变量影响系统输出,而再根据量测到的系统输出去调整控制变量。

    历史[编辑]

     

    1768年瓦特蒸气机上的离心式调速器

    虽然许多控制系统在古代时就有了,但此领域较正式的分析是从离心式调速器的动态分析开始的,物理学家詹姆斯·马克士威在1868年为此撰写了论文《论调速器》(On Governors)[2] ,其中描述了自激振荡的现象-由于系统时间延迟,使得系统过度补偿及不稳定的情形。因此也使得得许多科学家对此议题产生兴趣,其中马克士威的同学爱德华·约翰·罗斯将马克士威的研究结果抽象化,应用在一般的线性系统中[3]阿道夫·霍维茨在1877年也独立均分析微分方程的稳定性,其结果即为今日的罗斯-霍维茨定理[4][5]

    动态系统控制的显著成就是载人的飞行.人类首次成功的载人飞行是由莱特兄弟在1903年12月17日达成的,其卓越之处不只是可以使机翼产生升力(这对当时的研究者是已知的),而是在于可以长时间控制其飞行。若要使飞行时间超过几秒钟,对飞机连续、可靠的控制是重要条件之一。

    二次大战时,控制系统是火控系统导引系统及相关电子设备的重要组成之一。

    有时会用机械的方式来增加系统的稳定性.例如船舶稳定器就是安装在船舶吃水线以下.横向张开的鳍片。现在的船舶有用陀螺仪控制的活动鳍片,可以调整攻角,抵抗风或浪作用在船上产生的横摇。

    AIM-9响尾蛇导弹在导弹后方有一个小的控制表面,其外面是一个旋转的圆盘,称为陀螺舵或滚转安定翼。圆盘后的气流会以高速旋转,若导弹开始横摇,圆盘的陀螺力会使控制表面对正气流,减少横摇的影响。因此响尾蛇导弹用一个简单的机械组件代替一个可能非常复杂的控制系统。

    太空竞赛也和精准的航天控制有关,而许多领域也越来越常用到控制理论,例如经济学

    对控制理论有重要贡献的科学家[编辑]

     

    导弹后的陀螺舵

    许多科学家对控制理论有重要贡献,包括以下这几位:

    经典控制理论[编辑]

    为了克服开环控制器的限制,在控制理论中导入了反馈。闭环的控制器利用回授来控制动态系统状态输出。其名称来自系统中的讯息路径:程序输入(例如马达的电压)影响程序输出(例如马达的电流或转矩),利用感测器量测输出,再将量测资料送到控制器中处理,结果送回控制器作为输入信号之一,因此成为一闭环。

    相对于开环控制器,闭环控制器有以下的优点:

    • 噪声抑制能力(像巡航定速中的路面坡度)。

    • 即使在数学模型有一些不确定性的情形下(如模型结构和实际系统不是完全符合,或是模型参数和实际数值不是完全一致),仍有一定程度的性能。

    • 可以稳定不稳定的系统

    • 减少对于参数变动的灵敏度

    • 提升命令追随(命令变化时,系统配合命令变化)的性能

    有些系统中,同时出现开环及闭环的控制,此时的开环会称为前馈,目的是为了提升命令追随的性能。

    PID控制器是常见的闭回路控制器架构。

    闭环传递函数[编辑]

    更多信息:闭环传递函数

    系统的输出y(t)借由感测器F量测后,和参考值r(t)相减,控制器C根据参考值和输出值的误差e调整受控体P的输入u,如图所示,这类的控制器称为闭环控制器。

    由于只有一个输入和输出,此系统会称为SISO(单一输入单一输出)控制系统。MIMO(多重输入多重输出)控制系统是指输入或输出不只一个,在实际应用上也很常见,其输入变量和输出变量会用向量表示,而不是单一数值的标量。在分布参量系统中,向量可能是无限的,即一般的函数

     

    若假设控制器C、受控体P及感测器F都是线性非时变的(各模组输入和输出的关系不随时间改变),可以将上述系统用拉普拉斯转换来分析,因此可以得到以下的关系:

    {\displaystyle Y(s)=P(s)U(s)\,\!} uploading.gif转存失败重新上传取消

    {\displaystyle U(s)=C(s)E(s)\,\!} uploading.gif转存失败重新上传取消

    {\displaystyle E(s)=R(s)-F(s)Y(s)\,\!} uploading.gif转存失败重新上传取消

    其中 {\displaystyle s} uploading.gif转存失败重新上传取消为拉普拉斯转换中的复变量,若要求解Y(s)用R(s)表示,可得:

    {\displaystyle Y(s)=\left({\frac {P(s)C(s)}{1+F(s)P(s)C(s)}}\right)R(s)=H(s)R(s)\,\!} uploading.gif转存失败重新上传取消

    表示式 {\displaystyle H(s)={\frac {P(s)C(s)}{1+F(s)P(s)C(s)}}\,\!} uploading.gif转存失败重新上传取消即为系统的闭环传递函数,分子是从r到y的前馈(开环)增益,分母是1加上经过反馈环的增益.即闭环增益,若 {\displaystyle |P(s)C(s)|\gg 1\,\!} uploading.gif转存失败重新上传取消,也就是说在各s下,其范数都很大,且 {\displaystyle |F(s)|\approx 1\,\!} uploading.gif转存失败重新上传取消,则Y(s)近似于R(s),此时输出会紧密的追随参考输入。

    PID控制器[编辑]

    更多信息:PID控制器

    PID控制器可能是最常用到的控制器,PID的三个字母分别代表比例、积分和微分三个由误差值产生控制信号的方式。若u(t)为控制信号,y(t)为量测到的输出,r(t)为参考输入,误差为 {\displaystyle e(t)=r(t)-y(t)} uploading.gif转存失败重新上传取消,则PID控制器可以表示为以下的形式:

    {\displaystyle u(t)=K_{P}e(t)+K_{I}\int e(t){\text{d}}t+K_{D}{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}e(t)} uploading.gif转存失败重新上传取消

    可以用调整 {\displaystyle K_{P}} uploading.gif转存失败重新上传取消, {\displaystyle K_{I}} uploading.gif转存失败重新上传取消 及 {\displaystyle K_{D}} uploading.gif转存失败重新上传取消三个参数的方式,来达到较理想的控制器特性,调整参数的过程一般是用试误法,不太需要对于系统架构的了解。一般只用比例可以让系统稳定,积分项可以抑制步阶扰动(常常是程序控制的重要规格),也可以修正稳态误差,微分项一般是用来调整系统的阻尼系数。PID控制器是最广为人知的控制方式,但不适用在一些太过于复杂的系统,尤其是MIMO的系统。

    将PID控制器的方程式进行拉普拉斯转换,可得:

    {\displaystyle u(s)=K_{P}e(s)+K_{I}{\frac {1}{s}}e(s)+K_{D}se(s)} uploading.gif转存失败重新上传取消

    {\displaystyle u(s)=\left(K_{P}+K_{I}{\frac {1}{s}}+K_{D}s\right)e(s)} uploading.gif转存失败重新上传取消

    因此PID控制器的传递函数如下:

    {\displaystyle C(s)=\left(K_{P}+K_{I}{\frac {1}{s}}+K_{D}s\right).} uploading.gif转存失败重新上传取消

    需注意在实务上,PID控制器中不会使用纯微分器,一方面在实务上不可行,而且会放大高频噪声,容易造成共振。一般会用相位超前的补偿器,或是有低通滚降的微分器。

    现代控制理论[编辑]

    经典控制理论频域分析为主,而现代控制理论利用时域的状态空间表示法,将系统中的输入、输出及状态变量之间的关系用一阶的微分方程表示。为了抽象化输入、输出及状态变量的数量,这些变量一般会用向量来表示,而微分方程或代数方程(当系统是线性时)则会以矩阵形式表示。状态空间表示法也称为时域分析,提供一个方便且简洁的方式针对多重输入及输出的系统建模及分析,在有输入和输出时,也可以利用拉氏转换,将系统所有的资料包括在其中。现代控制理论不同于频域分析,可以分析非线性或不是零初始条件的系统。状态空间就是指座标轴为状态变量的空间,系统的状态可以表示为状态空间中的一个向量[6]

    控制理论主题[编辑]

    稳定性[编辑]

    在控制理论中的稳定性是指控制系统的状态在特定条件下,可以维持在一定的范围内,不会发散,而在什么范围内才算是稳定则依系统种类而不同。

    为了简单起见,以下的说明是针对连续时间及离散时间的线性非时变系统

    在数学上,一个因果性的系统若要稳定.其传递函数的所有极点的实部都要为负值。考量不同的控制系统,稳定的条件是极点满足以下的条件:

    两者的差异是因为拉普拉斯转换的左半平面,在共形映射后会对应单位圆内的区域。

    若满足上述的条件,一系统即为渐近稳定的系统:渐近稳定控制系统中的变量会由其初值开始,持续的趋近于0,而且不会有一直持续的振荡。一直持续的振荡会出现在极点在虚轴上(连续时间系统)或是其极点大小为1(离散时间系统)。若一个简单的稳定系统,其响应不会递减也不是随时间变大,也不会震荡,此为临界稳定:系统的传递函数在复数平面原点处有不重复的极点。若传递函数中,实部为零的极点,其虚部不为零,表示系统在震荡,也是临界稳定。

    若一离散系统的冲激响应

    {\displaystyle x[n]=0.5^{n}u[n]} uploading.gif转存失败重新上传取消

    则其Z转换后的传递函数为

    {\displaystyle X(z)={\frac {1}{1-0.5z^{-1}}}\ } uploading.gif转存失败重新上传取消

    在 {\displaystyle z=0.5} uploading.gif转存失败重新上传取消处有一个极点.因为极点在单位圆内,系统为BIBO(渐近)稳定。

    若其冲激响应为

    {\displaystyle x[n]=1.5^{n}u[n]} uploading.gif转存失败重新上传取消

    则其Z转换后的传递函数为

    {\displaystyle X(z)={\frac {1}{1-1.5z^{-1}}}\ } uploading.gif转存失败重新上传取消

    在 {\displaystyle z=1.5} uploading.gif转存失败重新上传取消处有一个极点.因为极点在单位圆外,因此系统没有BIBO稳定性。

    许多数学工具可以分析系统的极点,其中也有一些是配合图表分析,像根轨迹波德图奈奎斯特图

    机械上的调整可以提升设备(及控制系统)的稳定性。水手会加入压舱水来提升船的稳定性,邮轮会加入防侧倾的鳍,从船舷往外延伸10米,而持续的绕着其中心轴旋转,产生一个和侧倾相反的力。

    可控制性及可观测性[编辑]

    可控制性可观测性分别是输入和状态,输出和状态之间的性质。是在分析控制系统,决定控制策略或判断是否可以使系统稳定时所需要的重要性质。

    可控制性是指是可以用适当的控制信号作为输入,使特定状态变量的数值变成0,和利用输入调整状态变量的能力有关,若一个状态变量是不可控制的,表示没有输入可以调整这一个状态,若一系统中所有不可控制的状态变量,其动态特性都是稳定的,则此系统称为可稳定的(stabilizable)。可观测性是指可以用输出的量测及计算得到状态变量的值,若一个状态变量是不可观测的,表示无法确认此一状态是否稳定,也就无法用此状态来稳定整个系统。若一系统中所有不可控制的观测变量都是稳定的,则此系统称为可检测的(detectable)。

    若以几何观点来看,若要控制系统中所有的状态,那些“不好”的状态都需是可控制且可观测的,才能确保闭环系统的良好特性。若系统中有一个状态不是可控制且可观测的,无法在闭环系统中调整其动态特性。若此状态的动态特性是不稳定的,此特性也会出现在闭环系统中,因此整个系统也是不稳定的。在状态空间转换到传递函数时,不可观测的的极点不会出现在传递函数中,因此在一些动力系统分析时,会选择使用状态空间表示法。

    不可控制或不可观察的系统,可以用加入致动器或感测器的方式改善。

    控制规格[编辑]

    在控制原理的基础下,已发展出许多不同的控制策略,从非常通用的(PID控制器),到针对特殊系统的控制,尤其是机器人或是航空器巡航定速控制。

    一个控制问题会有许多的规格,其中稳定性是必要条件的,不论系统开环稳定性如何,控制器需确保在闭环下是稳定的。性能不佳或是调整不当的控制器可能使系统变的不稳定,甚至可能比开环还要不稳定,这是应尽量要避免的。

    有时会希望在闭环下有较快的动态特性,若是线性时不变系统,其稳定性及动态特性可以用传递函数极点的位置来表示,极点的实部越小,表示有更快的动态特性,一个稳定系统,其极点 {\displaystyle \lambda } uploading.gif转存失败重新上传取消会符合 {\displaystyle Re[\lambda ]<0} uploading.gif转存失败重新上传取消的条件,但再加上动态特性的需求时,系统极点 {\displaystyle \lambda } uploading.gif转存失败重新上传取消会符合 {\displaystyle Re[\lambda ]<-{\overline {\lambda }}} uploading.gif转存失败重新上传取消的条件,其中 {\displaystyle {\overline {\lambda }}} uploading.gif转存失败重新上传取消为一个大于零的定值。

    另一个常见的规格是对步阶扰动的抑制能力,在受控系统前加入积分器即可达到此一需求,其他种类扰动的抑制能力也可以透过其他的子系统才能达成。

    其他“经典”的控制系统规格有些和闭环系统的时域响应有关:包括上升时间(控制系统在扰动后,输出第一次到达理想数值的时间)、峰值过冲(控制系统在扰动后,稳定之前,输出的最大值)、安定时间(控制系统输出维持在理想数值范围的时间)在扰动后,稳定之前,输出的最大值)、四分之一衰减响应(quarter-decay)或其他规格。频域规格一般会和系统的鲁棒性(鲁棒性)有关。

    现在的性能指标也包括一些用积分量或其变体表示的追随误差,像绝对误差积分(IAE)、绝对时间误差积分(ITAE)、平方误差积分(IAE)、惯量中心(COI)等。

    模型识别及鲁棒性[编辑]

    控制系统一定会有一定程度的鲁棒性。控制器一般是依照一个假设的受控系统模组再进行设计,鲁棒性是指一控制器配合的受控系统和原来假设的系统有一点不同,控制器的特性不会有太大的变化。这个规格在实际的控制器中相当重要,因为很少实际系统会完全符合描述它的微分方程,在选择系统数学模型时,一般会进行简化,否则数学模型会非常复杂,甚至无法求得一个完整的模型。

    系统识别

    确认受控系统统御方程的程序称为系统识别。系统识别可以在离线(off-line)时进行,也就是在不是一般运作的情形下进行,例如可以执行一系列的量测程序,计算系统近似数学模型的参数,一般会是系统的传递函数或是矩阵。系统识别是利用系统的输入和输出进行,因此无法考虑没有观测性的系统动态。有时数学模型会直接由已知的物理方程式开始,例如针对有质量、弹簧及阻尼的系统,其数学方程为 {\displaystyle m{\ddot {x}}(t)=-Kx(t)-\mathrm {B} {\dot {x}}(t)} uploading.gif转存失败重新上传取消。不过即使在设计控制器时已经使用受控系统完整的数学模型,其中用到的参数(称为标称参数)也无法绝对的精确,因此当受控系统的参数和标称参数有少许变化时,控制系统也需动作正常。

    有些先进的控制技术会有在线(on-line)的系统识别,也就是在一般运作,控制器正常运作的条件下去计算系统模型的参数,当系统参数发生较大的变化(如机器人手臂释放一重物,负载变轻),控制器可以自动调整,仍然有正常的性能。

    鲁棒性分析

    有关SISO(单一输入单一输出)系统的鲁棒性分析,可以利用频域分析,考虑系统的传递函数,利用奈奎斯特图波德图来达到,相关主题包括增益裕度及相位裕度及幅值裕度(amplitude margin)。但针对MIMO(多重输入多重输出)系统及较复杂的控制系统.需考虑由各控制策略可得到的理论结果,若是需要某一种特别的鲁棒性性质,需考虑可以具有此性筫的控制技术。

    限制

    在鲁棒性需求中有一个较特别的,就是要求在输入变量及输出变量均有限制的情形下,控制系统可以正常运作。在真实世界中的信号都是有限的.但有可能控制系统送出的信号超过实际系统的限制,例如要使一个阀以超过其极限速度的速度旋转,这可能会让闭环系统出现不想要的特性,甚至会使致动器或感测器受损或毁坏。有些特殊的控制技术可以解决此问题,像模型预测控制及反终结(anti-wind up system),后者包括一个特殊的控制方块,可以确保控制信号不会超过限制值,以避免积分终结的情形。

    系统分类[编辑]

    线性系统控制[编辑]

    主条目:状态空间

    针对MIMO的系统,极点的指定可以用开环系统的状态空间,再将极点放在指定位置,计算对应的回授矩阵。若在复杂的系统中,上述的程序需要用电脑辅助计算才能达到,而且不保证其鲁棒性。而且一般而言无法量到所有的系统状态,在极点指定的设计时需加入观测器(observer)的设计。

    非线性系统控制[编辑]

    机器人学航天产业中的程序一般都有高度非线性的动态,在控制理论中有时可以用线性化的方式转换为线性系统,再依线性系统的方式控制。但有时需要用一些可以配合非线性系统使用的非线性控制理论,例如回授线性化反推控制滑动模式控制等。轨迹线性化控制一般利用李亚普诺夫稳定性的基础。微分几何用做为一数学工具,将许多广为人知的线性控制概念扩展到非线性控制中,但其中又有其微妙之处,因此变成一个更有挑战性的问题。

    分散式系统[编辑]

    分散控制系统是指一个系统由多个控制器来控制。分散控制有几个好处,例如可以控制一个位在广大地理区域的系统,各控制器之间可以用通讯网络彼此交换资料,并协调彼此的行动。

    主要控制策略[编辑]

    每一个控制系统首先都要保证其闭环特性的稳定性。线性系统可以用极点指定的方式达到。非线性系统一般会根据亚历山大·李亚普诺夫的理论,来确保系统的稳定性和内部动态无关。控制系统有许多不同的控制规格,是否可以符合所有控制规格则和考虑的系统模型及选择的控制策略有关。以下是一些主要控制策略的列表:

    适应控制会在线识别程序中的参数,或修改控制器的增益,使系统有较佳的强性。适应控制最早在1950年代用在航天产业中,而且应用的非常成功。

    分层控制系统是一种设备及控制软件皆依分层方式规划的控制系统。当树中的连结用电脑网络来实现时,分层控制系统也可以视为是一种网络控制系统

    智能控制会使用许多人工智能的方法来控制动态系统,会用到的方式包括人工神经网络贝叶斯概率模糊逻辑[7]机器学习进化计算遗传算法等。

    最优控制是一种特别的控制技术,控制器产生的控制信号需使某特定“成本指数”最佳化。以太空船为例,喷射引擎需在消耗油量最小的情形下将太空船带到期望的轨道。有二种最优控制的设计方式广泛的用在工业应用中,而且已证明这二个方式可以确闭环的稳定性。这二种方式分别是模式预测控制(MPC)及线性二次高斯控制(LQG)。第一个方式很明确的考虑系统中信号的限制条件,这是很多工业系统都有的重要特征,但其中的最佳控制只是作为满足所有限制的一个方式,不是最优化闭环系统中的实际性能指标。配合PID控制器的模式预测控制系统常用在程序控制中。

    鲁棒控制明确的在控制器设计时考虑其不确定性。鲁棒控制的控制器可以克服分析用理想系统和实际系统之间的小误差。亨德里克·韦德·波德和其他早期提出的控制方式有一些鲁棒性。而1960到1970年代提出的状态空间法则较没有鲁棒性。现代控制中,由英国剑桥大学的 Duncan McFarlane 和Keith Glover提出的H环函数整形是一种鲁棒控制。鲁棒控制的目的是要在存在小的模型误差的情形下达到鲁棒性的性能以及稳定性。

    随机控制是在模型有不确定性的情形下进行控制。在典型的统计控制问题中,会假设在模型及控制器中存在随机的噪声及扰动,控制器设计时需考虑这些随机的变异。

    能量整型控制将控制器及受控系统视为是能量转换的元件,其控制策略是以能量保持的方式互连,以达到所需的特性。

    自组织临界控制可定义为试图用自组织系统耗散能量的方式来影响流程。

    相关条目[编辑]

     

    控制系统范例

    控制理论中的主题

    其他相关主题

     

    参考文献[编辑]

    1. ^ Matlab-Find trim point of dynamic system

    2. ^ Maxwell, J.C. On Governors. Proceedings of the Royal Society of London. 1868, 16: 270–283. JSTOR 112510. doi:10.1098/rspl.1867.0055.

    3. ^ Routh, E.J.; Fuller, A.T. Stability of motion. Taylor & Francis. 1975.

    4. ^ Routh, E.J. A Treatise on the Stability of a Given State of Motion, Particularly Steady Motion: Particularly Steady Motion. Macmillan and co. 1877.

    5. ^ Hurwitz, A. On The Conditions Under Which An Equation Has Only Roots With Negative Real Parts. Selected Papers on Mathematical Trends in Control Theory. 1964.

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  • 在本文中,日本血吸虫病模型提出了一种包含时间延迟的模型,该模型表示从头... 此外,使用范式理论和中心流形定理的技术推导了确定Hopf分支周期解的稳定性和方向的显式公式。 还进行了一些支持我们理论分析的数值模拟。
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    小波分析是处理非平稳信号的有力工具,将小波分析多尺度估计理论运用于金融系统动力学模型的突变点诊断,研究金融市场的各种异常现象,填补“行为金融学”无法解释的金融现象,这将是一个有趣的研究工作,从不同的时间尺度和空间位置分解金融市场的波动特征,运用“多尺度”这个显微镜,把市场的波动和风险看的更准些,分析得更加详细,设计出更好的金融产品,管理好咱们的资本。不言而预,21世纪初期,即未来5年将是“小波金融学”诞生之际,让我们一起奉上研究成果,欢迎“小波金融学”的到来吧![@more@]

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  • 经典的分形算法

    千次阅读 2014-11-13 11:44:10
    它与动力系统的混沌理论交叉结合,相辅相成。它承认世界的局部可能在一定条件下,在某一方面(形态,结构,信息,功能,时间,能量等)表现出与整体的相似性,它承认空间维数的变化既可以是离散的也可以是连续的,...

    转载自:http://www.douban.com/note/230496472/

    被誉为大自然的几何学的分形(Fractal)理论,是现代数学的一个新分支,但其本质却是一种新的世界观和方法论。它与动力系统的混沌理论交叉结合,相辅相成。它承认世界的局部可能在一定条件下,在某一方面(形态,结构,信息,功能,时间,能量等)表现出与整体的相似性,它承认空间维数的变化既可以是离散的也可以是连续的,因而拓展了视野。

    分形几何的概念是美籍法国数学家曼德布罗(B.B.Mandelbrot)1975年首先提出的,但最早的工作可追朔到1875年,德国数学家维尔斯特拉斯(K.Weierestrass)构造了处处连续但处处不可微的函数,集合论创始人康托(G.Cantor,德国数学家)构造了有许多奇异性质的三分康托集。1890年,意大利数学家皮亚诺(G.Peano)构造了填充空间的曲线。1904年,瑞典数学家科赫(H.von Koch)设计出类似雪花和岛屿边缘的一类曲线。1915年,波兰数学家谢尔宾斯基(W.Sierpinski)设计了象地毯和海绵一样的几何图形。这些都是为解决分析与拓朴学中的问题而提出的反例,但它们正是分形几何思想的源泉。1910年,德国数学家豪斯道夫(F.Hausdorff)开始了奇异集合性质与量的研究,提出分数维概念。1928年布利干(G.Bouligand)将闵可夫斯基容度应用于非整数维,由此能将螺线作很好的分类。1932年庞特里亚金(L.S.Pontryagin)等引入盒维数。1934年,贝塞考维奇(A.S.Besicovitch)更深刻地提示了豪斯道夫测度的性质和奇异集的分数维,他在豪斯道夫测度及其几何的研究领域中作出了主要贡献,从而产生了豪斯道夫-贝塞考维奇维数概念。以后,这一领域的研究工作没有引起更多人的注意,先驱们的工作只是作为分析与拓扑学教科书中的反例而流传开来。
    真正令大众了解分形是从计算机的普及肇始,而一开始,分形图的计算机绘制也只是停留在二维平面,但这也足以使人们心驰神往。近来,一个分形体爱好者丹尼尔•怀特(英国一钢琴教师)提出一个大胆的方法,创造出令人称奇的3D分形影像,并将它们命名为芒德球(mandelbulb)。

     
     

    在芒德球极其繁琐的外表下,这个集合实际上是由一种非常基础的算法得出的。那是一种利用复数的算法。就曼德布罗集而言,它是直接由最简单的乘方运算得出的——对复数进行乘方。但问题在于无法在三维空间恰当地扩展数的概念。与复数和平面点之间的关系不同,19世纪的数学家们曾证明,立体空间中的点是无法用适宜传统加法和乘法运算的代数工具来表示的。既然无法定义数字计算,自然也就无法勾画曼德布罗集的三维形象。解决方案之一是在四维空间中进行计算,然后将结果投射到三维空间中。四维空间中的每个点都可与 “四元数”(quaternion)匹配,对它们可以进行传统算术操作。尽管四维空间无法用肉眼看到,但利用四元数便能轻而易举地列出与曼德布罗集相对应的算法,之后去掉一个分量,就能使结果显示成三维效果。但这个方案也令人失望,得到的画面比二维图像好不了多少。
    为了避开这个难题,丹尼尔•怀特两年前冒出一个古怪的想法。彻底摆脱数学的羁绊,他在三维空间的点与点之间凭空构建出一种“伪分形”。尽管其处理手段算不上中规中矩的乘法,但至少将与曼德布罗集相对应的算法扩展到了三维空间中所有的点。丹尼尔•怀特对几百万个点进行了计算,之后又追加了光影和纹理以体现立体效果,终于,在他的屏幕上呈现出第一个芒德球,形状与严格的曼德布罗集十分近似。遗憾的是,这一结果没能满足他的期望:“图形令人惊叹,但我期望的是更精致的细节。”
    尝试并未就此止步。丹尼尔•怀特在互联网上的一个分形体论坛上引起了美国一位年轻计算机专家保罗•尼兰德的注意。他接手怀特的研究,对算法进行稍事改动,把反复的平方操作换成更高次方(八次方),从而得到了一系列新的芒德球,指数越高,细节就越丰富。
    这个芒德球引起了我的极大兴趣,下决心要学学分形体,于是乎决定从最简单的分形算法学起,希望与各位共勉。

    以下开始介绍几例最简单的分形算法:
    一、Cantor三分集的递归算法
    选取一个欧氏长度的直线段,将该线段三等分,去掉中间一段,剩下两段。将剩下的两段分别再三等分,各去掉中间一段,剩下四段。将这样的操作继续下去,直到无穷,则可得到一个离散的点集。点数趋于无穷多,而欧氏长度趋于零。经无限操作,达到极限时所得到的离散点集称之为Cantor集。
    1.给定初始直线两个端点的坐标(ax,ay)和(bx,by),按Cantor三分集的生成规则计算出个关键点的坐标如下:
    cx=ax+(bx-ax)/3
    cy=ay-d
    dx=bx-(bx-ax)/3
    dy=by-d
    ay=ay-d
    by=by-d
    2.利用递归算法,将计算出来的新点分别对应于(ax,ay)和(bx,by),然后利用步骤1的计算关系计算出下一级新点(cx,cy)和(dx,dy),并压入堆栈。
    3.给定一个小量c,当(bx,by)<c时,被压入堆栈中的值依次释放完毕,同时绘制直线段(ax,ay)-(bx,by),然后程序结束。
    下面给出matlab程序:
    function f=cantor(ax,ay,bx,by)
    c=0.005;d=0.005;
    if (bx-ax)>c
       x=[ax,bx];y=[ay,by];hold on;
       plot(x,y,'LineWidth',2);hold off;
       cx=ax+(bx-ax)/3;
       cy=ay-d;
       dx=bx-(bx-ax)/3;
       dy=by-d;
       ay=ay-d;
       by=by-d;
       cantor(ax,ay,cx,cy);
       cantor(dx,dy,bx,by);
    end
    运行cantor(0,5,5,5),出现图例如下:
     

    二、Koch曲线的递归算法
    在一单位长度的线段上对其三等分,将中间段直线换成一个去掉底边的等边三角形,再在每条直线上重复以上操作,如此进行下去直到无穷,就得到分形曲线Koch曲线。
    1.给定初始直线(ax,ay)-(bx,by),按Koch曲线的构成原理计算出各关键点坐标如下:
    cx=ax+(bx-ax)/3
    cy=ay+(by-ay)/3
    ex=bx-(bx-ax)/3
    ey=by-(by-ay)/3
    l=sqrt((ex-cx)^2+(ey-cy)^2)
    alpha=atan((ey-cy)/(ex-cx))
    dy=cy+sin(alpha+pi/3)*l
    dx=cx+cos(alpha+pi/3)*l
    2.利用递归算法,将计算出来的新点分别对应于(ax,ay)和(bx,by),然后利用步骤1中的计算公式计算出下一级新点(cx,cy),(dx,dy),(ex,ey),并压入堆栈。
    3.给定一个小量c,当l<c时,被压入堆栈中的值依次释放完毕,同时绘制直线段(ax,ay)-(bx,by),然后结束程序。
    下面给出matlab程序:
    function f=Koch(ax,ay,bx,by,c)
    if (bx-ax)^2+(by-ay)^2<c
       x=[ax,bx];y=[ay,by];
       plot(x,y);hold on;
    else
       cx=ax+(bx-ax)/3; cy=ay+(by-ay)/3;
       ex=bx-(bx-ax)/3; ey=by-(by-ay)/3;
       l=sqrt((ex-cx)^2+(ey-cy)^2);
       alpha=atan((ey-cy)/(ex-cx));
       if (alpha>=0&(ex-cx)<0)|(alpha<=0&(ex-cx)<0)
           alpha=alpha+pi;
       end
       dy=cy+sin(alpha+pi/3)*l;
       dx=cx+cos(alpha+pi/3)*l;
       Koch(ax,ay,cx,cy,c);
       Koch(ex,ey,bx,by,c);
       Koch(cx,cy,dx,dy,c);
       Koch(dx,dy,ex,ey,c);
    end
    运行Koch(0,0,100,0,10),出现图例如下:
     

    三、生成填充Julia集
    1.设定参数a,b以及一个最大的迭代步数N。
    2.设定一个限界值R,即实数R≧max(2,sqrt(a^2+b^2)。
    3.对于平面上以R为半径的圆盘内的每一点进行迭代,如果对于所有的n≦N,都有|x^2+y^2|≦R,那么,在屏幕上绘制出相应的起始点,否则不绘制。
    下面给出matlab程序:
    a=-0.11;b=0.65;r=2;
    for x0=-1:0.01:1
        for y0=-1:0.01:1
            x=x0;y=y0;
            if x0^2+y0^2<1
                for n=1:80
                    x1=x*x-y*y+a;
                    y1=2*x*y+b;
                    x=x1;
                    y=y1;
                end
                if (x*x+y*y)<r
                    plot(x0,y0);
                end
                hold on;
            end
        end
    end
    a=-0.11,b=0.65
    a=-0.11,b=0.65

    a=-0.13,b=0.77
    a=-0.13,b=0.77

    a=-0.19,b=0.6557
    a=-0.19,b=0.6557

     


    四、牛顿迭代
    牛顿迭代是在数值求解非线性方程(组)的时候经常使用的方法。有些牛顿迭代能够绘制出漂亮的图形来,所以现在也常用于设计图形。
    Matlab程序如下:
    首先编写newton函数:
    function y=newton(z)
    if (z==0)
        y=0;
        return;
    end
    for i=1:1:2000
        y=z-(z^3-1)/(3*z^2);
        if (abs(y-z)<1.0e-7)
            break;
        end
        z=y;
    end
    接着进入主程序:
    clear all;clc;
    A=1;B=0;C=1;
    for a=-1:0.005:1
        for b=-1:0.005:1
            x0=a+b*i;
            y=newton(x0);
            if abs(y-A)<1.0e-6
                plot(a,b,'r');hold on;
            elseif abs(y-B)<1.0e-6
                plot(a,b,'g');hold on;
            elseif abs(y-C)<1.0e-6
                plot(a,b,'y');hold on;
            end
        end
    end
     

    五、迭代函数系IFS
    IFS是分形的重要分支。它是分形图像处理中最富生命力而且最具有广阔应用前景的领域之一。这一工作最早可以追溯到Hutchinson于1981年对自相似集的研究。美国科学家M.F.Barnsley于1985年发展了这一分形构型系统,并命名为迭代函数系统(Iterated Function System,IFS),后来又由Stephen Demko等人将其公式化,并引入到图像合成领域中。IFS将待生成的图像看做是由许多与整体相似的(自相似)或经过一定变换与整体相似的(自仿射)小块拼贴而成。
    算法:
    1.设定一个起始点(x0,y0)及总的迭代步数。
    2.以概率P选取仿射变换W,形式为
    X1=a x0+b y0 +e
    Y1=c x0+d y0+f
    3.以W作用点(x0,y0),得到新坐标(x1,y1)。
    4.令x0=x1,y0=y1。
    5.在屏幕上打出(x0,y0)。
    6.重返第2步,进行下一次迭代,直到迭代次数大于总步数为止。
    下面给出一些IFS植物形态的matlab程序:
    a=[0.195 -0.488 0.344 0.433 0.4431 0.2452 0.25;
        0.462 0.414 -0.252 0.361 0.2511 0.5692 0.25;
        -0.058 -0.07 0.453 -0.111 0.5976 0.0969 0.25;
        -0.035 0.07 -0.469 -0.022 0.4884 0.5069 0.2;
        -0.637 0 0 0.501 0.8562 0.2513 0.05];
    x0=1;y0=1;
    for i=1:10000
        r=rand;
        if r<=0.25
            x1=a(1,1)*x0+a(1,2)*y0+a(1,5);
            y1=a(1,3)*x0+a(1,4)*y0+a(1,6);
        end
        if r>0.25 & r<=0.5
            x1=a(2,1)*x0+a(2,2)*y0+a(2,5);
            y1=a(2,3)*x0+a(2,4)*y0+a(2,6);
        end
        if r>0.5 & r<=0.75
            x1=a(3,1)*x0+a(3,2)*y0+a(3,5);
            y1=a(3,3)*x0+a(3,4)*y0+a(3,6);
        end
        if r>0.75 & r<=0.95
            x1=a(4,1)*x0+a(4,2)*y0+a(4,5);
            y1=a(4,3)*x0+a(4,4)*y0+a(4,6);
        end
        if r>0.95 & r<=1
            x1=a(5,1)*x0+a(5,2)*y0+a(5,5);
            y1=a(5,3)*x0+a(5,4)*y0+a(5,6);
        end
        x0=x1;y0=y1;
        plot(x1,y1);hold on;
    end
    得到图例如下:
     

    修改部分系数便可得到另一种形态:
     


    六、三角形分形
    function triangles(n);
    clc;close all;
    if nargin==0;
        n=4;
    end
    rand('state',2);
    C=rand(n+4,3);
    figure;
    axis square equal;hold on;
    a=-pi/6;
    p=0;
    r=1;

    [p,r,n,a]=tritri(p,r,n,a,C);

    function [p,r,n,a]=tritri(p,r,n,a,C);
    % 画一个三角形
    % p 是三角形中心
    % r是三角形半径
    % n是递归次数
    % a是三角形角度
    % C是颜色矩阵
    z=p+r*exp(i*([0:3]*pi*2/3+a));
    zr=p+r*exp(i*([0:3]*pi*2/3+a))/2;
    pf=fill(real(z),imag(z),C(n+2,:));
    set(pf,'EdgeColor',C(n+2,:));
    if n>0;
        [p,r,n,a]=tritri(p,r/2,n-1,a+pi/3,C);
        n=n+1;r=r*2;a=a-pi/3;
        [zr(1),r,n,a]=tritri(zr(1),r/4,n-1,a,C);
        n=n+1;r=r*4;
        [zr(2),r,n,a]=tritri(zr(2),r/4,n-1,a,C);
        n=n+1;r=r*4;
        [zr(3),r,n,a]=tritri(zr(3),r/4,n-1,a,C);
        n=n+1;r=r*4;
    end
     


    七、曼德布罗集合
    Mandelbrot set是在复平面上组成分形的点的集合。Mandelbrot集合可以用复二次多项式f(z)=z^2+c来定义。其中c是一个复参数。对于每一个c,从z=0开始对f(z)进行迭代序列 (0, f(0), f(f(0)), f(f(f(0))), .......)的值或者延伸到无限大,或者只停留在有限半径的圆盘内。曼德布罗集合就是使以上序列不延伸至无限大的所有c点的集合。从数学上来讲,曼德布罗集合是一个复数的集合。一个给定的复数c或者属于曼德布罗集合M,或者不是。
    1.设定参数a,b,以及一个最大的迭代步数N。
    2.设定一个限界值R,不妨设实数R=2。
    3.对于参数平面上的每一点c(a,b),使用以R为半径的圆盘内的每一点进行迭代,如果对于所有的n≤N,都有|x*x+y*y|≤R*R,那么,在屏幕上绘制出相应的起始点c(a,b),否则不绘制。
    下面给出matlab程序:
    r=4;%限界值
    for a=-2:0.002:1
        for b=-2:0.002:1%参数a,b取到一个范围
         x=a;y=b;%初始的复数c
             for n=1:20
                  x1=x*x-y*y+a;%复数平方加一个c的运算
            y1=2*x*y+b;
                  x=x1;%迭代
            y=y1;
            end
            if(x*x+y*y)<r%限界
            plot(a,b);
            end
            hold on;
        end
    end
     


    八、脑分形
    作为IFS的一种应用
    a=[0.03 0 0 0.45 0 0 0.05;
        -0.03 0 0 -0.45 0 0.4 0.15;
        0.56 -0.56 0.56 0.56 0 0.4 0.4;
        0.56 0.56 -0.56 0.56 0 0.4 0.4];
    x0=1;y0=1;
    for i=1:100000
        r=rand;
        if r<=0.05
            x1=a(1,1)*x0+a(1,2)*y0+a(1,5);
            y1=a(1,3)*x0+a(1,4)*y0+a(1,6);
        end
        if r>0.05 & r<=0.2
            x1=a(2,1)*x0+a(2,2)*y0+a(2,5);
            y1=a(2,3)*x0+a(2,4)*y0+a(2,6);
        end
        if r>0.2 & r<=0.6
            x1=a(3,1)*x0+a(3,2)*y0+a(3,5);
            y1=a(3,3)*x0+a(3,4)*y0+a(3,6);
        end
        if r>0.6 & r<=1
            x1=a(4,1)*x0+a(4,2)*y0+a(4,5);
            y1=a(4,3)*x0+a(4,4)*y0+a(4,6);
        end
        
        x0=x1;y0=y1;
        plot(x1,y1);
        hold on;
    end
    最简单的brain fractal
    最简单的brain fractal


    参考文献

    [1] 分形算法与程序设计—java实现 孙博文 著 科学出版社,2004

    [2] 混沌的计算实验与分析 于万波 著 科学出版社,2008

    [3] 芒德球的分形之美 作者:Herv Poirier 译者:郭鑫 《新发现》2010年第5期

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空空如也

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动力系统分支理论