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  • 高斯过程、高斯过程回归、克里金模型
    2022-01-05 18:43:34

    高斯过程:

    高斯过程回归:

    克里金模型:

     

     

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  • 本文估计实际GDP增长率的两状态Markov区制转换动态回归模型

    原文链接:http://tecdat.cn/?p=19918

    原文出处:拓端数据部落公众号

    本文估计实际GDP增长率的两状态Markov区制转换动态回归模型 。

    创建模型进行估计

    通过指定转移矩阵和两个区制的AR(0)(仅常数)子模型的两状态离散时间马尔可夫链,为朴素估计量创建马尔可夫转换动态回归模型。标记状态。

    mc(NaN(2),'StateNames',["增长" "衰退"]);
    

    加载和预处理数据

    加载GDP数据集。

    Data 包含1947:Q1-2005:Q2期间实际GDP的季度数据。估计周期  为1947:Q2-2004:Q2。

    通过以下方式将数据转换为年度序列:

    1. 估计期内将数据转换为季度比率

    2. 将季度比率年度化

    diff(Data(2:230))./Data(2:229); % 季度比率
    100*((1 + qrate).^4 - 1);       % 年度比率

    估计模型

    模型拟合Mdl 年利率序列 arate

     estimate(Mdl,Mdl0,arate);

    EstMdl 是估计的(完全指定的)马尔可夫转换动态回归模型。 EstMdl.Switch 是估计的离散时间马尔可夫链模型(dtmc 对象), EstMdl.Submodels 是估计的单变量VAR(0)模型(varm 对象)的向量。

    显示估计的特定于状态的动态模型。

    
      varm with properties:
    
         Description: "ARIMA(0,0,0) Model (Gaussian Distribution)"
         SeriesNames: "Y1" 
           NumSeries: 1
                   P: 0
            Constant: 4.90146
                  AR: {}
               Trend: 0
                Beta: [1×0 matrix]
          Covariance: 12.087
     
       1-Dimensional VAR(0) Model
    
      varm with properties:
    
         Description: "ARIMA(0,0,0) Model (Gaussian Distribution)"
         SeriesNames: "Y1" 
           NumSeries: 1
                   P: 0
            Constant: 0.0084884
                  AR: {}
               Trend: 0
                Beta: [1×0 matrix]
          Covariance: 12.6876
     
       1-Dimensional VAR(0) Model
    

    显示估计的状态转移矩阵。

    2×2
    
        0.9088    0.0912
        0.2303    0.7697
    
    

    估计后的EM算法

    估计马尔可夫转换动态回归模型中考虑模型和数据 。

    创建部分指定模型进行估计

    创建完全指定的模型,其中包含估计过程的初始参数值。

    加载并预处理数据。

    diff(Data(2:230))./Data(2:229); 
    100*((1 + qrate).^4 - 1);       

    使模型拟合数据。当估计过程终止时,绘制对数似然比与迭代步骤。

    Plot(Mdl,Mdl0);

    使模型拟合模拟数据

    使用来自已知数据生成过程(DGP)的模拟数据评估估计准确性。本示例使用任意参数值。

    为DGP创建模型

    为转换区制创建一个完全指定的两状态离散时间马尔可夫链模型。

    P = [0.7 0.3; 0.1 0.9];
    

    对于每个状态,为过程创建一个完全指定的AR(1)模型。

    % 常数
    C1 = 4;
    C2 = -1;
    
    % 自回归系数
    AR1 = 0.5;
    AR2 = 0.3;
    
    % 方差
    V1 = 3;
    V2 = 2;
    
    % AR 子模型
    arima('Constant',C1,'AR',AR1,'Variance',V1);
    

    为DGP创建完全指定的Markov转换动态回归模型。

    模拟来自DGP的路径

    从DGP生成10条长度为1000的随机路径。

    rng(1); % 重现性
    N = 10;
    n = 1000;
    simulate(DGP,n,'Numpaths',N);

    Data 是模拟的1000 x 10矩阵。

    创建估计模型

    创建一个部分指定的马尔可夫转换动态回归模型,该模型具有与数据生成过程相同的结构,但是指定了未知的转移矩阵和未知的子模型系数。

    创建包含初始值的模型

    创建一个完全指定的马尔可夫转换动态回归模型,该模型具有与相同的结构 Mdl,但是将所有可估计的参数都设置为初始值。

    P0 = 0.5*ones(2);
    dtmc(P0);
    
    ms(mc0,[mdl01,mdl02]);

    估计模型

    使模型拟合每个模拟路径。对于每条路径,在EM算法的每次迭代中绘制对数似然图。

    
    figure
    hold on
    
    for i = 1:N
    
        estimate(Data(:,i),'Plot',true);
        
        
    end
    
    hold off

    评估准确性

    计算每个估计参数的蒙特卡洛平均值。

    将总体参数与相应的蒙特卡洛估计进行比较。

    DGPvsEstimate = 6×2
    
        5.0000    5.0260
       -2.0000   -1.9615
        4.0000    3.9710
        2.0000    1.9903
        0.4000    0.4061
        0.2000    0.2017
    
    
    P = 2×2
    
        0.7000    0.3000
        0.1000    0.9000
    
    
    PEstimate = 2×2
    
        0.7065    0.2935
        0.1023    0.8977
    
    

    预采样数据

    考虑 估计马尔可夫转换动态回归模型中的数据,但假设关注期间为1960:Q1–2004:Q2。另外,考虑向每个子模型添加一个自回归项。

    创建部分指定的马尔可夫转换动态回归模型进行估计。指定AR(1)子模型。

    arima(1,0,0);
    ms(mc,[mdl; mdl]);

    由于子模型是AR(1),因此每个子模型都需要进行一次预采样观察以初始化其动态分量以进行估计。

    创建包含用于估计过程的初始参数值的模型。

    P0 = 0.5*ones(2);
    mc(P0,'StateNames');
    

    加载数据。将整个集合转换为年化利率序列。

    使用与年率序列相关的日期来确定预采样和估计采样周期。由于转换应用了一阶差分,因此必须从原始样本中删除第一个观察日期。

    dates = datetime(dates(2:end),'ConvertFrom','datenum',...
        'Format','yyyy:QQQ','Locale','en_US');
    estPrd = datetime(["1960:Q2" "2004:Q2"],'InputFormat','yyyy:QQQ',...
        'Format','yyyy:QQQ','Locale','en_US');
    

    使模型拟合估计样本数据。指定预采样观测值,并在估计过程终止时在每次迭代时绘制对数似然度。

    访问预期的平滑状态概率和对数似然

    估计马尔可夫转换动态回归模型中考虑模型和数据 。

    创建部分指定的模型进行估计

    创建完全指定的模型,其中包含估计过程的初始参数值。

    加载并预处理数据。

    使模型拟合数据。当算法终止时,返回预期的平滑状态概率和对数似然。

    [EstMdl,SS,logL] = estimate(Mdl,Mdl0,arate);

    SS 是预期平滑状态概率的228 x 2矩阵;行对应于估计样本中的周期,列对应于方案。 logL 是最终的对数似然。

    显示估计样本中最后一个时期的预期平滑状态概率,并显示最终对数似然。

    ans = 1×2
    
        0.8985    0.1015
    
    
    logL = -639.4962
    

    执行约束估计

    将模拟数据拟合到具有VARX子模型的Markov转换动态回归模型。指定用于估计的相等约束。

    为DGP创建模型

    为转换区制创建一个完全指定的三态离散时间马尔可夫链模型。

    P = [0.8 0.1 0.1; 0.2 0.6 0.2; 0 0.1 0.9];
    mc = dt(P);

    对于每种状态,为响应过程创建一个完全指定的VARX(1)模型。为所有子模型指定相同的模型常数和滞后1 AR系数矩阵。对于每个模型,为一个外生变量指定不同的回归系数。

    % 常数
    C = [1;-1];
    
    % 自回归系数
    AR = {[0.6 0.1; 0.4 0.2]};
    
    % 回归系数
    Beta1 = [0.2;-0.4];
    
    
    % VAR 子模型
    dgp = varm('Constant',C,'AR',AR,'Covariance',5*eye(2));
    

    为DGP创建完全指定的Markov转换动态回归模型。

    ms(mc,[dgp1; dgp2; dgp3]);

    模拟来自DGP的数据

    通过从均值0和方差100的高斯分布中生成1000个观测值来模拟外生序列的数据。

    rng(1); % 重现性
    X = 10*randn(1000,1);

    从DGP生成长度为1000的随机路径。为子模型回归指定模拟的外部数据。

    Data = simulate(DGP,1000,'X',X);

    Data 是模拟的1000 x 1向量。

    创建估计模型

    创建一个部分指定的马尔可夫转换动态回归模型,该模型具有与数据生成过程相同的结构,但是指定了未知的转换矩阵和未知的回归系数。指定常数和AR系数矩阵的真值。

    ms(mcEst,[mdl; mdl; mdl]);

    由于常数和AR系数矩阵的值被指定在 Mdl, estimate 将它们作为用于估计等式约束。

    创建包含初始值的模型

    创建具有与相同结构的完全指定的马尔可夫转换动态回归模型 Mdl,但将所有可估计参数设置为初始值,并将具有相等约束的参数设置为中指定的值 Mdl

    估计模型

    使模型拟合模拟数据。指定回归的外部数据。在EM算法的每次迭代中绘制对数似然。

    figure
    EstMdl = estimate(Mdl,Mdl0,Data,'X',X,'IterationPlot',true);

    评估准确性

    将估计的回归系数向量和转移矩阵与其真实值进行比较。

    Beta1 = 2×1
    
        0.2000
       -0.4000
    
    
    Beta1Estimate = 2×1
    
        0.1596
       -0.4040
    
    
    Beta2 = 2×1
    
        0.6000
       -1.0000
    
    
    Beta2Estimate = 2×1
    
        0.5888
       -0.9771
    
    
    Beta3 = 2×1
    
        0.9000
       -1.3000
    
    
    Beta3Estimate = 2×1
    
        0.8987
       -1.2991
    
    
    P = 3×3
    
        0.8000    0.1000    0.1000
        0.2000    0.6000    0.2000
             0    0.1000    0.9000
    
    
    PEstimate = 3×3
    
        0.7787    0.0856    0.1357
        0.1366    0.6906    0.1727
        0.0086    0.0787    0.9127
    

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  • gpml-matlab-v1_gp_高斯回归模型_高斯过程回归_gpml_机器学习预测_源码.rar
  • 文章目录一、回归模型1.1 回归模型定义1.2 回归模型分析方法二、回归分析2.1 线性回归和多项式回归2.1.1 线性回归定义2.2.2 代码实现分析:2.2 逻辑回归2.2.1 逻辑回归定义2.2.2 代码说明2.3 多项式回归2.3.1 多项式...

    一、回归模型

    1.1 回归模型定义

    回归模型是一种预测性的建模技术,它研究的是因变量(目标)和自变量(预测器)之间的关系。这种技术通常用于预测分析,时间序列模型以及发现变量之间的因果关系。也就是我们高中所说的一次函数问题

    1.2 回归模型分析方法

    回归分析是研究一个变量(被解释变量)关于另一个(些)变量(解释变量)的具体依赖关系的计算方法和理论是建模和分析数据的重要工具。
    在这里,我们使用曲线或线来拟合这些数据点,在这种方式下,从曲线或线到数据点的距离差异最小。下面是回归分析的几种常用的方法

    • 线性回归( Linear Regression)
    • 逻辑回归(Logistic Regression)
    • 多项式回归(Polynomial Regression)
    • 岭回归(Ridge Regression)

    这四种是在机器学习中常见的回归分析方法,下面来一一分解一下:

    二、回归分析

    2.1 线性回归和多项式回归

    2.1.1 线性回归定义

    线性回归是利用数理统计中回归分析,来确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法,运用十分广泛。其表达形式为y = w’x+e,e为误差服从均值为0的正态分布。

    回归分析中,只包括一个自变量和一个因变量,且二者的关系可用一条直线近似表示,这种回归分析称为一元线性回归分析。如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量,且因变量和自变量之间是线性关系,则称为多元线性回归分析

    2.2.2 代码实现分析:

    import numpy as np
    import pandas as pd
    import matplotlib as mpl
    import matplotlib.pyplot as plt
    import random
    plt.rcParams["font.sans-serif"]=["simhei"]
    plt.rcParams["axes.unicode_minus"]=False
    %matplotlib inline
    ex0=pd.read_table("ex0.txt",header=None)
    ex0.head()
    

    在这里插入图片描述
    获得特征矩阵

    def get_Mat(dataSet):
        xMat=np.mat(dataSet.iloc[:,:-1].values)
        yMat=np.mat(dataSet.iloc[:,-1].values).T
        return xMat,yMat
    

    采样展示数据

    xMat,yMat=get_Mat(ex0)
    def plotshow(dataSet):
        xMat,yMat=get_Mat(dataSet)
        plt.scatter(xMat.A[:,1],yMat.A,c="b",s=5)
        plt.show()
    
    plotshow(ex0)
    

    在这里插入图片描述
    获得线性回归画图

    def satandRegres(dataSet):
        xMat,yMat=get_Mat(dataSet)
        xTx=xMat.T*xMat
        if np.linalg.det(xTx)==0:
            print("矩阵为奇异矩阵,无法求逆")
            return
        ws=xTx.I*(xMat.T*yMat)
        return ws
    #打印回归函数
    def plotReg(dataSet):
        xMat,yMat=get_Mat(dataSet)
        plt.scatter(xMat.A[:,1],yMat.A,c="b",s=5)
        ws=satandRegres(dataSet)
        yHat=xMat*ws
        plt.plot(xMat[:,1],yHat,c="r")
        plt.show()
    plotReg(ex0)
    

    在这里插入图片描述

    xMat,yMat=get_Mat(ex0)
    ws=satandRegres(ex0)
    yHat=xMat*ws
    np.corrcoef(yHat.T,yMat.T)
    

    在这里插入图片描述
    可得相关系数

    2.2 逻辑回归

    2.2.1 逻辑回归定义

    Logistic Regression(简称LR)擅长处理分类问题(用户点击率、用户违约信息预测、垃圾邮件检测、疾病预测、和用户等级问题(多分类问题))

    其结果是在于线性回归的基础上加上了一个,sigmold函数(也就是分类函数):

    sigmoid函数表达式如下:
    f ( x ) = 1 / ( 1 + e y ) f(x)=1/(1+e^y) f(x)=1/(1+ey)

    2.2.2 代码说明

    import numpy as np
    import math
    import matplotlib.pyplot as plt
    %matplotlib inline
    
    X=np.linspace(-5,5,200)
    y=[1/(1+math.e**(-x)) for x in X]
    plt.plot(X,y)
    plt.show()
    

    在这里插入图片描述

    其结果是先模型出数据的线性回归,在根据sigmold函数将原来的y值和标准的y^大于0的可以分为正类,小于0的分为负类

    2.3 多项式回归

    2.3.1 多项式回归定义

    多项式回归,回归函数是回归变量多项式的回归。多项式回归模型是线性回归模型的一种,此时回归函数关于回归系数是线性的。

    直线回归研究的是一个依变量与一个自变量之间的回归问题,但是,在畜禽、水产科学领域的许多实际问题中,影响依变量的自变量往往不止一个,而是多个,比如绵羊的产毛量这一变量同时受到绵羊体重、胸围、体长等多个变量的影响,因此需要进行一个依变量与多个自变量间的回归分析,即多元回归分析。
    在这里插入图片描述

    2.4 岭回归

    2.4.1 岭回归定义

    岭回归(英文名:ridge regression, Tikhonov regularization)是一种专用于共线性数据分析的有偏估计回归方法,实质上是一种改良的最小二乘估计法,通过放弃最小二乘法的无偏性,以损失部分信息、降低精度为代价获得回归系数更为符合实际、更可靠的回归方法,对病态数据的拟合要强于最小二乘法。

    通常岭回归方程的R平方值会稍低于普通回归分析,但回归系数的显著性往往明显高于普通回归,在存在共线性问题和病态数据偏多的研究中有较大的实用价值。

    2.4.2 岭回归函数

    def get_Mat(dataSet):
        xMat=np.mat(dataSet.iloc[:,:-1].values)
        yMat=np.mat(dataSet.iloc[:,-1].values).T
        return xMat,yMat
    
    
    '''函数功能:
                使用岭回归来计算归系数
        参数说明:lam:认为设定惩罚系数
    '''
    def rigdeRegres(dataSet,lam=0.2):
        xMat,yMat=get_Mat(dataSet)
        xTx=xMat.T*xMat
        denom=xTx+np.eye(xMat.shape[1])*lam
        ws=denom.I*(xMat.T*yMat)
        return ws
    

    三、回归模型的评价

    对于回归模型效果的判断指标经过了几个过程,从SSE到R-square再到Ajusted R-square, 是一个完善的过程:

    3.1 均方误差(mean squared error,mse)

    定义:观察值与真实值偏差的平方和与观察次数的比值,

    公式:

    在这里插入图片描述

    描述:这就是线性回归中最常用的损失函数,线性回归过程中尽量让该损失函数最小。那么模型之间的对比也可以用它来比较。MSE可以评价数据的变化程度,MSE的值越小,说明预测模型描述实验数据具有更好的精确度。

    3.2 标准误差(rmse)

    定义:标准差是方差的算术平方根,标准误差是均方误差的算术平方根。
    描述标准差是用来衡量一组数自身的离散程度,而均方根误差是用来衡量观测值同真值之间的偏差,它们的研究对象和研究目的不同,但是计算过程类似。

    公式:

    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-f04xD8Wa-1616064049707)(attachment:image.png)]

    它的意义在于开个根号后,误差的结果就与数据是一个级别的,可以更好地来描述数据。标准误差对一组测量中的特大或特小误差反映非常敏感,所以,标准误差能够很好地反映出测量的精密度。这正是标准误差在工程测量中广泛被采用的原因

    3.3 平均绝对误差(MAE)

    在这里插入图片描述

    平均绝对误差能更好地反映预测值误差的实际情况

    3.4 R-squared

    在这里插入图片描述

    上面分子就是我们训练出的模型预测的误差和。
    下面分母就是瞎猜的误差和。(通常取观测值的平均值)

    变形:

    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-R1aHYkMT-1616064049716)(attachment:image.png)]

    3.5 解释方差(explained variance score)

    公式:在这里插入图片描述

    解释:
    可解释方差指标衡量的是所有预测值和样本之间的差的分散程度与样本本身的分散程度的相近程度。本身是分散程度的对比。最后用1-这个值,最终值越大表示预测和样本值的分散分布程度越相近。
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    路漫漫其修远兮,吾将上下而求索。

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    建立回归模型的一般步骤如下图

    建立回归模型的完整步骤

     


    1、具体(社会经济)问题

    当我们想去解决一些现实生活、经济问题时,需要将具体问题量化成数据,然后通过观察与揭示事物(数据)之间的内在联系得出规律,从而达到解决现实经济问题(及时止损、预测),奔着这个目标产生了一些列的可行性问题。


    2、设置指标变量(量化具体问题)

    可行性问题已经产生,接下来就要根据问题研究的目的设置因变量 y ,然后选取一些和因变量y有统计关系的自变量 x1、x2...

    这里一定要明确一点:什么是因变量 y 和自变量 x,其实通俗来理解就是下图中的因果关系

    建立回归模型的完整步骤

     

    我们需要通过经济变量(要研究的) '果' 选出一些影响它且合理的变量 '因',在回归模型中对于这两类变量有一些术语需要了解

    因变量(果)也被称为被解释变量、内生变量;

    自变量(因)也被称为解释变量、外生变量;

    注意01:在变量选择这一块,研究不同的问题领域跨度大、专业性强,对于完全不了解的领域需要和这方面的专家、或者有经验的人士询问合作。这样可以更好的帮助我们确定研究问题的模型变量,做到不耻下问 。

    注意02:回归模型的解释变量选取个数上并不是越多越好,若选取的变量之间有较大的信息重叠,就会出现共线性问题,并且变量多导致的计算量大,误差也大,进而导致最终模型参数精度也不高。

    一般在选取指标变量时往往不能一次完全正确,需要反复调整找到最合适的指标变量。


    3、收集、整理数据

    指标确定之后,接下来就是搜集需要的指标数据了。要搜集样本数据可分为时间序列数据和横截面数据。

    时间序列数据:

    时间序列数据就是按照时间顺序排列数据,如下图,各指标数据跟着时间在变化:

    建立回归模型的完整步骤

    横截面数据:

    横截面数据即在同一时间截面上统计的数据集,如2018年我国各省市GDP数据

    建立回归模型的完整步骤

    注意点:时间序列数据容易产生随机误差项的序列相关(处理方法:差分法)


    4、回归模型的确定

    上一步骤中,数据已经准备好,接下来就要从这些数据中提炼出一套宇宙公式--回归模型(数学形式)。首先第一步我们需要在笛卡尔坐标系中画出这些样本点的散点图,

    建立回归模型的完整步骤

    为什么要先画散点图呢?我们知道回归模型的种类有多种,如线性回归、非线性回归...。画出散点图,我们可以根据散点图的分布形式大致确定该建立哪一种回归模型才是较合适的。

    如果根据散点图实在无法确定模型的形式时,则可以将有争议的模型分别进模拟,然后从模拟结果中选出模拟效果最好的一个作为最终的理论回归模型。

    建立回归模型的完整步骤

     


    5、模型参数估计

    当回归模型的的具体分类选取确定后,接下来就要对模型中的未知参数进行估计,常见的也是最最经典的参数估计方法为:最小二乘法。

    在最小二乘法的基础上又衍生出了偏最小二乘法、主成分回归、岭回归等,他们都是为了解决不满足模型基本假设而衍生出来的新方法。


    6、模型检验与修改

    初步的回归模型建立好后,还不能直接用于实际应用,模型是否正确解释问题指标之间的因果关系还是个未知数,此时需要去检验模型的可行性。

    通常对模拟有效性的检验有两种方法:

    1 统计性检验

    建立回归模型的完整步骤

     

    2 具体问题(经济)意义检验

    模型侧面揭示了具体的社会经济问题,例如我国GDP增长量与银行贷款发放量、耗电量等之间的关系从经济理论是上看是正相关关系,但是模型中的回归系数若为负数,则这个模型也是没有意义的。造成这种现象的原因可能有:自变量之间存在多重共线性、数据质量问题等。

    模型需要通过统计检验和经济意义检验共同检验通过后才是有效可行的。


    7、回归模型的应用

    经过以上的种种九九八十一难,终于可以将该模型用于实际生活、经济问题上了。

    我们可以从模型的回归系数上发现所研究的变量之间的结构关系,从而给出量化后的评价与建议。

    调控:确定好的回归模型反馈了经济变量之间的因果关系后,根据已知结果的情况下调整具体的经济指标数据等。

    例如:为了降低通货膨胀指标为5%以下,可以根据回归模型确定货币发行量、银行的存款利率等。

    预测:可以根据回归模型预测我国2022年的国民收入等。

    以上几个步骤就是一个回归模型建立到使用的全部流程,模型的修改往往要反复修正后才能得到一个理想模型。这个反反复复修改模型的过程可以从写论文中感触到。

    --- END ---

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