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  • 动态控制原理结论
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    2020-11-22 17:40:17

    6 线性系统的时域分析方法

    通过观察系统的时域输出表达式来分析系统的稳定性、暂态(动态)和稳态性能。

    • 动态响应:动态响应又称为过度过程或是瞬态过程,是指系统在典型输入信号的作用下,系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程。
    • 稳态响应:系统在典型输入信号作用下,当时间趋于无穷时,系统输出量的表现形式。
    • 稳定是系统能够运行的首要条件,只有当动态过程收敛时,研究系统的动态性能才有意义。

    6.1 典型输入信号

    在这里插入图片描述
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    6.2 时间响应的性能指标

    MOOC
    通常在阶跃函数的作用下,测定或计算系统的动态性能。
    动态性能指标:假定系统在阶跃信号输入之前处于静止状态,输出量的各阶导数均等于0,即系统处于稳定状态。动态性能指标是指稳定系统在阶跃函数作用下,动态过程随时间变化状况的指标。直白地说就是系统的响应速度是怎样的。
    我们主要关注系统三个方面的性能,分别是稳(稳定性)、准(准确性)、快(响应速度)。

    在这里插入图片描述

    上图中有几个量是我们特别关注的

    符号含义
    t r t_r tr上升时间,系统受到阶跃信号的激励后,第一次到达稳态值的时间
    t p t_p tp峰值时间,系统受到阶跃响应激励后,到达峰值的时间
    t s t_s ts调节时间,系统到达稳定,即进入误差允许范围内所需要的稳态时间,该量的大小与误差设计要求有关
    σ % ( M p ) = A B × 100 % \sigma \%(Mp) =\frac{A}{B}×100\% σ%(Mp)=BA×100%超调量,或叫最大超调量
    t d t_d td延迟时间,阶跃响应曲线第一次到达最终值的一半所需要的时间
    N N N振荡次数,阶跃响应时间穿过稳态值次数的一半(一次振荡穿越两次)

    在这里插入图片描述
    对于始终没有超过稳态值得情况,也就是系统随时间得推移无限逼近稳态值,上升时间 t r t_r tr的定义为:阶跃响应曲线从稳定值的10%上升到90%所需要的上升时间。

    • t r t_r tr t p t_p tp可以用来衡量系统的响应速度
    • 超调量 σ % \sigma \% σ%可以用来评价系统的阻尼程度

    6.3 运动模态

    在这里插入图片描述

    6.4 零极点与运动模态的关系

    C ( t ) = L − 1 [ Φ ( s ) R ( s ) ] C(t)=L^{-1}[\Phi(s)R(s)] C(t)=L1[Φ(s)R(s)]
    通过上面的公式可以看出,系统的运动模态是由系统的激励 R ( s ) R(s) R(s)和系统的传递函数 Φ ( s ) \Phi(s) Φ(s)共同决定的。两者分式相乘,分母对应相乘,共同构成了系统响应 C ( s ) C(s) C(s)的极点,现给出以下结论:

    1. 传递函数极点所对应的运动模态称为系统的自由运动模态振型
    2. 传递函数的零点不行成运动模型,但却能影响各个模态在响应中所占的比重,因而也能影响时间响应及其形状。(分子决定了各个运动模态在总的响应中所占的比例,零点只是其中较为特殊的比例关系)
    3. 传递函数的极点对应的时间响应分量称为瞬态分量(暂态分量,决定到达稳态的过程)。
    4. 输入信号拉普拉斯变换的极点对应的事件响应分量称为稳态分量(决定最终稳态结果)。

    6.5 一阶系统的时域分析

    MOOC
    在这里插入图片描述

    上表中所表达的是系统传递函数为
    Φ ( s ) = 1 1 + T s \Phi(s)=\frac{1}{1+Ts} Φ(s)=1+Ts1的一阶系统在不同激励下的响应。我们可以得到如下结论:

    1. 系统的输出响应包括暂态响应和稳态响应,系统传递函数的极点决定暂态响应,输入激励信号的极点决定稳态响应。
      输入信号的拉普拉斯变换如下表所示:
    信号类型拉普拉斯变换
    单位冲击函数1
    单位阶跃函数 1 s \frac{1}{s} s1
    坡函数 1 s 2 \frac{1}{s^2} s21
    单位加速度 1 s 3 \frac{1}{s^3} s31
    1. 一阶系统不能实现对单位加速度函数的跟踪,当 t → ∞ t\rightarrow \infty t,系统输入和输出的误差将达到无穷大,无法达到控制目标。
    2. 一个输入信号导数的响应正好是响应的导数

    6.6 二阶系统的时域分析

    MOOC
    在这里插入图片描述
    使用求根公式求解系统极点
    在这里插入图片描述
    通过拉普拉斯反变换,当 ζ < 0 \zeta<0 ζ<0, e − ζ t e^{-\zeta t} eζt项将导致系统响应发散。

    ζ \zeta ζ现象
    0 < ζ < 1 0<\zeta<1 0<ζ<1欠阻尼,系统的单位阶跃响应为指数衰减的正弦振荡形态,振荡频率为 w d = w n 1 − ζ 2 w_d=w_n\sqrt{1-\zeta^2} wd=wn1ζ2 w n w_n wn\称为有阻尼自振角频率
    ζ = 1 \zeta=1 ζ=1临界阻尼,系统的阶跃响应是没有超调的单调上升过程
    ζ > 1 \zeta>1 ζ>1过阻尼,系统响应减慢
    ζ = 0 \zeta=0 ζ=00阻尼,等幅振荡,暂态响应不会衰减,振荡频率为 w n w_n wn,此时特征根为共轭虚根,实部为0

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    随着阻尼比的增大,系统响应的超调减小,响应速度变慢(上升时间延长)。
    在这里插入图片描述
    在控制工程中,除了不容许产生振荡响应的系统,通常都希望控制系统具有适度的阻尼(处于欠阻尼的状态)以达到更快的响应速度和更短的调节时间。
    MOOC
    在这里插入图片描述
    对于单位冲激响应,可以对单位阶跃响应求导获得。

    6.7 高阶系统的时间响应

    将高阶系统等价为低阶或分解为低阶系统进行分析。

    6.7.1 主导极点

    通常对于高阶系统来说,距离虚轴最近的一个或两个闭环极点在时间响应中起主导作用,而其他距离虚轴较远的极点,他们在时间响应相应的分量衰减较快,只起到次要作用,可以忽略。
    每一个极点在反拉普拉斯变换后对应一个时间响应项,对于一个极点 σ \sigma σ
    L − 1 ( 1 s − σ ) = e σ t L^{-1}(\frac{1}{s-\sigma})=e^{\sigma t} L1(sσ1)=eσt
    极点距离虚轴越近,时域响应的衰减越慢。
    如果某一个极点相比于其他极点距离虚轴比其他极点近5倍以上,并且该极点附近没有0点,可以认为该系统的响应主要由该极点决定。
    非主导极点对应的时间响应在上升时间 t r t_r tr之前就能衰减完,基本不会影响过渡时间 t s t_s ts等其他性能指标。
    主导极点可以是实数也可以是共轭复数,具有一对共轭主导极点的系统可以当作二阶系统分析。
    高阶系统的时间响应也可以分为稳态响应和暂态响应。稳态响应由激励信号拉氏变换的极点决定,暂态响应就是系统的自由运动模态,形式由系统传递函数的极点决定。

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    参考文献
    [1] 胡寿松. 自动控制原理[M]. 第六版. 北京:科学出版社, 2015.
    [2] 陈伯时. 电力拖动自动控制系统——运动控制系统[M]. 第三版. 北京:机械工业出版社, 2020.
    [3] 姜增如. 自动控制理论虚拟仿真与实验设计[M]. 第一版. 北京:北京理工大学出版社, 2020.

    文中出现的代码均为Matlab代码。

    1反馈控制系统的基本组成

    反馈是指把取出的输出量送回输入端,并与输入信号相比产生偏差信号的过程。若反馈信号与输入信号相减,使产生的偏差越来越小,则称为负反馈,反之为正反馈。输出量反馈使系统能在存在无法预计扰动的情况下,自动减少系统的偏差,故称作反馈控制,是自动控制系统的基本控制方式。
    反馈的具体工作原理是将输出量的实际值与给定值进行比较,得出偏差,用偏差值产生调节作用消除偏差,使输出量维持期望的输出。这里的偏差即给定量与反馈量之差。

    偏差:给定量与反馈量之差,可以量测。
    误差:输出量的实际值与期望值之差,无法量测,只有数学意义;期望值即理想化系统的输出。在单位反馈情况下,期望值就是系统的给定量,误差等于偏差。

    下图为反馈(闭环)控制系统原理框图,用于表明自动控制系统的组成以及信号的传递情况:
    在这里插入图片描述
    信号类
    ●给定量(输入量):人为给定、要求系统输出量参照变化的外部指令信号
    ●控制量:执行器中某个需要被控制的物理量
    ●被控量(输出量):被控对象中某个需要被控制的物理量
    ●比较量(反馈量):其值等同于被控量
    ●干扰信号:对系统输出量产生不利影响的信号

    干扰包括:

    1. 参考信号变化
    2. 低频负载扰动:由于负载变化或驱动机构发生变化产生,可以通过PID控制器的积分部分消除
    3. 高频测量噪声:在传感器或其引线中产生,可以通过滤波消除

    基本元件类
    ●比较器:将所检测的被控量实际值与给定元件给出的参考两进行比较,确定两者之间的偏差
    ●控制器:下达指令的装置
    ●执行器:直接驱动被控对象,使其被控量发生变化
    ●被控对象:系统中被控制的设备或过程

    闭环系统的传递函数见下图:
    在这里插入图片描述

    E(s)为比较器输出,B(s)为比较器反馈信号,定义E(s)=R(s)-B(s)。
    G(s)为前向通道传递函数,;H(s)为反馈通道传递函数,即输出C(s)到输入端比较器的反馈信号B(s)之间设定所有传递函数的乘积,记为H(s)。

    输入与扰动共同作用下,系统输出响应为:输入信号作用下(N(s)=0)的闭环传递函数,同扰动作用下(R (s)=0)闭环传递函数之和。
    C ( s ) = C R ( s ) + C N ( s ) C(s)=C_R(s)+C_N(s) C(s)=CR(s)+CN(s)
    = ϕ ( s ) ⋅ R ( s ) + ϕ ( s ) ⋅ N ( s ) =\phi_(s)·R(s)+\phi_(s)·N(s) =ϕ(s)R(s)+ϕ(s)N(s)
    = G 1 ( s ) ⋅ G 2 ( s ) 1 + G 1 ( s ) ⋅ G 2 ( s ) ⋅ H ( s ) ⋅ R ( s ) + G 2 ( s ) 1 + G 1 ( s ) ⋅ G 2 ( s ) ⋅ H ( s ) ⋅ N ( s ) =\frac{G_1(s)·G_2(s)}{1+G_1(s)·G_2(s)·H(s)}·R(s)+\frac{G_2(s)}{1+G_1(s)·G_2(s)·H(s)}·N(s) =1+G1(s)G2(s)H(s)G1(s)G2(s)R(s)+1+G1(s)G2(s)H(s)G2(s)N(s)
    = G 2 ( s ) 1 + G 1 ( s ) ⋅ G 2 ( s ) ⋅ H ( s ) ⋅ [ G 1 ( s ) ⋅ R ( s ) + N ( s ) ] =\frac{G_2(s)}{1+G_1(s)·G_2(s)·H(s)}·[G_1(s)·R(s)+N(s)] =1+G1(s)G2(s)H(s)G2(s)[G1(s)R(s)+N(s)]

    传递函数:

    num = [ ]; den = [ ]; %num,den表示传递函数分子、分母
    G = tf(num,den,Ts);
    

    单位反馈系统是指反馈通道比例为1的反馈系统。
    在这里插入图片描述
    ϕ ( s ) = G ( s ) 1 + G ( s ) \phi_(s)=\frac{G(s)}{1+G(s)} ϕ(s)=1+G(s)G(s)

    2控制系统的性能指标

    控制系统的性能指标有两种体系:时域指标频域指标。时域指标分为稳态指标动态指标

    2.1稳态指标

    即稳态误差。

    2.2动态指标

    动控制系统的动态性能指标包括对给定输入型号的跟随性能指标和对扰动输入信号的抗干扰指标。通常调速系统的动态指标以抗扰性能为主,而随动系统(伺服系统)的动态指标以跟随性能为主。

    跟随性能指标

    在给定信号或参考输入信号R(t)的作用下,系统输出量C(t)的变化可用跟随性能指标描述。给定信号不同时,输出响应不同,通常以输出量的初始值为零时给定信号阶跃变化下的过渡过程作为典型的跟随过程,此时的输出量动态响应称作阶跃响应。
    常用的阶跃响应跟随性能指标见下方时域图。
    在这里插入图片描述
    另外两种类型的时域图。
    在这里插入图片描述

    1. 上升时间:对有振荡系统定义为响应从零第一次上升到终值所需时间。
    [y,t] = step(G); %求阶跃响应曲线值
    C = dcgain(G); %求终值
    n = 1;
    while y(n)<=C;n=n+1;end;
    tr = t(i) %求上升时间
    
    1. 峰值时间:响应超过其终止到达第一个峰值所需时间。
    y = step(G); %求阶跃响应曲线值
    [Y,k] = max(y); %求峰值
    tp = t(k) %求峰值时间
    
    1. 调节时间(稳态时间):响应到达并保持在稳态值的±5%误差范围内所需的最短时间。
    [y,t] = step(G); %求阶跃响应曲线值
    C = dcgain(G); %求终值
    i = length(t);
    while(y(i)>0.98*C)&(y(i)<1.02*C) %保持在稳态值的±2%误差范围内
    i = i - 1;
    end
    ts = t(i) %求稳态时间
    
    1. 超调量:响应的最大偏离量h与终值之差的百分比。
    y = step(G);
    [Y,k] = max(y); %求峰值
    C = dcgain(G); %求终值
    Mp = 100*(Y-C)/C; %求超调量
    
    1. 振荡次数: 在调节时间内,响应曲线穿越稳态值次数的1/2.

    抗扰性能指标

    控制系统稳定运行中,突加一个使输出量降低的扰动量F后,输出量由降低到恢复的过渡过程是系统典型的抗扰过程。
    常用的抗扰性能指标为动态降落和恢复时间。
    在这里插入图片描述

    1. 动态降落: 系统稳定运行时,突加一个约定的标准负扰动量,所引起的输出量最大降落称为动态降落,输出亮在动态降落后逐渐恢复,达到新稳态值C∞2,则原稳态值C∞1与C∞2之差(C∞1-C∞2)是系统在该扰动作用下的稳态误差,即静差。
    2. 恢复时间: 从阶跃扰动作用开始,到输出量基本恢复稳态,距新稳态值C∞2之差进入某基准值Cb的±5(±2)范围内所需的时间,定义为恢复时间。

    二阶系统的数学模型

    二阶系统是以二阶微分方程作为运动方程的控制系统。大量的高阶、复杂系统可以在一定的近似范围内简化为二阶系统,以便于系统的分析与设计。二阶系统的标准形式为:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    1. ωn:无阻尼自然振荡频率(自然频率)。二阶系统的阻尼为零时,系统输出的振荡频率。
    2. ξ:阻尼比(阻尼系数)。阻尼比是无单位量纲,表示了结构在受激振后振动的衰减形式。

    ωn和ξ是系统基本参数,可用于描述二阶系统动态特性。

    二阶系统的单位阶跃响应

    零状态响应是指系统的初始状态为零时,仅由输入信号引起的响应。
    在单位阶跃函数作用下,二阶系统的零状态响应称为单位阶跃响应。
    在这里插入图片描述

    过阻尼二阶系统

    当ξ>1时,系统为过阻尼状态,响应为一条单调上升曲线;
    当ξ>>1时(实际工程中近似为一阶系统响应),二阶系统响应可近似为一阶系统响应。
    在这里插入图片描述

    欠阻尼二阶系统

    当0<ξ<1时,系统为欠阻尼状态,此时系统将做振幅逐渐减小的周期性阻尼振动,这是因为阻尼并不足以阻止振动越过平衡位置。
    系统的运动被不断阻碍,所以振幅减衰,并且振动周期也是越来越长,经过较长时间后,振动停止。
    在这里插入图片描述

    无阻尼二阶系统

    当ξ=0时,系统为无阻尼状态,其响应为正弦波(等幅振荡)曲线,振荡频率为ωn;系统处于临界稳定状态(既不发散也不收敛)。
    在这里插入图片描述

    临界阻尼系统

    当ξ=1时,系统为临界阻尼状态,是指当阻力使振动物体刚好能不作周期性振动而又能最快地回到平衡位置的情况,其响应为无超调的单调上升过程;同ξ>1的响应曲线类似,是振荡与不振荡的分界线。
    在这里插入图片描述

    以上几种情况的单位阶跃响应曲线如下图:
    在这里插入图片描述
    由图可见:

    1. ξ值越大,系统平稳性越好,超调量越小;
    2. ξ值越小,系统振荡越强,振动频率越高;
    3. ω增加时,系统响应速度加快,但响应峰值保持不变,超调量由阻尼系数唯一确定;

    通常根据允许的最大超调量来确定ξ,然后再调整ω以获得合适的瞬态响应时间;其中ξ=0.7为最佳阻尼比,此时调节时间最短,快速性和平稳性最好,超调量<5%。

    2线性系统的稳定性分析

    2.1稳定性的基本概念

    根据李雅普诺夫稳定性理论,线性系统的稳定性表述为:若线性系统在初始扰动的影响下,其动态过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零,则称系统渐进稳定,简称稳定;若在初始扰动的影响下,系统的动态过程随时间的推移而发散,则称系统不稳定
    在这里插入图片描述
    线性系统的稳定性由系统结构决定,与外界因素无关,这是因为控制系统中一般含有储能元件或惯性元件,不可能突变,因此当受到扰动或有输入量时,控制系统不会立即完成,而是有一定延缓,这就使得被控量恢复期望值或跟踪输入量有一个过渡过程。

    2.2系统稳定性的直接判定

    特征方程 D(s)指闭环传递函数的分母。
    单位反馈系统 ϕ ( s ) = G ( s ) 1 + G ( s ) \phi_(s)=\frac{G(s)}{1+G(s)} ϕ(s)=1+G(s)G(s)的特征方程为:
    D ( s ) = 1 + G ( s ) D(s)=1+G(s) D(s)=1+G(s)

    系统稳定的充要条件为:
    系统所有闭环特征根均具有负的实部;或所有闭环特征根均具有负的实部。
    因此稳定性与零点无关,只需将系统所有极点求出,即可立即判定稳定性。

    ●使用闭环特征多项式的根判定稳定性:.

    roots(den) %求特征多项式极点,实部为0则稳定
    

    ●使用零极点图判定稳定性:

    pzmap(num,den)%极点用X表示,零点用○表示,若极点都落在左半平面则系统稳定。
    

    2.3系统极点分布对时域响应的影响

    1. 所有闭环极点在s平面的左半平面,则系统稳定;
    2. 极点的性质决定瞬态分量的类型:
      ●实数极点:非周期瞬态分量
      ●共轭复数极点:阻尼振荡瞬态分量
    3. 极点距虚轴的距离决定了其所对应暂态分量衰减的快慢,距离越远衰减越快

    在这里插入图片描述

    3线性系统的稳态误差分析

    3.1闭环系统的误差传递函数

    在这里插入图片描述

    闭环系统的误差传递函数指E(s)为输出量时的传递函数。
    ϕ ( s ) = E ( s ) R ( s ) \phi(s)=\frac{E(s)}{R(s)} ϕ(s)=R(s)E(s)
    = 1 1 + G ( s ) ⋅ H ( s ) =\frac{1}{1+G(s)·H(s)} =1+G(s)H(s)1

    3.2稳态误差

    稳态误差(Steady-State Errors) 是指时间趋于无穷时(即系统稳定后)输出量与期望输出的偏差。从现实意义出发,对于一个实际的控制系统,由于摩擦、间隙、不灵敏区、零位输出等非线性因素的存在,都会造成稳态误差。

    稳态误差可分为原理性误差和系统稳态误差。

    1. 原理性误差:系统由于结构、输入作用和类型所产生的稳态误差;本文仅讨论原理性误差。
    2. 系统稳态误差:系统由于非线性因素所产生的稳态误差
      通常把阶跃输入作用下没有原理性稳态误差的系统称为无差系统;而把有原理性误差的系统称为有差系统

    控制系统的稳态误差越小说明控制精度越高,一般要求稳态误差在给定量的2%-5%之间。系统在多个信号共同作用下总的稳态误差等于多个信号单独作用下的稳态误差之和。

    静态误差属于稳态误差,由于控制原理(如纯比例调节)造成的稳态误差可称静态误差。

    计算稳态误差以系统稳定为前提。误差信号e(t)中,包含瞬态分量ets(t)稳态分量ess(t),当时间趋于无穷时,必有ets(t)趋于0。控制系统的稳态误差定义为误差信号e(t)的稳态分量ess(∞),简记为ess。
    e s s = lim ⁡ x → ∞ e ( t ) = lim ⁡ s → 0 s E ( s ) e_{ss}=\lim_{x\to ∞}e(t)=\lim_{s\to 0}sE(s) ess=limxe(t)=lims0sE(s)
    = lim ⁡ s → 0 s R ( s ) 1 + G ( s ) ⋅ H ( s ) =\lim_{s\to 0}\frac{sR(s)}{1+G(s)·H(s)} =lims01+G(s)H(s)sR(s)

    由上式推出结论,系统的稳态误差除了与系统本身结构和参数有关外,还与系统输入信号的形式和大小有关。

    输入信号作用下的稳态误差见下图:
    在这里插入图片描述
    将阶跃输入、速度输入及加速度输入下系统的误差分别称之为位置误差、速度误差和加速度误差。

    t = [0:0.001:15]; %表示以0为起点,以15为终点,以0.001为步长的一维矩阵
    y = step(G,t); %求阶跃响应曲线值
    ess = 1-y;
    Ep = ess(length(ess)) %求稳态误差
    
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    ​        电机分为有刷电机和无刷电机,这里主要描述的FOC控制算法主要是针对无刷电机的控制,无刷电机用于飞行器或者四足狗、机械臂等这种高精度的环境当中。玩过四轴的都比较清楚在,四轴飞行器中一般采用电调的驱动方式,那么电调和FOC直接有什么优缺点呢?电调比较适用于电机告诉旋转的场景,而对低速的控制确实乏力,而FOC无论在高速还是低速的场景下都适用

    ​        FOC用途之一,比如下面的狗子:

    ​                https://www.youtube.com/watch?v=NIjodHA78UE&feature=youtu.be

    一. 电机的旋转原理

    1.电机旋转的基本知识

    ​        磁铁的分N和S级,同性相斥异性相吸的原理,那么将两个磁铁放在一起会出现什么现象呢?如下图,若拖动下方的磁铁进行旋转,那么由于磁场的原因,上方的磁铁也会跟着进行旋转

    ​        那么两个磁铁在何时力矩(力矩在物理学里是指作用力使物体绕着转动轴或支点转动的趋向)最大呢?如下图,当两个磁铁呈直角时,力矩最大(可以简单的认为相互作用力最大)。

    当将上面两个磁铁中下方的磁铁换成电磁铁,电磁铁是物理不旋转而是形成的磁场的进行旋转,那么是不是与上方的效果一样,带动另一个磁铁进行旋转

    2.电机旋转的方式

    a.电磁铁的构成

    单个通电线圈如下图所示,由右手螺旋定理可以得出该线圈磁场的方向是向上的,

    ​        那么这里只有一个方向的磁场,那么如何增加旋转磁场的方向呢?简单的办法就是增加线圈,并且线圈的朝向不同即可,这里我们以三相电机为例子进行描述,三相电机就是采用如下图的方式,采用三个线圈,每个线圈的方向间隔120度

    由于减少硬件电路驱动(H桥)的数量,因此一般是将三个线圈的一端进行相连接,组成了三相星型结构,如下图,那么为什么会这样链接呢?每个线圈单独供电是否可以呢,当然是可以的,具体原因下面会描述

     b.H桥驱动电路驱动线圈

    驱动线圈供电,一般使用H桥驱动电路,那么我们先看一下如何驱动一个线圈的,如下图

    ​        H桥由4个MOS管组成,当 A 和 B‘ 打开时,电流由左上方流入线圈经由B’流入负极,也就是图上的红色箭头的方向,同理打开B和A'同时打开,电流就是蓝色箭头的方向,这样就能控制线圈产生不同方向的磁场了。

    ​        那么如何控制上方线圈产生的磁场的大小呢?

    转换来看也就是如何控制加在线圈两侧的电压的大小呢?

    这里可以使用方波来控制MOS管的导通,如时间周期T,在T/2时间打开A和B',剩下的T/2关闭A和B',这样的话就相当于0.5VDC的电压加载到线圈上了(若是T时间均打开 那么线圈上的电压就是VDC),线圈上的电压可能是0~0.5VDC之间不断的跳动,但是线圈的电流是接近连续的,因为这是电感,如下图,若是电压变动很快并且电感足够大,理论上是可以做到电流连续的

    由上面的H桥驱动电路可以知道,一个H桥由4个MOS管构成,那么若是三个线圈就需要12个MOS管构成,这样非常的浪费,**这也是为什么要将三个线圈连在一起组成星链结构的原因**。

    ps:

    ​    在上面的H桥驱动电路上桥臂和下桥臂在同一时间只有一个能打开,这是为什么呢?因为两个同时打开就短路了。所以这种情况是不允许发生的。

    ​    正是为了避免上面的情况发生,所以才有了**死区**时间的概念,死区时间是PWM输出时,为了使H桥或半H桥的上下管不会因为开关速度问题发生同时导通而设置的一个保护时段,所以在这个时间,上下管都不会有输出。

    那么H桥驱三相星链线圈是怎么样呢?如下图:

    定义MOS管开关状态如下:

    上桥开通下桥关断定义为状态1
    上桥关断下桥开通定义为状态0

    这样,三组半桥就一共有8种组合方式,编码分别为:**000**、**001**、**010**、**011**、**100**、**101**、**110**、**111**

    c.三相线圈产生的磁场

    0电流状态:上面的8种组合中有000和111状态,比较明显看出当在这两个状态时三相线圈是没有电流经过的,这个状态我们称为0电流状态。

    上面的8种状态除去两个0电流的状态,其余6种都会产生磁场,并且相应的磁场方向分别为:

    ​        其中橘色箭头的方向和电磁铁形成磁场方向一致,但是这里我们把橘黄色箭头称呼为**电压矢量的方向**,因为这里我们加载的是电压方向(1图中A指向B和C)由于是稳态的,所以电流方向也是这个方向,所以磁场方向和橘色箭头一致了<右手螺旋法则>。所以最终产生的磁场方向汇总如下:

    d.电磁场牵引转子最优的状态

    在上面已经提到当电磁铁的方向和转子(永久磁铁)的方向呈90度的时候,力矩最大,如下图,

    此时转子会向着电磁铁的方向旋转,此时若转子受到牵引转动了θ角,与此同时电磁铁也按照同方向转动了θ角,那么电磁铁的方向始终和转子的方向垂直,这样转子就会不断的进行旋转了并且力矩始终是最大的,这就好比下图:**毛驴一直跟着胡萝卜的位置进行转动,但是毛驴和胡萝卜的位置确不会被改变**

    现在我们已经知道我们需要的是什么了?**那就是一个旋转任意角度的磁场并且大小可控**,但是由上面描述三相线圈只能生成6个方向的电压矢量(电压矢量的方向和磁场方向相同),那么如何根据这6个电压矢量合成任意角度的电压矢量(磁场方向)呢?这就是SVPWM要干的事情了

    3.SVPWM

    SVPWM:空间矢量脉宽调制(Space Vector Pulse Width Modulation)

    SVPWM的基本思想就是根据上面6个磁场方向的来合成任意角度的磁场方向

    a.矢量的合成

    初中数学的知识回顾如下

    我们想产生(0,1)的矢量,其实可以看作是 :

    1可以看作周期T的时间内有T这么长时间作用在X轴上,Y轴作用时间0

    我们想产生(1,0)的矢量,其实可以看作是:

    我们想产生(0.5,0.5)的矢量,其实可以看作是:

    其中这里0.5可以看作周期T的时间内有0.5T的时间作用在X轴上,也有0.5T的时间作用在Y轴上;

    根据上面的例子,我们可以固定这样的表达式

    ​ 那么若是想产生(0.25,0.25)这个方向的矢量,该如何表达:

    这里加入了零向量,这里向量(0.25,0.25)和向量(0.5,0.5)方向相同,但是赋值不一样,但是总时长加起来还是1

    **可以得出一句话就是幅度要低,拿0来抵<上面的000和111状态派上了用场>**。

    b.SVPWM中的电压矢量合成

    在这里我们可以认为电压矢量方向和磁场方向相同(**因此本节也可以理解为磁场方向的合成**)

    矢量控制,就是要通过6个方向的空间矢量电压作为基向量来合成任意矢量,基向量的选择是选择当前扇区的两个基向量。

    这里我们以第一扇区为例,当前需要合成的角度为θ,对应的基向量分别为U6和U4,如下:

    由上图可以看出,通过U4和U6显然是能够合成Uref的,将要生成的Uref向量分别投影到U6和U4上,由正玄定理(**各边和它所对角的正弦值的比相等**)可以得出如下恒等式:

    (T6/T)*U6:可以理解为要产生Uref这个电压,U6要产生多少电压

    因为|U6|=|U4|=2Udc/3(Udc是供给电压,由欧姆定律计算得出),因此可以得出如下T4和T6的时间:

    其中参数m表示为SVPWM的调制系数(调制比):

    上面已经描述过,因为我们需要根据需要控制幅值,因此需要零矢量的参与,因此零矢量的时间为

    总时间T减去T4和T6的作用时间:

    ​        这里为什么是1/2,是因为我们要插入两个零矢量,所以时间要平分给两个零矢量,那么为什么要插入两个零矢量呢?只用一个零矢量可以吗?

    ​        理论上是可以的,但是会对MOS管的开断会产生较大的影响,影响MOS管的寿命,所以我们希望尽量减少MOS管的开关次数,因此目前设计出了7段式SVPWM的调制法,如下:

    解释一下该图的参数,A、B、C代表的是H桥驱动电路上的控制端信号,

    ​        同时我们通过在合理的位置插入两个零矢量,并且对零矢量在时间上进行了平均分配,以使产生的PWM对称,从而有效地降低了PWM的谐波分量。

    同理可以得出其他扇区的切换顺序如下,为什么有这样的顺序呢?**对应到MOS管的开关上来看就是每次状态的切换只要一个MOS进行切换,极大的降低了MOS管的损耗**

    ​      

    重新回到上面的T4和T6的公式中,得出的公式如下:

          其中

    因此到这里,SVPWM的工作完成了,我们得到了每一时刻所需要的空间电压矢量以及它们持续的时间,在处理器中赋值给对应通道的捕获比较寄存器产生相应的三个PWM波形,控制MOS管的开关,**进而产生我们期望的电压、电流、力矩。**

    但上面的公式在实际的控制中并不使用,因为其还是太过于复杂,因为牵扯到了角度的变化,该种算法是老式的SVPWM的思路,那么现在是如何得到每个方向的Tx(基向量的作用时间)呢?如下一节:

    c.SVPWM和FOC的联系

    那么FOC和SVPWM是如何对接的?

    首先理解前后关系:FOC的输出是SVPWM的输入,SVPWM输出是三相电压的占空比,也就是最终设置到计时器中的比较寄存器的值

    那么FOC输出的是什么呢?

    因为后面会介绍,所以这里直接给出结论是Vα和Vβ,这个也与直轴和交轴方向相同的两个电压矢量

    直轴:转子N到S的方向          交轴:与直轴垂直,维持转子转动的方向  ,在电机转动的过程中,交轴方向的力是维持转子转动的,而直轴上的力对转动无效果,因此我们应该尽力让其为0.

    那么该处假定已经知道了FOC输出的Vα和Vβ,那么该如何得到T4、T6、T0、T7,从而更新寄存器控制PWM的输出呢?

    继续贴出上面讨论的在第一象限的Uref,如下(Ts和上图中的T是一个意思,都是表示PWM输出的完整周期时间):

    电压矢量U4(100)和U6(110)的Uout,分别是2/3Udc和2/3Udc*(cos(π/3),sin(π/3))  ->矢量

    1.首先上式表示的是U4和U6方向的总电压,这个电压如何计算得出来的呢?

    三相线圈的等效电阻如下:

    由上面的电路我们可以根据电路原理和矢量合并等原则算出各个方向输出的电压,这里不再进行计算直接给出结论,如下图:

    其中红框标出来的就时第一象限所需要的U6和U4的总电压

    其中U4(1,0,0)=2/3Udc(α方向),而U6=2/3Udc *e^(j\* π/3),这是个矢量表达形式,我们将其变一下形:

    根据虚数变换公式

    可以将e^(j\* π/3)  = cos(π/3) + j*sin(π/3),用坐标表示则就是** 

    (cos(π/3)  ,sin(π/3)),这样就很清晰了,其表示的是α和β轴对应的值, 那么FOC输出的就是α和β轴向的值,这样就能得到了上面的值。

    ​        我们将U4和U6分和Uref别投影到α和β轴上,那么就会出现如下恒等式:

    那么由左侧和右侧等式可以得出如下公式:

    其中比例系数为*K* =√3*Ts*/Udc ,该是个固定的值。因此上面就建立了T4、T6、T0和T7与FOC输出的Uα、Uβ的关系了。

    上面仅限于第一区域的计算公式,其他扇区的公式不进行推倒,直接给出结论:

    这样我们拿到FOC的输出结果Uα、Uβ,然后执行如下步骤:

    ​    1.根据该值判断合成的矢量所在的扇区

    ​    2.然后利用对应扇区的公式计算Tx、Ty、Tz等值,然后进行变换后设置到PWM控制器的比较值中,即可产生我们想要的波形,从而产生定向的磁场方向

    这样就能完成电机的矢量控制,SVPWM的工作就已经完成了

    上面已经得到根据FOC的输出能够很轻易的得到需要设置寄存器的值以来控制电机,那么下面我们来分析这个FOC是如何得到这个Uα、Uβ的

     二.FOC控制原理

    ​        当我们拿到一个三相无刷电机时,当手转动电机然后用示波器观察电机的三根信号线,能够看到输出的是三个相位相差120度的正弦波形,因为电动机反过来就是发电机。

    ​        因为控制常用的就是闭环控制,而检测正弦波比较困难,那么FOC主要做的工作就是解耦,就是将复杂的信号拆解成比较容易分析的量

    1.FOC控制的Pipeline

    这幅图是以电流闭环控制为例的,也就是让电机始终产生一个恒定的力矩(也就是恒定的电流,因为力矩和电流成正比)。

    可以看到控制器的输入是最左边的Iq_refId_ref,两个变量经过PID控制器进行反馈调节,其中还涉及到几个变换模块,**有Park变换和Clark变换**;最后通过前面提到的SVPWM模块作用到三相逆变器上进而控制电机;而PID控制器的反馈量,是对电机输出电流的采样值。

    FOC控制的整个过程是这样的:

    1. 对电机三相电流进行采样得到Ia Ib Ic
    2. 将Ia、Ib、Ic经过`Clark变换`得到Iα Iβ
    3. 将Iα Iβ经过`Park变换`得到Iq和Id
    4. 计算Iq和Id和其设定值Iq_ref,Id_ref 的误差
    5. 将上述误差输入两个PID(只用到PI)控制器,得到输出的控制电压Uq,Ud
    6. 将 进行`反Park变换`得到Uα,Uβ
    7. 用Uα,Uβ合成电压空间矢量,输入`SVPWM模块`进行调制,输出该时刻三个半桥的状态编码值
    8. 按照前面输出的编码值控制三相逆变器的MOS管开关,驱动电机
    9. 循环上述步骤

    2.Clark变换

    ​        通过电流的采样,我们得到了三个相位相差120度的正弦波,采集电机前的电流的作用主要是用作PID反馈,以此来调整输入的误差。从上图可以看出,我们只需要采样两个信号线,另一根可以使用基尔霍夫定律得出(在任一时刻,流入节点的电流之和等于流出节点的电流之和,也就是说Ia + Ib +Ic = 0

    ​        那么将三相正选波形直接作为PID,那么这个过程非常的复杂,因此我们这里用一些算法对其进行转换,将采集的三相电流表示如下图:

    ​                                                

    其中横坐标表示为α轴,纵坐标表示为β轴,那么此时将Ia、Ib、Ic分别投影到α和β轴上,就能比较轻易的得到如下恒等式:

    ​                           

    经过这样的投影,我们将Ia、Ib、Ic转换成了Iα和Iβ  两个变量了,可能这样还不够直观,我们从波形上看看到底有什么变化:

    从上图可以看出经过上面的变换后,需要控制的变量从3个编程了2个了,这样的转换就称为Clack变化,但是这两个还是正弦波形,还是不好做跟踪不好做处理,最理想的跟踪变量是什么呢?肯定是直线了,下面我们沿着Clack变换继续进行处理。

    4.Pack变换

    在上面的Clack的输出中得到了**α-β坐标系** ,若是将该坐标系旋转θ角,如下:

    经过旋转后Q-D坐标系可以表示成如下:

    Q和D可能很熟悉,那就是分别对应电机的Q轴(交轴)和D轴(直轴),θ就是转子转动的角度,也就是d-q坐标系是始终随着转子进行转动的。

    这个操作是可行的,因为我们会通过编码器输入转子的实时旋转角度,所以这个角度始终是一个已知数。经过这一步的变换,我们会发现,一个匀速旋转向量在这个坐标系下变成了一个定值!**(因为参考系相对于该向量静止了,Id和Iq相对于D-Q坐标系)**,这个坐标系下两个控制变量都被线性化了!

    接下来如果我们以 Iq和Id 这两个值作为反馈控制的对象,那么显然就可以使用一些线性控制器来进行控制了,**比如PID**

    5.PID控制

    PID是在控制领域最常用的算法之一,这里不做过多的介绍,只介绍一下PID在FOC控制系统当中的应用:

    在FOC控制中主要用到三个PID环,从内环到外环依次是:**电流环**、**速度环**、**位置环。**

    也就是说:我们**通过电流反馈来控制电机电流(扭矩)** -> 然后**通过控制扭矩来控制电机的转速** -> 再**通过控制电机的转速控制电机位置**。

    a.电流环

    从上图可以看出,我们上面的一系列的操作运算,如clack变换和pack变换最后输出的Iq和Id的值,也就是主要对采样的正弦电流进行解耦,分解成径向和切向这两个方向的变量:

    - 其中 Iq是我们需要的,代表了期望的力矩输出

    - 而 Id是我们不需要的,我们希望尽可能把它控制为0

      **由上图可以知道经过FOC的控制目标就是将Id的电流尽量减小到0,因为其对电机的转向是没有任何帮助的所以我们尽量让其控制到0**

    b.速度环

    w是电机的转速反馈,可以通过电机编码器或者霍尔传感器等计算得到,依然是使用**PI控制**。

    注意这里的w转速并不是瞬时的速率,而是测了一段时间取平均值的速率,因此若是在低速的情况下,速率环就不那么适用了,因为平均测速法会存在非常大的误差(转子不动或者动地很慢,编码器就没有输出或者只输出1、2个脉冲)。

    c.位置环

    ​        由于去掉了速度环,这里的位置环我们使用**完整的PID**控制,即把微分项加上(因为位置的微分就是速度,这样可以减小位置控制的震荡加快收敛;积分项的作用是为了消除静态误差)。

    到目前为止,FOC控制无刷电机的驱动方式已经基本讲解完了,有了以上的内容就能够非常妥善的控制电机运转,但FOC还有一部分内容,那就是能量回收,该部分放到以后进行分享~

    三、参考文章

    https://zhuanlan.zhihu.com/p/147659820

    https://zhuanlan.zhihu.com/p/104546205

    https://zhuanlan.zhihu.com/p/145551966

    https://zhuanlan.zhihu.com/p/152144886

    STM32参考程序:

    https://blog.csdn.net/qlexcel/article/details/95227991

    SVPWM:

    https://blog.csdn.net/qlexcel/article/details/74787619#comments_15223680

    一些开源的项目:

    https://odriverobotics.com/

    https://docs.simplefoc.com/

    https://stanfordstudentrobotics.org/pupper

    MIT的机器狗的参考code

    https://os.mbed.com/users/benkatz/code/Hobbyking_Cheetah_Compact_DRV8323//file/6cd89bd6fcaa/FOC/

    展开全文
  • 自动控制原理 1 1.1 开环与闭环系统 简单的开环系统 闭环系统转换成为闭环系统: 1.2 稳定性分析2 对于一个系统,如果没有稳定性的先决条件,那么其他的(稳态误差分析、瞬态误差分析)将无从说起。稳定性:...

    一、自动控制原理 1

    1. 控制原理

    1.1 开环与闭环系统

    下面是开环系统与闭环系统的示例。以给水壶加热的过程举例,开环系统只是简单的利用开关信号控制水壶的加热。而下图的闭环控制系统中,将添加温度传感器所测量的信号作为系统的反馈量。设计控制系统的核心就是通过对闭环系统的控制器进行调整,利用反馈量信号,完成闭环的稳定控制。

    同时,这就是反馈的过程。

    20200817144157

    简单的开环系统有如下描述:(这里以流体力学的公式作为举例)
    DraggedImage-1.png

    添加控制器D(s),并增加测量H(s),构成如下闭环系统。但是在分析闭环系统的稳定性时,一般的做法是将其转换成为开环系统,并将新构造的开环系统传递函数作为研究对象,分析系统的稳定性。
    DraggedImage-2.png

    1.2 稳定性分析2

    DraggedImage-3.png
    对于一个系统,如果没有稳定性的先决条件,那么其他的(稳态误差分析、瞬态误差分析)将无从说起。稳定性:传递函数极点在复平面的左半边。(横坐标为极点,纵坐标为零点)

    所以对于系统稳定性的讨论,实际上是在分析输入为单位冲激函数时,系统输出的传递函数。最后观察系统输出随时间变化的曲线是否到达稳定的位置。

    零点和极点的定义如下:
    DraggedImage-4.png
    分析为什么极点为负的,系统是稳定的:
    DraggedImage-5.png
    下面这个图要更加直观:
    DraggedImage-6.png
    那么我们如何设计控制器?就是将最终的传递函数的极点在左边平面,叫做极点配置。现代控制理论中,研究的是状态矩阵的特征值,对应的就是传递函数的极点。

    1.3 一起燃烧卡路里/科学减肥(系统分析实例_数学建模部分)

    DraggedImage-7.png

    DraggedImage-8.png
    框图表示如下:
    DraggedImage-9.png
    设计比例控制器(最为简单的控制器)如下:
    u = k p e u=k_{p} e u=kpe
    那么如何设计该控制器,让最终的系统趋向于稳定状态呢?(也就是说传递函数的极点在左半边平面)
    DraggedImage-10.png

    学习控制理论一定要从微分方程入手,弄清楚微分方程与传递函数之间的关系就会容易理解很多。

    通过对于比例控制器的分析之后发现,单纯的比例控制最终产生稳态误差

    DraggedImage-11.png

    1.4 终值定理与稳态误差3

    下面讨论的系统是存在参考信号的系统,类似于下图。终值定理,用来算系统输出的极限的工具。(FVT)
    DraggedImage-12.png
    下图解释了弹簧阻尼系统的传递函数,还有在冲激响应下系统的终值定理的使用方式。
    DraggedImage-13.png
    DraggedImage-14.png
    DraggedImage-15.png
    这里需要注意的是第二种情况,代表了输入参考信号为c时(相当于r)的情况。
    条件如下:
    DraggedImage-16.png
    最终求出来的极限值经过运算就是系统的稳态误差。
    DraggedImage-17.png

    1)比例控制

    举例说明。下面是一个最为简单的一阶系统,采用的控制方式是比例控制。
    DraggedImage-18.png
    利用定理分析稳态误差如下:
    DraggedImage-19.png
    这里说明了比例控制的局限性,必须采用更加实用性的控制算法。比例控制充法消除稳态误差

    2)比例积分控制

    DraggedImage-20.png
    并有下面变换方式:
    DraggedImage-21.png
    通过引入一个积分信号,让本来的一阶系统变成一个二阶系统。

    1.5 根轨迹

    再回到弹簧系统,是一个二阶系统。
    DraggedImage-22.png
    对于高阶系统不过也是几个一阶系统的叠加,如下:
    DraggedImage-23.png
    这一节评估了根的位置对于控制器的影响。

    DraggedImage-24.png

    1.6 PID控制

    • 比例控制
    • 微分控制:调节水温变化的速度,
    • 积分控制:误差的累计量

    注意:

    • 比例积分控制没有单独的比例控制收敛快
    • 微分控制解决了超调量问题
    • 微分控制的问题是初始状态下的输入值很大
    • 同时,微分控制的控制量受到测量误差的影响非常大。他对噪声非常敏感

    示例

    在无人机中,利用串联PID控制完成姿态和高度控制是比较经典的方法,参考博客

    20200817130408

    如果想增加飞行器的稳定性(增加阻尼)并提高它的控制品质,我们可以进一步的控制它的角速度,于是角度/角速度-串级PID控制算法应运而生。在这里,相信大多数朋友已经初步了解了角度单环PID的原理,但是依旧无法理解串级PID究竟有什么不同。其实很简单:它就是两个PID控制算法,只不过把他们串起来了(更精确的说是套起来)。那这么做有什么用?答案是,它增强了系统的抗干扰性(也就是增强稳定性),因为有两个控制器控制飞行器,它会比单个控制器控制更多的变量,使得飞行器的适应能力更强。为了更为清晰的讲解串级PID,这里笔者依旧画出串级PID的原理框图。

    2. 数学工具

    2.2 拉普拉斯逆变换4

    DraggedImage-25.png

    2.3 矩阵的性质[^5]

    矩阵有下面的性质,现代控制理论的分析中常常会用到。

    image-20200602174555806

    2.4 bode图

    给信号滤波的过程中,需要注意幅频响应。如果在带通范围内不是1的话,就会改变信号的幅值,就会改变最终加速度输出的信号。另外,上面的图就是bode图,但是是基于离散系统的

    1. 如何去理解bode

    bode图是针对于传递函数而言的,用在连续系统上。(因为控制系统常常用传递函数来表示。)

    %% 这个是正解
    b = [1,2,3];
    a = [2,1,3];
    figure;bode(b,a)
    % 
    [h1 , ftp] = freqs(b,a);
    mag = 20*log10(abs(h1));    % get magnitude of spectrum in dB
    phase = angle(h1)/pi*180;     % get phase in deg.
    figure
    semilogx(ftp,mag)
    xlabel('Frequency (Hz)'),ylabel('Magnitude (dB)')
    

    (这样描述是和真实系统不一致的,具体参考滤波器性质)

    20200625173832

    总结来说有以下几点:

    • 振幅的比较用10log10就行,但是能量的比较需要20log10

    image-20200625180223445

    • 振幅与功率/能量之间的关系如下:

    x

    2. 从一个实例出发理解bode图

    对于系统传递函数:
    G ( s ) = a s + a G(s)=\frac{a}{s+a} G(s)=s+aa
    分析频率响应:
    ∣ G ( j ω ) ∣ = 1 1 + ( ω a ) 2 |G(j \omega)|=\sqrt{\frac{1}{1+\left(\frac{\omega}{a}\right)^{2}}} G(jω)=1+(aω)21

    ∠ G ( j ω ) = − arctan ⁡ ( w a ) \angle G(j \omega)=-\arctan \left(\frac{w}{a}\right) G(jω)=arctan(aw)

    • 低频:w<<a

    ∣ G ( j ω ) ∣ = 1 20 log ⁡ ∣ G ( j ω ) ∣ = 0 ∠ G ( j ω ) = 0 \begin{array}{l} | G(j \omega)| = 1\\ 20 \log|G(j \omega)|=0 \\ \angle G(j \omega)=0 \end{array} G(jω)=120logG(jω)=0G(jω)=0

    • 截止频率:w=a

    这个-3dB很重要,表达的是输出的振幅是输入的振幅的sqrt(1/2),能量是一半的关系。

    20200625182534
    ∠ G ( g w ) = − arctan ⁡ 1 = − 4 5 ∘ \angle G(g w)=-\arctan 1=-45^{\circ} G(gw)=arctan1=45

    • 高频:w>>a

    20200625182749

    bode图如下:

    20200625182844

    3. bode图的作用是什么?

    20200625233414

    实际上,我们可以将级联系统的子系统bode图进行累加,那么我们就得到了新的级联系统的真正的bode图了。原理如上。

    20200817112457

    2.5 单位冲激函数

    20200817145053

    二、 现代控制原理串讲

    1. 现代控制理论概要

    首先要了解一个简单的弹簧阻尼模型,作为控制的对象,其满足胡克定律。
    x ˙ = k x x ¨ = B x \begin{array}{l} \dot{x}=k x \\ \ddot{x}=B x \end{array} x˙=kxx¨=Bx
    描述现代控制理论中的系统,最基础的当然是状态空间表示法

    20200602153435

    当然,通过拉普拉斯变换可以转换成下面的形式,控制对象是弹簧阻尼块。

    20200602162941

    其中有一条重要的信息,实际上矩阵A的特征值就是G(s)的极点,决定了系统的稳定性。上面的右式时通用的。

    去分析一个系统,主要需要考虑以下几个重要的性质。

    (那么对于自动控制,只需要极点就够了)

    • 可控性

      20200602175003

    • 李雅普诺夫稳定性:确定系统的稳定状态,控制系统可以满足数学的条件。在一阶系统中,常常用极点分析的方法去观察稳定性。现代控制理论中常用到的分析系统的方法就是去找系统的V函数,得到最后是不是能够

    • 可观性:状态观测器。系统状态加入不可直接测量,那么就需要通过输出和控制量去估计状态。状态观测器需要达到一个收敛的状态。建立观测器时,实际上是建立一个反馈系统,使得误差等于0。(这里是不是有误差状态量的部分?)

      对于可观测性,需要问一个问题:是不是所有系统都是可测的?借鉴可控性的推导,有下面的结论:

      20200602175542

    2. 怎样去分析一个状态空间方程系统呢?

    实际上看到设计控制器就是去配置特征值的过程。这里的特征值有点像自动控制原理中的极点的概念,决定了系统随时间是收敛的,还是振动的,还是逼近于无穷的。

    下面是对于一个控制系统的分析过程,利用配置特征值的方法可以确定比例控制的控制系数u与状态量x之间的关系。

    20200618123905

    三、最后的一些思考

    轨迹跟踪与制导之间的关系

    轨迹跟踪的目标是使状态和参考状态的误差保持在0附近。举例,对深空飞行器而言,按照轨迹优化+轨迹跟踪这两个步骤实现控制。参考轨迹是人为设计的,可以是全局最优的,也可以是次优的。然后把跟踪误差保持在0附近,这也有一套控制律,比如LQR轨迹跟踪器。

    状态控制按照给定的控制律,在航天器轨迹控制中叫做制导;在姿态控制中好像没见过先设计好姿态运动规律的,都是即时控制。制导律必须全局渐进稳定,适用于高动态的环境,比如空空导弹采用比例导引法。


    1. https://www.bilibili.com/video/av62276712 ↩︎

    2. https://www.bilibili.com/video/BV1s4411X7qd/?spm_id_from=333.788.videocard.0 ↩︎

    3. https://www.bilibili.com/video/BV14J411A7M2 ↩︎

    4. https://www.bilibili.com/video/BV1NE411d78U ↩︎

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