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  • 控制系统动态性能分析

    千次阅读 2012-04-01 20:37:36
    控制系统动态性能分析   控制系统动态性能分析   控制系统稳态性能分析   控制系统稳态性能分析     频率特性的基本概念   频率特性的基本概念...
     
    
    
    
    
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      单元一  
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      单闭环直流调速系统  
      双闭环直流调速系统  
      可逆直流调速系统  
     
     
      单元三、控制系统动态性能分析
    上一个 下一个
     

    一、一阶系统动态性能分析

     
        1.一阶系统阶跃响应分析  
      动态结构图如图所示:
      闭环传函为:

         
    其中时间常数T是唯一表征一阶系统特征的参数。
      当时,有
          

    求拉氏反变换,得
             

          

        一阶系统单位阶跃响应,在处切线的斜率为

      2.一阶系统动态性能指标

              
         可见,T越小,系统快速性越好
          一阶系统单位阶跃响应,在t=0点处的切线斜率为

            
      举例1:  
     

      已知:一阶系统方框图
      求:1)若,求
       
    2)若(5%)≤0.1,求
    解:1)
      

      
      
    2)
      
    ∴ Kf≥0.3


     
     


     
     

    二、二阶系统动态性能分析

     
      1.二阶系统阶跃响应分析  
     

    以二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。在控制工程中,二阶系统比较常见。此外,许多高阶系统,在一定条件下忽略一些次要因数,常降阶为二阶系统来研究。因此,深入研究二阶系统具有广泛的实际意义。
    典型二阶系统方框图如图所示

     
       
     

    开环传递函数

     
     

    闭环传递函数

     
     

    式中,为阻尼比;为无阻尼自然振荡频率。

     
     

    系统特征方程为

     
     

    特征方程的两个根(闭环极点)为

     
     

    可见,当取值不同时,两个特征根的类型也不一样,下面分情况讨论。

     
     

    (1),过阻尼

     
     

    此时,二阶系统的极点是两个不相等的负实根
    时,有

     
     

     
     

    式中,

     
     

     
     

    求拉氏反变换,得

     
     

    特征方程根在s平面分布及单位阶跃响应曲线为:

     
              无超调单调上升的曲线  
     

    (2),临界阻尼

     
     

    此时,二阶系统极点是一对重负实根

     
     

    时,有

     
       
     

    求拉氏反变换,得

     
     

    特征方程根在s平面分布及单位阶跃响应曲线为:

     
             无超调单位上升的曲线  
     

    (3),欠阻尼

     
     

    此时,二阶系统极点是一对共轭复根
    通常令,称为阻尼振荡频率。

     
     

    时,有

     
     

    求拉氏反变换,得

     
       
     

    由式(4-5)可知,单位阶跃响应曲线是以为角频率的衰减振荡过程,随着的减少,振荡的最大振幅愈大。实际工程中的控制系统,大多数都是衰减振荡过程。
    特征方程根在s平面分布及单位阶跃响应曲线为:

     
            振幅随时间按指数曲线衰减的周期函数  
     

    4),无阻尼

     
     

    此时,二阶系统极点是一对共轭纯虚根

     
     

    时,有,则

     
     

    求拉氏反变换,得

    特征方程根在s平面分布及单位阶跃响应曲线为:

     
              等幅振荡曲线  
     

    系统不能稳定工作,欠阻尼情况实际系统不能用。
    由以上分析可见,不同阻尼情况时,系统具有不同的响应曲线

     
         
     
     

    2.二阶欠阻尼系统性能分析

     
     

    动态性能指标:

     
     

    (1)上升时间

     
     

    由定义知, 即

     
     

    (2)峰值时间

     
     

    由定义,得

     
     

    (3)最大超调量

     
     


    仅由§决定,§越大,越小。

     
     

    (4)调整时间
    从调整时间的定义来看,调整时间的表达是很难确定,为了简便起见,可以忽略正弦函数影响,近似求得调整时间

     
     

     
     

    (5)振荡次数N
    式中 ————振荡周期

     
     

    在设计二阶系统时,一般取作为最佳阻尼比。这是因为此时不仅小,而且也并不大。

     
     

    综上讨论,可以看出,欲使二阶系统具有满意的动态性能指标,必须选择合适的阻尼比和无阻尼自然振荡频率。提高,可以提高二阶系统的响应速度。增大,可以提高系统的平稳性,即降低超调量,但增大上升时间和峰值时间。系统的响应速度与平稳性之间往往是存在矛盾的。因此,既要提高系统的平稳性,又要系统具有一定的响应速度,那就只有选择合适的阻尼比和无阻尼自然振荡频率才能实现。往往采用的是折衷处理方法。

     
     
     

    举例2:

     
     

    已知某控制系统结构图,其中K=8,T=0.25

     
         
     

    (1)输入信号时,求系统的响应。
    (2)计算系统的性能指标
    (3)若要求将系统设计成二阶最佳§=0.707,应如何改变K值

     
       
       
     
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  • 闭环系统的稳定性是控制系统设计的核心问题。一个稳定的系统在受到一个有界的输入激励的时候必然有一个有界的输出,这种有界输入——有界输出稳定性是本章主要讨论的问题。反馈系统的稳定性与系统转换方程的特征方程...

    前言
    闭环系统的稳定性是控制系统设计的核心问题。一个稳定的系统在受到一个有界的输入激励的时候必然有一个有界的输出,这种有界输入——有界输出稳定性是本章主要讨论的问题。反馈系统的稳定性与系统转换方程的特征方程的根的位置,以及状态变量形式下系统矩阵的特征值的位置,有着直接的关系。我们将会介绍Routh-Hurwitz稳定判据,这是一个判断系统是否稳定很常用的方法。该方法能帮助我们给系统设计相关的参数以满足闭环稳定性。对于一些稳定系统,我们将会介绍相对稳定的概念,这能帮助我们定义系统稳定的程度。最后本章通过对光盘驱动系统的控制器的设计,讲解如何基于RH稳定判据设计一个让系统稳定的控制器

    本章目标:
    1.了解动态系统稳定的概念
    2.知道一些绝对和相对稳定性的关键概念
    3.熟悉有界输入——有界输出稳定性的表达
    4.理解s域极点的位置以及状态变量模型特征值的位置与系统稳定性的关系
    5.知道如何构建一个Routh array,并且使用RH稳定判据判断系统是否稳定

    6.1 什么是稳定
    当考虑反馈控制系统的设计与分析问题时,稳定性永远是重中之重。从实际的角度来看,不稳定的闭环系统几乎没有什么价值。但是也有例外,(比如核弹爆炸就不需要稳定性,越不稳定越好。。。)但是没做特殊说明的话我们默认我们的研究对象是稳定的闭环系统。很多物理系统天生的开环不稳定,一些系统甚至被设计成开环不稳定。大多数现代战斗机被被设计成开环不稳定,没有主动控制系统去协助飞行员,飞机是飞不了的。工程师设计了主动控制来使不稳定系统稳定也就是我们刚刚这里所说的飞机,系统稳定之后,一些瞬时响应才可以开始研究讨论。通过使用反馈,我们可以使不稳定系统稳定,然后再通过控制参数的调整使我们的系统最终满足一定的瞬时响应或者稳态响应的性能。而对于开环稳定系统,我们任然使用反馈来调整闭环稳定性能来满足我们对整个系统的控制要求。这些控制要求就包括有:稳态跟踪误差,稳定时间,峰值时间,以及一些4&5章里面讨论的其他性能指标。

    我们可以把闭环反馈系统分成不稳定和稳定两大类,这里面说的稳定我们称之为绝对稳定。一个稳定的系统就可以被称为绝对稳定系统,通常省去“绝对“两个字。但是对于稳定系统里面,我们可以进一步根据稳定的程度进行进一步分类,这种稳定就叫做相对稳定。研究飞行器设计的一线工程师就很熟悉这种分类法——一个飞机越稳定,那么该飞机就越难操控。对于战斗机我们希望它能做一些高难度的机动,就需要其灵活易操控;而商业客机要尽可能的稳,让乘客感到舒适,所以论相对稳定性,战斗机的相对稳定性就要比商业客机低,或者说差一点。正如我们本章即将讨论的,只要满足所有的转换方程极点都在s域的左边,也就是系统举证A的所有特征值都在s域左边,那么我们可以断定一个系统是稳定的。如果所有的极点都在左边,我们再通过研究极点间的相对位置来判断一个系统的相对稳定性。

    下面是稳定系统的定义:如果一个动态系统收到一个有界输入的激励只能得到有界的输出,那么该系统为稳定系统

    稳定的概念可以用一个三角锥来掩饰,如果一个三角锥低朝下摆放,那么一开始它就能处于初始平衡位置,这个就叫做稳定。如果侧过来放,不受外力的情况下,该三角锥也不会动,但是一受外力它就会滚动,这种情况我们称之为中性稳定或者临界稳定。但如果倒着放头朝下,那么一松手三角锥就会倒下,这就叫做不稳定。
    在这里插入图片描述

    动态系统的稳定性也可以这么解释:对于受到一个阶跃或者初始状态的影响,可能会导致一个减少的输出,或者不变的输出,亦或者增加的输出,它们各对应了稳定,中性稳定,不稳定系统的特征。

    系统极点在s域的位置在某种程度上能表明系统的瞬时响应。s域左边的极点引入的是向下的输出,在s域右边或者坐标轴上的极点会导致不变以及向上的输出。下图显示了极点位置与输出的关系
    在这里插入图片描述
    有一个很常见的由反馈带来不稳定的例子,那就是扬声器系统。当一个人对着话筒讲话,它的声音会被话筒放大然后通过扬声器播放出来,如果扬声器和话筒距离很近的话,那么放大后的声音会再次进入话筒被放大,由此往复声音会越来越大。这就是一个正反馈引起的不稳定系统的例子。

    另一个例子如下图
    在这里插入图片描述
    图a是Puget Sound大桥刚通车的图片,人们发现风会很容易的引起大桥摆动,果然四个月之后大桥被大风引起的摆动给摇塌了,图b是坍塌的图片。

    对于线性系统,我们发现稳定条件或许可能与闭环转换方程的极点位置有关。一个闭环系统转换方程如下所示:
    在这里插入图片描述
    此时
    在这里插入图片描述
    方程的根是闭环系统的极点,该系统的冲激响应为
    在这里插入图片描述
    这里的Ak和Bm是由
    在这里插入图片描述
    组成的常量。为了获得一个有界的响应,闭环系统的极点必须都在s域的左半边。因此一个反馈系统稳定的充要条件是系统转换方程的所有极点都在s域左边如果有极点在虚轴上,其他极点都在s域左边,那么稳态输出将会是一个有界的正弦震动,除非输入是一个频率等于虚轴极点根的长度,此时,系统的输出会变得无界。鉴于只有部分信号会导致系统不稳定,因此这样的系统就被称为部分稳定。对于不稳定系统,至少有一个极点在s域的右边,这种情况下,对于任何输入系统输出都会变得无界。

    举个例子,如果一个闭环系统的特征方程为:
    在这里插入图片描述
    这个系统就是部分稳定,如果用一个频率=4的正弦信号激励这个系统,该系统会变不稳定。

    为了搞清楚反馈控制系统的稳定性,我们可以求出特征多项式的根。但是,有没有一种方法可以直观的判断系统是否稳定,而不是通过求出特征多项式的根来求证?有几个方法可以快速回答系统是否稳定的问题:

    1. s域法
    2. 频域法
    3. 时域法
      频域法第九章会讲到,时域法将在6.4节称述。

    如今市场上面的机器人数不胜数,随着机器人能够胜任的工作越来越多,未来机器人的数目也会快速增长,尤其是可以行走的人形机器人。很多通过串联的制动器构成的机器人在1990年代被发明出来,下图所示的M2机器人可以消耗更少的能量,但是相对于其他消耗更多能量的设计更难以保持稳定。
    在这里插入图片描述
    从上图我们可以想象到这个结构在行走的时候本身存在固有的不稳定性。下面我们将会讲解如何通过使用Routh-Hurwitz判据不计算特征方程的根就能判断系统的稳定性。

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  • 控制系统极点和稳定性之间的关系

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    理解控制系统的稳定性,我们需要深刻理解极点和微分方程的关系。极点是拉普拉斯变换中的一个概念,拉普拉斯变换将时域函数变换成了频域函数,这样做的好处是为了计算方便,说白了就是能够快速地计算出微分方程的解,也就是说拉普拉斯变换是一种用来解微分方程的牛逼“算法”。

    解微分方程本质上为了得到某个变量随时间的变化量。而微分方程的解往往和指数函数有关系,而指数函数又和周期变化联系在一起,因为欧拉告诉我们,在复平面上的指数函数其实就是周期函数。

    所以结论可以写成这样:如果极点在左半平面,震荡将是收敛的,系统会稳定,而在右半平面,震荡是发散的,系统将是不稳定的。

    不知道这么理解对不对,有不对的地方欢迎拍砖指正。

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  • 控制系统伯德图 伯德图可分为幅值图和相位图,它们都是以频率为横坐标的,说明系统的幅值和相位由输入信号的幅值和相位决定。在任一w1频率下,系统幅值a大于0。换句话说就是当输入信号频率为w1时,系统对输入信号的...

    控制系统伯德图

    伯德图可分为幅值图和相位图,它们都是以频率为横坐标的,说明系统的幅值和相位由输入信号的幅值和相位决定。在任一w1频率下,系统幅值a大于0。换句话说就是当输入信号频率为w1时,系统对输入信号的增益为a(输出信号幅值)。
    相位P可正可负:
    若P>0,表示输出信号超前输入信号P相位;
    若P<0,表示输出信号滞后输入信号P相位;
    G = 1/(s+2)的伯德图在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    输入的测试信号是幅值为1,频率为0.395HZ的正弦波,从伯德图的幅值图可知,系统对输入信号的增益为0.395,与示波器黄色曲线的第二第三个峰值一致(第一个峰值不一致是因为涉及到了系统的瞬态响应),而且其波峰相对于蓝色曲线波峰明显滞后了一个相位,应该是37.8°(没测)。

    由上引出伯德图与动态响应的关系,观察输出信号的第一个波峰峰值为0.4091,与系统增益0.395不一致,原因是系统还没有进入稳态过程。那么,先分析系统的动态响应过程:
    将正弦信号R(s)与传递函数G(s)进行拉式变换,则该信号在S域上的系统响应为C(s)=R(s)*G(s),再将C(s)进行拉式反变换得到函数c(t),是一个关于时间t的响应函数,同时用这个时域上的响应函数可以完美复原黄色的输出信号曲线。如要计算系统的稳态误差,则有e(t)=r(t)-c(t),t—>inf。

    注:
    系统的截止频率wc是系统的幅频特性曲线过0dB处所对应的频率,它直接关系到系统的动态性能,其相角裕度y=180°+角(开环传函(jwc))表示对于闭环稳定系统系统而言,系统开环相频特性再滞后y°,则系统会处于临界稳定状态

    相频曲线穿越-180°时的频率为穿越频率wx,幅值裕度h = 1/|开环传函(jwx)|,表示对于闭环稳定系统而言,系统开环幅频特性再增大h倍,系统将处于临界稳定状态

    当然,由上面两张图,我们还可以引出一个叫做带宽的概念,带宽表示的是一段频率范围,表示在[0,w]的频率范围内,闭环系统对输入的增益>0.707(-3dB)(控制系统设计中都是这么规定的)。

    如果输入信号是直流信号,那么系统带宽的大小对于输出信号响应速度有什么影响?
    首先明确的是,直流信号的频率为0,那么增益可由伯德图去判断,其增益为0.5。

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    如示波器所示,黄色曲线10/(s+20),该系统的响应大于1/(s+2),从伯德图中可以看出,10/(s+20)的增益频带更大,系统响应更快,当然也可以用拉式反变换的方法计算系统的时间响应函数去比较。因此可以得出以下结论,**系统带宽越大,对输入信号的响应越快。**但是带宽增大的同时,也抬升了系统的剪切频率(增大了剪切频率),系统相位稳定裕度减小,在中间的频率段位,同一频率下,相位滞后小于低带宽的。

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空空如也

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动态稳定控制系统