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  • 动态规划方法的基本特点
    千次阅读
    2018-04-22 20:52:41

    在应用动态规划之前,要分析能否把大问题分解成小问题,分解后的每个小问题也存在最优解。如果把小问题的最优解组合起来能够得到整个问题的最优解,那么就可以考虑应用动态规划解决这个问题。

    此类问题具有的特点

    【1】问题的目标是求一个问题的最优解;

    【2】整体问题的最优解依赖于各个子问题的最优解;

    【3】把大问题分解成若干个小问题,这些小问题之间还有相互重叠的更小的子问题;

    【4】从上往下分析问题,从下往上解决问题。

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  • 0/1背包问题以动态规划方法详解

    千次阅读 2020-12-13 19:30:15
    动态规划 主要思想 顾名思义,就是动态地根据每个阶段的状态解决问题,而且这种解决方法是可以通过代码表达的,而能够应用这种方法的问题有以下特点—— 每个阶段的状态是未知的,但是可预知且可列的,并且与前一...

    动态规划

    主要思想

    顾名思义,就是动态地根据每个阶段的状态解决问题,而且这种解决方法是可以通过代码表达的,而能够应用这种方法的问题有以下特点——
    每个阶段的状态是未知的,但是可预知且可列的,并且与前一阶段相关,这种特点常常决定了它的递推式;
    同时,满足最优子结构,子问题的最优构成了整体的最优,所以递推是可行的;
    在决策定下后,该决策也不会因为后续阶段的决策而受到影响。

    0/1背包问题

    问题描述

    有n个背包,已知每个背包的重量wi和价值vi,在总重量W固定的情况下,选择背包,使总价值V最大。

    递归实现

    基本递推式

    设f(i,y)表示总重量为y时,放入i,…n背包可以得到的最大价值,那么:

    f(i, y) = max{ f(i + 1, y), F(i + 1, y - w[i]) + v[i] }, if i < n && y >= w[i];//递归式1
    f(i, y) = f(i + 1, y) if i < n && y < w[i]; // 递归式2
    f(i, y) = v[n], if i == n && y >= w[n]//终止条件1
    else f(n, y) = 0;//终止条件2

    代码实现

    int RecursiveDp(int s, int w){
    	if(s == n){
    		if(w[n] > w){
    			return 0;
    		}
    		else return v[n];
    	}
    	if(w[s] > w){
    		return RecursiveDp(s + 1, w);
    	}
    	else return max(RecursiveDp(s + 1, w), Recursive(s + 1, w - w[s]) + v[s]);
    } 
    

    时间复杂度

    T(n) = 2*T(n - 1) + c (c为常数)
    则时间复杂度为O(2 ^ n)

    价值为整数时的非递归实现

    基本思路

    设置一个二维数组dp[n][W],代替f(i,y),减少了重复调用的那部分时间(用空间换时间)

    代码实现

    int n,w;
    int dp[MAX_N][MAX_N];
    
    void CreateDp(){
    	for(int i = 0; i <= w; i ++){
    		dp[n][i] = w[n] >= i ? 0 : v[n]; 
    	}
    	for(int i = n - 1; i >= 1; i --){
    		for(int j = 0; j <= w; j ++){
    			if(w[i] > j){
    				dp[i][j] = dp[i + 1][j];
    			}
    			else{
    				dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i + 1][j - w[i]] + v[i]);
    			}
    		}
    	}		
    }
    
    int solve(){
    	return dp[1][w];
    }
    

    复杂度

    空间复杂度:dp数组大小为n*w,如果w很大,其实就有风险;
    时间复杂度:创建dp数组的时间复杂度为O(n * w),如果w = 2 ^ n, 时间复杂度就很高,dp的实现的时间复杂度为O(1)

    元组法

    基本思想

    如果总重量较大,dp数组的空间会很大,需要得到优化,通过观察,我们发现dp数组的每一行的值是重复的,直到在某个位置发生突变,而且这种突变是有规律的,那么我们只需要存入这些突变的点

    通过实例理解

    实例:n=5,v=[6,3,5,4,6],w=[2,2,6,5,4] 且c=10 ,求f (1,10).
    在这里插入图片描述

    f(1,10)=max{f(2,10),f(2,10-2)+6}=15

    • 跳跃的位置即是和是否加入该背包紧密相关,同时与前一个情况做了比较

    代码实现

    int n,w;
    int jw[MAX_N];
    int jv[MAX_N];
    
    
    int Jumppoint(int num, int wei){
    	jw[0] = 0;
    	jv[0] = 0;
    	jw[1] = w[0];
    	jv[1] = v[0];//初始状态 
    	int left = 0, right = 1, next = 2;//[left,right]为上一层的比较和结合范围 ,next表示构建新的元组的索引 
    	for(int i = 1; i < num; i ++){//依次向上更新 和f(i,y)的含义刚好相反 
    		int k = left;
    		for(int j = left; j <= right; j ++){//以k为索引,依次结合 
    			if(jw[j] + w[i] > wei)break;//一旦超重,就不用看后面了,因为重量递增,价值递增 
    			int nw = jw[j] + w[j];
    			int nv = jv[j] + v[j];//结合情况 
    			for(; k <= right && jw[k] < nw; k ++, next ++){
    				jw[next] = jw[k];
    				jv[next] = jv[k];
    			}//小于结合重量的跳跃点不受影响,但还是跳跃点 
    			for(; k <= right && jw[k] == nw; k ++){
    				if(jv[k] > nv)nv = jv[k];
    			}//如果和结合重量相等,则价值大的优先 
    			if(nv > jv[next - 1]){
    				jw[next] = nw;
    				jv[next] = nv;
    				next ++;
    			}//判断新结合的这个点是否为合格的跳跃点,做到重量递增的时候,价值也递增 
    			else continue;
    			for(; k <= right && jv[k] <= nv; k ++);//后面的点重量更大,如果价值更小,则无效了 
    		}
    		for(;k <= right; k ++, next ++){
    			jw[next] = jw[k];
    			jv[next] = jv[k];
    		} 
    		left = right + 1;
    		right = next - 1;
    	}
    	return jv[right];//最后一个点就是所需结果
    }
    
    
    int solve(){
    	return Jumppoint(n,w);
    }
    

    复杂度

    空间复杂度:最坏为2 * (2 ^ n - 1) * 2
    时间复杂度: 最坏也为 O(2 ^ n)
    所以使用这种方法是不稳定的

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  • 动态规划简介及基本思想

    千次阅读 2019-10-09 08:56:25
    动态规划(Dynamic Programming)是运筹学的一个分支,是求解决策过程(decision process)最优化的数学方法

    简介

    动态规划(Dynamic Programming)是运筹学的一个分支,是求解决策过程(decision process)最优化的数学方法。
    20世纪50年代初美国数学家R.E.Bellman等人在研究多阶段决策过程(multistep decision process)的优化问题时,提出了著名的最优化原理(principle of optimality)
    在这里插入图片描述
    在现实生活中,有一类活动的过程,由于它的特殊性,可将过程分成若干个互相联系的阶段,在它的每一阶段都需要作出决策,从而使整个过程达到最好的活动效果。
    各个阶段决策的选取不是任意确定的,它依赖于当前面临的状态,又影响以后的发展,
    这种把一个问题看作是一个前后关联具有链状结构的多阶段过程就称为多阶段决策过程,这种问题就称为多阶段决策问题。

    基本思想

    动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。
    在这类问题中,可能会有许多可行解。
    我们希望找到具有最优值的解。
    基本思想是将待求解问题分解成若干个子问题,先求解子问题,然后从这些子问题的解得到原问题的解。

    动态规划问题的特征

    动态规划算法的有效性依赖于问题本身所具有的两个重要性质:
    最优子结构:
    当问题的最优解包含了其子问题的最优解时,称该问题具有最优子结构性质。
    重叠子问题:在这里插入图片描述
    动态规划算法的有效性依赖于问题本身所具有的 两个重要性质:
    最优子结构:
    重叠子问题:
    在用递归算法自顶向下解问题时,每次产生的子问题并不总是新问题,有些子问题被反复计算多次。动态规划算法(自底向上)正是利用了这种子问题的重叠性质,对每一个子问题只解一次,而后将其解保存在一个表格中,在以后尽可能多地利用这些子问题的解。

    在这里插入图片描述

    动态规划的基本概念

    1. 阶段和阶段变量:
    2. 状态和状态变量:
    3. 决策、决策变量和决策允许集合:
    4. 策略和最优策略:
    5. 状态转移方程:

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    设计动态规划法的步骤

    1.找出最优解的性质,并刻画其结构特征;
    2.递归地定义最优值(写出动态规划方程);
    3.以自底向上的方式计算出最优值;
    4.根据计算最优值时得到的信息,构造一个最优解。

    步骤1~3是动态规划算法的基本步骤。
    在只需要求出最优值的情形,步骤4可以省略;
    若需要求出问题的一个最优解,则必须执行步骤4。

    展开全文
  • 动态规划基本原理

    千次阅读 2020-02-22 13:36:51
    动态规划基本原理 能用动态规划解决的问题的特点 问题具有最优子结构性质:如果问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的,我们就称该问题具有最优子结构性质。 无后效性:当前的若干个状态值一旦确定,则...

    动态规划的基本原理

    能用动态规划解决的问题的特点
    • 问题具有最优子结构性质:如果问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的,我们就称该问题具有最优子结构性质。

    • 无后效性:当前的若干个状态值一旦确定,则此后过程的演变就只和这若干个状态的值有关,和之前是采取那种手段、哪条路径演变到当前的这若干个状态无关。事实上,不满足无后效性的问题分解是写不出状态转移方程的。不过这也与我们分划问题涉及状态的艺术有关。

    动态规划解题的一般思路
    • 将原问题分解为n个子问题:将原问题分解为若干个子问题,子问题和原问题形式相同或者类似,只不过规模变小。当子问题全都解决时,原问题即解决。子问题的解一旦求出就被保存,所以每个子问题只需要求解一次。

    • 确定状态:用动态规划解题,经常碰到的情况是,K个整形变量能构成一个状态,我们用一个K维的数组来存储各个状态的值。注意这里的值并不一定是一个数,而可能是结构体等。一个状态下的值通常是一个或者多个子问题的解

    • 确定一些初始状态(边界条件)的值

      • 如果使用记忆化搜索,即设置递归出口,
      • 如果使用递推,就需要将这些值填入dp数组
    • 确定状态转移方程:求出不同状态之间是如何迁移的,即如何从一个或者多个值已知的状态,求出另一个状态的值。状态的迁移通常可以用递推公式表示,该公式就是状态迁移方程。

    具体实现
    • 记忆化搜索

      • 直接按照递归函数的思路完成编写,只是在函数的头部增加快捷返回出口,函数return前存储值。
      • dp数组:递归函数有n个参数,就定义一个n维的数组,数组的下标最大值是递归函数参数的取值范围
      • 也就是说,我们把每一种参数对应的值都开一个空间存起来。
    • 递推

      • 根据我们的递推公式来判断循环递推的方向。如果递推公式涉及的元素是不断增大的,那么就从小开始递推不断增大,反之则从大开始不断减小

        比如 d p [ r ] [ j ] = m a x ( d p [ r + 1 ] [ j ] , d p [ r + 1 ] [ j + 1 ] ) + n u m [ r ] [ j ] ; dp[r][j] = max(dp[r + 1] [j], dp[r +1] [j + 1]) + num[r] [j]; dp[r][j]=max(dp[r+1][j],dp[r+1][j+1])+num[r][j];

        这个递推公式涉及的元素r、j都不断增大,那么我们就应该从小到大递推

      • 确定递推的边界条件。最初始的一些值我们需要提前在dp数组中初始化好,同时还要设置一些递推的非法出口的值。非法出口的设置需要保证:永远不可能用到这个出口来更新某个dp,故而我们应使用反向意义来设置非法出口

        非法出口类同于递归中出现超出范围、显然不再可能可以完成任务的参数的情况的return

        反向意义:例如我们求最小值,非法出口就应定义为99999999

      • 在递推中,当我们在求 d p [ r ] [ j ] dp[r][j] dp[r][j]时,我们必须已经求出了所有r、j之前的dp值,故而判断递推的方向和边界条件非常重要

      • 用一个N层循环来递推,N为dp数组的维数,从边界值开始,逐步填充数组,前一个阶段的解,为后阶段的求解提供有用的信息

      • 使用递推的时候虽然快,但是要考虑的东西却很多很多,有一些局部细节和临界条件的考虑非常重要,有时候记忆化搜索能AC递推却WA就是因为有一些极限情况没有考虑到

    展开全文
  • 太美妙了这个文档,太精彩了,我从这里深刻地感受到了DP德魅力,希望与大家分享
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