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  • 【matlab代码】动态规划求解tsp问题
    2021-04-03 09:57:50

    最近在做毕业设计,从0学习了matlab和一些启发式算法,其中有个部分为tsp问题,思来想去想复现参考论文中的动态规划求解,网上看了一些资料,代码都是c++或者java的,这里分享下自己用matlab写的代码:
    注:参考资料为https://blog.csdn.net/hytfly/article/details/95739609
    本算法相关问题情景和解题思路均通过学习参考资料所获,欢迎各位在评论区交流学习

    在这里插入图片描述

    更多相关内容
  • 该文档使用Java语言编写了一个通用的TSP问题求解方法,不仅进行了代码求解,还根据实际例子进行了手动求解和介绍,适合旅行商入门,以及Java语言的学习,附带源码和伪代码,以及详细的解释。
  • 动态规划求解TSP问题

    2019-09-23 23:35:52
    程序入口,求解TSP问题并可视化 cities.json:json数据 [[88, 88], [93, 13], [17, 20], [13, 70]] tool.py:工具模块 # -*- coding:utf-8 -*- import math import json import random ...

    设计思路:

    程序清单:

    文件名

    定位

    作用

    cities.json

    json数据

    存储城市坐标信息

    tool.py

    工具模块

    提供读取JSON数据、生成随机点、生成距离矩阵等函数

    main.py

    主模块

    程序入口,求解TSP问题并可视化

    cities.json:json数据

    [[88, 88], [93, 13], [17, 20], [13, 70]]

    tool.py:工具模块

    # -*- coding:utf-8 -*-
    
    
    
    import math
    
    import json
    
    import random
    
    
    
    # 生成一定范围的随机数
    
    def random_double(_min, _max):
    
        return random.random() * (_max - _min) + _min
    
    
    
    # 生成随机城市坐标
    
    def random_cities(_min, _max, num):
    
        return [[random_double(_min, _max), random_double(_min, _max)] for _ in range(num)]
    
    
    
    # 计算欧式距离
    
    def distance(c1, c2):
    
        return math.sqrt(square_distance(c1, c2))
    
    
    
    # 计算平方欧式距离
    
    def square_distance(c1, c2):
    
        return (c1[0] - c2[0]) ** 2 + (c1[1] - c2[1]) ** 2
    
    
    
    # 由城市坐标列表,生成距离矩阵
    
    def distance_matrix(_cities):
    
        length = len(_cities)
    
        matrix = [[-1.0] * length for _ in range(length)]
    
        for i in range(length - 1):
    
            for j in range(i + 1, length):
    
                matrix[i][j] = matrix[j][i] = distance(_cities[i], _cities[j])
    
    
    
        return matrix
    
    
    
    # 从json文件中,读取城市信息
    
    def read_cities():
    
        json_path = 'cities.json'
    
        with open(json_path, 'r') as f:
    
            return json.load(f)

    main.py:主模块

    # -*- coding:utf-8 -*-
    
    
    
    from tool import read_cities, distance_matrix
    
    import matplotlib.pyplot as plt
    
    
    
    class Solution:
    
    
    
        def __init__(self, _matrix, start_node):
    
            # 距离矩阵
    
            self.matrix = _matrix
    
            # 节点数目
    
            self.height = len(self.matrix)
    
            # 宽度
    
            self.width = 2 ** self.height
    
            # 开始节点
    
            self.start_node = start_node
    
            # 记录处于x节点,未经历M个节点时
    
            # 矩阵储存x的下一步是M中哪个节点
    
            self.array = [[0] * self.width for _ in range(self.height)]
    
    
    
        def tsp(self):
    
            # 开始节点
    
            s = self.start_node
    
            # 节点数目
    
            num = self.height
    
            # 未遍历节点集合
    
            _cities = list(range(num))
    
            _cities.pop(s)
    
            # 求解函数
    
            return self.solve(s, _cities)
    
    
    
        @staticmethod
    
        def transfer(sets):
    
            _sum = 0
    
            for s in sets:
    
                _sum += 2 ** s  # 二进制转换
    
            return _sum
    
    
    
        def solve(self, node, future_sets):
    
            # 迭代终止条件,
    
            # 表示没有了未遍历节点,直接连接当前节点和起点即可
    
            if len(future_sets) == 0:
    
                return self.matrix[node][self.start_node]
    
            # node如果经过future_sets中节点,最后回到原点的距离
    
            distance = []
    
            # 遍历未经历的节点
    
            for i in range(len(future_sets)):
    
                s_i = future_sets[i]
    
                # 访问s_i,更新当前未访问节点集合
    
                copy = future_sets[:]
    
                copy.pop(i)
    
                # 递归,动态规划递推方程
    
                distance.append(self.matrix[node][s_i] + self.solve(s_i, copy))
    
            # 最小距离
    
            d = min(distance)
    
            # node需要连接的下一个节点
    
            next_one = future_sets[distance.index(d)]
    
            # 未遍历节点集合
    
            c = self.transfer(future_sets)
    
            # (当前节点,未遍历节点集合)-->下一个节点
    
            self.array[node][c] = next_one
    
            return d
    
    
    
    if __name__ == '__main__':
    
        # 从JSON读取数据
    
        cities = read_cities()
    
        # 生成距离矩阵
    
        mat = distance_matrix(cities)
    
        # 调用tsp
    
        S = Solution(mat, 0)
    
        S.tsp()
    
        # 开始回溯
    
        lists = list(range(len(S.matrix)))
    
        start_node = S.start_node
    
        # 生成路径
    
        output_path = list()
    
        while len(lists) > 0:
    
            lists.pop(lists.index(start_node))
    
            # 未访问节点集合 矩阵中的y坐标
    
            y = S.transfer(lists)
    
            # 下一节点
    
            next_node = S.array[start_node][y]
    
            # 添加下一组合
    
            output_path.append([start_node, next_node])
    
            # 从下一节点出发
    
            start_node = next_node
    
        # 输出城市列表
    
        print('城市坐标集合为:')
    
        for city in cities:
    
            print(city, end=' ')
    
        print()
    
        # 距离矩阵
    
        print('距离矩阵为:')
    
        for row in mat:
    
            for col in row:
    
                print('%10.2f' % col, end='   ')
    
            print()
    
        # 输出路径
    
        print('最优路径为:')
    
        for i in output_path:
    
            print(i[0], '-->', end='')
    
        print('0')
    
        # 画散点图
    
        i = 0
    
        for city in cities:
    
            plt.scatter(city[0], city[1])
    
            plt.annotate("City%d(%d, %d)" % (i, city[0], city[1]), (city[0] + 2, city[1] + 2))
    
            i += 1
    
        # 画出路径
    
        for start_node, next_node in output_path:
    
            cs = cities[start_node]
    
            cn = cities[next_node]
    
            plt.plot([cs[0], cn[0]], [cs[1], cn[1]])
    
        # 不显示坐标轴
    
        plt.axis('off')
    
        # 绘图
    
    plt.show()
    
    

    TSP问题

    输出结果:

    绘图结果:

    展开全文
  • 使用动态规划方法求解TSP问题 这两天看到了一个用动态规划方法求解TSP问题的案例,原文代码是用C++写的,本人照着写成了java的代码,可以运行出相同的最后结果,但是不知道该如何得到最终的访问城市序列。 但是...

    使用动态规划方法求解TSP问题

    这两天看到了一个用动态规划方法求解TSP问题的案例,原文代码是用C++写的,本人照着写成了java的代码,可以运行出相同的最后结果,但是不知道该如何得到最终的访问城市序列。

    但是其中的每个步骤已经弄得很详细了,算是把明白的记录下来,不懂得留下来有机会再研究。

    参考文章:https://mp.weixin.qq.com/s/gLO9UffCMEqqMVxkOfohFA

    感谢原作者,感谢感谢。

    1. 什么是动态规划(DP),什么是TSP问题

    这个就百度就好了

    2. 将DP应用到TSP问题中,建立动态规划模型。

    具体解TSP问题时,没有必要将所有的DP步骤全部写出来。将状态转移方程写明白就可以理解代码了。下面仔细讲解状态转移方程。

    2.1 指标函数 d ( i , V' )

    i 表示当前路径中最后一个访问的城市节点(将要去的下一个城市,决策变量);V' 表示已经访问过的城市集合(状态)。

    d ( i , V' ) 表示从初始点出发,经过V'集合中的所有城市一次,最终到达城市 i,的最小花费。

    假设s为起点,则d ( t , { s, q, t } ) = 0 表示:s -> q -> t 这条路径的最小花费

    2.2 状态转移方程

    d(i, V' + { i }) 表示的是:s -> V' -> k -> i ,这条路径的最小花费。

    要想找到下一个访问城市i,以达到最小花费,需要在V'(已访问城市集合)中找到路径末端的城市,用路径末端城市与下一个可能的访问城市进行匹配,找到最小花费的匹配。

    3. 状态压缩(这里仅介绍本文用到的状态压缩方式)

     所谓状态压缩,就是利用二进制以及位运算来实现对于本来应该很大的数组的操作。而求解动态规划问题,很重要的一环就是状态的表示,一般来说,一个数组即可保存状态。但是有这样的一些题目,它们具有DP问题的特性,但是状态中所包含的信息过多,如果要用数组来保存状态的话需要四维以上的数组。于是,我们就需要通过状态压缩来保存状态,而使用状态压缩来保存状态的DP就叫做状态压缩DP。(以上是废话)

    假设问题中一共有四个访问点,编号为:0,1,2,3

    在上图中,最右遍那一列,0 ~ 15即为V'的值,用十进制数字来保存当前状态。

    例如:当V' = 3时,3的二进制为左边的四列 0 0 1 1 ,表示已经访问过的城市集合中有城市0城市1

    而且,通过左移运算(<<),计算出n个城市节点一共有多少种可能的状态。例如:四个城市节点时,(1 << 4) = 16,一共有16种状态。

    4. 代码部分

    代码部分是我照着那个朋友的C++代码直接写的java代码,可能会有还未发现的错误。希望朋友们指正。就其中三点做主要说明。

    4.1 过滤1

    这句代码在sovle()函数中, j 为下一步要访问的城市编号,i(状态)为已经访问过的城市集合,当状态 i 中已经包含了城市 j ,则过滤掉这个状态,跳出本次循环。

     if ((i & (1 << j)) != 0) continue;

    例如:i = 12 , j = 4 。将 i j 都转化为二进制:i = 1 1 0 0 , j = 0 1 0 0 。通过位运算&,可以判断出 i & j = 0 1 0 0 ,此时在状态 i 中已经访问过了城市 j 。

    此种情况下,就可以跳过i = 12 的状态,遍历下一个状态。

    4.2 过滤2

    这句代码在sovle()函数中,i(状态)为已经访问过的城市集合,用来过滤掉不是从城市0出发的状态。

    if ((i & 1) == 0) continue;

     例如:i = 12 , i 转化为二进制:i = 1 1 0 0 。将1转化为二进制:1 = 0 0 0 1,这表示路径中只有出发的城市0。通过位运算&,可以判断出 i & j = 0 0 0 0 ,此时在状态 i 不是从城市0出发

     4.3 在状态i中寻找

    这句代码在sovle()函数,据说有两个功能:确保 k 节点已经在集合 i 中、确保 k 是上一步转过来的。

    “ 确保 k 节点已经在集合 i 中” ,这个功能的原理在4.1中已经有讲解。

    但是 “确保 k 是上一步转过来的 ” 这个功能还没发现是如何实现的。

    只有实现了这个功能,才能保证将城市 j 连接到了路径的末端,而不是连接到了路径中的某个城市。

    if (((i & (1 << k)) > 0))

    4.4 如何得出城市访问序列

    这个还有待解决

    5 代码部分

    package TSP01;
    
    import java.io.File;
    import java.io.FileNotFoundException;
    import java.util.*;
    
    public class Main {
        final static double INF = 999999;
        static int N; // 城市数量
        static double distance[][]; // 距离矩阵
        static Vertex vertexs[]; // 储存城市结点的数组
        static double dp[][]; // 存储状态
        // dp[i][j]:j表示状态,i表示当前城市
        static int p[]; // p[i]的值表示i节点的前驱节点
        static double ans = INF; // 总距离
        static int pre[]; // 索引为状态,值为此状态中上一次加入到状态数组中的车辆
    
        public static void main(String[] args) throws FileNotFoundException {
            // 1.读取数据
            input("src\\TSP01\\a.txt", 1);
            // 2.初始化状态
            init_dp();
            // 3.解问题
            solve();
            // 4.输出答案
            //  4.1 按顺序将逆序访问序列添加到list链表中
            List<Integer> list = new LinkedList<>();
            int t = 0;
            list.add(0);
            while(p[t]!=0){
                list.add(p[t]);
                t = p[t];
            }
            //  4.2 反转列表
            Collections.reverse(list);
            //  4.3 输出正序的城市访问序列
            for (int i = 0; i < list.size(); i++) {
                System.out.print(list.get(i) + " -> ");
            }
            System.out.println();
            System.out.println("总路程为:" + ans);
            for (int i = 0; i < N; i++) {
                System.out.println(i + "的前置节点为:" + p[i]);
            }
        }
    
    
        /**
         * 读取数据(数据类型有两种,1是矩阵,0是二位数组)
         *
         * @param filename 文件名
         * @param type     数据类型
         */
        public static void input(String filename, int type) throws FileNotFoundException {
            File file = new File(filename);
            Scanner sc = new Scanner(file);
            if (type == 1) {
                N = sc.nextInt(); // 城市数量
                p = new int[N];
                distance = new double[N][N];
                for (int i = 0; i < N; i++) {
                    for (int j = 0; j < N; j++) {
                        distance[i][j] = sc.nextDouble();
                    }
                }
            } else if (type == 0) {
                N = sc.nextInt(); // 城市数量
                p = new int[N];
                vertexs = new Vertex[N];
                distance = new double[N][N];
                while (sc.hasNext()) {
                    int i = sc.nextInt() - 1; // 城市编号(从0开始)
                    vertexs[i] = new Vertex();
                    vertexs[i].id = i + 1;
                    vertexs[i].x = sc.nextDouble();
                    vertexs[i].y = sc.nextDouble();
                }
                for (int i = 0; i < N; i++) {
                    distance[i][i] = 0;
                    for (int j = 0; j < i; j++) {
                        distance[i][j] = edc_2d(vertexs[i], vertexs[j]);
                        distance[j][i] = distance[i][j];
                    }
                }
            } else {
                System.out.println("类型输入错误");
            }
            sc.close();
        }
    
        // 计算两点之间的距离
        public static double edc_2d(Vertex a, Vertex b) {
            return Math.sqrt((a.x - b.x) * (a.x - b.x) + (a.y - b.y) * (a.y - b.y));
        }
    
        // 初始化状态
        public static void init_dp() {
            dp = new double[(1 << N) + 5][]; // 富余出5个
            for (int i = 0; i < (1 << N); i++) { // 遍历所有状态
                dp[i] = new double[N + 5];
                for (int j = 0; j < N; j++) { // 每个状态下出发点到达每个点的距离
                    dp[i][j] = INF;
                }
            }
        }
    
        // 解决问题
        public static void solve() {
            int M = (1 << N); // 状态的个数
            pre = new int[M];
            pre[0] = 0; // 初始化为0
            dp[1][0] = 0; // 确定出发点
            // 下面的每个十进制的i转化成N位的二进制,就可以代表当前的状态。0代表没有经过这个点,1代表已经过这个点。
            for (int i = 1; i < M; i++) { // 遍历每种状态
                for (int j = 1; j < N; j++) { // 每种状态下遍历每个可访问的下一个城市
                    // 过滤1(按位与运算):过滤掉状态中已经包含了城市节点j的状态
                    if ((i & (1 << j)) != 0) continue;
    
                    // 过滤2(按位与运算):默认必须从0号城市开始出发,过滤掉不是从0号城市出发的状态
                    if ((i & 1) == 0) continue;
    
                    // 尝试使用V'集合中的节点连接下一个节点。...->k->j
                    for (int k = 0; k < N; k++) {
                        // 1. 确保k节点已经在集合中
                        // 2. 确保k是上一步转过来的(如何确保源代码中也没有做到)
                        // 只有当k是上一步转过来的,才可以得到一个TSP环,而不是其中有多个子环
                        // 这个问题在源代码中也没有得到解决
                        if (((i & (1 << k)) > 0)) {
                            // dp[(1<<j)][j] 表示的是当j点即为出发点时的情况
                            // dp[(1<<j)][j]中,(1<<j)表示的状态是计算不到这一步的,因此此种状态表示以j为出发点,不符合上面要求
                            if (dp[(1 << j) | i][j] > dp[i][k] + distance[k][j]) {
                                dp[(1 << j) | i][j] = dp[i][k] + distance[k][j]; // 状态转移方程
    
                                pre[i] = j;
                                String q = Integer.toBinaryString(i);
                                System.out.println("i= " + i + " : " + q + "  p[" + j + "] = " + k);
                            }
                            if(dp[i][j] > dp[i][k] + distance[k][j]){
                                p[j] = k;
                            }
                        }
                    }
                }
    //            System.out.println("状态"+i+"的前一个添加进来的节点为:"+pre[i]);
            }
            for (int i = 0; i < N; i++) {
                if (ans > dp[M - 1][i] + distance[i][0]) {
                    ans = dp[M - 1][i] + distance[i][0];
                    p[0] = i;
                }
            }
        }
    }
    
    // 访问城市节点的类
    class Vertex {
        double x, y; // 坐标
        int id; // 节点编号
    
        public Vertex() {
        }
    
        @Override
        public String toString() {
            return "Vertex{" +
                    "x=" + x +
                    ", y=" + y +
                    ", id=" + id +
                    '}';
        }
    
        public Vertex(int id) {
            this.id = id;
        }
    }

    6. 算例部分

    6.1 type = 1

    4
    0   3   6   7
    5   0   2   3
    6   4   0   2
    3   7   5   0

    6.2 type = 0

     

    16
       1   38.24   20.42
       2   39.57   26.15
       3   40.56   25.32
       4   36.26   23.12
       5   33.48   10.54
       6   37.56   12.19
       7   38.42   13.11
       8   37.52   20.44
       9   41.23   9.10
     10   41.17   13.05
     11   36.08   -5.21
     12   38.47   15.13
     13   38.15   15.35
     14   37.51   15.17
     15   35.49   14.32
     16   39.36   19.56
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    一、求解TSP问题
    1、问题描述

    • TSP问题(担货郎问题,旅行商问题)是指旅行家要旅行n个城市,要求各个城市经历且仅经历一次然后回到出发城市,并要求所走的路程最短
    • 各个城市间的距离可以用代价矩阵来表示。
      在这里插入图片描述
      2、【应用】
      例如:校车怎样以最短的路线行走而接送到所有学生?报纸和牛奶的配送路线怎样最优?循环旅游怎样选取才能实现开支最少?公司视察子公司怎样出差更高效?
      3、【蛮力法求解】
      用蛮力法解决TSP问题,可以找出所有可能的旅行路线,即依次考察图中所有顶点的全排列,从中选取路径长度最短的简单回路。
      在这里插入图片描述
      在这里插入图片描述
      4、证明TSP问题满足最优性原理
      设s,s1,s2, …,sp,s是从s出发的一条路径长度最短的简单回路,假设从s到下一个城市s1已经求出,则问题转化为求从s1到s的最短路径,显然s1,s2,…,sp,s一定构成一条从s1到s的最短路径。
      如若不然,设s1,r1,r2,…,rq,s是一条从s1到s的最短路径且经过n-1个不同城市,则s,s1,r1,r2,…,rq,s将是一条从s出发的路径长度最短的简单回路且比s,s1,s2,…,sp,s要短,从而导致矛盾。所以,TSP问题满足最优性原理。
      5、动态规划法求解过程——示例
      在这里插入图片描述
      在这里插入图片描述6、动态规划求解问题的步骤
      (1)划分子问题—找到“状态”
      在这里插入图片描述
      (2)状态方程在这里插入图片描述
      (3)填表在这里插入图片描述
      在这里插入图片描述
      在这里插入图片描述
      7、算法设计
      (1)【数据结构设计】
      二维数组c[n][n]存放顶点之间的代价,n个顶点用0~n-1的数字编号
      一维数组V[2n-1]存放1~n-1个元素的所有子集
      二维数组dp[n][2n-1]存放递推结果,其中dp[i][j]表示从顶点i经过子集V[j]中的顶点一次且仅一次,最后回到出发点0的最短路径长度。
      (2)【动态规划法算法】
      算法——TSP问题
      1.for(i=1; i<n; i++) d[i][0]=c[i][0]; //初始化第0列
      2.for(j=1; j<2n-1-1; j++)
      for(i=1; i<n; i++) //依次进行第i次迭代
      if(子集V[j]中不包含i)
      对V[j]中的每个元素k,计算d[i][j]=min(c[i][k]+d[k][j-1]);
      3.对V[2n-1-1]中的每一个元素k,计算d[0][2n-1-1]=min(c[0][k]+d[k][2n-1-2]);
      4.输出最短路径长度d[0][2n-1-1];

    8、算法分析
    在这里插入图片描述

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